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* Banque filière PT 沿

Epreuve de Mathématiques I-B

Durée 4 h

L'usage de calculatrices est interdit

Ce problème se compose de 7 parties. Les parties I et II sont totalement indépendantes des autres. Les parties III, IV, V sont liées entre-elles, mais il est possible d'admettre un résultat précédent pour poursuivre la résolution du problème. Enfin, les parties VI et VII utilisent le résultat obtenu dans la partie V.

Partie I

  1. On considère un triangle ABC, rectangle en C et un point M sur le segment [A, B]. On note x la distance AC, a la distance de M à la droite ( BC ) et b la distance de M à la droite ( AC ). Calculer en fonction de x, a et b la longueur de l'hypoténuse AB du triangle.
  2. On considère dans un plan deux couloirs perpendiculaires de 2 mètres de largeur chacun. Une barre métallique rigide (que nous supposerons sans épaisseur) glisse sur ce plan. On cherche à faire passer cette barre par les deux couloirs. Quelle est la longueur maximale de la barre qui peut passer d'un couloir à l'autre?

Partie II

Un fabriquant de boîtes de conserve a une commande : il doit produire des boîtes cylindriques de volume V donné. Quelles doivent être les caractéristiques de la boîte (diamètre et hauteur) pour que le fabriquant utilise le moins de métal possible ?

Partie III

Dans toute cette partie, on considère un intervalle fermé I et une fonction f définie sur I à valeurs dans I et qui vérifie, pour tout x ∈ I et tout y ∈ I,
|f(x) − f(y)| ≤ k|x − y|
où k est une constante strictement inférieure à 1 .

On dit dans ce cas que la fonction f est contractante sur I.

  1. Montrer que la fonction f est continue sur I.
  2. Montrer que si x_1 et x_2 sont deux réels vérifiant
f(x_1) = x_1 et f(x_2) = x_2
alors x_1 = x_2.
3. On considère la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) définie par récurrence
{u_0 ∈ I; ∀n ∈ ℕ, u_(n + 1) = f(u_n)
(a) Montrer que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) est bien définie pour tout n ∈ ℕ.
(b) Montrer que la série de terme général u_(n + 1) − u_n converge.
(c) En déduire que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) converge et que sa limite appartient à I.
4. Montrer qu'il existe un unique réel x ∈ I tel que f(x) = x.

Partie IV

Dans toute cette partie, on considère un ouvert U de ℝ^2 muni de la norme euclidienne, et f une application de classe C^1 sur U, à valeurs réelles.
On suppose qu'il existe un point (a, b) de U tel que f(a, b) = 0 et que (∂f)/(∂y)(a, b) ≠ 0.
On définit enfin une fonction g sur U à valeurs dans ℝ par
g(x, y) = y − 1/((∂f)/(∂y)(a, b))f(x, y)
  1. Montrer que la fonction g est de classe C^1 sur U et calculer (∂g)/(∂y) en fonction des dérivées partielles de f.
  2. Montrer qu'il existe un réel r > 0 tel que la boule B fermée de centre ( a, b ) et de rayon 2r soit incluse dans U et tel que
∀(x, y) ∈ B, |(∂g)/(∂y)(x, y)| ≤ 1/2.
  1. En déduire que, pour tout (x, y) ∈ B et tout (x, y^′) ∈ B,
|g(x, y^′) − g(x, y)| ≤ 1/2|y − y^′|.
  1. Montrer qu'il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que I × [b − r, b + r] ⊂ U et tel que
∀x ∈ I, |g(x, b) − g(a, b)| ≤ r/2
  1. Déduire des deux dernières inégalités que
∀(x, y) ∈ I × [b − r, b + r], g(x, y) ∈ [b − r, b + r].
  1. Montrer que pour tout x ∈ I fixé, l'application y ⟼ g(x, y) est une application contractante sur [b − r, b + r].
  2. Montrer que pour tout x ∈ I, il existe un unique y ∈ [b − r, b + r] tel que f(x, y) = 0. Ce y sera noté φ(x) et on admet que l'application φ est de classe C^1 sur I.
  3. Calculer la dérivée de l'application x ↦ f(x, φ(x)) sur I. En déduire l'expression de la dérivée de φ en fonction des dérivées partielles de f.

Partie V

Soit f et F deux fonctions définies sur un ouvert U de ℝ^2 et de classe C^1 sur cet ouvert. On cherche les extrema de la fonction F restreinte à l'ensemble {(x, y) ∈ U, f(x, y) = 0}. Une solution de ce problème sera appelé extremum de F lié par la relation f(x, y) = 0.
  1. Soit (a, b) un point de U tel que f(a, b) = 0 et tel que (∂f)/(∂y)(a, b) ≠ 0.
    (a) Montrer qu'il existe un ouvert V de ℝ^2 contenant (a, b) et contenu dans U, un intervalle I de ℝ contenant a et une application φ de classe C^1 sur I tels que
((x, y) ∈ V, f(x, y) = 0) ⟺ (x ∈ I, y = φ(x)).
(b) Montrer que si (a, b) est un extremum de F lié par la relation f(x, y) = 0, alors
(∂F)/(∂x)(a, b)(∂f)/(∂y)(a, b) − (∂F)/(∂y)(a, b)(∂f)/(∂x)(a, b) = 0.
(c) La réciproque est-elle vraie ?
2. On suppose maintenant que le point (a, b) vérifie f(a, b) = 0 et (∂f)/(∂x)(a, b) ≠ 0. Montrer que l'implication de la question V1b est encore vraie.

Partie VI

Trouver le triangle rectangle d'aire maximale ayant un périmètre ℓ fixé (On pourra utiliser les résultats de la partie V).

Partie VII

On considère les sous-ensembles de ℝ^2 suivants :
D = {(x, y) ∈ ℝ^2, 2x^2 + y^2 − 2y ≤ 1}; D˜ = {(x, y) ∈ ℝ^2, 2x^2 + y^2 − 2y < 1}
On remarquera que D est un ensemble fermé et que D~ est un ensemble ouvert.
  1. Dessiner sommairement l'ensemble D.
  2. Montrer que l'ensemble D est borné.
  3. On considère la fonction F définie sur ℝ^2 par
f(x, y) = x^2 e^y
Montrer que F admet un maximum global et un minimum global sur D.
4. Chercher les extrema locaux de F sur D˜.
5. Déterminer les extrema globaux de F sur D.

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