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Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultat non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Le problème se compose de 4 parties. Les 3 premières parties sont totalement indépendantes entre elles. La quatrième partie utilise les résultats des parties précédentes mais peut se traiter en admettant ces résultats.
Si n est un entier, on note M_n(ℝ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. On note I_n la matrice identité de cet ensemble.
Si A est une matrice, on note ^t A sa transposée. Tr(A) désigne la trace de A.
On identifie dans tout ce problème ℝ^n avec l'ensemble des matrices colonnes à n lignes.
Si E et F sont deux espaces vectoriels sur ℝ, on note L(E, F) l'espace des applications linéaires de E dans F. On note E^∗ l'espace L(E, ℝ) des formes linéaires sur E.
Dans tout le problème, pour A ∈ M_n(ℝ) on considère les applications suivantes :
φ_A : M_n(ℝ), ⟶ M_n(ℝ); M, ⟼ AM; γ_A : M_n(ℝ) ⟶ T_A : M_n(ℝ) ⟶ M_n(ℝ); M, ⟼ AM − MA

Questions préliminaires

  1. Vérifier que, pour toute matrice A ∈ M_n(ℝ), les applications φ_A, τ_A et γ_A sont linéaires.
  2. Donner la dimension de M_n(ℝ), et celle de M_n(ℝ)^∗.
  3. Enoncer le théorème de la base incomplète.

Partie I : Un exemple

Dans cette partie, on pose
A = (1, 3; 0, 2) et B = (1, 0, 3, 0; 0, 1, 0, 3; 0, 0, 2, 0; 0, 0, 0, 2)
  1. La matrice A est-elle diagonalisable?
  2. La matrice B est-elle diagonalisable? Si oui, préciser une base de vecteurs propres.
  3. On pose
E_(11) = (1, 0; 0, 0), E_(12) = (0, 1; 0, 0), E_(21) = (0, 0; 1, 0), E_(22) = (0, 0; 0, 1).
(a) Vérifier que la famille E = (E_(11), E_(12), E_(21), E_(22)) est une base de M_2(ℝ).
(b) Calculer φ_A(E_(ij)) pour tout 1 ≤ i, j ≤ 2.
(c) Donner la matrice de φ_A dans la base E.
(d) L'endomorphisme φ_A est-il diagonalisable ? Si oui, préciser ses valeurs propres et une base de vecteurs propres de φ_A (on rappelle qu'ici, un vecteur propre sera une matrice de M_2(ℝ) ).

Partie II : Réduction de l'endomorphisme φ_A

On se fixe maintenant n ∈ ℕ^∗ et A ∈ M_n(ℝ).
  1. Soit λ ∈ ℝ tel qu'il existe une matrice M ∈ M_n(ℝ) non nulle vérifiant φ_A(M) = λM. Montrer que la matrice A − λI_n n'est pas inversible.
  2. Montrer que si λ ∈ ℝ est une valeur propre de φ_A, c'est également une valeur propre de A.
  3. Soit μ une valeur propre de A, X un vecteur colonne non nul tel que AX = μX. Soit M une matrice dont une colonne est égale à X et toutes les autres colonnes sont nulles. Montrer que M est un vecteur propre de φ_A.
  4. Donner l'ensemble des valeurs propres de φ_A.
  5. Montrer que si A est diagonalisable, φ_A l'est également (on pourra, à partir d'une base de vecteurs propres de A, construire une base de vecteurs propres de φ_A ).

Partie III : Un théorème de factorisation

Soient E, F et G trois espaces vectoriels de dimension finie, u ∈ L(E, F) et v ∈ L(E, G). Le but de cette partie est de montrer que
Ker(u) ⊂ Ker(v) ⟺ ∃w ∈ L(F, G), v = w ∘ u.
  1. On suppose qu'il existe w ∈ L(F, G) telle que v = w ∘ u.
Montrer que Ker(u) ⊂ Ker(v).
2. On suppose que dimE = n, dimker(u) = n − p et dimF = r.
(a) Justifier pourquoi on peut choisir (e_1, e_2, …, e_n) base de E de sorte que (e_(p + 1), …, e_n) soit une base de Ker(u).
Quelle est alors la dimension de Im(u) ?
(b) Pour tout 1 ≤ i ≤ p, on pose f_i = u(e_i). Montrer que la famille (f_i)_(1 ≤ i ≤ p) est une base de Im(u).
(c) On complète la famille précédente de sorte que (f_i)_(1 ≤ i ≤ r) soit une base de F. On définit alors w ∈ L(F, G) par
w(f_i) = {v(e_i), si 1 ≤ i ≤ p; 0, sinon
Montrer que, si Ker(u) ⊂ Ker(v), alors v = w ∘ u.

Partie IV : Une caractérisation des matrices nilpotentes

Soit A ∈ M_n(ℝ). On rappelle que la matrice A est dite nilpotente s'il existe un entier p tel que A^p = 0.
  1. Montrer que si λ est une valeur propre (éventuellement complexe) de A, alors, pour tout entier naturel non nul k, λ^k est une valeur propre de A^k.
  2. On suppose A nilpotente.
    (a) Montrer que la seule valeur propre de A est 0 .
    (b) Montrer que Tr(A) = 0.
  3. On suppose toujours A nilpotente.
    (a) Soit M une matrice telle que AM = MA. Montrer que la matrice AM est encore nilpotente.
    (b) En déduire que Kerγ_A ⊂ Kerτ_A.
    (c) i. Soit K = (k_(i, j))_(1 ≤ i, j ≤ n) ∈ M_n(ℝ). Vérifier que
Tr(^t KK) = ∑_(i = 1)^n∑_(j = 1)^n k_(ij)^2
ii. Pour deux matrices M et N de M_n(ℝ), on pose
⟨M, N⟩ = Tr(^t MN)
Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur M_n(ℝ).
iii. En déduire que, pour toute forme linéaire φ ∈ M_n(ℝ)^∗, il existe une matrice U ∈ M_n(ℝ) telle que
∀M ∈ M_n(ℝ), φ(M) = Tr(UM)
iv. En déduire, en utilisant les résultats de la question 3 b de cette partie et des résultats de la partie III, qu'il existe une matrice B telle que τ_A = τ_B ∘ γ_A.
(d) Montrer que A = BA − AB.
4. On suppose maintenant qu'il existe une matrice B telle que A = BA − AB.
(a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul k, BA^k − A^k B = kA^k.
(b) A quelle condition la matrice A^k est-elle un vecteur propre de γ_B ?
(c) En déduire que A est nilpotente.

FIN DE L®PREUVE.

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