Banque PT Mathématiques C PT 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

5,0(1 vote)

Faisable en Sup

Explorer les annales

BanqueBanque PT Année2022 FilièrePT MatièreMathématiques

Annales Banque PT PT Mathématiques Banque PT PT 2022 PT Mathématiques Mathématiques 2022

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Étude analytique de la fonction tangente : intégrales généralisées, série entière et nombres de Bernoulli

Le sujet a pour fil directeur la fonction tangente. Après un préambule sur ses propriétés (domaine de définition, variations, bijection réciproque arctangente), il fait intervenir des intégrales généralisées dont la convergence ou le calcul repose sur la fonction tangente, puis établit son développement en série entière via une équation différentielle, avant de relier ce développement aux nombres de Bernoulli.

1Préambule : propriétés de la fonction tangenteDomaine de définition, parité, dérivée, variations et bijection réciproque arctangente de la fonction tangente.
2Partie I : intégrales à paramètre et sériesÉtude de la convergence d'une intégrale à paramètre F(x) et d'une famille d'intégrales dépendant d'un réel alpha, reliées à une série de Riemann.
3Partie II : développement en série entière de la tangenteUtilisation du produit de Cauchy et d'une équation différentielle vérifiée par la fonction tangente pour obtenir son développement limité à l'ordre 7 en zéro.
4Partie III : suites d'intégrales et équivalentÉtude de suites d'intégrales Hn, Kn et Ln liées à la fonction tangente, avec changement de variable et obtention d'un équivalent de Hn.
5Partie IV : nombres de BernoulliDéveloppement en série entière de la fonction x/(e^x-1) et établissement d'une relation de récurrence sur les nombres de Bernoulli.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que l'épreuve a été mieux réussie que l'année précédente, que le préambule, la partie I et une partie des parties III et IV ont été traités par la grande majorité des candidats, tandis que la partie II, nécessitant le produit de Cauchy, a posé davantage de difficultés.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Convergence d'intégrale mal justifiée par un argument de Riemann · Produit de Cauchy mal maîtrisé · Domaine de définition de la tangente mal exprimé

Le sujet a été mieux réussi que l'année précédente marquée par le confinement. La grande majorité des candidats a traité le préambule, la partie I, une partie de la partie III et de la partie IV. La partie II, qui requiert la connaissance du produit de Cauchy, semble ignorée de certains candidats, et l'intégralité du sujet n'a été traitée que dans de très bonnes copies obtenant la note maximale.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Convergence d'intégrale mal justifiée par un argument de RiemannI.1.a, III.1.a
Beaucoup de candidats se contentent d'écrire que la convergence est due à Riemann sans préciser où, ou confondent l'intégrale et son comportement asymptotique.
« par Riemann, cela converge »
2
Produit de Cauchy mal maîtriséII.1.a
Très peu de candidats connaissent le produit de Cauchy des séries entières, et certains proposent des formules incorrectes ou tentent d'ajuster leur réponse pour retrouver un résultat donné en fin d'énoncé.
« connaissance du produit de Cauchy, qui semble ignorée de la part de c ertains candidats »
3
Domaine de définition de la tangente mal expriméPréambule, Q1
Les correcteurs relèvent de nombreuses erreurs sur le domaine de définition de la fonction tangente, avec des expressions imprécises ou fausses.
4
Changement de variable non justifiéIII.3.a
Beaucoup de copies assurent sans aucune vérification que le changement de variable proposé est de classe C1 et strictement monotone, sans le justifier.
« beaucoup trop de copies assurent, sans aucune vérification, que l e chan- gement de variables est de classe C1 et strictement monotone »
5
Confusion entre convergence de suite et convergence d'intégraleIII.2.c
Certains candidats confondent la convergence d'une suite d'intégrales avec la convergence de l'intégrale elle-même, ou déduisent à tort la monotonie d'une suite d'intégrales de celle de la fonction intégrée.
« confusion grave entre la notion de convergence de suites et celle de convergence d’i ntégrales »

Ce qui a été bien réussi

Le calcul de F(0) a été bien effectué dans l'ensemble.
La dérivée de la fonction arctangente apparaît comme bien connue.
La majorité des candidats a démontré que la fonction phi est prolongeable par continuité en zéro.
La majorité des candidats a donné la bonne valeur du coefficient B0.

Conseils du jury

Rédiger une copie par partie pour pouvoir combler les lacunes a posteriori sans naviguer entre les questions.
Éviter les abréviations et acronymes, et soigner l'orthographe, notamment celle des noms propres comme Riemann.
Ne pas chercher à retrouver artificiellement un résultat donné en fin d'énoncé au prix d'arguments faux.
Bien lire l'énoncé pour ne pas perdre de points sur des questions oubliées ou mal comprises.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Epreuve de Mathématiques C

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

À rendre avec la copie 1 feuille de papier millimétré.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance

Préambule

Rappeler le domaine de définition de la fonction tangente, puis donner, sans démonstration, sa parité et sa dérivée, ainsi que, pour sa restriction à l'intervalle $] - π/2, π/2[$ ses variations (on demande le tableau de variations, où apparaîtront les limites aux bornes).
Montrer, à l'aide d'un théorème de cours qui sera énoncé, que la fonction tangente réalise une bijection de $] - π/2, π/2[$ sur $ℝ$ , et en déduire l'existence de sa fonction réciproque arctangente. Donner, sans démonstration, la dérivée de la fonction arctangente.
Déduire des variations de la fonction tangente sur $] - π/2, π/2[$ celles de sa réciproque arctangente, et retrouver ce résultat à l'aide de la dérivée de la fonction arctangente obtenue à la question précédente.
Tracer, sur un même graphe (échelle : 2 cm pour une unité), les courbes représentatives de la fonction tangente sur $] - π/2, π/2$ [, et de la fonction arctangente sur $ℝ$ . On rappellera comment le tracé de la courbe représentative de la fonction arctangente se déduit de celui de la fonction tangente.
Exprimer, pour tout réel $t$ de $]0, π/2[ \cup ]π/2, π[, 1 + 1/(tan^2 t)$ en fonction uniquement de $sin^2 t$ .

Partie I

Pour tout réel $x$ , on pose :

F(x) = \int_(- \infty)^(+ \infty)(dt)/(1 + x^2 + t^2)

(a) Etudier, pour tout réel

x

, la convergence de l'intégrale à paramètre

F(x)

.
(b) Que vaut

F(0)

?
(c) Exprimer, pour tout réel

x, F(x)

en fonction de

x

.
2. Soit

α

un réel positif. Pour tout entier naturel non nul

n

, on pose:

u_n = π/(\sqrt(1 + (nπ)^α)), I_n = \int_0^π(dt)/(1 + n^α π^α sin^2 t), J_n = \int_(nπ)^((n + 1)π)(dt)/(1 + t^α sin^2 t)

(a) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le réel

α

pour que la série

\sumu_n

converge.
(b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul

n

I_(n + 1) \leq J_n \leq I_n

1/(tant) = u

, que l'on justifiera avec soin, montrer que, pour tout entier naturel non nul

n

I_n = F(n^(α/2)π^(α/2))

(On pensera à utiliser le résultat de la question 5. du Préambule)
(d) En déduire, pour tout entier naturel non nul

n

u_(n + 1) \leq J_n \leq u_n

(e) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le réel

α

pour que l'intégrale

\int_0^(+ \infty)(dt)/(1 + t^α sin^2 t)

converge.

Partie II

(a) Soit $R$ un réel strictement positif, et $f$ et $g$ deux fonctions développables en série entière sur $] - R, R[$ , sous la forme :

\forallx \in ] - R, R[ : f(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n x^n, g(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)b_n x^n

où, pour tout entier naturel

n, a_n

b_n

sont des réels.
Rappeler la formule du produit de Cauchy donnant le produit des séries entières

\sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n x^n

\sum_(n = 0)^(+ \infty)b_n x^n

. Que peut-on dire sur le rayon de convergence?
(b) Appliquer la question précédente pour exprimer, pour tout réel

x

] - R, R[

, le développement en série entière de

(f(x))^2

.
2. On suppose désormais que la fonction

f

s'annule en zéro, et que, pour tout réel

x

] - R, R[

f^'(x) = 1 + (f(x))^2

(a) En déduire la relation de récurrence vérifiée, pour tout entier naturel

n

, par les coefficients

a_n

.
(b) Démontrer, par récurrence forte, que, pour tout entier naturel

p

a_(2p) = 0

Que peut-on en déduire pour la parité de la fonction

f

et son développement en série entière?
(c) Montrer que

f^'(0) = 1

, puis calculer :

a_1, a_3, a_5, a_7

.
(d) On admettra, dans ce qui suit, que la fonction tangente est développable en série entière sur

] - π/2, π/2[

. A l'aide des résultats précédents, donner le développement limité, à l'ordre 7 , au voisinage de zéro, de la fonction

f

, et en déduire celui de la fonction tangente, au même ordre, en zéro.

Partie III

Pour tout entier naturel non nul $n$ , on pose :

H_n = \int_0^(+ \infty)(u^(2n))/(1 + u^(4n))du

(a) Etudier, pour tout entier naturel non nul

n

, la convergence de l'intégrale

H_n

.
(b) Calculer :

lim_(n \to + \infty)\int_0^1 u^(2n)du

lim_(n \to + \infty)\int_1^(+ \infty)(u^(2n))/(1 + u^(4n))du

(d) En déduire :

lim_(n \to + \infty)H_n

Pour tout entier naturel non $nuln$ , et tout réel strictement positif $x$ , on note : $2n\sqrtx = x^(1/(2n))$ .

On pose :

K_n = \int_0^(π/4)2n\sqrt(tanx)dx, L_n = \int_(π/4)^(π/2)2n\sqrt(tanx)dx

(a) Que vaut :

lim_(x \to 0^+)2n\sqrtx

?
(b) Etudier, pour tout entier naturel non nul

n

, la convergence des intégrales

K_n

L_n

.
(c) Montrer que la suite

(K_n)_(n \in ℕ^⋆)

est croissante et majorée.
(d) Etudier le sens de variation de la suite

(L_n)_(n \in ℕ^⋆)

.
(e) Montrer que, pour tout entier naturel non nul

n

\int_(π/4)^(π/2)2n\sqrt(tanx)dx \geq π/4

(f) En déduire la convergence de la suite

(L_n)_(n \in ℕ^⋆)

, et montrer que :

lim_(n \to + \infty)(K_n + L_n) \geq π/4

(a) Pour tout entier naturel non nul $n$ , effectuer, en le justifiant, le changement de variable $tanx = u^(2n)$ dans l'intégrale ( $K_n + L_n$ ), puis donner, pour tout entier naturel non nul $n$ , une relation entre ( $K_n + L_n$ ) et :

\int_0^(+ \infty)(u^(2n))/(1 + u^(4n))du

(b) En déduire l'existence d'une constante réelle

H

telle que, lorsque

n

tend vers l'infini :

H_n \sim H/n

Partie IV

Soit $φ$ la fonction définie, pour tout réel non nul $x$ , par :

φ(x) = x/(e^x - 1)

Montrer que

φ

est prolongeable par continuité en zéro.

Dans ce qui suit, on désigne encore par

φ

la fonction ainsi prolongée. On admettra que la fonction

φ

est développable en série entière sur

] - 2π, 2π[

, sous la forme :

\forallx \in ] - 2π, 2π[ : φ(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)B_n(x^n)/(n!)

où, pour tout entier naturel

n, B_n

est un coefficient réel.
2. Que vaut

B_0

?
3. En remarquant que, pour tout réel

x

] - 2π, 2π[

x = (e^x - 1)\sum_(n = 0)^(+ \infty)B_n(x^n)/(n!)

montrer que l'on peut aussi écrire :

x = \sum_(n = 1)^(+ \infty)(\sum_(k = 0)^(n - 1)(n/k)B_k)(x^n)/(n!)

(a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$ :

\sum_(k = 0)^n((n + 1)/k)B_k = 0

puis :

(n + 1)B_n = - \sum_(k = 0)^(n - 1)((n + 1)/k)B_k

(b) Calculer

2B_2

4B_4

. Que remarque-t-on par rapport aux coefficients

a_3

a_5

de la partie II?

Ce problème fait intervenir des intégrales généralisées, pour lesquelles la fonction tangente permet soit d'obtenir leur convergence, soit de les calculer. Cette très classique fonction trigonométrique vérifie aussi une équation différentielle permettant d'obtenir son développement en série entière, où interviennent les nombres de Bernoulli, que l'on retrouve dans de nombreux autres développements en série entière, ou encore dans la formule d'Euler Mac-Laurin, qui relie des sommes discrètes où apparaissent également les dérivées successives de la fonction, et des intégrales.

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques C PT 2022 de la banque PT ?

Le sujet porte sur l'étude de la fonction tangente et de sa réciproque, les intégrales généralisées et intégrales à paramètre, les séries entières avec le produit de Cauchy, les équations différentielles, et les nombres de Bernoulli.

Le sujet de Mathématiques C PT 2022 est-il difficile ?

Le rapport le qualifie de mieux réussi que l'année précédente. La partie II, qui nécessite la connaissance du produit de Cauchy, s'est révélée plus difficile que les autres parties, globalement bien traitées par la majorité des candidats.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de Mathématiques C PT 2022 ?

Le jury relève une justification insuffisante de la convergence des intégrales par simple référence à Riemann, une méconnaissance fréquente du produit de Cauchy, des erreurs sur le domaine de définition de la tangente, et des changements de variable non justifiés.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Banque PT Mathématiques C PT 2022

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...