Banque PT Mathématiques 1A PT 2003Sujet

Pour toute suite réelle $(u_n)_(n \in ℕ^*)$ , on note $a_n = (u_1 + u_2 + \dots + u_n)/n$ la moyenne arithmétique de ses $n$ premiers termes.
(a) On se propose de montrer que si la suite $(u_n)_(n \in ℕ^⋆)$ converge vers le réel $l$ , alors la suite $(a_n)_(n \in ℕ^*)$ converge vers $l$ . Soit $ε > 0$ .
i. Montrer qu'il existe $n_0 \in ℕ$ tel que, pour tout $n \in ℕ, n > n_0$ entraîne: $|u_n - l| < ε/2$ .
ii. Montrer que pour tout entier $n > n_0$ on a:

|a_n - l| \leq (|u_1 - l| + |u_2 - l| + \dots + |u_(n_0) - l|)/n + (|u_(n_0 + 1) - l| + \dots + |u_n - l|)/n.

iii. Montrer qu'il existe un entier

n_1 > n_0

tel que, pour tout

n \in ℕ, n > n_1

entraîne:

(|u_1 - l| + |u_2 - l| + \dots + |u_(n_0) - l|)/n < ε/2.

iv. Conclure.
(b) On suppose ici que la suite

(a_n)_(n \in ℕ^⋆)

converge vers le réel

l

. On se propose d'étudier une réciproque du résultat précédent.
i. Montrer que la suite

(u_n)_(n \in ℕ^*)

n'est pas nécessairement convergente.

On pourra considérer la suite de terme général

(- 1)^n

.
ii. Montrer que la suite

(u_n)_(n \in ℕ^⋆)

n'est pas nécessairement bornée.

On pourra considérer la suite

(u_n)_(n \in ℕ^⋆)

définie par :

u_n = {p, si n = p^3; 0, sinon.

iii. On suppose en outre que la suite

(u_n)_(n \in ℕ^*)

est monotone; on pourra considérer, par exemple, qu'elle est croissante.
Montrer alors par l'absurde que la suite

(u_n)_(n \in ℕ^*)

est majorée par

l

. Conclure.
2. On considère la suite

(u_n)_(n \in ℕ^⋆)

définie par la récurrence :

u_1 \in ]0, π[; \foralln \in ℕ^⋆ u_(n + 1) = sinu_n

(a) Montrer par récurrence que, pour tout

n \in ℕ^⋆

, on a:

0 < u_n < π

, puis que la suite

(u_n)_(n \in ℕ^⋆)

est décroissante. En déduire que la suite

(u_n)_(n \in ℕ^⋆)

converge et préciser sa limite.
(b) Montrer que, lorsque

n

tend vers

+ \infty

, on a:

u_n - sinu_n \sim (u_n^3)/6 puis u_n^2 - u_(n + 1)^2 \sim (u_n^2 u_(n + 1)^2)/3

n \in ℕ^⋆, v_n = 1/(u_(n + 1)^2) - 1/(u_n^2)

Montrer que la suite

(v_n)_(n \in ℕ^⋆)

converge vers

1/3

.
Démontrer alors que:

lim_(n \to + \infty)nu_(n + 1)^2 = 3

.
En déduire un équivalent de

u_n

lorsque

n

tend vers l'infini.
3. Soit

(α_n)_(n \in ℕ^⋆)

une suite de réels strictement positifs telle que la série

\sumα_k

diverge.

A toute suite réelle

(u_n)_(n \in ℕ^⋆)

, on associe la suite de terme général :

a_n = (\sum_(k = 1)^n α_k u_k)/(\sum_(k = 1)^n α_k)

.
(a) Montrer que

lim_(n \to + \infty)\sum_(k = 1)^n α_k = + \infty

.
(b) En s'inspirant de la question 1.a., montrer que si la suite

(u_n)_(n \in ℕ^*)

converge vers le réel

l

, alors la suite

(a_n)_(n \in ℕ^*)

converge vers

l

.
4. On suppose que la suite

(u_n)_(n \in ℕ^*)

converge vers le réel

l

.
(a) Déterminer la limite de la suite de terme général:

v_n = 1/(n^2)(u_1 + 2u_2 + \dots + nu_n)

.
(b) Même question avec la suite de terme général:

w_n = 1/(2^n)(C_n^0 u_0 + C_n^1 u_1 + \dots + C_n^n u_n)

où

C_n^k

désigne le coefficient binômial

(n!)/(k!(n - k)!)

.
On pourra montrer que

C_n^k \leq (n^k)/(k!)

PARTIE B

Soit

\suma_n

une série réelle convergente. On note

S

sa somme.

Montrer qu'alors la série entière de coefficients $a_n$ a un rayon de convergence $R$ au moins égal à 1 .

Dans toute la suite de cette partie on pose:

\forallx \in ] - R, R[ f(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n x^n

.
On se propose d'étudier la continuité de la fonction

f

en 1 .
2. Montrer que si

R > 1

alors

f

est continue en 1 .
3. On se place dans le cas où

R = 1

. On note

S_n = \sum_(k = 0)^n a_k

la somme partielle de rang

n

.
(a) Soit

x \in ] - 1, 1[

N \in ℕ

.
i. Montrer que:

(1 - x)\sum_(n = 0)^N S_n x^n = \sum_(n = 0)^N a_n x^n - S_N x^(N + 1)

.
ii. En déduire que:

lim_(N \to + \infty)[(1 - x)\sum_(n = 0)^N S_n x^n] = f(x)

.
(b) Montrer alors que le rayon de convergence de la série entière, de coefficients

S_n

, est au moins égal à 1 , et que:

\forallx \in ] - 1, 1[ \sum_(n = 0)^(+ \infty)S_n x^n = (\sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n x^n)(\sum_(n = 0)^(+ \infty)x^n)

lim_(x \to 1; x < 1)((\sum_(n = 0)^(+ \infty)S_n x^n)/(\sum_(n = 0)^(+ \infty)x^n) - S) = 0

. Soit

ε > 0

.
i. Vérifier que, pour tout réel

x \in ] - 1, 1[

, on a :

(\sum_(n = 0)^(+ \infty)S_n x^n)/(\sum_(n = 0)^(+ \infty)x^n) - S = (1 - x)\sum_(n = 0)^(+ \infty)(S_n - S)x^n

On supposera donc pour la suite que

S = 0

.
ii. Montrer qu'il existe un entier positif

N

tel que:

n > N

entraîne

|S_n| \leq ε/2

.
iii. En déduire que, pour tout

x \in [0, 1[

, on a:

|(\sum_(n = N + 1)^(+ \infty)S_n x^n)/(\sum_(n = 0)^(+ \infty)x^n)| \leq ε/2

.
iv. Montrer enfin qu'il existe

η > 0

tel que:

\forallx \in [1 - η, 1[ |(\sum_(n = 0)^N S_n x^n)/(\sum_(n = 0)^(+ \infty)x^n)| \leq ε/2

Conclure.
(d) En déduire que la fonction

f

est continue en 1.
4. Etablir la convergence de la série

\sum_(n = 1)^(+ \infty)((- 1)^n)/n

puis déterminer sa somme.

PARTIE C

Soit (

d_n

) une suite réelle convergente.

Montrer que la série entière de coefficients $(d_n)/(n!)$ a un rayon de convergence $R$ infini.

Dans la suite de cette partie, à toute suite réelle

(d_n)

convergente, on associe la fonction

f_d

définie par:

\forallx \in ℝ f_d(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)(d_n)/(n!)x^n

Montrer que la fonction $f_d$ est indéfiniment dérivable sur $ℝ$ .
Nous nous proposons de montrer que si la suite $(d_n)$ converge vers le réel $l$ , alors $lim_(t \to + \infty)e^(- t)f_d(t) = l$ .
(a) Justifier l'existence d'une suite réelle $(r_n)$ convergeant vers 0 telle que, pour tout $n \in ℕ$ on ait: $d_n = l + r_n$ .
(b) Montrer que pour tout réel $t$ on a: $f_d(t) = le^t + f_r(t)$ .
(c) Soit $ε > 0$ , prouver l'existence d'un entier $n_0$ tel que: $n > n_0$ entraîne $|r_n| < ε/2$ .

Montrer alors que, pour tout

t \in ℝ^+

, on a:

|f_r(t)| \leq \sum_(n = 0)^(n_0)(|r_n|)/(n!)t^n + ε/2e^t

(d) En déduire que

lim_(t \to + \infty)f_r(t)e^(- t) = 0

. Conclure.
4. On pose,

D_0 = 0

et, pour tout

n \in ℕ^⋆ : D_n = \sum_(k = 0)^(n - 1)d_k

Montrer que pour tout réel positif

x

, on a:

\int_0^x f_d(t)e^(- t)dt = f_D(x)e^(- x)

En déduire que si $\sumu_n$ est une série numérique convergente alors: $\int_0^(+ \infty)f(t)exp(- t)dt = \sum_(n = 0)^(+ \infty)u_n$ , où $f$ est la fonction définie sur $ℝ$ par : $f(t) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)(u_n)/(n!)t^n$ .

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