Feuille d'entraînement : Mouvement dans un champ de force centrale

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2021, Q1

   Soit un point M extérieur à la Terre, repéré par ses coordonnées sphériques (r, \theta, \varphi) associées à la base orthonormée locale (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_\varphi) d'origine O, centre de la Terre.

   1. Symétries et invariances

   • Invariances : La Terre étant modélisée par une sphère de centre O et de masse volumique \rho uniforme, la distribution de masse présente une symétrie sphérique. Elle est donc invariante par toute rotation autour de O, ce qui implique l'indépendance vis-à-vis des angles \theta et \varphi. Le champ ne dépend que de la distance radiale r :

     \vec{\mathcal{G}}(M) = \vec{\mathcal{G}}(r)

   • Symétries : Tout plan contenant l'axe (OM) est un plan de symétrie matérielle pour la distribution sphérique. Le champ de gravitation (champ de vecteurs polaires) appartient à l'intersection de tous ces plans de symétrie, c'est-à-dire à la droite (OM). Le champ est donc purement radial :

     \vec{\mathcal{G}}(M) = \mathcal{G}(r) \, \vec{u}_r

   2. Théorème de Gauss gravitationnel Par analogie avec l'électrostatique (\mathrm{div}\,\vec{\mathcal{G}} = -4\pi G \rho), le flux sortant du champ de gravitation à travers une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur s'écrit :

   \oiint_\Sigma \vec{\mathcal{G}} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = -4\pi G M_{\mathrm{int}}

   On choisit comme surface de Gauss la sphère \Sigma de centre O et de rayon r > R_T (où R_T est le rayon de la Terre). L'élément de surface orienté vers l'extérieur est \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{u}_r. Le flux à travers \Sigma vaut :

   \begin{aligned} \Phi &= \oiint_\Sigma \mathcal{G}(r)\,\vec{u}_r \cdot (\mathrm{d}S\,\vec{u}_r) \\ &= \mathcal{G}(r) \oiint_\Sigma \mathrm{d}S \\ &= \mathcal{G}(r) \times 4\pi r^2 \end{aligned}

   Comme le point M est à l'extérieur de la Terre (r > R_T), la masse intérieure à la surface de Gauss est la masse totale de la Terre : M_{\mathrm{int}} = M_T. On en déduit :

   \begin{aligned} 4\pi r^2 \mathcal{G}(r) &= -4\pi G M_T \\ \mathcal{G}(r) &= -\frac{G M_T}{r^2} \end{aligned}

   Le champ de gravitation à l'extérieur de la Terre s'écrit donc :

   \boxed{\vec{\mathcal{G}}(r) = -\frac{G M_T}{r^2} \, \vec{u}_r}

   Résultat

   $$\vec{\mathcal{G}}(r)=-\frac{G{M}_T}{r^2}{\vec{u}}_r$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique A PT 2021, Q2

   La Lune, de centre C_L et de masse m_L, est assimilée à une distribution sphérique de masse ou à un point matériel situé en C_L, à la distance D_{TL} = OC_L du centre O de la Terre.

   En appliquant le résultat établi à la question Q1 pour le champ gravitationnel créé par la Terre en C_L, la force gravitationnelle exercée par la Terre sur la Lune s'écrit :

   \vec{F}_{T \to L} = m_L \, \vec{\mathcal{G}}(C_L)

   Soit, en introduisant le vecteur unitaire radial \vec{u}_r = \dfrac{\vec{OC_L}}{D_{TL}} dirigé de la Terre vers la Lune :

   \boxed{\vec{F}_{T \to L} = -\frac{G M_T m_L}{D_{TL}^2} \, \vec{u}_r}

   Résultat

   $${\vec{F}}_{T\to L}=-\frac{G{M}_T{m}_L}{D_{TL}^2}{\vec{u}}_r$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique A PT 2021, Q3

   Référentiel d'étude et PFD :

   • On se place dans le référentiel géocentrique, dont l'origine est le centre de masse O de la Terre et dont les trois axes pointent vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes. Ce référentiel est supposé galiléen à l'échelle de la révolution de la Lune.
   • On modélise la Lune par son centre de masse C_L de masse m_L, soumis uniquement à l'attraction gravitationnelle de la Terre (en négligeant l'influence gravitationnelle du Soleil et des autres planètes).

   • Le principe fondamental de la dynamique (PFD) s'écrit alors :

     m_L \vec{a}(C_L) = \vec{F}_{T \to L}

   Caractère uniforme du mouvement : La trajectoire étant circulaire de rayon D_{TL}, introduisons la base de Frenet (\vec{T}, \vec{N}) liée à C_L, où \vec{T} est le vecteur unitaire tangent orienté dans le sens du mouvement et \vec{N} = -\vec{u}_r le vecteur unitaire normal dirigé vers le centre O. L'accélération s'exprime par :

   \vec{a}(C_L) = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\vec{T} + \frac{v^2}{D_{TL}}\vec{N}

   D'après la question Q2, l'expression de la force gravitationnelle est :

   \vec{F}_{T \to L} = -\frac{G M_T m_L}{D_{TL}^2}\vec{u}_r = \frac{G M_T m_L}{D_{TL}^2}\vec{N}

   La projection du PFD sur l'axe tangentiel \vec{T} donne :

   m_L \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0 \implies v = \text{cte}

   La vitesse orbitale scalaire v étant constante, le mouvement circulaire de la Lune est uniforme.

   Expression de la période de révolution T_L : La projection du PFD sur l'axe normal \vec{N} fournit :

   \begin{aligned} m_L \frac{v^2}{D_{TL}} &= \frac{G M_T m_L}{D_{TL}^2} \\ v &= \sqrt{\frac{G M_T}{D_{TL}}} \end{aligned}

   La Lune effectue un tour complet de périmètre 2\pi D_{TL} à la vitesse constante v pendant la durée T_L :

   T_L = \frac{2\pi D_{TL}}{v}

   On en déduit l'expression de la période :

   \boxed{T_L = 2\pi \sqrt{\frac{D_{TL}^3}{G M_T}}}

   Résultat

   $$T_L=2\pi \sqrt{\frac{D_{TL}^3}{G{M}_T}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Banque PT Physique A PT 2020, Q3

   D'après la loi de la gravitation universelle de Newton, la force gravitationnelle exercée par la masse ponctuelle m_1 située en P_1 sur la masse ponctuelle m_2 située en P_2 est une force d'interaction attractive, dirigée le long de la droite joignant les deux points.

   En conservant les notations de la question précédente, en posant r_{12} = P_1 P_2 et en introduisant le vecteur unitaire \vec{u}_{1\to 2} = \frac{\overrightarrow{P_1 P_2}}{P_1 P_2} dirigé de P_1 vers P_2, elle s'écrit :

   \boxed{\vec{F}_{1\to 2} = -\frac{G\,m_1 m_2}{r_{12}^2}\,\vec{u}_{1\to 2} = -\frac{G\,m_1 m_2}{P_1 P_2^3}\,\overrightarrow{P_1 P_2}}

   où G est la constante de gravitation universelle.

   Résultat

   $${\vec{F}}_{1\to 2}=-\frac{G{m}_1{m}_2}{r_{12}^2}{\vec{u}}_{1\to 2}=-\frac{G{m}_1{m}_2}{P_1{P}_2^3}\overrightarrow{P_1{P}_2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Banque PT Physique A PT 2020, Q5

   On repère le point M en coordonnées sphériques (r,\theta,\varphi) d'origine O, centre de l'astre : \vec{OM} = r\,\vec{u}_r, avec r = OM > R.

   1. Symétries et invariances :

   • Invariances : La distribution de masse est à symétrie sphérique, invariante par toute rotation autour de O. Le champ gravitationnel ne dépend donc pas des coordonnées angulaires \theta et \varphi : \vec{g}(M) = \vec{g}(r).

   • Symétries : Tout plan contenant l'axe (OM) est un plan de symétrie de la distribution de masse. Le champ gravitationnel étant un vrai vecteur, \vec{g}(M) doit appartenir à tous ces plans de symétrie : il est donc radial, porté par leur intersection, la droite (OM) :

     \vec{g}(M) = g(r)\,\vec{u}_r

   2. Choix de la surface de Gauss et calcul du flux : On choisit pour surface de Gauss \Sigma la sphère de centre O et de rayon r > R, orientée vers l'extérieur : \mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}} = \mathrm{d}S\,\vec{u}_r. Le flux gravitationnel sortant à travers \Sigma vaut :

   \begin{aligned} \Phi &= \oiint_\Sigma \vec{g}(M)\cdot\mathrm{d}\vec{S}_{\text{ext}} = \oiint_\Sigma g(r)\,\mathrm{d}S \\ &= g(r) \oiint_\Sigma \mathrm{d}S = 4\pi r^2 g(r) \end{aligned}

   3. Application du théorème de Gauss gravitationnel : D'après le théorème de Gauss gravitationnel (question Q4) :

   \Phi = -4\pi G M_{\text{int}}

   Comme r > R, la surface de Gauss englobe la totalité de l'astre : M_{\text{int}} = m. On en déduit :

   \begin{aligned} 4\pi r^2 g(r) &= -4\pi G m \\ g(r) &= -\frac{Gm}{r^2} \end{aligned}

   Le champ gravitationnel s'écrit donc :

   \vec{g}(M) = -\frac{Gm}{r^2}\,\vec{u}_r = -\frac{Gm}{r^3}\,\vec{OM}

   Comme r = OM, on obtient bien :

   \boxed{\vec{g}(M) = -\frac{Gm}{OM^3}\vec{OM}}

   Commentaires :

   • Le signe négatif traduit le caractère attractif de l'interaction gravitationnelle : le champ est dirigé vers le centre attracteur O.
   • En tout point extérieur (r > R), le champ créé par une sphère de masse m est rigoureusement identique à celui qu'engendrerait une masse ponctuelle de même valeur m concentrée en son centre O (théorème de Newton).

   Résultat

   $$\vec{g}(M)=-\frac{Gm}{O{M}^3}\overrightarrow{OM}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Banque PT Physique A PT 2020, Q9

   On étudie le point matériel C_1 de masse m dans le référentiel galiléen d'origine C.

   Le système \{C_1 + C_2\} étant isolé, la seule force appliquée à C_1 est l'action gravitationnelle exercée par C_2 :

   \vec{F}_{2\to 1} = \frac{G m^2}{r^2} \frac{\vec{r}}{r}

   D'après la question Q8, on a \vec{r} = -2\vec{R_1} avec \vec{R_1} = \vec{CC_1}, donc :

   \vec{F}_{2\to 1} = -\frac{2 G m^2}{r^3} \vec{R_1} = -\frac{G m^2}{4 R_1^3} \vec{R_1}

   La force subie par C_1 est donc une force centrale de centre C.

   Appliquons le théorème du moment cinétique à C_1 au point fixe C dans ce référentiel :

   \frac{\mathrm{d}\vec{L}_C(C_1)}{\mathrm{d}t} = \vec{\mathcal{M}}_C(\vec{F}_{2\to 1}) = \vec{R_1} \wedge \vec{F}_{2\to 1}

   Comme \vec{F}_{2\to 1} est colinéaire à \vec{R_1}, le moment en C de la force est nul :

   \frac{\mathrm{d}\vec{L}_C(C_1)}{\mathrm{d}t} = \vec{0} \implies \vec{L}_C(C_1) = \vec{R_1} \wedge m\vec{v}_1 = \vec{\text{cte}}

   Deux situations se présentent :

   • Si \vec{L}_C(C_1) = \vec{0}, alors \vec{R_1} et \vec{v}_1 sont colinéaires à chaque instant : le mouvement est rectiligne, ce qui constitue un cas particulier de mouvement plan.

   • Si \vec{L}_C(C_1) \neq \vec{0}, le produit scalaire donne en permanence :

     \vec{R_1}(t) \cdot \vec{L}_C(C_1) = \left(\vec{R_1} \wedge m\vec{v}_1\right) \cdot \vec{R_1} = 0

     Le vecteur position \vec{R_1}(t) est orthogonal au vecteur constant non nul \vec{L}_C(C_1).

   \boxed{\text{La trajectoire de } C_1 \text{ est entièrement contenue dans le plan passant par } C \text{ et orthogonal à } \vec{L}_C(C_1).}

   Le mouvement de C_1 est donc plan.

   Résultat

   $$\text{La trajectoire de }{C}_1\text{ est entieˋrement contenue dans le plan passant par }C\text{ et orthogonal aˋ }{\vec{L}}_C(C_1).$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Banque PT Physique A PT 2021, Q4

   D'après le résultat de la question Q3, la période orbitale de la Lune s'écrit :

   T_L = 2\pi \sqrt{\frac{D_{TL}^3}{G M_T}}

   En élevant cette relation au carré et en divisant par D_{TL}^3, on obtient :

   \boxed{\frac{T_L^2}{D_{TL}^3} = \frac{4\pi^2}{G M_T} = \text{cte}}

   Il s'agit de la troisième loi de Kepler appliquée à une orbite circulaire de rayon D_{TL} : le rapport T^2/R^3 ne dépend que de la constante de gravitation universelle G et de la masse du corps attracteur M_T, indépendamment de la masse de l'astre en orbite.

   Ordre de grandeur de T_L :

   Exprimons la distance Terre-Lune en unités SI :

   D_{TL} = 384\,400\text{ km} \approx 3{,}84 \times 10^8\text{ m}

   Calculons d'abord le produit gravitationnel G M_T :

   G M_T \approx 6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}98 \times 10^{24} \approx 4{,}0 \times 10^{14}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-2}

   Évaluons ensuite le cube de la distance Terre-Lune :

   D_{TL}^3 \approx (3{,}84 \times 10^8)^3 \approx 5{,}7 \times 10^{25}\text{ m}^3

   D'où le rapport :

   \frac{D_{TL}^3}{G M_T} \approx \frac{5{,}7 \times 10^{25}}{4{,}0 \times 10^{14}} \approx 1{,}4 \times 10^{11}\text{ s}^2 = 14 \times 10^{10}\text{ s}^2

   En prenant la racine carrée (\sqrt{14} \approx 3{,}7) :

   T_L \approx 2\pi \times 3{,}7 \times 10^5\text{ s} \approx 6{,}28 \times 3{,}7 \times 10^5\text{ s} \approx 2{,}3 \times 10^6\text{ s}

   Sachant qu'un jour compte 86\,400\text{ s} \approx 8{,}6 \times 10^4\text{ s} :

   T_L \approx \frac{2{,}3 \times 10^6}{8{,}6 \times 10^4} \approx 27\text{ jours}

   \boxed{T_L \sim 2 \times 10^6\text{ s} \approx 27\text{ jours}}

   Résultat

   $$\frac{T_L^2}{D_{TL}^3}=\frac{4{\pi }^2}{G{M}_T}=\text{cte}$$

   $$T_L\sim 2\times 10^6\text{ s}\approx 27\text{ jours}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Banque PT Physique A PT 2020, Q12

   On étudie le corps C_1 de masse m dans le référentiel galiléen lié au centre de masse C.

   Le corps C_1 est soumis à la force gravitationnelle exercée par C_2, située à une distance r :

   \vec{F}_{2\to 1} = \frac{G m^2}{r^2} \frac{\vec{C_1C_2}}{r} = \frac{G m^2}{r^2} \left(-\vec{u}_r\right)

   Cette force est centrale, dirigée vers le centre C de la trajectoire.

   D'après les questions précédentes, le mouvement de C_1 est circulaire uniforme de rayon R_1 = \frac{r}{2}. Son accélération est donc purement centripète et s'écrit, en introduisant la pulsation \omega = 2\pi f :

   \vec{a}_1 = - R_1 \omega^2 \vec{u}_r = - \frac{r}{2} (2\pi f)^2 \vec{u}_r

   La deuxième loi de Newton appliquée à C_1 s'écrit :

   \begin{aligned} m\vec{a}_1 &= \vec{F}_{2\to 1} \\ - m \frac{r}{2} (2\pi f)^2 \vec{u}_r &= - \frac{G m^2}{r^2} \vec{u}_r \end{aligned}

   En projetant selon le vecteur unitaire centripète -\vec{u}_r, on obtient :

   \begin{aligned} m \frac{r}{2} \cdot 4\pi^2 f^2 &= \frac{G m^2}{r^2} \\ 2\pi^2 m r f^2 &= \frac{G m^2}{r^2} \\ f^2 &= \frac{G m}{2\pi^2 r^3} \end{aligned}

   Comme la fréquence f est une grandeur positive, on en déduit :

   \boxed{f = \sqrt{\frac{Gm}{2\pi^2 r^3}}}

   Résultat

   $$f=\sqrt{\frac{Gm}{2{\pi }^2{r}^3}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Banque PT Physique A PT 2020, Q13

   La force gravitationnelle exercée par le corps C_1 sur le corps C_2 s'écrit, d'après le résultat de la question Q3 avec m_1 = m_2 = m et \vec{r} = \overrightarrow{C_1C_2} = r \vec{u}_r :

   \vec{F}_{1\to 2} = -\frac{Gm^2}{r^2}\,\vec{u}_r

   Cette force dérive d'une énergie potentielle E_{\text{pot}} définie par :

   \mathrm{d}E_{\text{pot}} = -\vec{F}_{1\to 2}\cdot\mathrm{d}\vec{r} = -\left(-\frac{Gm^2}{r^2}\vec{u}_r\right)\cdot\left(\mathrm{d}r\,\vec{u}_r + r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta\right) = \frac{Gm^2}{r^2}\,\mathrm{d}r

   On en déduit par intégration :

   E_{\text{pot}}(r) = -\frac{Gm^2}{r} + \text{cte}

   La condition de référence choisie impose \lim_{r\to+\infty} E_{\text{pot}}(r) = 0, d'où \text{cte} = 0.

   L'énergie potentielle gravitationnelle s'écrit ainsi :

   \boxed{E_{\text{pot}} = -\frac{Gm^2}{r}}

   Résultat

   $$E_{\text{pot}}=-\frac{G{m}^2}{r}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10Banque PT Physique A PT 2021, Q5

    Lors de la nouvelle lune, la Lune est située entre le Soleil et la Terre : on dit que la Lune est en conjonction avec le Soleil.

    Les trois astres sont approximativement alignés selon l'ordre :

    \boxed{\text{Soleil --- Lune --- Terre}}

    Dans cette configuration :

    • la face éclairée de la Lune est tournée vers le Soleil (à l'opposé de la Terre) ;
    • la face sombre (non éclairée) de la Lune est tournée vers la Terre.

    La Lune est donc invisible depuis la Terre à l'œil nu.

    Résultat

    $$\text{Soleil — Lune — Terre}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question