Banque PT Mathématiques B PT 2025Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Trois exercices indépendants : étude d'une conique, équation différentielle du second ordre par l'algèbre linéaire, lignes de plus grande pente sur un cône et une surface de révolution

Le sujet se compose de trois exercices indépendants pondérés à environ 20 %, 30 % et 50 % du barème. Le premier exercice étudie et trace une conique donnée par son équation cartésienne. Le deuxième résout une équation différentielle linéaire du second ordre en s'appuyant sur des outils d'algèbre linéaire. Le troisième, en deux parties de longueur comparable, étudie les lignes de plus grande pente sur un cône puis sur une surface de révolution d'axe (Oz).

1Premier exercice : étude d'une coniqueDétermination de la matrice associée à une conique, de ses valeurs propres et sous-espaces propres, obtention d'une équation réduite et tracé de la courbe.
2Deuxième exercice : équation différentielle du second ordreRésolution d'une équation différentielle linéaire du second ordre en quatre parties, mêlant structure d'espace vectoriel des solutions, étude d'une matrice associée et résolution de systèmes linéaires.
3Troisième exercice : lignes de plus grande penteÉtude, en deux parties indépendantes, des lignes de plus grande pente d'abord sur un cône puis sur une surface de révolution d'axe (Oz).

Difficulté moyenne. Le rapport indique que la longueur raisonnable du sujet a permis à une grande majorité des candidats d'aborder la totalité des questions, avec seulement quelques questions plus difficiles, notamment dans la seconde partie du troisième exercice, permettant aux meilleurs candidats de se démarquer.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Repère orthonormé direct mal construit · Caractérisation des sous-espaces vectoriels non maîtrisée · Question de cours élémentaire peu réussie

Le sujet a permis de classer l'ensemble des candidats, le nombre de copies très faibles restant stable par rapport à l'année précédente. Le jury relève une rédaction inégale, en particulier sur l'usage des quantificateurs, et de nombreux points perdus par manque d'attention ou mauvaise lecture de l'énoncé.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Repère orthonormé direct mal construitExercice 1, Q3
Les candidats ont beaucoup de mal à trouver le repère demandé, notamment à produire deux vecteurs de même norme et orthonormés.
« De plus on a beaucoup de mal à trouver le repère R′ demandé (on rappelle qu’un rep` »
2
Caractérisation des sous-espaces vectoriels non maîtriséeExercice 2, partie I, Q2
Cette question de démonstration de cours est ratée : la caractérisation des sous-espaces vectoriels n'est pas connue de la plupart des candidats, qui invoquent à tort le théorème de superposition ou l'équation caractéristique.
« Cette question est ratée. Il s’agissait de démontrer un r ́ »
3
Question de cours élémentaire peu réussieExercice 2, partie I, Q3
Il n'y a que 45 % de réponses correctes à cette question de cours simple, malgré la consigne « sans démonstration » qui invitait pourtant à éviter les justifications fausses.
« Finalement, il n’y a que 45% de réponses correctes pour cette quest ion de »
4
Définition d'application linéaire mal connueExercice 2, partie III, Q11
La définition en jeu est mal connue, avec des phrases dénuées de sens comme « 0 appartient à phi » à la place d'une démonstration correcte.
« La définition est mal connue. De plus, si démontrer queφ(0) = 0 est inutile (mais correct), les phrases ≪ 0 ∈ φ »
5
Quantificateurs absents des rédactionsExercice 3, partie I, Q3
Les quantificateurs sont trop souvent absents des réponses rédigées dans cette partie du troisième exercice.
« Les quantificateurs sont trop souvent absents... »
6
Théorème de la bijection mal maîtriséExercice 3, partie II, Q2.b
Les hypothèses et la conclusion du théorème de la bijection, quel que soit le nom sous lequel les candidats le connaissent, sont très mal connues.
« Les hypothèses et la conclusion du théorème de la bijection (quelque soit le nom sous lequel les candidats »

Ce qui a été bien réussi

Les candidats ont su exploiter correctement les différentes méthodes possibles pour la première question du deuxième exercice.
Les candidats ont majoritairement bien défini les fonctions issues des équations de surfaces du troisième exercice afin d'éviter de les dériver directement.
La méthode de la question posée chaque année sur les équations de plans tangents commence à être largement acquise.

Conseils du jury

Encadrer les résultats et tracer les traits à la règle, en illustrant les réponses par un schéma dans un sujet de géométrie.
Lire attentivement l'énoncé pour éviter de perdre des points par manque d'attention.
Terminer les calculs jusqu'à une conclusion explicite plutôt que de s'arrêter à un système équivalent.
Annoncer clairement la méthode utilisée et vérifier que les propriétés invoquées sont adaptées à la situation.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Epreuve de Mathématiques B

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

À rendre avec la copie 1 feuille de papier millimétré.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte et les questions non correctement référencées ne seront pas notées. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est strictement interdit. Les surveillants et surveillantes se réservent le droit de les confisquer.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance. La présence d'une information d'identification en dehors du cartouche donnera lieu à un point de pénalité et la page concernée pourra être soustraite de la correction.

Dans cette épreuve, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.

Le sujet est composé de 3 exercices indépendants.

Premier exercice.

Dans cet exercice, l'espace euclidien

ℝ^2

est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct

R = (O; i⃗, j⃗)

On considère la conique

C

d'équation

2xy\sqrt3 - 2y^2 = 3

Ecrire la matrice $Q$ associée à l'équation de la conique $C$ .
Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $Q$ .
Donner une équation réduite de $C$ ainsi qu'un repère orthonormé direct $R^'$ dans lequel cette équation est obtenue.
Donner la nature de $C$
Déterminer les principaux éléments caractéristiques de $C$ (centre éventuel, sommets, asymptotes éventuelles).
Les coordonnées des points et les équations des éventuelles asymptotes seront données dans le repère $R^'$ puis dans le repère $R$
Tracer $C$ dans le repère $R$ sur la feuille de papier millimétrée fournie.

On mettra en évidence le repère

R^'

ainsi que les éléments déterminés dans la question 5.
Unité : 2 cm .

Deuxième exercice.

L'objectif de cet exercice est de résoudre sur

]1; + \infty[

, l'équation différentielle

(3x + 1)y + (2 - x)y^' - x/2(3x^2 + 2x - 2)y^('') = 3(x^2 + x + 1)

On note

(E_H)

l'équation différentielle homogène associée à

(E)

(3x + 1)y + (2 - x)y^' - x/2(3x^2 + 2x - 2)y^('') = 0

On désigne par

S

l'ensemble des solutions réelles de

(E)

sur

]1; + \infty[

et par

S_H

l'ensemble des solutions réelles de

(E_H)

sur

]1; + \infty[

Partie I

Démontrer que $\forallx \in ]1; + \infty[, 3x^2 + 2x - 2 \neq 0$ .
Démontrer que $S_H$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble $D_2$ des fonctions deux fois dérivables sur $]1; + \infty[$ .
Donner, sans démonstration, la dimension de $S_H$ .
Démontrer que la fonction $f_1$ définie sur $]1; + \infty[par\forallx \in ]1; + \infty[, f_1(x) = 1/x$ est solution de $(E_H)$ sur $]1; + \infty[$ .

Partie II

On considère la matrice

A = (1, 2, 0; 3, 0, 6; 0, 3, - 3)

.
L'espace vectoriel

ℝ^3

est muni de sa base canonique.
5. La matrice

A

est-elle inversible?
6. Déterminer le noyau de

A

.
7. Démontrer que l'image de

A

est le plan d'équation

3x = y + 2z

.
8. Sans résoudre les systèmes, déterminer à l'aide des questions précédentes quel est le nombre de solutions (éventuellement infini) de :

S_1 : AX = (3; - 1; 2) et S_2 : AX = 3(1; 1; 1).

Résoudre le système $S_2 : AX = 3(1; 1; 1)$ .

Partie III

L'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré au plus 2 est noté

ℝ_2[X]

et sa base canonique est

B = (1, X, X^2)

.
On considère la fonction

φ

définie sur

ℝ_2[X]

par

\forallP \in ℝ_2[X], φ(P) = (3X + 1)P + (2 - X)P^' - X/2(3X^2 + 2X - 2)P^('').

Calculer $φ(1), φ(X), φ(X^2)$ .
Démontrer que $φ$ est un endomorphisme de $ℝ_2[X]$ .
Déterminer la matrice de $φ$ dans la base $B$ .
En déduire, sans calcul, le noyau de $φ$ ainsi qu'une solution de l'équation

φ(P) = 3(X^2 + X + 1).

Partie IV

Déterminer $S_H$ puis $S$ .

Troisième exercice.

Dans cet exercice, l'espace euclidien

ℝ^3

est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct (

O; i⃗, j⃗, k⃗

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie I

On considère la surface

S

d'équation cartésienne :

x^2 = 2yz

.
On note

Γ

la courbe de représentation paramétrique :

{x(t) = \sqrt2cos(t); y(t) = sin(t); z(t) = 1/(sin(t)) - sin(t), t \in ]0; π/2[

De plus,

M(t)

désigne le point de

Γ

de paramètre

t

.
Enfin,

P_a

est le plan d'équation

z = a

où

a \in ℝ

Γ_a = S \cap P_a

(a) Justifier que le plan d'équation $x = 0$ est un plan de symétrie de la surface $S$ .
(b) Déterminer les points non réguliers de $S$ .
(c) Déterminer une équation du plan tangent à $S$ au point $A$ de coordonnées $(2, - 2, - 1)$ après avoir vérifié que $A \in S$ .
(d) Démontrer que l'ensemble des points (réguliers) de $S$ en lesquels le plan tangent à $S$ est parallèle au plan d'équation $2\sqrt3x + 2y + 3z = 0$ est une droite privée de $O$ dont on donnera un vecteur directeur.
(e) Existe-t-il un point régulier de $S$ en lequel le plan tangent à $S$ est orthogonal au vecteur $i⃗ + j⃗ + k⃗$ ?
Démontrer que la courbe $Γ$ est régulière.
Vérifier que $Γ \subset S$ .
Soit $t \in ]0; π/2[$ .
(a) Pour quelle valeur de $a$ (dépendante de $t$ ), a-t-on $M(t) \in Γ_a$ ?

Dans la suite de cette question,

a

prend cette valeur.
(b) Déterminer un vecteur directeur

v⃗(t)

de la tangente à

Γ

M(t)

.
(c) Vérifier que

M(t)

est un point régulier de

Γ_a

et déterminer un vecteur

u⃗(t)

directeur de la tangente à

Γ_a

M(t)

.
(d) Démontrer que

u⃗(t)

v⃗(t)

sont orthogonaux.

Partie II

On considère une fonction

φ

de classe

C^1

sur un ouvert

U

ℝ^2

, et deux fonctions

f

g

de classe

C^1

sur un intervalle ouvert

I

ℝ

.
On suppose que :

\forallt \in I, (f(t), g(t)) \in U

((\partialφ)/(\partialx)(f(t), g(t)), (\partialφ)/(\partialy)(f(t), g(t))) \neq (0, 0)

.
On note

Σ

la surface d'équation cartésienne

z = φ(x, y)

Γ

la courbe de représentation paramétrique

{x = f(t); y = g(t); z = Φ(t), t \in I

où

Φ(t) = φ(f(t), g(t))

.
On note

M(t)

le point de

Γ

de paramètre

t

et on suppose

f, g

φ

choisies telles que la courbe

Γ

soit régulière.
Enfin, on admet que

Γ \subset Σ

Soit $t \in I$ fixé.

On note

P_t

le plan d'équation

z = Φ(t)

Λ_t = Σ \cap P_t

.
(a) On considère un point régulier

A

Λ_t

de coordonnées

(x_0, y_0, z_0)

. Déterminer un vecteur tangent à

Λ_t

au point

A

.
(b) En déduire un vecteur tangent

u⃗(t)

Λ_t

au point

M(t)

.
(c) Déterminer un vecteur tangent

v⃗(t)

Γ

au point

M(t)

On donnera son expression d'abord à l'aide des fonctions

f, g

Φ

puis à l'aide des fonctions

f, g

φ

.
(d) Démontrer que les vecteurs

u⃗(t)

v⃗(t)

sont orthogonaux si et seulement si la relation suivante, notée (

R

) est vérifiée :

f^'(t)(\partialφ)/(\partialy)(f(t), g(t)) - g^'(t)(\partialφ)/(\partialx)(f(t), g(t)) = 0

Dans la suite de cette partie, on pose

U = ℝ^2

φ

est la fonction

(x, y) \mapsto h(x^2 + y^2)

où

h

est une fonction de classe

C^1

sur

ℝ^+

dont la dérivée ne s'annule pas sur

ℝ^+

.
On suppose de plus que

g

ne s'annule pas sur

I

.
On note

Q_α

le plan d'équation

z = α

Λ_α^' = Σ \cap Q_α

.
2. (a) Justifier que la fonction

h

est strictement monotone sur

ℝ^+

.
(b) Justifier que pour tout

α \in h(ℝ^+)

, il existe un unique

t_0 \in ℝ^+

tel que

h(t_0) = α

. Qu'en est-il si

α \notin h(ℝ^+)

?
(c) En déduire que pour tout

α \in h(ℝ^+), Λ_α^'

est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Qu'en est-il si

α \notin h(ℝ^+)

?
(d) Justifier que

Σ

est une surface de révolution dont on précisera l'axe.
3. Démontrer que la relation

(R)

est vérifiée pour tout

t

dans

I

si et seulement si la fonction

f/g

est constante sur

I

.
On suppose désormais que la relation

(R)

est vérifiée pour tout

t \in I

.
4. En déduire que

Γ

est incluse dans un plan dont une équation est de la forme :

ù x + λy = 0 où λ \in ℝ.

(a) Rappeler la définition d'une méridienne d'une surface de révolution.
(b) En déduire que la courbe $Γ$ est incluse dans une méridienne de $Σ$ .

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte l'épreuve de mathématiques B banque PT 2025 ?

Le sujet comporte trois exercices indépendants : l'étude d'une conique, la résolution d'une équation différentielle du second ordre par l'algèbre linéaire, et l'étude des lignes de plus grande pente sur un cône puis sur une surface de révolution.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths B banque PT ?

Une méconnaissance de la caractérisation des sous-espaces vectoriels, des repères orthonormés mal construits, des quantificateurs absents et une mauvaise maîtrise du théorème de la bijection.

L'épreuve de mathématiques B banque PT 2025 est-elle difficile ?

Le rapport la décrit comme d'une longueur raisonnable, abordée en totalité par la plupart des candidats, avec seulement quelques questions plus difficiles en fin de troisième exercice pour départager les meilleurs.

Faut-il bien maîtriser la réduction des matrices pour ce sujet de maths B banque PT ?

Oui, le premier exercice sur les coniques et une partie du deuxième exercice sur l'équation différentielle reposent sur le calcul de valeurs propres et de sous-espaces propres de matrices.

Pas de description pour le moment

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