Corrigé détaillé X ENS Physique PSI 2022

D'après la loi de Hooke fournie dans l'énoncé, la déformation relative d'un échantillon s'écrit :

La variation relative de longueur \frac{\Delta L}{L} est le rapport de deux grandeurs de même dimension, elle est donc sans dimension :

Par conséquent, le module de Young E a la même dimension que la contrainte surfacique \sigma = \frac{F}{S} :

D'après le principe fondamental de la dynamique, une force a la dimension du produit d'une masse par une accélération : [F] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2}. La surface a pour dimension [S] = \mathrm{L}^2. On en déduit :

Le module de Young a la dimension d'une pression ou d'une force par unité de surface. Son unité dans le Système international (SI) est le pascal (\mathrm{Pa}), équivalent au newton par mètre carré (\mathrm{N\cdot m^{-2}}), soit en unités fondamentales :

D'après la loi de Hooke rappelée dans l'énoncé, la déformation relative d'un matériau sous l'effet d'une contrainte \sigma est donnée par :

Un matériau idéalement très rigide (solide indéformable) ne subit aucune déformation, quelle que soit la contrainte finie \sigma qui lui est appliquée : \Delta L \to 0. Pour satisfaire cette condition, le module de Young doit tendre vers l'infini :

Au repos, la tranche de solide délimitée par les plans d'abscisses x et x + \mathrm{d}x présente une longueur initiale :

À l'instant t, sous l'effet du passage de l'onde de déformation :

• la section initialement située en x se déplace en x + u(x, t) ;
• la section initialement située en x + \mathrm{d}x se déplace en x + \mathrm{d}x + u(x + \mathrm{d}x, t).

La longueur de la tranche déformée vaut donc :

La variation absolue de longueur subie par cette tranche infinitésimale est :

En effectuant un développement limité au premier ordre au voisinage de x, il vient :

On en déduit l'expression de la variation relative de longueur de la tranche :

D'après la loi de Hooke donnée par l'équation (1) pour une déformation unidimensionnelle :

En appliquant cette relation localement à la tranche infinitésimale de solide comprise entre x et x+\mathrm{d}x, la déformation relative s'écrit, d'après la question 3, \frac{\Delta(\mathrm{d}x)}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial u}{\partial x}(x, t).

La force interne de traction F(x, t) s'exerçant à travers la section S à l'abscisse x vérifie donc :

La section S et le module d'élasticité E étant constants et uniformes, on dérive cette expression par rapport à la coordonnée d'espace x à la date t :

On applique le principe fondamental de la dynamique à la tranche de matière délimitée par les abscisses au repos x et x+\mathrm{d}x, dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

• la masse de la tranche est \mathrm{d}m = \rho\, S\,\mathrm{d}x ;
• son accélération selon (\mathrm{O}x) s'écrit \vec{a} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x, t)\,\vec{e}_x au premier ordre en \mathrm{d}x.

Les forces longitudinales s'exerçant sur cette tranche sont dues aux actions de contact exercées par le milieu extérieur de part et d'autre :

• sur la face en x+\mathrm{d}x, la partie du solide située à droite exerce une force \vec{F}(x+\mathrm{d}x, t) = F(x+\mathrm{d}x, t)\,\vec{e}_x ;
• sur la face en x, d'après le principe des actions réciproques, la partie du solide située à gauche exerce une force -\vec{F}(x, t) = -F(x, t)\,\vec{e}_x.

La résultante des forces selon \vec{e}_x s'écrit :

Le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe (\mathrm{O}x) donne :

En divisant par S\,\mathrm{d}x, on obtient :

D'après la question Q4, \frac{1}{S}\frac{\partial F}{\partial x} = E \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}. On en déduit :

Par identification avec la forme demandée :

Cette relation est l'équation de d'Alembert (ou équation des ondes unidimensionnelle non dispersive).

D'après l'expression établie à la question Q5, la célérité des ondes de compression dans le solide s'écrit :

Les données de l'énoncé pour le granite sont :

Le calcul du quotient donne :

En utilisant l'indication numérique de l'énoncé \sqrt{7/25} \simeq 0,53 :

Une onde est caractérisée par la direction dans laquelle s'effectue la perturbation (vibration) par rapport à sa direction de propagation :

• Une onde est dite longitudinale si la perturbation physique s'effectue dans une direction colinéaire (parallèle) à la direction de propagation de l'onde.
• Une onde est dite transversale si la perturbation physique s'effectue dans une direction orthogonale (perpendiculaire) à la direction de propagation de l'onde.

Dans la configuration étudiée :

• l'onde se propage selon l'axe (Ox), car l'équation de d'Alembert établie à la question Q5 ne dépend que de la coordonnée spatiale x ;
• le vecteur déplacement des tranches de matière est purement dirigé selon ce même axe : \vec{u}(x, t) = u(x, t)\,\vec{e}_x.

Le déplacement du milieu est donc parallèle à la direction de propagation de l'onde :

L'équation de d'Alembert satisfaite par le champ de déplacement u(x,t) s'écrit (d'après la question Q5) :

avec c_p = \sqrt{E/\rho}, soit \frac{E}{c_p^2} = \rho.

Multiplions cette équation par E \frac{\partial u}{\partial t} :

En remarquant que \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2\right) et en injectant l'identité fournie :

on obtient :

En regroupant les dérivées temporelles dans le membre de gauche :

Cette équation traduit un bilan énergétique local sous la forme canonique :

On y reconnaît :

• L'énergie cinétique volumique :

  \boxed{e_c = \frac{1}{2}\rho \left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2}

  puisque la vitesse locale des particules de matière est v(x,t) = \frac{\partial u}{\partial t}.

• L'énergie élastique volumique (ou énergie potentielle élastique par unité de volume) :

  \boxed{e_{p,\text{él}} = \frac{1}{2}E \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2}

  associée au travail réversible de déformation. Pour une déformation \varepsilon = \frac{\partial u}{\partial x} et une contrainte \sigma = E\varepsilon, le travail volumique réversible fourni au milieu vaut \int_0^\varepsilon \sigma\,\mathrm{d}\varepsilon' = \frac{1}{2}E\varepsilon^2.

• Le vecteur de Poynting acoustique (densité de flux d'énergie mécanique) :

  \boxed{\vec{\Pi} = - E \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial t} \vec{e}_x}

  En effet, la force exercée par la tranche située en amont sur la tranche située en aval à travers la section S est \vec{F}(x,t) = \sigma(x,t)S\,\vec{e}_x = E\frac{\partial u}{\partial x}S\,\vec{e}_x. La puissance cédée à travers cette section par unité de surface dans le sens des x croissants est donc -\sigma \frac{\partial u}{\partial t} = -E\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial t}.

On étudie la tranche de solide délimitée par les abscisses x et x+\mathrm{d}x, de dimensions \mathrm{d}x selon (\mathrm{O}x), H selon (\mathrm{O}y) et h selon (\mathrm{O}z). La section droite est S = hH et les surfaces supérieure et inférieure valent \mathrm{d}S = H\,\mathrm{d}x.

1. Actions selon la direction verticale (\mathrm{O}z) :

• Force normale appliquée en surface supérieure (z = h) :

  \vec{F}_N = -\sigma_N H\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_z

• Réaction normale exercée par le substrat en surface inférieure (z = 0) :

  \vec{F}_R = \sigma_R H\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_z

Le mouvement selon (\mathrm{O}z) étant négligé, ces forces se compensent (\sigma_R \simeq \sigma_N).

2. Actions selon la direction longitudinale (\mathrm{O}x) :

• Forces élastiques internes exercées par le reste de la couche sur les sections droites en x et x+\mathrm{d}x (en utilisant la loi de Hooke uniaxiale F = S E \frac{\partial u}{\partial x}) :

  \begin{aligned} \text{En } x : \quad & \vec{F}_{\text{él}}(x) = - E h H \frac{\partial u}{\partial x}(x, t)\,\vec{e}_x \\ \text{En } x+\mathrm{d}x : \quad & \vec{F}_{\text{él}}(x+\mathrm{d}x) = + E h H \frac{\partial u}{\partial x}(x+\mathrm{d}x, t)\,\vec{e}_x \end{aligned}

  Leur résultante vaut :

  \mathrm{d}\vec{F}_{\text{él}} = E h H \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, t)\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_x

• Force de cisaillement en surface supérieure (z = h), orientée selon +\vec{e}_x :

  \vec{F}_c = \tau_c(x, t) H\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_x

• Force de frottement exercée par le substrat en surface inférieure (z = 0), définie positive selon -\vec{e}_x :

  \vec{F}_f = -\tau_f(x, t) H\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_x

La résultante des forces selon l'axe (\mathrm{O}x) s'écrit donc :

On applique le principe fondamental de la dynamique à la tranche de solide délimitée par les abscisses x et x+\mathrm{d}x, de masse \mathrm{d}m = \rho S\,\mathrm{d}x = \rho h H\,\mathrm{d}x, dans le référentiel d'étude supposé galiléen :

En projetant sur l'axe (\mathrm{O}x), le mouvement étant unidirectionnel suivant cet axe, et en utilisant l'expression de la résultante des forces obtenue à la question Q9 :

En divisant chaque terme par E h H \,\mathrm{d}x, on obtient :

En introduisant la célérité des ondes de compression c_p = \sqrt{\frac{E}{\rho}} établie à la question Q5, soit \frac{\rho}{E} = \frac{1}{c_p^2}, on réordonne les termes :

Par identification avec l'équation (4) proposée par l'énoncé :

D'après la question Q10, l'équation régissant le déplacement s'écrit :

Multiplions cette équation par E\frac{\partial u}{\partial t} en utilisant la relation E/c_p^2 = \rho :

En utilisant les identités remarquées en question Q8 :

En réorganisant les termes, l'équation de conservation de l'énergie mécanique volumique devient :

Signification physique des nouveaux termes :

• Le terme \displaystyle \mathcal{P}_{c,\mathrm{vol}} = \frac{\tau_c(x, t)}{h} \frac{\partial u}{\partial t} représente la puissance volumique fournie au solide par la force de cisaillement extérieure appliquée en surface supérieure (z = h). C'est un apport d'énergie mécanique au système.
• Le terme \displaystyle \mathcal{P}_{f,\mathrm{vol}} = -\frac{\tau_f(x, t)}{h} \frac{\partial u}{\partial t} représente la puissance volumique cédée au niveau de l'interface inférieure (z = 0) sous l'effet du frottement avec le substrat.

Échauffement de l'interface :

Lorsque le solide glisse sur le substrat, la force de frottement tangentielle s'oppose au mouvement (travail résistant). Le terme lié à la force de frottement, à savoir :

représente une perte d'énergie mécanique volumique, dissipée de façon irréversible en chaleur par frottement à l'interface solide/substrat. C'est donc ce terme qui traduit un échauffement thermique de l'interface (échauffement frictionnel).

On introduit les variables adimensionnées (notées avec un tilde) définies par :

Les opérateurs de dérivation spatiale et temporelle se réécrivent :

D'après l'équation (4) établie à la question Q10 avec A = \frac{1}{E h} :

En injectant les grandeurs adimensionnées :

En multipliant toute l'équation par le facteur \frac{\ell^2}{u_0}, on obtient bien :

Puisque par hypothèse \frac{\ell}{T} \ll c_p, on a :

Le terme d'inertie (membre de gauche) est donc négligeable devant les autres termes de l'équation. En posant le nombre sans dimension :

l'équation adimensionnée se simplifie en :

Considérons le volume de solide affecté par la perturbation, délimité par une longueur \ell, une largeur H et une épaisseur h :

• Force de cisaillement externe : elle s'exerce sur les faces horizontales (en z=0 et z=h) d'aire S_{\mathrm{cis}} = H \ell avec une contrainte typique \tau_0. L'ordre de grandeur de cette force de cisaillement est :

  F_{\mathrm{cis}} \sim \tau_0 \, H \ell

• Force élastique interne (traction/compression) : elle s'exerce sur la section transversale S_{\mathrm{trans}} = H h. Le gradient de déplacement caractéristique est \frac{\partial u}{\partial x} \sim \frac{u_0}{\ell}, ce qui induit une contrainte élastique \sigma \sim E \frac{u_0}{\ell} d'après la loi de Hooke. La force élastique de rappel longitudinale est donc d'ordre de grandeur :

  F_{\text{él}} \sim \sigma S_{\mathrm{trans}} \sim E \frac{u_0}{\ell} \, H h

Le rapport de ces deux forces s'écrit alors :

Ce nombre sans dimension s'interprète donc comme le rapport entre :

• la force motrice ou résistante de cisaillement externe s'exerçant aux interfaces de la plaque (frottement et contrainte imposée),
• et la force de rappel d'élasticité interne s'opposant à la déformation longitudinale au sein du matériau.

Considérons le contact entre la couche de solide (solide 1) et le substrat (solide 2) au niveau de l'interface en z = 0.

1. Équilibre vertical : Le mouvement selon l'axe (\mathrm{O}z) étant négligé, l'équilibre mécanique vertical d'un élément de surface \mathrm{d}S = H\,\mathrm{d}x impose l'égalité entre la réaction normale du substrat et la force pressante appliquée au sommet :

   \sigma_R = \sigma_N \implies \|\mathrm{d}\vec{N}\| = \sigma_N\,\mathrm{d}S.

2. Loi de frottement de Coulomb en glissement : Lorsqu'une zone de l'interface est en glissement à la vitesse relative \vec{v}_{1/2} = \frac{\partial u}{\partial t}\,\vec{e}_x (avec \frac{\partial u}{\partial t} > 0 compte tenu du cisaillement appliqué selon +\vec{e}_x), la force de réaction tangentielle \mathrm{d}\vec{T} exercée par le substrat s'oppose au glissement :

   \mathrm{d}\vec{T} = - \|\mathrm{d}\vec{T}\|\,\vec{e}_x = - f \|\mathrm{d}\vec{N}\|\,\vec{e}_x = - f \sigma_N\,\mathrm{d}S\,\vec{e}_x.

3. Expression de la contrainte \tau_f(x, t) : Par définition donnée dans l'énoncé, la force tangentielle par unité de surface exercée par le substrat sur le solide s'écrit -\tau_f(x, t)\,\vec{e}_x (la contrainte \tau_f étant comptée positive selon -\vec{e}_x). Par identification :

   \frac{\|\mathrm{d}\vec{T}\|}{\mathrm{d}S} = \tau_f(x, t) = f \sigma_N.

On en déduit l'expression de la contrainte de frottement lors du glissement :

Le substrat étant infiniment rigide et fixe dans le référentiel d'étude, la condition de non-glissement de la couche solide sur le substrat impose une vitesse de glissement nulle à l'interface (z=0) :

Le solide étant initialement au repos (u(x, 0) = 0), le déplacement reste identiquement nul dans toute zone sans glissement :

À la frontière entre une zone glissante et une zone adhérente (par exemple en x = \pm \ell_g), la continuité du champ de déplacement impose donc la condition aux limites :

Puisque u(x, t) = 0 sur l'ensemble de la zone de non-glissement, ses dérivées spatiales y sont nulles : \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0. L'équation de la limite quasi-statique (7) :

fournit immédiatement l'expression de la contrainte de frottement :

1. À l'extérieur de la zone de glissement (|x| > \ell_g)

D'après la question Q15, la couche est immobile par rapport au substrat rigide dans les zones où il n'y a pas glissement. En prenant comme référence de déplacement l'état au repos initial, le champ de déplacement est nul :

2. À l'intérieur de la zone de glissement (|x| \le \ell_g)

Dans cette zone, la contrainte de frottement vaut \tau_f(x, t) = \tau_r (d'après la question Q14) et la contrainte appliquée est constante et uniforme : \tau_c(x, t) = \tau_c. L'équation d'équilibre quasi-statique (7) s'écrit alors :

Par intégration successive par rapport à x, on obtient :

où C_1 et C_2 sont deux constantes d'intégration.

La continuité du champ de déplacement aux limites de la zone glissante en x = \pm \ell_g impose :

On en déduit :

Finalement, le profil de déplacement est parabolique dans la zone glissante et nul à l'extérieur :

D'après l'équation de conservation locale de l'énergie (3) et le résultat de la question 8, la densité volumique d'énergie potentielle élastique s'écrit :

Le champ de déplacement u ne dépend que de x. Le volume élémentaire d'une tranche de hauteur h et de largeur H est donc \mathrm{d}V = h H \, \mathrm{d}x.

D'après la question 16 :

• Pour |x| > \ell_g, la couche ne glisse pas et reste au repos : u(x) = 0, donc \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 0 et e_{p,\text{él}} = 0.

• Pour |x| \leqslant \ell_g, le champ de déplacement s'écrit :

  u(x) = \frac{\tau_c - \tau_r}{2Eh} (\ell_g^2 - x^2) \implies \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}(x) = - \frac{\tau_c - \tau_r}{Eh} x

L'énergie potentielle élastique totale de la couche s'obtient par intégration sur le volume du solide, qui se réduit à l'intervalle [-\ell_g, \ell_g] :

On obtient ainsi :

En l'absence de zone de glissement (\ell_g = 0 ou situation de non-glissement où u(x) = 0 partout), la couche n'est pas déformée et son énergie élastique est nulle : E_{e,\text{non-glissement}} = 0.

Puisque E_e > 0, la présence de la zone de glissement induit un gain d'énergie potentielle élastique pour la couche de solide, qui emmagasine de l'énergie mécanique sous forme de déformation élastique.

Les forces de cisaillement appliquées aux surfaces supérieure (z = h) et inférieure (z = 0) de la couche s'écrivent, pour un élément de surface \mathrm{d}S = H\,\mathrm{d}x :

• en surface supérieure (z = h) : \mathrm{d}\vec{F}_{\text{sup}} = \tau_c \, H\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_x ;
• à l'interface inférieure avec le substrat (z = 0) : \mathrm{d}\vec{F}_{\text{inf}} = -\tau_f(x) \, H\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_x.

Le champ de déplacement \vec{u}(x) = u(x)\vec{e}_x étant indépendant de z, les deux faces subissent le même déplacement longitudinal.

Le travail mécanique élémentaire des efforts de cisaillement au cours de la déformation, depuis l'état non déformé (u=0) jusqu'à l'état final u(x), s'obtient à contraintes \tau_c et \tau_f constantes :

En dehors de la zone glissante (|x| > \ell_g), u(x) = 0 et \tau_f = \tau_c, donc le travail est nul. À l'intérieur de la zone glissante (|x| \leqslant \ell_g), le frottement est saturé à la valeur de Coulomb : \tau_f(x) = \tau_r.

Le travail total des forces de cisaillement s'obtient en intégrant sur toute la zone glissante :

En utilisant l'expression du champ de déplacement obtenue à la question Q16, u(x) = \frac{\tau_c - \tau_r}{2Eh} (\ell_g^2 - x^2), il vient :

D'où l'expression du travail des forces de cisaillement :

D'après les résultats des questions Q17 et Q18, l'énergie potentielle élastique et le travail des forces de cisaillement s'expriment respectivement en fonction de la demi-longueur \ell_g par :

Lors d'une progression de la zone de glissement de [-\ell_g, \ell_g] à [-\ell_g - \mathrm{d}\ell_g, \ell_g + \mathrm{d}\ell_g], la longueur totale glissante 2\ell_g s'accroît d'une quantité 2\,\mathrm{d}\ell_g.

En dérivant par rapport à la variable 2\ell_g :

d'où le taux d'accroissement de l'énergie élastique :

De même, puisque W_{\text{cis}} = 2E_e :

d'où le taux d'accroissement du travail des forces de cisaillement :

Comparaison et déduction : On constate que :

Le travail fourni par les efforts de cisaillement extérieurs est deux fois supérieur à l'énergie stockée sous forme élastique au sein du solide.

Il en résulte un surplus d'énergie mécanique disponible :

Ce surplus d'énergie n'est pas emmagasiné par déformation élastique dans le volume et devient disponible pour rompre les liaisons à l'interface (progression de la fracture) ou pour être rayonné sous forme d'ondes sismiques.

D'après les résultats de la question Q19, le surplus d'énergie libéré lors de l'accroissement de la zone glissante de taille 2\mathrm{d}\ell_g vaut :

Par définition du taux de restitution d'énergie surfacique G(2\ell_g) = \dfrac{1}{H} \dfrac{\mathrm{d}(W_{\text{cis}} - E_e)}{\mathrm{d}(2\ell_g)}, on en déduit directement :

Cette quantité G représente l'énergie mécanique disponible par unité de surface nouvellement créée le long de l'interface. Au niveau de l'interface, cette énergie accumulée peut être utilisée pour :

• rompre les micro-contacts adhésifs assurant l'accrochage entre la couche solide et le substrat (énergie de fracturation de l'interface), ce qui permet l'avancée de la zone de glissement ;
• être dissipée sous forme de chaleur supplémentaire au front de glissement ou rayonnée sous forme d'ondes élastiques (ondes sismiques) lorsque le glissement devient instable et dynamique.

Lors d'une progression de la zone glissante d'une longueur \mathrm{d}(2\ell_g) = 2\,\mathrm{d}\ell_g, la nouvelle aire de contact rompue à l'interface est :

Le coût énergétique nécessaire pour rompre les micro-contacts sur cette surface est :

D'autre part, la variation d'énergie mécanique disponible libérée par le système pour cette même avancée s'écrit, d'après la définition du taux de restitution d'énergie G(2\ell_g) :

D'après le bilan énergétique global, la zone glissante ne peut progresser que si l'énergie mécanique restituée compense au moins le coût de création de la nouvelle zone de rupture (\mathrm{d}(W_{\text{cis}} - E_e) \ge \mathrm{d}\mathcal{E}_{\text{rupture}}), ce qui conduit à la condition :

D'après la question précédente (Q21), la zone de glissement progresse dès lors que le taux de restitution d'énergie élastique surfacique atteint le coût de fracture de l'interface, soit :

avec, d'après la question Q20 :

• Taille limite L_c d'une zone glissante stable :

  À contrainte de cisaillement \tau_c > \tau_r fixée, le glissement ne progresse pas tant que G(2\ell_g) < G_c. La demi-longueur critique \ell_{g,c} correspond au cas limite d'égalité G(2\ell_{g,c}) = G_c, ce qui donne :

  \begin{aligned} \frac{(\tau_c - \tau_r)^2 \ell_{g,c}^2}{2Eh} &= G_c \\ \ell_{g,c} &= \frac{\sqrt{2EhG_c}}{\tau_c - \tau_r} \end{aligned}

  La taille totale de la zone glissante étant L = 2\ell_g, la taille limite L_c = 2\ell_{g,c} en-dessous de laquelle il n'y a pas propagation du glissement s'écrit :

  \boxed{L_c = \frac{2\sqrt{2EhG_c}}{\tau_c - \tau_r}}

• Seuil limite \tau_c^{\lim} de la contrainte de cisaillement :

  Pour une taille de zone glissante fixée de demi-longueur \ell_g (soit une taille totale 2\ell_g), la condition de stabilité G(2\ell_g) \le G_c impose que le cisaillement appliqué reste inférieur au seuil limite \tau_c^{\lim} vérifiant G(2\ell_g) = G_c :

  \begin{aligned} \frac{(\tau_c^{\lim} - \tau_r)^2 \ell_g^2}{2Eh} &= G_c \\ \tau_c^{\lim} - \tau_r &= \frac{\sqrt{2EhG_c}}{\ell_g} \end{aligned}

  D'où l'expression de la contrainte limite au-delà de laquelle l'interface est déstabilisée :

  \boxed{\tau_c^{\lim} = \tau_r + \frac{\sqrt{2EhG_c}}{\ell_g} = \tau_r + \frac{2\sqrt{2EhG_c}}{2\ell_g}}

D'après l'expression établie à la question Q20, le taux de restitution d'énergie surfacique s'écrit en fonction de la demi-longueur de glissement \ell_g :

En dérivant par rapport à la taille totale 2\ell_g de la zone glissante, on obtient :

Stabilité de l'évolution : Puisque le coût de fracture G_c est une constante du matériau et que \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}(2\ell_g)} > 0, le taux d'énergie restituée croît strictement avec la taille de la fissure. Dès que la condition de propagation G(2\ell_g) \ge G_c est franchie (c'est-à-dire pour 2\ell_g \ge L_c), tout accroissement de taille augmente encore l'écart moteur G - G_c. L'évolution de la zone glissante est donc instable (rupture catastrophique auto-entretenue).

Évolution pour G(2\ell_g) > G_c et énergie cinétique :

• Lorsque G(2\ell_g) > G_c, l'énergie mécanique libérée par l'avancée du glissement est strictement supérieure à l'énergie nécessaire à la rupture des micro-contacts. La fissure ne peut plus être freinée : la zone glissante s'étend de manière spontanée et accélérée le long de l'interface jusqu'à atteindre des vitesses de propagation proches de la célérité des ondes élastiques. Le modèle quasi-statique cesse alors d'être valide.
• Le surplus de puissance mécanique non absorbé par la fracture de l'interface (G - G_c > 0) est converti en travail dynamique accélérant la matière : l'énergie cinétique volumique de la couche de solide augmente (apparition d'un mouvement macroscopique rapide), ce qui donne naissance au rayonnement des ondes sismiques.

1. Définition du plan d'incidence et première loi de Descartes

• Le plan d'incidence est le plan formé par la direction de propagation de l'onde incidente (portée par le vecteur d'onde \vec{k}_i) et la normale à l'interface au point d'incidence (ici portée par \vec{e}_z). Dans la géométrie choisie, il s'agit du plan (O, \vec{e}_x, \vec{e}_z).
• La première loi de Descartes stipule que le rayon réfléchi et le rayon transmis (ou réfracté) sont contenus dans le plan d'incidence.

2. Seconde loi de Descartes

Les milieux (1) et (2) étant non dispersifs pour les ondes de compression étudiées, les relations de dispersion donnent les normes des vecteurs d'onde à la pulsation \omega :

D'après la figure 8, les angles i_1, r et i_2 sont définis par rapport à la normale \vec{e}_z. Les projections des vecteurs d'onde sur l'axe tangentiel (Ox) s'écrivent donc :

L'égalité imposée des composantes tangentielles, k_{ix} = k_{rx} = k_{tx}, fournit :

• pour la réflexion :

  \frac{\omega}{c_{p1}} \sin i_1 = \frac{\omega}{c_{p1}} \sin r \implies \boxed{r = i_1}

• pour la réfraction (transmission) :

  \frac{\omega}{c_{p1}} \sin i_1 = \frac{\omega}{c_{p2}} \sin i_2 \implies \boxed{\frac{\sin i_1}{c_{p1}} = \frac{\sin i_2}{c_{p2}}}

3. Expression de k_x

On en déduit immédiatement la composante tangentielle commune du vecteur d'onde :

D'après la loi de Snell-Descartes pour la réfraction obtenue à la question Q24 :

L'angle de réfraction i_2 étant un angle réel appartenant à l'intervalle \left[0, \frac{\pi}{2}\right] pour une onde progressive se propageant dans le milieu (2), le sinus doit vérifier :

Comme c_{p1} < c_{p2}, le rapport vérifie :

Il existe donc un unique angle critique i_\ell \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ tel que :

ce qui donne l'expression de l'angle d'incidence limite :

Pour i_1 > i_\ell, l'onde ne peut plus se réfracter sous forme d'onde progressive homogène dans le milieu (2).

1. Expression du vecteur d'onde réfléchi \vec{k}_r

Dans le milieu (1), l'onde réfléchie vérifie la relation de dispersion \|\vec{k}_r\| = \frac{\omega}{c_{p1}}.

D'après les lois de Descartes établies à la question Q24, le rayon réfléchi appartient au plan d'incidence (O, \vec{e}_x, \vec{e}_z), l'angle de réflexion vaut r = i_1, et la composante tangentielle est conservée :

L'onde réfléchie se propageant en s'éloignant de l'interface vers le demi-espace z < 0, sa composante selon \vec{e}_z est négative :

On en déduit l'expression du vecteur d'onde réfléchi :

2. Composante normale k_{tz} et paramètre \delta

Dans le milieu (2), la relation de dispersion s'écrit \|\vec{k}_t\|^2 = k_{tx}^2 + k_{tz}^2 = \frac{\omega^2}{c_{p2}^2}. La continuité de la composante tangentielle impose k_{tx} = k_x = \frac{\omega}{c_{p1}}\sin i_1. Par suite :

En utilisant la relation \sin i_\ell = \frac{c_{p1}}{c_{p2}} établie à la question Q25, on obtient :

Pour i_1 > i_\ell, \sin i_1 > \sin i_\ell, donc k_{tz}^2 < 0. k_{tz} est imaginaire pur :

Le milieu (2) occupant le demi-espace z > 0, l'amplitude physique de l'onde ne peut diverger quand z \to +\infty. Le terme de propagation \exp(-j k_{tz} z) impose donc de choisir la solution de partie imaginaire négative, soit k_{tz} = -\frac{j}{\delta}, avec :

La grandeur \delta a la dimension d'une longueur ([\delta] = \mathrm{L}, exprimée en mètres) : c'est la profondeur de pénétration de l'onde dans le milieu (2).

3. Forme du champ de déplacement \vec{u}_t

En reportant \vec{k}_t = k_x \vec{e}_x - \frac{j}{\delta}\vec{e}_z et \overrightarrow{OM} = x\,\vec{e}_x + z\,\vec{e}_z dans l'expression du champ de déplacement :

Puisque l'énoncé admet que la vibration est polarisée selon \vec{e}_x, on retrouve bien :

4. Structure et caractéristiques de l'onde transmise

• Structure : Il s'agit d'une onde évanescente (ou onde plane inhomogène). Les plans équiphases sont orthogonaux à la direction de propagation \vec{e}_x (plans x = \text{cte}), tandis que les surfaces d'égale amplitude sont parallèles à l'interface (plans z = \text{cte}). L'amplitude décroît exponentiellement avec la profondeur z.
• Direction de propagation : L'onde se propage parallèlement à l'interface, dans la direction des x croissants (+\vec{e}_x).

• Vitesse de propagation : La vitesse de phase v_\varphi s'écrit :

  \boxed{v_\varphi = \frac{\omega}{k_x} = \frac{c_{p1}}{\sin i_1}}

  Puisque \sin i_\ell < \sin i_1 \le 1, cette vitesse est strictement comprise entre c_{p1} et c_{p2} :

  c_{p1} \le v_\varphi < \frac{c_{p1}}{\sin i_\ell} = c_{p2}

À l'incidence limite i_1 = i_\ell, la composante tangentielle du vecteur d'onde vaut d'après la question Q24 :

puisque \sin i_\ell = c_{p1}/c_{p2} (établi à la question Q25). La perturbation se propage donc le long de l'interface selon +\vec{e}_x à la vitesse :

Cette perturbation agit comme une source se déplaçant à la vitesse suprasonique v_s = c_{p2} par rapport au milieu 1. Pendant une durée \Delta t, la source parcourt le long de l'interface une distance :

Dans le même temps, l'onde réémise dans le milieu 1 s'est propagée sous forme d'une ondelette circulaire (sphérique en 3D) de rayon :

Le front d'onde de Mach est la droite tangente commune à ces ondelettes, inclinée d'un angle \theta_c par rapport à l'interface (figure 9). Dans le triangle rectangle formé par la source, le point d'émission et le point de tangence sur le cercle de rayon R, on a :

soit :

Par définition, la direction de propagation de l'onde réémise est portée par la normale au cône de Mach :

• le front d'onde fait un angle \theta_c avec l'interface ;
• par conséquent, la normale au front d'onde (direction du rayon réémis) fait un angle \theta_c avec la normale à l'interface (car l'angle entre deux droites est égal à l'angle entre leurs normales respectives).

Comme \sin i_\ell = \frac{c_{p1}}{c_{p2}}, on en déduit immédiatement :

L'angle entre la direction de propagation de l'onde réémise et la normale à l'interface est donc bien égal à l'angle d'incidence limite i_\ell.

L'onde directe (notée onde D) se propage en ligne droite à la surface libre z = 0, directement depuis la source s(0, 0) jusqu'au récepteur r(x, 0).

Ce trajet s'effectue intégralement dans la première couche de roche de célérité c_1. La distance parcourue le long de l'axe (\mathrm{O}x) est simplement d = x.

D'après la définition du temps de parcours donnée par l'équation (10) avec une vitesse constante v = c_1 :

D'après les lois de Snell-Descartes pour la réflexion (angle de réflexion égal à l'angle d'incidence, établi à la question Q24), le rayon réfléchi atteint l'interface z = h en son milieu d'abscisse x_I = \frac{x}{2}.

Le trajet de l'onde réfléchie est constitué de deux segments rectilignes de même longueur dans le milieu 1 où la célérité est c_1 :

• de la source s(0,0) au point de réflexion I(x/2, h) : d_1 = \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2 + h^2} ;
• du point I(x/2, h) au récepteur r(x,0) : d_2 = \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2 + h^2} = d_1.

La distance totale parcourue par l'onde réfléchie est donc :

La durée du trajet T_R(x) s'en déduit directement :

Examinons les comportements aux limites :

• Pour x = 0 (tir vertical, la source et le récepteur sont confondus) :

  \boxed{T_R(0) = \frac{2h}{c_1}}

• Pour x \to +\infty :

  T_R(x) = \frac{x}{c_1} \sqrt{1 + \frac{4h^2}{x^2}} = \frac{x}{c_1}\left(1 + \frac{2h^2}{x^2} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{x^4}\right)\right)

  Le comportement asymptotique est donc :

  \boxed{T_R(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{x}{c_1}}

1. Comportement du rayon et détection au récepteur

D'après la loi de Snell-Descartes pour la réfraction (établie à la question Q24), lorsque l'angle d'incidence atteint la valeur critique i_\ell telle que \sin i_\ell = \frac{c_1}{c_2}, l'angle de réfraction vaut :

Le rayon réfracté se propage donc parallèlement à l'interface dans le milieu le plus rapide à la célérité c_2.

Comme vu à la question Q27, la perturbation se déplaçant le long de l'interface à la vitesse c_2 > c_1 induit une ré-émission continue d'ondes sismiques dans le milieu 1 formant un front d'onde incliné (onde conique ou onde de tête, dite onde H). Les rayons associés à cette onde émergent de l'interface sous l'angle limite i_\ell par rapport à la normale. L'un de ces rayons peut donc remonter à la surface libre et atteindre effectivement le récepteur r(x, 0).

2. Durée du trajet T_H(x)

Le trajet se compose de trois segments (voir figure 10 de l'énoncé) :

• Un trajet descendant dans le milieu 1, de la source s(0,0) au point d'incidence A(x_A, h) :

  x_A = h \tan i_\ell, \quad sA = \frac{h}{\cos i_\ell}, \quad \Delta t_{sA} = \frac{h}{c_1 \cos i_\ell}

• Un trajet le long de l'interface de A(x_A, h) à B(x_B, h) à la célérité c_2. Par retour inverse et symétrie, le rayon atteignant le récepteur r(x,0) quitte l'interface en x_B = x - h\tan i_\ell :

  AB = x_B - x_A = x - 2h \tan i_\ell, \quad \Delta t_{AB} = \frac{x - 2h \tan i_\ell}{c_2}

• Un trajet remontant dans le milieu 1, de B(x_B, h) à r(x,0) :

  Br = \frac{h}{\cos i_\ell}, \quad \Delta t_{Br} = \frac{h}{c_1 \cos i_\ell}

La durée totale du trajet s'écrit :

En utilisant la relation \sin i_\ell = \frac{c_1}{c_2}, il vient 1 - \frac{c_1}{c_2}\sin i_\ell = 1 - \sin^2 i_\ell = \cos^2 i_\ell. On en déduit :

Or \cos i_\ell = \sqrt{1 - \sin^2 i_\ell} = \sqrt{1 - \frac{c_1^2}{c_2^2}} = \frac{\sqrt{c_2^2 - c_1^2}}{c_2}, d'où :

3. Condition d'existence

Pour que le trajet réfracté existe géométriquement et atteigne la surface libre, la distance parcourue le long de l'interface doit être positive ou nulle (x_B \ge x_A, soit AB \ge 0) :

En explicitant \tan i_\ell = \frac{\sin i_\ell}{\cos i_\ell} = \frac{c_1}{\sqrt{c_2^2 - c_1^2}}, la condition sur la distance source-récepteur s'écrit :

Rappelons les expressions des durées de trajet établies aux questions Q28, Q29 et Q30 :

• Onde directe D : T_D(x) = \dfrac{x}{c_1} pour tout x \ge 0 (droite de pente 1/c_1 passant par l'origine).
• Onde réfléchie R : T_R(x) = \dfrac{\sqrt{x^2+4h^2}}{c_1} (branche d'hyperbole d'ordonnée à l'origine T_R(0)=\dfrac{2h}{c_1}, asymptote T_R(x) \sim \dfrac{x}{c_1}).
• Onde réfractée H : T_H(x) = \dfrac{x}{c_2} + \tau_1 avec \tau_1 = \dfrac{2h\sqrt{c_2^2-c_1^2}}{c_1c_2}, définie uniquement pour x \ge x_{\text{crit}} = \dfrac{2hc_1}{\sqrt{c_2^2-c_1^2}}.

En x = x_{\text{crit}}, on a T_H(x_{\text{crit}}) = T_R(x_{\text{crit}}) : la droite T_H(x) est tangente à l'hyperbole T_R(x).

Calcul de la distance de croisement x_d : L'onde réfractée arrive en premier lorsque T_H(x) < T_D(x). La distance frontière x_d vérifie :

D'où :

Comme c_2 > c_1, le terme sous la racine est strictement supérieur à 1, ce qui assure bien x_d > x_{\text{crit}} = \dfrac{2h c_1}{\sqrt{c_2^2-c_1^2}}.

Forme de la courbe des premiers temps d'arrivée : La courbe matérialisant les premières arrivées (hodochrone des premières arrivées) est une ligne brisée formée de deux segments de droites :

• pour 0 \le x \le x_d, une droite de pente \dfrac{1}{c_1} passant par l'origine ;
• pour x \ge x_d, une droite de pente plus faible \dfrac{1}{c_2} < \dfrac{1}{c_1}, d'ordonnée à l'origine \tau_1.

Types d'ondes participant à cette courbe :

• L'onde directe D pour x \in [0, x_d].
• L'onde réfractée H (onde conique critique) pour x > x_d.

L'onde réfléchie R n'arrive jamais en premier, car pour tout x > 0, T_R(x) > T_D(x).

1. Commentaire du sismogramme et justification théorique

Les flèches indiquent le temps de première arrivée de l'onde sismique à chaque géophone. On constate que ces points d'arrivée se répartissent selon deux segments de droite distincts :

• pour x \le 20\text{ m}, le temps d'arrivée augmente régulièrement avec la distance ;
• pour x \ge 20\text{ m}, la pente de la courbe x(t) augmente nettement (le temps d'arrivée n'augmente que très peu avec la distance).

La courbe des premières arrivées est une ligne brisée formée de deux demi-droites, ce qui est parfaitement conforme aux prédictions de la question Q31 : pour x < x_d, l'onde directe (vitesse c_1) arrive la première, tandis que pour x > x_d, l'onde conique réfractée (vitesse apparente c_2 > c_1) la devance.

2. Détermination expérimentale des vitesses et de x_d

Sur le sismogramme, l'axe vertical représente la distance x et l'axe horizontal le temps t. La vitesse de propagation correspond donc à la pente :

• Distance de croisement x_d : la rupture de pente est clairement localisée à :

  \boxed{x_d \simeq 20\text{ m}}

• Vitesse c_1 dans la première couche : sur la branche de l'onde directe (x \le 20\text{ m}), relevons les temps d'arrivée par exemple en x = 5\text{ m} (t \simeq 11\text{ ms}) et en x = 17\text{ m} (t \simeq 35\text{ ms}) :

  \begin{aligned} c_1 &= \frac{17 - 5}{(35 - 11)\times 10^{-3}} = \frac{12}{24\times 10^{-3}} = 500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}
  \boxed{c_1 \simeq 5{,}0\times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

• Vitesse c_2 dans le demi-espace sous-jacent : sur la branche de l'onde réfractée (x \ge 20\text{ m}), relevons entre x = 20\text{ m} (t \simeq 41\text{ ms}) et x = 38\text{ m} (t \simeq 47\text{ ms}) :

  \begin{aligned} c_2 &= \frac{38 - 20}{(47 - 41)\times 10^{-3}} = \frac{18}{6\times 10^{-3}} = 3000\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}
  \boxed{c_2 \simeq 3{,}0\times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

3. Hauteur h de la première couche

D'après la relation établie à la question Q31 :

En effectuant l'application numérique :

Compte tenu des incertitudes de lecture graphique :

4. Facteurs limitant la portée en profondeur de la méthode

• Contrainte d'encombrement géométrique : la distance de croisement vérifie x_d \propto h (ici x_d \simeq 2{,}4\,h). Pour sonder des couches profondes (h \sim 1\text{ km} ou plus), le dispositif de mesure (la « flûte » de capteurs) doit s'étendre sur une distance x \gg h de plusieurs kilomètres, ce qui devient logistiquement très lourd sur le terrain.
• Atténuation de l'énergie : l'énergie de l'onde décroît fortement avec la distance parcourue du fait de l'étalement géométrique et de l'atténuation anélastique du milieu. Sonder profondément nécessiterait des sources d'excitation démesurées.
• Condition de vitesse croissante : la réfraction limite n'existe que si la vitesse augmente avec la profondeur (c_2 > c_1). Toute couche à vitesse plus faible (« couche lente ») est indétectable par réfraction sismique.

1. Trajets possibles des ondes sismiques

Pour une source et un récepteur situés à la surface de la première couche, les trajets géométriquement admissibles sont :

• l'onde directe D, se propageant dans la couche 1 à la vitesse c_1 le long de la surface libre ;
• les ondes réfléchies : onde R_1 réfléchie sur l'interface 1/2 et onde R_2 transmise dans la couche 2 puis réfléchie sur l'interface 2/3 ;

• les ondes réfractées coniques (ondes de tête ou ondes H) permises par c_1 < c_2 < c_3 :

  • l'onde H_1, réfractée à l'angle critique à l'interface 1/2, se propageant le long du toit de la couche 2 à la vitesse c_2 ;
  • l'onde H_2, réfractée à l'angle critique à l'interface 2/3, se propageant le long du toit du demi-espace 3 à la vitesse c_3.

2. Angle d'incidence \theta_1 à l'interface 1/2

À l'interface 2/3, l'angle critique de réfraction est défini par la relation de Snell-Descartes :

Les interfaces étant planes et horizontales, l'angle de réfraction dans le milieu 2 à l'interface 1/2 est égal à l'angle d'incidence sur l'interface 2/3 : \theta_2 = i_{\ell(2/3)}. En appliquant la loi de Descartes à l'interface 1/2 :

On en déduit :

3. Temps d'arrivée T_{H_2}(x) de l'onde réfractée à l'interface 2/3

Le trajet de l'onde H_2 comporte :

• une traversée descendante de la couche 1 sous l'angle \theta_1, sur une distance h_1/\cos\theta_1 (déport horizontal h_1\tan\theta_1) ;
• une traversée descendante de la couche 2 sous l'angle \theta_2, sur une distance h_2/\cos\theta_2 (déport horizontal h_2\tan\theta_2) ;
• un parcours horizontal le long de l'interface 2/3 à la célérité c_3 sur une distance x - 2(h_1\tan\theta_1 + h_2\tan\theta_2) ;
• une remontée symétrique vers la surface à travers les milieux 2 puis 1.

Le temps de parcours total s'écrit donc :

En utilisant \frac{\sin\theta_1}{c_3} = \frac{\sin^2\theta_1}{c_1} et \frac{\sin\theta_2}{c_3} = \frac{\sin^2\theta_2}{c_2}, il vient :

Ainsi, le temps de trajet est de la forme :

avec le temps d'interception :

4. Tracé qualitatif des hodochrones

Les temps de parcours des trois ondes principales vérifient :

Les pentes successives diminuent (1/c_1 > 1/c_2 > 1/c_3) tandis que les ordonnées à l'origine croissent (0 < \tau_1 < \tau_2).

5. Informations issues de la courbe des premiers temps d'arrivée

La courbe des premières arrivées forme une ligne brisée concave, composée successivement des segments T_D(x) pour x < x_{d1}, T_{H_1}(x) pour x_{d1} < x < x_{d2}, puis T_{H_2}(x) pour x > x_{d2}.

• La pente de chaque segment donne l'inverse de la vitesse de l'onde dans la couche correspondante (1/c_1, 1/c_2, 1/c_3).
• Les temps d'interception \tau_1 et \tau_2 (ordonnées à l'origine par extrapolation des segments) permettent de calculer successivement les épaisseurs h_1 et h_2 des différentes strates géologiques.