Banque PT Mathématiques A PT 2021Sujet et rapport du jury

Pas encore noté

Explorer les annales

BanqueBanque PT Année2021 FilièrePT MatièreMathématiques

Annales Banque PT PT Mathématiques Banque PT PT 2021 PT Mathématiques Mathématiques 2021

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Corrigé : pas encore disponible

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille dont l'entête n'a pas été intégralement renseignée, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance

Probabilités

On étudie le processus de fonctionnement d'un appareil utilisé chaque jour dans une usine et susceptible de subir des pannes accidentelles. On fait les hypothèses suivantes:

Le comportement de l'appareil au jour $n + 1$ ne dépend que de son état au jour $n$ et pas des jours précédents.
Si l'appareil fonctionne le jour $n$ , il a une probabilité $α$ d'être en panne le jour $n + 1$ .
Si l'appareil est en panne au jour $n$ , il a une probabilité $β$ d'être réparé et de fonctionner le jour $n + 1$ .
On a $0 < α < 1$ et $β > 0$ .

Formellement, si l'on appelle

X_n

la variable aléatoire qui vaut 1 si l'appareil fonctionne le jour

n

et 0 si l'appareil est en panne au jour

n

, on a

ℙ(X_(n + 1) = 0|X_n = 1) = α,; ℙ(X_(n + 1) = 1|X_n = 0) = β.

On note $p_n = ℙ(X_n = 1)$ .
(a) Calculer $p_2$ en fonction de $p_1$ .
(b) Plus généralement, montrer que, pour tout $n \geq 1$ ,

p_(n + 1) = β + (1 - α - β)p_n

p_n

en fonction de

p_1

.
(d) Calculer

lim_(n \to + \infty)p_n

.
2. On suppose dans cette question que

p_1 = β/(α + β)

.
(a) Calculer la loi de

X_2

.
(b) Calculer la loi du couple (

X_1, X_2

).
(c) Calculer l'espérance et la variance de

X_1

et de

X_2

.
(d) Calculer la covariance entre

X_1

X_2

.
(e) Les variables

X_1

X_2

sont-elles indépendantes,?
3. On suppose maintenant que l'appareil est en fonctionnement le premier jour. On note

N

le numéro du jour où cet appareil tombe en panne pour la première fois. Montrer que

N - 1

suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.
4. On considère

Y_1

Y_2

deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre

p

.
(a) Quelle est la fonction génératrice de

Y_1

?
(b) En déduire la fonction génératrice de

Y_1 + Y_2

.
(c) On pose

Z = min(Y_1, Y_2)

. Calculer la fonction de répartition de

Z

. En déduire sa loi.
(d) On pose

T = max(Y_1, Y_2)

. Calculer la loi de

T

.
5. L'usine est équipée de deux appareils dont on suppose les comportements indépendants l'un de l'autre. On suppose que les deux appareils sont en fonctionnement le premier jour. Au bout de combien de jours en moyenne se produira la première panne?

Algèbre linéaire

On se place dans l'espace euclidien

ℝ^d(d \geq 2)

muni du produit scalaire usuel noté

⟨x, y⟩

entre les vecteurs

x

y

. Le vecteur nul de

ℝ^d

sera noté 0 .

Dans tout le problème, si

V

est un sous-espace vectoriel de

ℝ^d

, on note

V^*

l'ensemble

V∖{0}

f

est un endomorphisme de

ℝ^d

, pour tout entier

n \geq 1

, on note

f^n

la composée

n

-fois de l'application

f

f^n = f \circ f\dots \circ f_()_(n fois)

A

est une matrice de taille

n \times p

, on note

A^T

sa transposée.

Partie I

On considère la matrice $B$ suivante:

B = (1, - 3, - 1; - 3, 3, - 3; - 1, - 3, 1)

et on note

g

l'endomorphisme de

ℝ^3

canoniquement associé à

B

.
(a) Justifier l'existence d'une base orthonormée de

ℝ^3

dans laquelle la matrice de

g

est diagonale.
(b) Déterminer une telle base en rangeant les valeurs propres par ordre croissant. Dans la suite de cette partie, (

e_1, e_2, e_3

) désignera cette base.
(c) Soit

x = \sum_(i = 1)^3 x_i e_i

. Exprimer en fonction de

x_1, x_2, x_3

les quantités

⟨x, x⟩

⟨g(x), x⟩

puis

⟨g^n(x), x⟩

pour tout entier

n \geq 1

.
Dans la suite de cette partie, on notera

v_n(x) = ⟨g^n(x), x⟩

pour tout entier

n \geq 1

et tout vecteur

x \in ℝ^3

.
(d) Montrer que, pour tout

x \neq 0

, la suite

(v_n(x))_(n \geq 1)

est non nulle à partir d'un certain rang.
(e) Calculer, pour tout

x \in ℝ^3

tel que

x_3 \neq 0, lim_(n \to + \infty)(v_n(x))/(v_(n - 1)(x))

2. On considère maintenant la matrice

C

C = (1, - 2, - 2; - 2, 1, - 2; - 2, - 2, 1)

h

l'endomorphisme de

ℝ^3

canoniquement associé à

C

.
(a) Démontrer que

C

est diagonalisable dans la même base orthonormée

(e_1, e_2, e_3)

.
(b) Pour tout entier

n \geq 1

et tout

x \in ℝ^3

, on pose

w_n(x) = ⟨h^n(x), x⟩

. Calculer les limites suivantes

lim_(n \to + \infty)(w_n(e_1))/(w_(n - 1)(e_1)), lim_(n \to + \infty)(w_n(e_2))/(w_(n - 1)(e_2)), lim_(n \to + \infty)(w_n(e_3))/(w_(n - 1)(e_3))

D

des vecteurs

x

ℝ^3

pour lesquels la suite

(w_n(x))_(n \geq 1)

est non nulle à partir d'un certain rang.
(d) Déterminer un vecteur

x_0 \in D

pour lequel la suite

((w_n(x_0))/(w_(n - 1)(x_0)))_(n \geq 1)

ne converge pas.
(e) Calculer

lim_(n \to + \infty)(w_n(x))/(w_(n - 2)(x))

pour tout

x \in D

Partie II

Soit

A = (a_(ij))_(1 \leq i, j \leq d)

une matrice symétrique réelle d'ordre

d

f

l'endomorphisme de

ℝ^d

canoniquement associé à

A

. On note

λ_1, \dots, λ_d

les valeurs propres (comptées avec leur ordre de multiplicité) de

A

et on note (

e_1, \dots, e_d

) une base orthonormée de vecteurs propres associés.

On suppose maintenant que les valeurs propres sont rangées dans l'ordre des valeurs absolues croissantes

|λ_1| \leq |λ_2| \leq \dots \leq |λ_d|.

Pour tout entier

n \geq 1

et tout

x \in ℝ^d

, on note

u_n(x) = ⟨f^n(x), x⟩

et on note

D

l'ensemble des

x \in ℝ^d

pour lesquels la suite

(u_n(x))_(n \geq 1)

est non nulle à partir d'un certain rang.

On suppose que $|λ_(d - 1)| < |λ_d|$ . Montrer que, pour tout $x \in ℝ^d$ tel que $⟨x, e_d⟩ \neq 0$ ,

lim_(n \to + \infty)(u_n(x))/(u_(n - 1)(x)) = λ_d.

On suppose maintenant que

|λ_k| < |λ_d| et λ_(k + 1) = \dots = λ_d

pour un certain

k < d

. Montrer que la limite précédente est encore valable pour tout

x

tel que

⟨x, e_d⟩ \neq 0

.
3. On suppose maintenant que

λ_(d - 1) = - λ_d \neq 0

. Montrer que l'on peut trouver un

x \in D

tel que la suite

(u_n(x)/u_(n - 1)(x))_(n \geq 1)

ne converge pas.

Partie III

Soit

A

une matrice symétrique réelle d'ordre

d

, non nulle, et

f

l'endomorphisme de

ℝ^d

canoniquement associé à

A

. On note

λ_1, \dots, λ_d

les valeurs propres (comptées avec leur ordre de multiplicité) de

A

que l'on suppose rangées par ordre croissant:

λ_1 \leq λ_2 \leq \dots \leq λ_d,

et on note

(e_1, \dots, e_d)

une base orthonormée de vecteurs propres associés.
Pour tout

1 \leq k \leq d

, on note

E_k = Vect(e_1, \dots, e_k) et F_k = Vect(e_k, \dots, e_d).

Montrer que pour tout $x \in F_k^*$ , on a $(⟨f(x), x⟩)/(⟨x, x⟩) \geq λ_k$ .
Montrer que $min_(x \in F_k^*)(⟨f(x), x⟩)/(⟨x, x⟩) = λ_k$ .
Montrer que $max_(x \in E_k^*)(⟨f(x), x⟩)/(⟨x, x⟩) = λ_k$ .
Pour tout entier $k, 1 \leq k \leq d$ , on note $V_k$ l'ensemble de tous les sous-espaces vectoriels de $ℝ^d$ de dimension $k$ .
(a) Montrer que si $V ∈ V_k, V ∩ F_k ≠ {0}$ .
(b) En déduire que, si $V \in V_k, max_(x \in V^*)(⟨f(x), x⟩)/(⟨x, x⟩) \geq λ_k$ .
(c) Montrer que $min_(V \in V_k)[max_(x \in V^*)(⟨f(x), x⟩)/(⟨x, x⟩)] = λ_k$ .
(d) Montrer que $max_(V \in V_(d - k + 1))[min_(x \in V^*)(⟨f(x), x⟩)/(⟨x, x⟩)] = λ_k$ .
Soit $Q$ une matrice de taille $d \times (d - 1)$ telle que $Q^T \cdot Q = I_(d - 1)$ et soit $q$ l'application linéaire de $ℝ^(d - 1)$ dans $ℝ^d$ canoniquement associée à $Q$ . On pose alors $A^' = Q^T \cdot A \cdot Q$ et $f^'$ l'endomorphisme de $ℝ^(d - 1)$ canoniquement associé à $A^'$ .
(a) Montrer que $A^'$ est encore une matrice symétrique réelle. On note alors $λ_1^', \dots, λ_(d - 1)^'$ ses valeurs propres comptées avec leur ordre de multiplicité et rangées dans l'ordre croissant, et ( $e_1^', \dots, e_(d - 1)^'$ ) une base orthonormée vecteurs propres associés.
(b) Soit $x, y$ deux vecteurs de $ℝ^(d - 1)$ et $X, Y$ les matrices colonnes de leurs coefficients dans la base canonique.
i. Rappeler l'expression de $⟨x, y⟩$ en fonction de $X$ et $Y$ .
ii. Montrer que $⟨q(x), q(y)⟩ = ⟨x, y⟩$ .
iii. On pose $E_k^' = Vect(e_1^', \dots, e_k^')$ . Calculer $dimq(E_k^')$ .
(c) En appliquant le résultat de la question 3 à la matrice $A^'$ , montrer que

λ_k^' = max_(z \in q(E_k^')^*)(⟨f(z), z⟩)/(⟨z, z⟩)

(d) Déduire de la question 4c que

λ_k^' \geq λ_k

.
(e) Montrer de façon similaire en utilisant maintenant la question 4 d que

λ_k^' \leq λ_(k + 1)

Fin de l'épreuve

Pas de description pour le moment

Commentaires• Banque PT Mathématiques A PT 2021

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...