Banque PT Mathématiques C PT 2011Sujet et corrigé

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Soit n_0 un entier naturel non nul, et f une fonction à valeurs positives, décroissante sur [n_0, + ∞[.
a. Montrer que, pour tout entier naturel k ≥ n_0 + 1 :

( on accompagnera la réponse d'une illustration graphique )
b. En déduire que, pour tout entier n ≥ n_0 + 1 :

c. Comparer la convergence de la série (∑_(n ≥ n_0)f(n)) et de l'intégrale ∫_(n_0)^(+ ∞)f(t)dt.

Pour t ≥ e, on considère la fonction f définie par : f(t) = 1/(t(lnt)^2).
a. Après avoir justifié la dérivabilité de f sur [e, + ∞[, donner la valeur de f^′(t).
b. Etudier les variations de f sur [e, + ∞[.
c. Donner l'allure de la courbe représentative de f sur [e, + ∞[.
d. Déterminer une primitive de f sur [e, + ∞[.

Que peut-on en déduire pour la convergence de l'intégrale ∫_e^(+ ∞)(dt)/(t(lnt)^2) ?
e. Que peut-on déduire du d. pour la convergence de la série (∑_(n ≥ 2)1/(n(lnn)^2)) ?
2. Pour t ≥ e, on considère la fonction g définie par : g(t) = 1/(t^2(lnt)^2).
a. Après avoir justifié la dérivabilité de g sur [e, + ∞[, donner la valeur de g^′(t).
b. Etudier les variations de g sur [e, + ∞[
c. Donner l'allure de la courbe représentative de g sur [e, + ∞[.
d. L'intégrale ∫_e^(+ ∞)g(t)dt est-elle convergente ?
e. Que peut-on déduire du d. pour la convergence de la série (∑_(n ≥ 2)1/(n^2(lnn)^2)) ?
3. On considère la suite (u_n)_(n ≥ 1), définie par: u_n = ∑_(p = 1)^n(lnp)/p − 1/2(lnn)^2.
a. Pour tout entier n ≥ 1, calculer : ∫_n^(n + 1)(lnt)/tdt.
b. On admet, dans ce qui suit, que la fonction t ↦ (lnt)/t est décroissante sur [e, + ∞[ Etudier les variations de la suite (u_n)_(n ≥ 3).
c. Montrer que, pour, tout entier n ≥ 1 : u_n ≥ (ln2 − (ln3)^2)/2.
d. Montrer que la suite (u_n)_(n ≥ 1) converge.
e. Montrer que, pour, tout entier n ≥ 1 : (u_n)/(lnn) + (lnn)/2 ≤ ∑_(p = 1)^n 1/p, et conclure sur la convergence de la série de terme général 1/n.
4. On considère la suite (H_n)_(n ≥ 1), définie par : H_n = ∑_(p = 1)^n 1/p.
a. Montrer que, pour tout entier n ≥ 1 : ln(n + 1) ≤ H_n ≤ 1 + lnn.
b. Montrer que la suite (H_n − lnn)_(n ≥ 1) converge (on pourra étudier ses variations).

On notera ℓ sa limite.
c. Pour tout entier n ≥ 1, on pose : γ_n = H_n − lnn.

Déterminer un équivalent, lorsque n tend vers + ∞, de γ_(n + 1) − γ_n.
Que peut-on en déduire pour la convergence de la série (∑_(n ≥ 1)(γ_(n + 1) − γ_n))?
Montrer que l'on peut ainsi retrouver le résultat du b.
d. Montrer que : ∑_(n = 2)^(+ ∞)(1/n − lnn/(n − 1)) = ℓ − 1.
e. Montrer que, pour tout entier n ≥ 1 : γ_n − ℓ = ∑_(k = n + 1)^(+ ∞)(lnk/(k − 1) − 1/k).
f. Soit ε un réel strictement positif.

Montrer qu'il existe un entier naturel non nul n_0 tel que, pour tout entier k ≥ n_0 :

g. Montrer que, pour tout entier n ≥ n_0 :

h. Déterminer : lim_(n → + ∞)(H_n − lnn − ℓ − 1/(2n)).

Soient h et β deux réels, avec h > 0.

On considère la suite (v_n)_(n ≥ 2) définie par : v_n = 1 − ([ln(n + 1)]^2)/(lnnln(n + 2)).
a. La suite (v_n)_(n ≥ 2) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?
b. Vérifier que, pour tout entier n ≥ 2 : v_n = 1 − ((1 + (ln(1 + 1/n))/(lnn))^2)/(1 + (ln(1 + 2/n))/(lnn)),
c. Déterminer un réel a tel que, lorsque n tend vers + ∞ : |v_n − a/(n^2 lnn)| ≤ b/(n^2(lnn)^2). où b est un réel positif que l'on ne cherchera pas à déterminer.
Que peut-on en déduire pour la série (∑_(n ≥ 2)v_n) ?

Les séries de terme général 1/(n^α(lnn)^β) sont appelées Séries de Bertrand (la série harmonique (∑_(n ≥ 1)1/n) est un cas particulier). Elles ont de nombreuses applications en mécanique statistique.