Corrigé détaillé Banque PT Physique A PT 2021

Soit un point M extérieur à la Terre, repéré par ses coordonnées sphériques (r, \theta, \varphi) associées à la base orthonormée locale (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_\varphi) d'origine O, centre de la Terre.

1. Symétries et invariances

• Invariances : La Terre étant modélisée par une sphère de centre O et de masse volumique \rho uniforme, la distribution de masse présente une symétrie sphérique. Elle est donc invariante par toute rotation autour de O, ce qui implique l'indépendance vis-à-vis des angles \theta et \varphi. Le champ ne dépend que de la distance radiale r :

  \vec{\mathcal{G}}(M) = \vec{\mathcal{G}}(r)

• Symétries : Tout plan contenant l'axe (OM) est un plan de symétrie matérielle pour la distribution sphérique. Le champ de gravitation (champ de vecteurs polaires) appartient à l'intersection de tous ces plans de symétrie, c'est-à-dire à la droite (OM). Le champ est donc purement radial :

  \vec{\mathcal{G}}(M) = \mathcal{G}(r) \, \vec{u}_r

2. Théorème de Gauss gravitationnel Par analogie avec l'électrostatique (\mathrm{div}\,\vec{\mathcal{G}} = -4\pi G \rho), le flux sortant du champ de gravitation à travers une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur s'écrit :

On choisit comme surface de Gauss la sphère \Sigma de centre O et de rayon r > R_T (où R_T est le rayon de la Terre). L'élément de surface orienté vers l'extérieur est \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{u}_r. Le flux à travers \Sigma vaut :

Comme le point M est à l'extérieur de la Terre (r > R_T), la masse intérieure à la surface de Gauss est la masse totale de la Terre : M_{\mathrm{int}} = M_T. On en déduit :

Le champ de gravitation à l'extérieur de la Terre s'écrit donc :

La Lune, de centre C_L et de masse m_L, est assimilée à une distribution sphérique de masse ou à un point matériel situé en C_L, à la distance D_{TL} = OC_L du centre O de la Terre.

En appliquant le résultat établi à la question Q1 pour le champ gravitationnel créé par la Terre en C_L, la force gravitationnelle exercée par la Terre sur la Lune s'écrit :

Soit, en introduisant le vecteur unitaire radial \vec{u}_r = \dfrac{\vec{OC_L}}{D_{TL}} dirigé de la Terre vers la Lune :

Référentiel d'étude et PFD :

• On se place dans le référentiel géocentrique, dont l'origine est le centre de masse O de la Terre et dont les trois axes pointent vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes. Ce référentiel est supposé galiléen à l'échelle de la révolution de la Lune.
• On modélise la Lune par son centre de masse C_L de masse m_L, soumis uniquement à l'attraction gravitationnelle de la Terre (en négligeant l'influence gravitationnelle du Soleil et des autres planètes).

• Le principe fondamental de la dynamique (PFD) s'écrit alors :

  m_L \vec{a}(C_L) = \vec{F}_{T \to L}

Caractère uniforme du mouvement : La trajectoire étant circulaire de rayon D_{TL}, introduisons la base de Frenet (\vec{T}, \vec{N}) liée à C_L, où \vec{T} est le vecteur unitaire tangent orienté dans le sens du mouvement et \vec{N} = -\vec{u}_r le vecteur unitaire normal dirigé vers le centre O. L'accélération s'exprime par :

D'après la question Q2, l'expression de la force gravitationnelle est :

La projection du PFD sur l'axe tangentiel \vec{T} donne :

La vitesse orbitale scalaire v étant constante, le mouvement circulaire de la Lune est uniforme.

Expression de la période de révolution T_L : La projection du PFD sur l'axe normal \vec{N} fournit :

La Lune effectue un tour complet de périmètre 2\pi D_{TL} à la vitesse constante v pendant la durée T_L :

On en déduit l'expression de la période :

D'après le résultat de la question Q3, la période orbitale de la Lune s'écrit :

En élevant cette relation au carré et en divisant par D_{TL}^3, on obtient :

Il s'agit de la troisième loi de Kepler appliquée à une orbite circulaire de rayon D_{TL} : le rapport T^2/R^3 ne dépend que de la constante de gravitation universelle G et de la masse du corps attracteur M_T, indépendamment de la masse de l'astre en orbite.

Ordre de grandeur de T_L :

Exprimons la distance Terre-Lune en unités SI :

Calculons d'abord le produit gravitationnel G M_T :

Évaluons ensuite le cube de la distance Terre-Lune :

D'où le rapport :

En prenant la racine carrée (\sqrt{14} \approx 3{,}7) :

Sachant qu'un jour compte 86\,400\text{ s} \approx 8{,}6 \times 10^4\text{ s} :

Lors de la nouvelle lune, la Lune est située entre le Soleil et la Terre : on dit que la Lune est en conjonction avec le Soleil.

Les trois astres sont approximativement alignés selon l'ordre :

Dans cette configuration :

• la face éclairée de la Lune est tournée vers le Soleil (à l'opposé de la Terre) ;
• la face sombre (non éclairée) de la Lune est tournée vers la Terre.

La Lune est donc invisible depuis la Terre à l'œil nu.

Dans un calendrier lunaire, chaque mois correspond à une lunaison de durée moyenne :

Une année constituée de 12 mois lunaires a donc pour durée totale :

En comparaison, le calendrier grégorien est un calendrier solaire fondé sur l'année tropique, dont la durée moyenne est de :

L'écart entre l'année grégorienne et l'année lunaire de 12 mois vaut ainsi :

L'année lunaire étant plus courte d'environ 11 jours que l'année solaire, le début de chaque nouvelle année lunaire avance d'environ 11 jours par rapport aux dates du calendrier grégorien. Par conséquent, le nouvel an lunaire ne tombe jamais le même jour grégorien d'une année sur l'autre.

Un exemple d'un tel calendrier purement lunaire est le calendrier musulman (ou calendrier hégirien), qui comporte 12 mois lunaires alternant entre 29 et 30 jours (354 ou 355 jours par an) sans ajout de mois intercalaire, ce qui fait dériver les fêtes religieuses à travers toutes les saisons sur un cycle d'environ 33 ans.

On étudie la masse ponctuelle m_p dans le référentiel terrestre supposé galiléen, repérée en coordonnées polaires dans le plan (x,Oz) par le vecteur position :

où la base polaire (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta) est orientée de façon à ce que :

L'axe fixe de rotation est l'axe passant par O, orienté selon le vecteur unitaire orthogonal au plan du mouvement \vec{u}_y = \vec{u}_z \times \vec{u}_x = \vec{u}_r \times \vec{u}_\theta.

Le bilan des actions mécaniques extérieures appliquées à la masse m_p comprend :

• le poids : \vec{P} = m_p\vec{g} = m_p g\,\vec{u}_z = m_p g (\cos\theta\,\vec{u}_r - \sin\theta\,\vec{u}_\theta) ;
• la tension de la tige : \vec{T} = -T\,\vec{u}_r (la liaison en O étant sans frottement et la tige de masse négligeable, la force est purement axiale).

Calculons les moments de ces forces par rapport au point fixe O :

Le moment cinétique de la masse m_p par rapport à O s'écrit, avec \vec{v} = l \dot{\theta}\,\vec{u}_\theta :

En appliquant le théorème du moment cinétique en O dans le référentiel galiléen :

ce qui donne en projection sur l'axe \vec{u}_y :

En simplifiant par m_p l^2 \neq 0, on obtient l'équation différentielle régissant le mouvement :

D'après la question Q7, l'équation différentielle exacte du mouvement est :

Dans le cadre de l'approximation des petites oscillations (\theta \ll 1\text{ rad}), on effectue un développement limité à l'ordre 1 : \sin\theta \approx \theta. L'équation différentielle linéarisée s'écrit alors :

Il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre :

La forme générale de la solution est :

où A et B sont des constantes réelles déterminées par les conditions initiales :

• À t = 0, le pendule est écarté d'un angle \theta_0 : \theta(0) = A = \theta_0.
• Le pendule est lâché sans vitesse initiale : \dot{\theta}(0) = B\omega_0 = 0 \implies B = 0.

On en déduit l'équation horaire du mouvement :

D'après l'équation horaire établie à la question Q8, la pulsation propre des petites oscillations est \omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{l}}. La période des oscillations s'écrit donc :

Pour obtenir une période T = 2\text{ s}, on isole la longueur l :

Application numérique : avec g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et \pi^2 \approx 9{,}87, on obtient :

Une période complète correspond à un aller-retour du balancier. La durée d'une alternance (un aller simple d'un point d'élongation maximale à l'autre, ou l'intervalle entre deux passages consécutifs par la position d'équilibre) vaut donc :

On dit que le pendule « bat la seconde » car chaque demi-oscillation (chaque battement ou basculement de l'échappement) dure précisément une seconde.

Le pendule pesant célèbre permettant de mettre en évidence la rotation de la Terre est le pendule de Foucault, conçu et installé par Léon Foucault au Panthéon de Paris en 1851.

Dans le référentiel terrestre lié au laboratoire, qui n'est pas strictement galiléen du fait de la rotation propre de la Terre autour de l'axe des pôles (à la vitesse angulaire \vec{\Omega}_{\text{T}}), la masse du pendule est soumise à la force d'inertie de Coriolis :

où \vec{v}_{\text{r}} est la vitesse de la masse dans le référentiel du laboratoire.

Cette force dévie constamment la trajectoire de l'oscillation vers la droite dans l'hémisphère Nord, ce qui provoque une précession (rotation continue) du plan d'oscillation par rapport au sol. À une latitude \lambda, la vitesse angulaire de rotation du plan d'oscillation vaut :

ce qui correspond à une période de rotation complète du plan d'oscillation égale à :

1. Objet familier : Ce type d'oscillateur correspond à une horloge à balancier (ou pendule de cheminée, comtoise, horloge à balancier murale).

2. Inconvénients pour une référence de temps portable : Un tel oscillateur présente plusieurs inconvénients majeurs pour être transporté sur soi (dans une montre de poche ou de poignet) :

   • Sensibilité à l'orientation et à la gravité : la force de rappel est la pesanteur terrestre. L'horloge nécessite impérativement d'être maintenue verticale et fixe dans le référentiel terrestre ;
   • Sensibilité aux accélérations d'entraînement : lors des déplacements du porteur, les forces d'inertie viennent perturber ou bloquer le mouvement d'oscillation ;
   • Encombrement et masse : d'après le résultat de la question précédente (Q9), un pendule battant la seconde mesure l \approx 1\text{ m}, ce qui est incompatible avec la miniaturisation requise pour un objet portable.

On étudie le balancier, solide indéformable en rotation autour de l'axe fixe (Oz), dans un référentiel galiléen.

On introduit le moment d'inertie du balancier par rapport à l'axe (Oz), noté J (exprimé en \mathrm{kg\cdot m^2}). Le moment cinétique scalaire du balancier par rapport à cet axe s'écrit :

où \dot{\theta} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} est la vitesse angulaire de rotation.

Bilan des actions mécaniques appliquées au balancier et de leurs moments par rapport à l'axe (Oz) :

• Le couple de rappel exercé par le ressort spiral, dont le moment scalaire selon Oz est donné par l'énoncé : \mathcal{M}_r = -C\theta (avec C > 0).
• Les actions de liaison sur l'axe de rotation : la liaison pivot étant sans frottement, le moment correspondant selon l'axe est nul (\mathcal{M}_{\text{liaison}} = 0).
• Le poids du balancier : le centre de gravité étant situé sur l'axe de rotation (Oz) (et l'axe étant vertical), le moment du poids par rapport à (Oz) est identiquement nul (\mathcal{M}_{\text{poids}} = 0).

D'après le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe fixe (Oz) :

ce qui conduit à l'équation différentielle :

D'après l'équation différentielle obtenue à la question Q12 :

Il s'agit de l'équation d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre :

La solution générale s'écrit sous la forme :

où A et B sont des constantes réelles fixées par les conditions initiales :

On en déduit l'expression de la position angulaire en fonction du temps :

La période T_0 du mouvement harmonique est alors donnée par :

soit :

Le système d'échappement à ancre remplit deux rôles fondamentaux et indissociables dans une pièce d'horlogerie mécanique :

1. L'entretien des oscillations (apport d'énergie) : en réalité, le balancier subit des frottements mécaniques et aérodynamiques inévitables. À chaque alternance, la roue d'échappement (entraînée par la réserve d'énergie : ressort moteur ou poids) donne une brève impulsion mécanique à l'ancre, qui la transmet au balancier. Cet apport compense exactement l'énergie dissipée par frottement et maintient l'amplitude des oscillations constante.
2. Le cadencement et le comptage du temps : en oscillant, l'ancre bloque puis libère dent par dent la roue d'échappement au rythme précis imposé par la période propre T_0 du balancier-spiral. Ce mécanisme empêche le rouage moteur de se dérouler en roue libre et permet d'entraîner les aiguilles à une vitesse moyenne rigoureusement constante, réalisant ainsi la mesure du temps écoulé (le fameux « tic-tac » de la montre).

Pour un écoulement vérifiant certaines hypothèses, la relation de Bernoulli s'écrit le long d'une même ligne de courant reliant deux points 1 et 2 :

où P désigne la pression statique, \rho la masse volumique du fluide, v la vitesse de la particule fluide, g l'accélération de la pesanteur et z l'altitude mesurée selon un axe vertical ascendant.

Les conditions de validité de cette relation sont :

1. Écoulement stationnaire (indépendant du temps) ;
2. Fluide incompressible et homogène (\rho = \text{cte}) ;
3. Fluide parfait (viscosité négligeable, absence de frottements visqueux) ;
4. Forces de volume dérivant d'une énergie potentielle (ici la pesanteur, supposée uniforme, avec l'axe (Oz) vertical ascendant) ;
5. Absence de transfert de travail mécanique entre le fluide et l'extérieur (pas de machine telle qu'une pompe ou une turbine sur le tronçon de ligne de courant considéré).

Comportement de l'eau dans le siphon :

• Lorsque le niveau d'eau dans le réservoir dépasse la cote z_B, l'eau pénètre dans la branche montante (branche BC) du siphon.
• La sortie D étant à l'air libre, l'air résiduel dans la branche descendante est à la pression atmosphérique P_0. En régime quasi-statique, le principe des vases communicants s'applique : la surface libre dans la branche BC s'élève donc en continu et se situe à la même hauteur z(t) que celle du réservoir.
• Tant que la cote z reste inférieure à z_C, le sommet du siphon n'est pas franchi : le siphon n'est pas amorcé et aucun débit ne sort en D (D_s = 0).

Approximation :

• La section du tube du siphon est négligeable devant celle du réservoir (S_t \ll S_r).
• Le volume d'eau contenu dans la branche du siphon, V_{\text{siphon}} = S_t(z - z_B), est donc négligeable devant le volume d'eau dans le réservoir, V_{\text{réservoir}} = S_r(z - z_B).

• On peut ainsi considérer que la section effective de remplissage est simplement la section du réservoir :

  \boxed{S_r + S_t \approx S_r}

  La totalité du débit d'entrée D_e contribue ainsi à l'élévation du niveau dans la seule cuve principale.

Pendant la phase de remplissage (z_B \le z < z_C), le siphon n'est pas encore amorcé : aucun écoulement ne sort en D, le débit sortant est donc nul.

Le fluide étant incompressible, le volume d'eau entrant dans le système entre les instants t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

Ce volume se répartit entre le réservoir principal et la branche montante du siphon. En vertu du principe des vases communicants et de l'approximation S_r \gg S_t établie à la question Q16, on a :

On en déduit l'équation différentielle régissant la hauteur d'eau z(t) :

Le débit d'entrée D_e et la section S_r étant constants, la vitesse de progression de la surface libre v_A = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} est constante. L'intégration immédiate avec la condition initiale z(0) = z_B donne :

D'après le résultat de la question Q17, le niveau d'eau dans le réservoir au cours de la phase de remplissage suit la loi horaire :

L'instant t_1 correspond au moment où la surface libre atteint la cote haute z_C, soit z(t_1) = z_C. On en déduit directement :

ce qui conduit à l'expression de la durée de remplissage t_1 :

Lorsque le niveau de l'eau dans le réservoir atteint la cote critique z = z_C :

• l'eau franchit le sommet du coude du tube en C et emplit entièrement la branche descendante ;
• le siphon s'amorce : une continuité de la colonne d'eau s'établit sur l'ensemble du conduit BCD ;
• un écoulement vidangeur se déclenche par la section de sortie en D, initiant la phase de vidange du réservoir.

Le système se trouve alors dans la configuration représentée ci-dessous, le siphon débitant de l'eau en D sous l'action combinée de la gravité et de la dépression créée dans le coude.

Pendant la phase de vidange, l'écoulement varie suffisamment lentement pour être décrit dans l'approximation des écoulements quasi-stationnaires. Le fluide (l'eau) est incompressible et non visqueux, soumis au seul champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\vec{u}_z.

Appliquons la relation de Bernoulli (établie à la question Q15) le long d'une ligne de courant reliant un point A de la surface libre du réservoir (à la cote z) à un point de la section de sortie D du siphon (à la cote z_D = 0) :

Précisons les conditions aux limites :

• La surface libre A et la sortie D débouchent toutes deux à l'atmosphère, de sorte que P_A = P_D = P_{\text{atm}}.
• Les cotes valent respectivement z_A = z et z_D = 0.

L'équation se simplifie ainsi en :

Par conservation du débit volumique du fluide vidangé, la vitesse à la surface libre v_A et la vitesse de sortie v_D sont reliées par :

Puisque S_r \gg S_t, on a v_A \ll v_D, ce qui permet de négliger l'énergie cinétique à la surface libre devant celle en sortie (v_A^2 \ll v_D^2).

Il vient alors immédiatement :

Soit finalement :

Le débit volumique D_t traversant la section de sortie du siphon au point D, d'aire S_t, s'exprime par le produit de cette section par la vitesse d'écoulement v_D (supposée uniforme sur la section droite du tube) :

En utilisant l'expression de la vitesse v_D établie à la question Q20, il vient directement :

Le fluide étant incompressible, le volume d'eau présent dans le réservoir à l'instant t s'écrit :

en négligeant le volume d'eau contenu dans la branche montante du siphon devant celui du réservoir principal puisque S_r \gg S_t.

Pendant la durée élémentaire \mathrm{d}t, le système ouvert constitué par le réservoir reçoit un volume entrant \mathrm{d}V_e = D_e\,\mathrm{d}t et perd un volume sortant par le siphon \mathrm{d}V_s = D_t\,\mathrm{d}t. Le bilan de matière en volume s'écrit donc :

soit, en dérivant par rapport au temps :

D'après le résultat de la question Q21, le débit volumique en sortie du siphon est :

En substituant cette relation, on obtient l'équation différentielle régissant l'évolution du niveau d'eau z(t) :

ou sous forme équivalente :

D'après le résultat de la question Q22, l'évolution du niveau de fluide pendant la phase de vidange est régie par :

Pour qu'il y ait vidange effective, le niveau d'eau doit décroître au cours du temps, ce qui impose \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} < 0, soit un débit entrant strictement inférieur au débit sortant : D_e < S_t\sqrt{2gz}.

• Au début de la vidange (z = z_C) :

  \left.\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right|_{z=z_C} = \frac{D_e - S_t\sqrt{2gz_C}}{S_r} < 0 \iff D_e < S_t\sqrt{2gz_C}

• À la fin de la vidange (z \to z_B) :

  \left.\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right|_{z=z_B} = \frac{D_e - S_t\sqrt{2gz_B}}{S_r} < 0 \iff D_e < S_t\sqrt{2gz_B}

Puisque z_B < z_C, la fonction z \mapsto S_t\sqrt{2gz} est strictement croissante : le débit sortant D_t(z) diminue au fur et à mesure que la hauteur d'eau baisse et atteint sa valeur minimale en fin de vidange, pour z = z_B.

Pour que la vidange ne s'arrête pas avant d'atteindre la cote de désamorçage z_B, l'inégalité doit être vérifiée sur l'ensemble de l'intervalle [z_B, z_C], ce qui impose de satisfaire la contrainte la plus restrictive, obtenue en z = z_B :

Pour obtenir un cycle complet d'oscillations (remplissage du réservoir puis vidange jusqu'au désamorçage), le réservoir doit pouvoir se remplir (D_e > 0) et se vider complètement jusqu'à z_B. Il faut donc choisir D_e tel que :

D'après l'équation différentielle établie à la question Q22 :

La vidange s'arrête si le niveau d'eau atteint un état stationnaire, c'est-à-dire une cote z_0 telle que :

On en déduit immédiatement l'expression de la cote d'équilibre z_0 :

Pour que la vidange débute effectivement lorsque le siphon s'amorce en z_C, il faut que la dérivée soit strictement négative en ce point, soit :

Pour que cette vidange s'interrompe avant d'atteindre le niveau de désamorçage z_B, il faut que la dérivée s'annule pour une cote z_0 > z_B, ce qui impose :

Ainsi, pour toute valeur de débit D_e vérifiant la double inégalité :

la vidange commence dès l'amorçage en z_C, mais le niveau se stabilise à la cote z_0 \in ]z_B, z_C[.

Raisonnement physique :
Au fur et à mesure que le niveau z baisse, la charge motrice z diminue, réduisant la vitesse de vidange de Torricelli (v_D = \sqrt{2gz}) et donc le débit extrait par le siphon D_t(z). Lorsque le niveau atteint la cote z_0, le débit évacué compense exactement le débit d'alimentation du robinet (D_t(z_0) = D_e). Le niveau d'eau ne peut donc plus baisser.

Cet état d'équilibre est par ailleurs stable :

• si z > z_0, D_t(z) > D_e \implies \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} < 0 (le réservoir se vide vers z_0) ;
• si z < z_0, D_t(z) < D_e \implies \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} > 0 (le réservoir se remplit vers z_0).

Le siphon ne se désamorce jamais puisque la cote z_B n'est pas atteinte : le régime oscillant est détruit au profit d'un régime permanent d'écoulement stationnaire.

D'après l'équation différentielle établie à la question Q22 :

En négligeant le débit d'injection D_e devant le débit de vidange du siphon pendant toute cette phase, l'équation différentielle régissant le niveau d'eau z(t) devient :

Pour déterminer z(t), séparons les variables. En prenant comme origine des temps (t=0) le début de la vidange, c'est-à-dire l'instant d'amorçage où z(0) = z_C, il vient pour t \in [0, t_2] :

On obtient ainsi :

Soit, en élevant au carré (le terme entre parenthèses restant positif jusqu'à la fin de la vidange) :

La vidange s'achève à l'instant t = t_2 dès que le niveau atteint la cote z_B, moment où le siphon se désamorce (z(t_2) = z_B) :

Un cycle périodique complet d'oscillation du vase de Tantale correspond à l'alternance d'une phase de remplissage de z_B à z_C et d'une phase de vidange de z_C à z_B.

La période des oscillations, notée T, est donc la somme des durées de ces deux phases :

En utilisant les expressions obtenues aux questions Q18 et Q25 :

• durée de remplissage (Q18) : t_1 = \dfrac{S_r(z_C - z_B)}{D_e},
• durée de vidange sous l'hypothèse d'un débit entrant négligeable (Q25) : t_2 = \dfrac{S_r}{S_t}\sqrt{\dfrac{2}{g}}\left(\sqrt{z_C} - \sqrt{z_B}\right),

on obtient l'expression finale de la période des oscillations :

D'après les questions précédentes, l'évolution du niveau d'eau z(t) présente une alternance de deux régimes entre les cotes extrêmes z_B et z_C :

• Phase de remplissage (de t = 0 à t = t_1) :

  z(t) = z_B + \frac{D_e}{S_r}\,t

  La croissance est strictement linéaire avec une pente constante \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \dfrac{D_e}{S_r} > 0.

• Phase de vidange (de t = t_1 à t = t_1 + t_2 = T) :

  z(t) = \left(\sqrt{z_C} - \frac{S_t}{S_r}\sqrt{\frac{g}{2}}\,(t - t_1)\right)^2

  La décroissance est non linéaire (parabolique). La dérivée :

  \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = -\frac{S_t}{S_r}\sqrt{2gz(t)} < 0

  est négative et croît en valeur algébrique au fur et à mesure que z diminue (la valeur absolue de la pente diminue : \dfrac{\mathrm{d}^2z}{\mathrm{d}t^2} > 0). La courbe est donc convexe (la vidange ralentit au fur et à mesure que le réservoir se vide).

Ce cycle se répète périodiquement avec la période T = t_1 + t_2 déterminée à la question Q26.

Un amplificateur linéaire intégré (ALI) est un composant actif possédant deux entrées (V^+ non inverseuse, V^- inverseuse) et une sortie v_s, dont le rôle principal est d'amplifier la différence de potentiel différentielle d'entrée \varepsilon = V^+ - V^-.

1. Caractéristiques d'un ALI idéal (parfait) :

• Impédance d'entrée différentielle infinie (R_e \to +\infty) : les courants d'entrée sont rigoureusement nuls :

  \boxed{i_+ = i_- = 0}
• Impédance de sortie nulle (R_s = 0) : la tension de sortie v_s est indépendante du courant débité dans la charge.

• Gain différentiel statique infini (\mu_0 \to +\infty) : en régime linéaire (non saturé), cela impose une tension différentielle d'entrée nulle :

  \boxed{\varepsilon = V^+ - V^- = 0}
• Bande passante infinie : le gain est indépendant de la fréquence, le temps de réponse est instantané.
• Vitesse de balayage infinie (slew-rate \mathrm{SR} \to +\infty) : la vitesse de variation temporelle de la tension de sortie |\mathrm{d}v_s/\mathrm{d}t| n'est pas bornée.
• Absence d'imperfections statiques : tension de décalage nulle (V_{\mathrm{offset}} = 0), tensions de saturation égales aux tensions d'alimentation (\pm V_{\mathrm{sat}} = \pm V_{\mathrm{alim}}).

2. Caractéristiques d'un ALI réel standard :

• Impédance d'entrée très élevée mais finie (R_e grande) : les courants d'entrée (courants de polarisation I_{\mathrm{pol}}) sont très faibles mais non nuls.
• Impédance de sortie faible mais non nulle (R_s > 0) et courant de sortie maximal borné (I_{s,\max}).
• Gain différentiel statique très grand mais fini (\mu_0 \gg 1) : \varepsilon est non strictement nul en régime linéaire mais très petit (\varepsilon \approx v_s / \mu_0).
• Bande passante limitée : le gain dépend de la fréquence selon un comportement passe-bas du premier ordre, caractérisé par une fréquence de coupure à -3\text{ dB} basse et un produit gain-bande constant.
• Vitesse de balayage finie (slew-rate borné) : la pente de la tension de sortie est limitée par |\mathrm{d}v_s/\mathrm{d}t| \le \mathrm{SR}.
• Tension de décalage non nulle (V_{\mathrm{offset}} \neq 0) et tensions de saturation inférieures aux tensions d'alimentation en valeur absolue (V_{\mathrm{sat}} < V_{\mathrm{alim}}).

Pour un amplificateur linéaire intégré (ALI) réel standard d'usage général (tel que le classique \mu\text{A741} à technologie bipolaire ou le TL081 à transistors à effet de champ), les ordres de grandeur des grandeurs caractéristiques sont les suivants :

• Gain différentiel statique en boucle ouverte :

  \mu_0 \sim 10^5 \text{ à } 10^6 \quad (\text{soit } 100 \text{ à } 120\text{ dB})

• Résistance différentielle d'entrée :

  R_e \sim 10^6 \ \Omega = 1\text{ M}\Omega \quad (\text{technologie bipolaire}) \quad \text{ou} \quad 10^{12}\ \Omega = 1\text{ T}\Omega \quad (\text{technologie BiFET/JFET})

• Résistance de sortie :

  R_s \sim 10 \text{ à } 100\ \Omega \quad (\approx 75\ \Omega \text{ pour le 741})

• Courants de polarisation d'entrée :

  I_{\text{pol}} \sim 10 \text{ à } 100\text{ nA} \quad (\text{bipolaire}) \quad \text{ou} \quad \sim 1 \text{ à } 10\text{ pA} \quad (\text{FET})

• Fréquence de coupure à -3\text{ dB} en boucle ouverte et produit gain-bande :

  f_c \sim 10\text{ Hz}, \qquad f_T = \mu_0 f_c \sim 1\text{ MHz}

• Vitesse maximale de balayage (slew rate) :

  \sigma = \left(\frac{\mathrm{d}v_s}{\mathrm{d}t}\right)_{\!\max} \sim 0{,}5 \text{ à } 1\text{ V}\cdot\mu\text{s}^{-1} \quad (\approx 0{,}5\text{ V}\cdot\mu\text{s}^{-1} \text{ pour le 741, } 10\text{ V}\cdot\mu\text{s}^{-1} \text{ pour le TL081})

• Tension de déchet et de saturation (pour V_{\text{alim}} = \pm 15\text{ V}) :

  V_{\text{sat}} \approx V_{\text{alim}} - (1\text{ à } 2\text{ V}) \approx 13{,}5 \text{ à } 14\text{ V}

Sur le schéma de la figure F5 :

• la sortie de l'amplificateur U_0 est rebouclée sur la borne non-inverseuse (+) à travers la résistance R_2 : il s'agit d'une rétroaction positive ;
• le signal d'entrée V_e est appliqué directement sur la borne inverseuse (-), sans aucune boucle de contre-réaction sur cette borne.

En présence d'une rétroaction positive exclusive, le système est instable en fonctionnement linéaire. Par conséquent :

La tension de sortie ne peut prendre que l'une des deux valeurs de saturation :

Le circuit réalise la fonction de comparateur à deux seuils (ou trigger de Schmitt inverseur).

L'amplificateur linéaire intégré U_0 étant supposé idéal, le courant entrant sur la borne non inverseuse est rigoureusement nul :

Les résistances R_1 et R_2 forment par conséquent un pont diviseur de tension non chargé entre la sortie au potentiel V_s et la masse au potentiel nul. Il vient directement :

Par application du théorème de Millman au nœud (+), on retrouve de façon équivalente :

L'amplificateur linéaire intégré fonctionne en régime de saturation car la réaction s'effectue sur l'entrée non inverseuse (+) (bouclage positif, voir question Q30). La tension différentielle d'entrée s'écrit :

D'après le résultat de la question Q31 :

1. État initial pour V_e = -15\text{ V} : Puisque V_s \in \{-V_{\text{sat}}, +V_{\text{sat}}\}, la tension V^{(+)} ne peut valoir que \pm \frac{R_1}{R_1 + R_2} V_{\text{sat}}. Comme V_{\text{sat}} = 14\text{ V} et \frac{R_1}{R_1 + R_2} < 1, on a nécessairement |V^{(+)}| < 14\text{ V}.

Pour V_e = -15\text{ V}, on a donc :

L'amplificateur est donc saturé à son niveau haut :

Le potentiel de l'entrée non inverseuse vaut alors :

Avec R_1 = 1{,}8\text{ k}\Omega, R_2 = 2{,}2\text{ k}\Omega et V_{\text{sat}} = 14\text{ V} :

2. Condition de basculement : Tant que la tension d'entrée V_e reste inférieure à V_H, on a \varepsilon > 0, donc la sortie reste à V_s = +V_{\text{sat}}.

Dès que V_e atteint et dépasse légèrement V_H = 6{,}3\text{ V}, la tension différentielle devient négative (\varepsilon < 0). La sortie bascule brutalement vers le niveau de saturation bas :

La tension de basculement lors de la croissance de V_e est donc le seuil haut :

Après ce basculement, le potentiel de l'entrée (+) devient :

Pour V_e \in [6{,}3\text{ V}, +15\text{ V}], on a V_e > V_B, donc \varepsilon < 0 : la sortie reste maintenue à V_s = -14\text{ V}.

3. Tracé de la courbe V_s(V_e) pour V_e croissant :

Lorsque la tension d'entrée se trouve initialement à V_e = +15\text{ V}, le système est dans l'état saturé bas :

D'après la relation établie à la question Q31, le potentiel de l'entrée non inverseuse vaut alors :

Numériquement :

La tension différentielle d'entrée est \varepsilon = V^{(+)} - V^{(-)} = V_B - V_e.

Tant que V_e > V_B, \varepsilon < 0 : la sortie reste saturée à V_s = -V_{\text{sat}}.

Lorsque V_e décroît et franchit la tension de seuil bas V_B, la tension différentielle \varepsilon devient strictement positive, ce qui provoque le basculement instantané de la sortie vers le niveau haut :

Ce basculement entraîne immédiatement une remontée du potentiel V^{(+)} à la valeur V_H = +6{,}3\text{ V}, confirmant que \varepsilon = V_H - V_e > 0.

Pour V_e continuant de décroître de V_B jusqu'à -15\text{ V}, la sortie demeure fixée à +V_{\text{sat}}.

La tension de basculement lors de la décroissance de V_e est donc le seuil bas :

On trace sur le graphe ci-dessous la caractéristique de transfert V_s = f(V_e) :

• en bleu pour V_e croissant (étudié à la question Q32) ;
• en rouge pour V_e décroissant (étudié ici).

Ce montage est qualifié de comparateur à hystérésis (ou bascule de Schmitt) pour deux raisons complémentaires :

• Comparateur : l'amplificateur opérationnel fonctionnant en régime saturé en raison de la rétroaction positive sur la borne non inverseuse, la sortie ne peut prendre que deux valeurs discrètes (V_s = +V_{\text{sat}} ou V_s = -V_{\text{sat}}). Le circuit compare donc la tension d'entrée V_e à une tension de seuil.

• À hystérésis : le terme « hystérésis » (du grec hustérêsis, retard ou dépendance à l'histoire passée) désigne un phénomène où l'état d'un système dépend de son évolution antérieure. Ici, le seuil de basculement n'est pas unique :

  • pour V_e croissante, le basculement intervient au seuil haut :

    V_H = +\frac{R_1}{R_1 + R_2}V_{\text{sat}} \approx +6{,}3\text{ V}

  • pour V_e décroissante, le basculement intervient au seuil bas :

    V_B = -\frac{R_1}{R_1 + R_2}V_{\text{sat}} \approx -6{,}3\text{ V}

  Pour V_e \in [V_B, V_H], la sortie V_s peut valoir indifféremment +V_{\text{sat}} ou -V_{\text{sat}} : son état est déterminé par l'histoire du signal d'entrée (effet mémoire), et la caractéristique de transfert V_s = f(V_e) forme un cycle fermé irréversible parcouru dans le sens horaire.

Le montage de la figure F5 est un comparateur à hystérésis inverseur car le signal d'entrée V_e(t) est appliqué sur la borne non-inverseuse (-) de l'ALI.

D'après les questions Q31 et Q32, la tension appliquée sur la borne (+) est :

ce qui définit deux seuils de commutation associés aux tensions de saturation \pm V_{\text{sat}} = \pm 14\text{ V} :

Le fonctionnement en régime établi est le suivant :

• Si V_s = +V_{\text{sat}}, la borne non-inverseuse est à V^{(+)} = V_H = +6{,}3\text{ V}. Lorsque V_e(t) croît et franchit V_H par valeurs inférieures, la tension différentielle \varepsilon = V^{(+)} - V_e devient négative : la sortie bascule de +V_{\text{sat}} à -V_{\text{sat}}.
• Si V_s = -V_{\text{sat}}, la borne non-inverseuse est à V^{(+)} = V_B = -6{,}3\text{ V}. Lorsque V_e(t) décroît et franchit V_B par valeurs supérieures, \varepsilon = V^{(+)} - V_e redevient positive : la sortie re-bascule de -V_{\text{sat}} à +V_{\text{sat}}.

À l'instant t=0, V_e(t) croît depuis des valeurs négatives (où V_e < V_B), la sortie est donc à V_s = +V_{\text{sat}} = +14\text{ V}. Sur l'intervalle [0, T/4], le signal triangulaire a pour équation :

Le premier basculement (+V_{\text{sat}} \to -V_{\text{sat}}) intervient à l'instant t_1 tel que V_e(t_1) = V_H :

Le basculement suivant (-V_{\text{sat}} \to +V_{\text{sat}}) intervient lors de la phase de décroissance lorsque V_e(t_2) = V_B = -V_H. Par symétrie du signal triangulaire :

La tension de sortie V_s(t) est donc un signal en créneau de période T, symétrique en durée (rapport cyclique de 50\,\%), oscillant entre +V_{\text{sat}} = +14\text{ V} et -V_{\text{sat}} = -14\text{ V}.

L'amplificateur linéaire intégré \text{U}_0 est supposé idéal, son impédance d'entrée est infinie et le courant d'entrée sur la borne inverseuse est nul :

Le courant traversant la résistance R est donc intégralement transmis au condensateur de capacité C. En appliquant la loi des nœuds à l'entrée inverseuse de potentiel v_c(t), ou directement la relation courant-tension du dipôle RC série relié à la masse :

La loi des mailles appliquée à cette branche donne :

Pendant cette phase de croissance, la sortie de l'amplificateur est au niveau haut : v_s(t) = +V_{\text{sat}}. L'équation différentielle régissant v_c(t) s'écrit alors :

ou encore, en introduisant la constante de temps \tau = RC :

D'après la question Q36, la tension aux bornes du condensateur vérifie :

La solution générale est la somme d'une solution particulière constante (v_{c,\text{part}} = V_{\text{sat}}) et de la solution générale de l'équation homogène :

À l'instant initial t=0, le condensateur est déchargé, soit v_c(0) = 0. Il vient :

L'équation horaire de la tension au cours de cette phase s'écrit donc :

Pendant cette phase, la tension de sortie vaut v_s = +V_{\text{sat}}. D'après les questions Q31 et Q32, le potentiel de l'entrée non inverseuse est maintenu au seuil haut de basculement :

Le comparateur bascule vers la saturation négative dès que la tension appliquée à l'entrée inverseuse dépasse celle de l'entrée non inverseuse, c'est-à-dire dès que v_c(t_1) = V_H :

En prenant le logarithme népérien :

On en déduit l'expression de la durée t_1 :

Durant la phase de croissance (t \le t_1), la sortie de l'amplificateur opérationnel est saturée à la valeur haute :

Le potentiel appliqué à l'entrée non inverseuse est le seuil haut de basculement établi en Q32 :

Le condensateur se chargeant vers +V_{\text{sat}}, la tension v_c(t) à ses bornes augmente jusqu'à atteindre, à l'instant t_1, la valeur v_c(t_1) = V_H.

• Basculement du comparateur : dès que t > t_1, la tension v_c(t) tente de dépasser le seuil V_H. La tension différentielle d'entrée de l'ALI,

  \varepsilon(t) = V^{(+)} - v^{(-)}(t) = V_H - v_c(t)

  devient alors strictement négative (\varepsilon < 0). L'amplificateur fonctionnant en régime saturé, sa sortie bascule instantanément :

  \boxed{v_s(t) = -V_{\text{sat}}}

  Le potentiel sur la borne (+) bascule alors simultanément vers le seuil bas :

  V^{(+)} = V_B = -\frac{R_1}{R_1 + R_2} V_{\text{sat}}

• Décroissance de v_c(t) : le dipôle série (R, C) est désormais soumis à l'échelon de tension v_s = -V_{\text{sat}}. L'intensité traversant la résistance R et chargeant le condensateur vaut :

  i_C(t) = C\frac{\mathrm{d}v_c}{\mathrm{d}t} = \frac{v_s(t) - v_c(t)}{R}

  Puisqu'à l'instant du basculement v_c(t_1^+) = V_H > 0 et que v_s = -V_{\text{sat}}, on a :

  v_s(t) - v_c(t) = -V_{\text{sat}} - V_H < 0 \implies \frac{\mathrm{d}v_c}{\mathrm{d}t} < 0

Le condensateur se décharge donc vers la tension asymptote -V_{\text{sat}} : v_c(t) se met à décroître.

Durant toute la phase de décroissance, la sortie de l'amplificateur opérationnel est saturée à la valeur basse :

L'amplificateur étant supposé idéal, le courant d'entrée sur la borne inverseuse (-) est nul (i_- = 0). Par conséquent, le courant traversant le dipôle RC depuis la sortie vers la masse s'écrit :

En substituant v_s(t) = -V_{\text{sat}}, on obtient directement :

Soit, en réordonnant sous forme canonique :

ou de manière équivalente avec la constante de temps \tau = RC :

D'après la question Q39, l'équation différentielle régissant v_c(t) pour t \ge t_1 est :

La solution générale est la somme de la solution particulière constante et de la solution générale de l'équation homogène :

Par continuité de la tension aux bornes d'un condensateur, à l'instant initial de cette phase t = t_1 :

On en déduit la constante A :

L'équation horaire de la tension v_c(t) pour t \in [t_1, t_2] s'écrit donc :

ou encore, sous forme condensée :

Cette phase de décroissance prend fin à l'instant t_2 où le potentiel de l'entrée inverseuse v_c(t) atteint le seuil bas V_B = -V_H (question Q32) :

Soit :

En remplaçant V_H = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\,V_{\text{sat}}, le rapport s'exprime simplement :

La durée \Delta t_2 = t_2 - t_1 de cette phase de décroissance est donc :

En rappelant que d'après la question Q37, t_1 = RC \ln\left(1 + \frac{R_1}{R_2}\right), on obtient l'instant t_2 :

En régime permanent périodique, la tension aux bornes du condensateur oscille alternativement entre les deux seuils de basculement :

• une phase de décharge de V_H = +\frac{R_1}{R_1+R_2}V_{\text{sat}} à V_B = -\frac{R_1}{R_1+R_2}V_{\text{sat}} sous la tension de cible -V_{\text{sat}} ;
• une phase de charge de V_B à V_H sous la tension de cible +V_{\text{sat}}.

La deuxième phase étudiée à la question Q40 correspond précisément à l'une de ces transitions complètes (décharge de V_H à V_B). Sa durée vaut :

Par symétrie du montage (tensions de saturation opposées \pm V_{\text{sat}} et seuils opposés \pm V_H), la phase de croissance en régime établi est régie par la même constante de temps \tau = RC et présente la même excursion relative de tension, ce qui lui confère une durée strictement identique :

La période T du signal en régime permanent est donc le double de la durée de la deuxième phase :

soit :

1. Détermination de V_{\text{sat}} :

La tension de sortie v_s(t) (voie C1, en violet) est un signal créneau symétrique qui évolue entre les plateaux -V_{\text{sat}} et +V_{\text{sat}}. L'axe horizontal central correspond au potentiel nul (0\text{ V}). Le plateau supérieur de v_s se situe à environ 4{,}7\text{ div} au-dessus de cet axe. Avec la sensibilité verticale de 3\text{ V/div} :

2. Détermination du rapport R_2 / R_1 :

La tension aux bornes du condensateur v_c(t) (voie C2, en bleu) oscille entre la tension de seuil bas V_B = -V_H et la tension de seuil haut V_H, données d'après la question Q32 par :

Sur l'écran, l'amplitude maximale de v_c correspond à un extremum situé à environ 2{,}1\text{ div} du zéro central :

On en déduit :

Remarque : ce résultat est en accord parfait avec le choix des composants indiqué en C.I.1 (R_1 = 1{,}8\text{ k}\Omega et R_2 = 2{,}2\text{ k}\Omega, soit R_2/R_1 = 2{,}2/1{,}8 \approx 1{,}22).

3. Détermination du produit RC :