Banque PT Mathématiques C PT 2019Sujet et corrigé

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Intégrales généralisées
Intégration par parties et changement de variable
Séries numériques
Intégrales à paramètre
Équations différentielles linéaires du premier ordre
Séries entières
Développements limités et équivalents

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BanqueBanque PT Année2019 FilièrePT MatièreMathématiques

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Présentation du sujet

Intégrales de type Wallis, intégrale à paramètre et développements en série entière

Le sujet étudie d'abord des intégrales généralisées de type Wallis avec un poids exponentiel, puis une intégrale à paramètre solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre. Il relie ensuite cette équation différentielle à un développement en série entière et retrouve les intégrales de Wallis classiques pour étudier le comportement asymptotique des coefficients de la série.

1PréambuleRésultats préliminaires sur arctan et sur l'expression de cos t à l'aide de tan(t/2), utilisés dans la suite du sujet.
2Partie IÉtude de l'intégrale généralisée I_n = intégrale de 0 à l'infini de e^{-x} sin^n(x) dx : convergence, relation de récurrence obtenue par intégration par parties, expression de I_{2n} et étude d'une série et d'une limite associées.
3Partie IIÉtude de la fonction F(x) définie par une intégrale à paramètre sur [0, pi/2], dérivabilité, expression explicite avec arctan puis arcsin, résolution d'équations différentielles linéaires associées, recherche de solutions développables en série entière et étude du rayon de convergence et de l'équivalent des coefficients.

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Epreuve de Mathématiques C

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Préambule

Soit $h$ la fonction qui, à tout réel strictement positif $x, associe : arctanx + arctan1/x$ . Montrer que la fonction $h$ est constante sur $]0, + \infty[$ (on précisera la valeur prise par $h$ sur $]0, + \infty[)$ .
(a) Pour tout réel $t$ de $[0, π/2]$ , exprimer $cost$ en fonction de $cost/2$ .
(b) Pour tout réel $t$ de $[0, π/2]$ , comparer $1/(1 + tan^2 t/2)$ et $cos^2 t/2$ .
(c) Pour tout réel $t$ de $[0, π/2]$ , on pose :

u = tant/2

On demande d'exprimer

cost

en fonction de

u

Partie I

Pour tout entier naturel

n

, on pose:

I_n = \int_0^(+ \infty)e^(- x)sin^n xdx

(a) Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , l'intégrale $I_n$ est convergente.
(b) Que vaut $I_0$ ?
(c) Donner une primitive de la fonction qui, à tout réel positif $x$ , associe : $e^(- x)cosx$ (on pourra utiliser la fonction à valeurs complexes $x \mapsto e^(- x)e^(ix)$ ).
(d) Pour tout entier naturel $n \geq 2$ , montrer, à l'aide d'une double intégration par parties, la relation :

I_n = (n(n - 1))/(n^2 + 1)I_(n - 2)

(e) En déduire, pour tout entier naturel

n

, l'expression de

I_(2n)

en fonction de

n

et du produit

\prod_(k = 0)^n(4k^2 + 1)

.
2. (a) Pour tout entier naturel non nul

n

, on pose :

u_n = ln(2n(2n - 1))/(4n^2 + 1)

. Etudier la nature de la série de terme général

u_n

.
(b) Pour tout entier naturel non nul

n

, comparer :

lnI_(2n)

\sum_(k = 1)^n u_k

.
(c) Quelle est la limite de la suite de terme général

I_(2n)

Partie II

Pour tout réel

x

] - 1, 1[

, on pose :

F(x) = \int_0^(π/2)(dt)/(1 - xcost)

Que vaut $F(0)$ ?
Soit $a \in ]0, 1[$ . Etudier la dérivabilité de $F$ sur $[ - a, a]$ , et exprimer, pour tout réel $x$ de $[ - a, a], F^'(x)$ en fonction de $x$ .
Etudier la dérivabilité de $F$ sur $] - 1, 1[$ .
A l'aide du changement de variable $u = tant/2$ , montrer que, pour tout réel $x$ de $] - 1, 1[$ :

F(x) = 2/(\sqrt(1 - x^2))arctan(\sqrt(1 + x))/(\sqrt(1 - x))

(On pensera à utiliser le Préambule.)
5. En déduire, pour tout réel

x

] - 1, 1[

, une relation entre

F(x)

F(- x)

Pour ce qui suit, on utilisera le fait que, pour tout réel

x

] - 1, 1[

(1 - x^2)F^'(x) = xF(x) + 1

(a) Donner la solution générale sur $] - 1, 1[$ de l'équation différentielle homogène :

(E_0) (1 - x^2)y^'(x) - xy(x) = 0

(b) A l'aide de la méthode de variation de la constante, donner la solution générale sur ] - 1,1 [ de l'équation différentielle :

(E) (1 - x^2)y^'(x) - xy(x) = 1

(P_0) {(1 − x^2)y^′(x) − xy(x) = 1; y(0) = 0

et :

(P_1) {(1 − x^2)y^′(x) − xy(x), = 1/2; y(0), = π/2

(d) Pour tout réel

x

] - 1, 1[

, déduire de la résolution de

(P_1)

une expression simplifiée de

F(x)

avec la fonction arcsinus.
7. Pour tout réel

x

] - 1, 1[

, déduire de la question 2 . la valeur de

\int_0^(π/2)(cost - x)/((1 - xcost)^2)dt

.
8. Dans cette question, on recherche les solutions développables en série entière sur un domaine

] - R, R[ \subset ℝ, R > 0

, de l'équation différentielle :

(E_R) (1 - x^2)y^'(x) - xy(x) = 1 \forallx \in ] - R, R[

sous la forme :

y(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n x^n \forallx \in ] - R, R[

où, pour tout entier naturel

n, a_n

est un réel. On pose :

a_0 = λ \in ℝ

.
(a) Que vaut

a_1

?
(b) Donner, pour tout entier naturel non nul

n

, une relation de récurrence reliant

a_(n + 1)

a_(n - 1)

.
(c) Exprimer, pour tout entier naturel

p, a_(2p)

a_(2p + 1)

en fonction de

p

λ

.
9. On suppose désormais que :

λ = 0

(a) Enoncer le critère de d'Alembert pour les séries numériques.
(b) Déterminer la valeur du rayon de convergence de

\suma_n x^n

.
(c) A l'aide de la question 6. c., donner le développement en série entière de la fonction

x \mapsto (arcsinx)^2

. On précisera le rayon de convergence et le(s) théorème(s) utilisé(s)
10. On suppose désormais que:

λ = π/2

Pour tout entier naturel

n

, on pose:

W_n = \int_0^(π/2)sin^n xdx

(a) Démontrer que la suite

(W)_(n \in ℕ)

vérifie la même relation de récurrence que la suite

(a)_(n \in ℕ)

, établie à la question 8. b.
(b) Calculer

W_0

W_1

. Que remarque-t-on?
(c) Déterminer le sens de variation et le signe de la suite

(W)_(n \in ℕ)

. En déduire, pour tout entier naturel non nul

p

, une relation entre

W_(2p + 1), W_(2p)

W_(2p - 1)

.
(d) En déduire :

lim_(n \to + \infty)(a_(2n))/(a_(2n + 1)) = 1

Qu'en est-il de :

lim_(n \to + \infty)(a_(2n - 1))/(a_(2n))?

(e) Montrer que la suite de terme général

(n + 1)a_n a_(n + 1)

est constante (on précisera la valeur de cette constante).
(f) Justifier que, lorsque l'entier

n

tend vers l'infini:

a_n \sim \sqrt(π/(2n))

(g) Déterminer la valeur du rayon de convergence de

\suma_n x^n

. On précisera le théorème utilisé.
(h) Montrer que, lorsque l'entier

p

tend vers l'infini :

1/p(4^(2p)(p!)^4)/(((2p)!)^2) \sim π

On suppose désormais que $λ$ est quelconque. A l'aide des questions 9 et 10 , déterminer le rayon de convergence de $\suma_n x^n$ .

Dans la première partie, on étudie des variantes, sous forme d'intégrales généralisées, des classiques intégrales de Wallis. On les retrouve en seconde partie, à travers l'étude cette fois d'une intégrale à paramètres vérifiant une équation différentielle, et pouvant aussi s'exprimer comme la somme d'une série entière. Ces intégrales, telles qu'exposées par le mathématicien anglais John Wallis (1616-1703), dans son livre

≪

Arithmetica infinitorum

≫

, concernaient initialement le calcul de

\int_0^1(1 - x^2)^n dx, n \in ℕ

, en lien avec l'aire du disque unité, ce qui conduit à une méthode permettant d'approximer le nombre transcendant

π

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths C banque PT 2019 ?

Il porte sur les intégrales généralisées et les intégrales à paramètre, les équations différentielles linéaires, les séries entières et les séries numériques.

Quelles parties du sujet maths C PT 2019 sont indépendantes ?

Le préambule sert d'outil pour la partie II. La partie I peut être traitée indépendamment de la partie II, mais la partie II réutilise le résultat de la partie I à la question 10 pour l'étude asymptotique des coefficients.

Le sujet maths C PT 2019 fait-il intervenir les intégrales de Wallis ?

Oui, le sujet s'appuie sur des variantes des intégrales de Wallis en partie I, puis retrouve les intégrales de Wallis classiques en partie II pour étudier l'équivalent des coefficients de la série entière.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

Il faut savoir étudier la convergence d'une intégrale généralisée, dériver une intégrale à paramètre, résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre, et déterminer un rayon de convergence de série entière.

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