Corrigé détaillé X ENS Physique PSI 2022 (page 3/4 : Partie III)

1. Définition du plan d'incidence et première loi de Descartes

• Le plan d'incidence est le plan formé par la direction de propagation de l'onde incidente (portée par le vecteur d'onde \vec{k}_i) et la normale à l'interface au point d'incidence (ici portée par \vec{e}_z). Dans la géométrie choisie, il s'agit du plan (O, \vec{e}_x, \vec{e}_z).
• La première loi de Descartes stipule que le rayon réfléchi et le rayon transmis (ou réfracté) sont contenus dans le plan d'incidence.

2. Seconde loi de Descartes

Les milieux (1) et (2) étant non dispersifs pour les ondes de compression étudiées, les relations de dispersion donnent les normes des vecteurs d'onde à la pulsation \omega :

D'après la figure 8, les angles i_1, r et i_2 sont définis par rapport à la normale \vec{e}_z. Les projections des vecteurs d'onde sur l'axe tangentiel (Ox) s'écrivent donc :

L'égalité imposée des composantes tangentielles, k_{ix} = k_{rx} = k_{tx}, fournit :

• pour la réflexion :

  \frac{\omega}{c_{p1}} \sin i_1 = \frac{\omega}{c_{p1}} \sin r \implies \boxed{r = i_1}

• pour la réfraction (transmission) :

  \frac{\omega}{c_{p1}} \sin i_1 = \frac{\omega}{c_{p2}} \sin i_2 \implies \boxed{\frac{\sin i_1}{c_{p1}} = \frac{\sin i_2}{c_{p2}}}

3. Expression de k_x

On en déduit immédiatement la composante tangentielle commune du vecteur d'onde :

D'après la loi de Snell-Descartes pour la réfraction obtenue à la question Q24 :

L'angle de réfraction i_2 étant un angle réel appartenant à l'intervalle \left[0, \frac{\pi}{2}\right] pour une onde progressive se propageant dans le milieu (2), le sinus doit vérifier :

Comme c_{p1} < c_{p2}, le rapport vérifie :

Il existe donc un unique angle critique i_\ell \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ tel que :

ce qui donne l'expression de l'angle d'incidence limite :

Pour i_1 > i_\ell, l'onde ne peut plus se réfracter sous forme d'onde progressive homogène dans le milieu (2).

1. Expression du vecteur d'onde réfléchi \vec{k}_r

Dans le milieu (1), l'onde réfléchie vérifie la relation de dispersion \|\vec{k}_r\| = \frac{\omega}{c_{p1}}.

D'après les lois de Descartes établies à la question Q24, le rayon réfléchi appartient au plan d'incidence (O, \vec{e}_x, \vec{e}_z), l'angle de réflexion vaut r = i_1, et la composante tangentielle est conservée :

L'onde réfléchie se propageant en s'éloignant de l'interface vers le demi-espace z < 0, sa composante selon \vec{e}_z est négative :

On en déduit l'expression du vecteur d'onde réfléchi :

2. Composante normale k_{tz} et paramètre \delta

Dans le milieu (2), la relation de dispersion s'écrit \|\vec{k}_t\|^2 = k_{tx}^2 + k_{tz}^2 = \frac{\omega^2}{c_{p2}^2}. La continuité de la composante tangentielle impose k_{tx} = k_x = \frac{\omega}{c_{p1}}\sin i_1. Par suite :

En utilisant la relation \sin i_\ell = \frac{c_{p1}}{c_{p2}} établie à la question Q25, on obtient :

Pour i_1 > i_\ell, \sin i_1 > \sin i_\ell, donc k_{tz}^2 < 0. k_{tz} est imaginaire pur :

Le milieu (2) occupant le demi-espace z > 0, l'amplitude physique de l'onde ne peut diverger quand z \to +\infty. Le terme de propagation \exp(-j k_{tz} z) impose donc de choisir la solution de partie imaginaire négative, soit k_{tz} = -\frac{j}{\delta}, avec :

La grandeur \delta a la dimension d'une longueur ([\delta] = \mathrm{L}, exprimée en mètres) : c'est la profondeur de pénétration de l'onde dans le milieu (2).

3. Forme du champ de déplacement \vec{u}_t

En reportant \vec{k}_t = k_x \vec{e}_x - \frac{j}{\delta}\vec{e}_z et \overrightarrow{OM} = x\,\vec{e}_x + z\,\vec{e}_z dans l'expression du champ de déplacement :

Puisque l'énoncé admet que la vibration est polarisée selon \vec{e}_x, on retrouve bien :

4. Structure et caractéristiques de l'onde transmise

• Structure : Il s'agit d'une onde évanescente (ou onde plane inhomogène). Les plans équiphases sont orthogonaux à la direction de propagation \vec{e}_x (plans x = \text{cte}), tandis que les surfaces d'égale amplitude sont parallèles à l'interface (plans z = \text{cte}). L'amplitude décroît exponentiellement avec la profondeur z.
• Direction de propagation : L'onde se propage parallèlement à l'interface, dans la direction des x croissants (+\vec{e}_x).

• Vitesse de propagation : La vitesse de phase v_\varphi s'écrit :

  \boxed{v_\varphi = \frac{\omega}{k_x} = \frac{c_{p1}}{\sin i_1}}

  Puisque \sin i_\ell < \sin i_1 \le 1, cette vitesse est strictement comprise entre c_{p1} et c_{p2} :

  c_{p1} \le v_\varphi < \frac{c_{p1}}{\sin i_\ell} = c_{p2}

À l'incidence limite i_1 = i_\ell, la composante tangentielle du vecteur d'onde vaut d'après la question Q24 :

puisque \sin i_\ell = c_{p1}/c_{p2} (établi à la question Q25). La perturbation se propage donc le long de l'interface selon +\vec{e}_x à la vitesse :

Cette perturbation agit comme une source se déplaçant à la vitesse suprasonique v_s = c_{p2} par rapport au milieu 1. Pendant une durée \Delta t, la source parcourt le long de l'interface une distance :

Dans le même temps, l'onde réémise dans le milieu 1 s'est propagée sous forme d'une ondelette circulaire (sphérique en 3D) de rayon :

Le front d'onde de Mach est la droite tangente commune à ces ondelettes, inclinée d'un angle \theta_c par rapport à l'interface (figure 9). Dans le triangle rectangle formé par la source, le point d'émission et le point de tangence sur le cercle de rayon R, on a :

soit :

Par définition, la direction de propagation de l'onde réémise est portée par la normale au cône de Mach :

• le front d'onde fait un angle \theta_c avec l'interface ;
• par conséquent, la normale au front d'onde (direction du rayon réémis) fait un angle \theta_c avec la normale à l'interface (car l'angle entre deux droites est égal à l'angle entre leurs normales respectives).

Comme \sin i_\ell = \frac{c_{p1}}{c_{p2}}, on en déduit immédiatement :

L'angle entre la direction de propagation de l'onde réémise et la normale à l'interface est donc bien égal à l'angle d'incidence limite i_\ell.

L'onde directe (notée onde D) se propage en ligne droite à la surface libre z = 0, directement depuis la source s(0, 0) jusqu'au récepteur r(x, 0).

Ce trajet s'effectue intégralement dans la première couche de roche de célérité c_1. La distance parcourue le long de l'axe (\mathrm{O}x) est simplement d = x.

D'après la définition du temps de parcours donnée par l'équation (10) avec une vitesse constante v = c_1 :

D'après les lois de Snell-Descartes pour la réflexion (angle de réflexion égal à l'angle d'incidence, établi à la question Q24), le rayon réfléchi atteint l'interface z = h en son milieu d'abscisse x_I = \frac{x}{2}.

Le trajet de l'onde réfléchie est constitué de deux segments rectilignes de même longueur dans le milieu 1 où la célérité est c_1 :

• de la source s(0,0) au point de réflexion I(x/2, h) : d_1 = \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2 + h^2} ;
• du point I(x/2, h) au récepteur r(x,0) : d_2 = \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2 + h^2} = d_1.

La distance totale parcourue par l'onde réfléchie est donc :

La durée du trajet T_R(x) s'en déduit directement :

Examinons les comportements aux limites :

• Pour x = 0 (tir vertical, la source et le récepteur sont confondus) :

  \boxed{T_R(0) = \frac{2h}{c_1}}

• Pour x \to +\infty :

  T_R(x) = \frac{x}{c_1} \sqrt{1 + \frac{4h^2}{x^2}} = \frac{x}{c_1}\left(1 + \frac{2h^2}{x^2} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{x^4}\right)\right)

  Le comportement asymptotique est donc :

  \boxed{T_R(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{x}{c_1}}

1. Comportement du rayon et détection au récepteur

D'après la loi de Snell-Descartes pour la réfraction (établie à la question Q24), lorsque l'angle d'incidence atteint la valeur critique i_\ell telle que \sin i_\ell = \frac{c_1}{c_2}, l'angle de réfraction vaut :

Le rayon réfracté se propage donc parallèlement à l'interface dans le milieu le plus rapide à la célérité c_2.

Comme vu à la question Q27, la perturbation se déplaçant le long de l'interface à la vitesse c_2 > c_1 induit une ré-émission continue d'ondes sismiques dans le milieu 1 formant un front d'onde incliné (onde conique ou onde de tête, dite onde H). Les rayons associés à cette onde émergent de l'interface sous l'angle limite i_\ell par rapport à la normale. L'un de ces rayons peut donc remonter à la surface libre et atteindre effectivement le récepteur r(x, 0).

2. Durée du trajet T_H(x)

Le trajet se compose de trois segments (voir figure 10 de l'énoncé) :

• Un trajet descendant dans le milieu 1, de la source s(0,0) au point d'incidence A(x_A, h) :

  x_A = h \tan i_\ell, \quad sA = \frac{h}{\cos i_\ell}, \quad \Delta t_{sA} = \frac{h}{c_1 \cos i_\ell}

• Un trajet le long de l'interface de A(x_A, h) à B(x_B, h) à la célérité c_2. Par retour inverse et symétrie, le rayon atteignant le récepteur r(x,0) quitte l'interface en x_B = x - h\tan i_\ell :

  AB = x_B - x_A = x - 2h \tan i_\ell, \quad \Delta t_{AB} = \frac{x - 2h \tan i_\ell}{c_2}

• Un trajet remontant dans le milieu 1, de B(x_B, h) à r(x,0) :

  Br = \frac{h}{\cos i_\ell}, \quad \Delta t_{Br} = \frac{h}{c_1 \cos i_\ell}

La durée totale du trajet s'écrit :

En utilisant la relation \sin i_\ell = \frac{c_1}{c_2}, il vient 1 - \frac{c_1}{c_2}\sin i_\ell = 1 - \sin^2 i_\ell = \cos^2 i_\ell. On en déduit :

Or \cos i_\ell = \sqrt{1 - \sin^2 i_\ell} = \sqrt{1 - \frac{c_1^2}{c_2^2}} = \frac{\sqrt{c_2^2 - c_1^2}}{c_2}, d'où :

3. Condition d'existence

Pour que le trajet réfracté existe géométriquement et atteigne la surface libre, la distance parcourue le long de l'interface doit être positive ou nulle (x_B \ge x_A, soit AB \ge 0) :

En explicitant \tan i_\ell = \frac{\sin i_\ell}{\cos i_\ell} = \frac{c_1}{\sqrt{c_2^2 - c_1^2}}, la condition sur la distance source-récepteur s'écrit :

Rappelons les expressions des durées de trajet établies aux questions Q28, Q29 et Q30 :

• Onde directe D : T_D(x) = \dfrac{x}{c_1} pour tout x \ge 0 (droite de pente 1/c_1 passant par l'origine).
• Onde réfléchie R : T_R(x) = \dfrac{\sqrt{x^2+4h^2}}{c_1} (branche d'hyperbole d'ordonnée à l'origine T_R(0)=\dfrac{2h}{c_1}, asymptote T_R(x) \sim \dfrac{x}{c_1}).
• Onde réfractée H : T_H(x) = \dfrac{x}{c_2} + \tau_1 avec \tau_1 = \dfrac{2h\sqrt{c_2^2-c_1^2}}{c_1c_2}, définie uniquement pour x \ge x_{\text{crit}} = \dfrac{2hc_1}{\sqrt{c_2^2-c_1^2}}.

En x = x_{\text{crit}}, on a T_H(x_{\text{crit}}) = T_R(x_{\text{crit}}) : la droite T_H(x) est tangente à l'hyperbole T_R(x).

Calcul de la distance de croisement x_d : L'onde réfractée arrive en premier lorsque T_H(x) < T_D(x). La distance frontière x_d vérifie :

D'où :

Comme c_2 > c_1, le terme sous la racine est strictement supérieur à 1, ce qui assure bien x_d > x_{\text{crit}} = \dfrac{2h c_1}{\sqrt{c_2^2-c_1^2}}.

Forme de la courbe des premiers temps d'arrivée : La courbe matérialisant les premières arrivées (hodochrone des premières arrivées) est une ligne brisée formée de deux segments de droites :

• pour 0 \le x \le x_d, une droite de pente \dfrac{1}{c_1} passant par l'origine ;
• pour x \ge x_d, une droite de pente plus faible \dfrac{1}{c_2} < \dfrac{1}{c_1}, d'ordonnée à l'origine \tau_1.

Types d'ondes participant à cette courbe :

• L'onde directe D pour x \in [0, x_d].
• L'onde réfractée H (onde conique critique) pour x > x_d.

L'onde réfléchie R n'arrive jamais en premier, car pour tout x > 0, T_R(x) > T_D(x).

1. Commentaire du sismogramme et justification théorique

Les flèches indiquent le temps de première arrivée de l'onde sismique à chaque géophone. On constate que ces points d'arrivée se répartissent selon deux segments de droite distincts :

• pour x \le 20\text{ m}, le temps d'arrivée augmente régulièrement avec la distance ;
• pour x \ge 20\text{ m}, la pente de la courbe x(t) augmente nettement (le temps d'arrivée n'augmente que très peu avec la distance).

La courbe des premières arrivées est une ligne brisée formée de deux demi-droites, ce qui est parfaitement conforme aux prédictions de la question Q31 : pour x < x_d, l'onde directe (vitesse c_1) arrive la première, tandis que pour x > x_d, l'onde conique réfractée (vitesse apparente c_2 > c_1) la devance.

2. Détermination expérimentale des vitesses et de x_d

Sur le sismogramme, l'axe vertical représente la distance x et l'axe horizontal le temps t. La vitesse de propagation correspond donc à la pente :

• Distance de croisement x_d : la rupture de pente est clairement localisée à :

  \boxed{x_d \simeq 20\text{ m}}

• Vitesse c_1 dans la première couche : sur la branche de l'onde directe (x \le 20\text{ m}), relevons les temps d'arrivée par exemple en x = 5\text{ m} (t \simeq 11\text{ ms}) et en x = 17\text{ m} (t \simeq 35\text{ ms}) :

  \begin{aligned} c_1 &= \frac{17 - 5}{(35 - 11)\times 10^{-3}} = \frac{12}{24\times 10^{-3}} = 500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}
  \boxed{c_1 \simeq 5{,}0\times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

• Vitesse c_2 dans le demi-espace sous-jacent : sur la branche de l'onde réfractée (x \ge 20\text{ m}), relevons entre x = 20\text{ m} (t \simeq 41\text{ ms}) et x = 38\text{ m} (t \simeq 47\text{ ms}) :

  \begin{aligned} c_2 &= \frac{38 - 20}{(47 - 41)\times 10^{-3}} = \frac{18}{6\times 10^{-3}} = 3000\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}
  \boxed{c_2 \simeq 3{,}0\times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

3. Hauteur h de la première couche

D'après la relation établie à la question Q31 :

En effectuant l'application numérique :

Compte tenu des incertitudes de lecture graphique :

4. Facteurs limitant la portée en profondeur de la méthode

• Contrainte d'encombrement géométrique : la distance de croisement vérifie x_d \propto h (ici x_d \simeq 2{,}4\,h). Pour sonder des couches profondes (h \sim 1\text{ km} ou plus), le dispositif de mesure (la « flûte » de capteurs) doit s'étendre sur une distance x \gg h de plusieurs kilomètres, ce qui devient logistiquement très lourd sur le terrain.
• Atténuation de l'énergie : l'énergie de l'onde décroît fortement avec la distance parcourue du fait de l'étalement géométrique et de l'atténuation anélastique du milieu. Sonder profondément nécessiterait des sources d'excitation démesurées.
• Condition de vitesse croissante : la réfraction limite n'existe que si la vitesse augmente avec la profondeur (c_2 > c_1). Toute couche à vitesse plus faible (« couche lente ») est indétectable par réfraction sismique.

1. Trajets possibles des ondes sismiques

Pour une source et un récepteur situés à la surface de la première couche, les trajets géométriquement admissibles sont :

• l'onde directe D, se propageant dans la couche 1 à la vitesse c_1 le long de la surface libre ;
• les ondes réfléchies : onde R_1 réfléchie sur l'interface 1/2 et onde R_2 transmise dans la couche 2 puis réfléchie sur l'interface 2/3 ;

• les ondes réfractées coniques (ondes de tête ou ondes H) permises par c_1 < c_2 < c_3 :

  • l'onde H_1, réfractée à l'angle critique à l'interface 1/2, se propageant le long du toit de la couche 2 à la vitesse c_2 ;
  • l'onde H_2, réfractée à l'angle critique à l'interface 2/3, se propageant le long du toit du demi-espace 3 à la vitesse c_3.

2. Angle d'incidence \theta_1 à l'interface 1/2

À l'interface 2/3, l'angle critique de réfraction est défini par la relation de Snell-Descartes :

Les interfaces étant planes et horizontales, l'angle de réfraction dans le milieu 2 à l'interface 1/2 est égal à l'angle d'incidence sur l'interface 2/3 : \theta_2 = i_{\ell(2/3)}. En appliquant la loi de Descartes à l'interface 1/2 :

On en déduit :

3. Temps d'arrivée T_{H_2}(x) de l'onde réfractée à l'interface 2/3

Le trajet de l'onde H_2 comporte :

• une traversée descendante de la couche 1 sous l'angle \theta_1, sur une distance h_1/\cos\theta_1 (déport horizontal h_1\tan\theta_1) ;
• une traversée descendante de la couche 2 sous l'angle \theta_2, sur une distance h_2/\cos\theta_2 (déport horizontal h_2\tan\theta_2) ;
• un parcours horizontal le long de l'interface 2/3 à la célérité c_3 sur une distance x - 2(h_1\tan\theta_1 + h_2\tan\theta_2) ;
• une remontée symétrique vers la surface à travers les milieux 2 puis 1.

Le temps de parcours total s'écrit donc :

En utilisant \frac{\sin\theta_1}{c_3} = \frac{\sin^2\theta_1}{c_1} et \frac{\sin\theta_2}{c_3} = \frac{\sin^2\theta_2}{c_2}, il vient :

Ainsi, le temps de trajet est de la forme :

avec le temps d'interception :

4. Tracé qualitatif des hodochrones

Les temps de parcours des trois ondes principales vérifient :

Les pentes successives diminuent (1/c_1 > 1/c_2 > 1/c_3) tandis que les ordonnées à l'origine croissent (0 < \tau_1 < \tau_2).

5. Informations issues de la courbe des premiers temps d'arrivée

La courbe des premières arrivées forme une ligne brisée concave, composée successivement des segments T_D(x) pour x < x_{d1}, T_{H_1}(x) pour x_{d1} < x < x_{d2}, puis T_{H_2}(x) pour x > x_{d2}.

• La pente de chaque segment donne l'inverse de la vitesse de l'onde dans la couche correspondante (1/c_1, 1/c_2, 1/c_3).
• Les temps d'interception \tau_1 et \tau_2 (ordonnées à l'origine par extrapolation des segments) permettent de calculer successivement les épaisseurs h_1 et h_2 des différentes strates géologiques.

1. Phénomène à l'interface 1/2 (c_2 < c_1) :
D'après la loi de Snell-Descartes appliquée à l'interface 1/2 :

Puisque c_2 < c_1, le rayon réfracté se rapproche de la normale (i_2 < i_1). Pour obtenir une réfraction critique le long de l'interface (i_2 = \pi/2), il faudrait :

ce qui est physiquement impossible. Par conséquent, il ne peut pas se former d'onde réfractée critique (onde conique de tête) le long de l'interface 1/2.

2. Rayons qui existent :

• L'onde directe D, se propageant en surface à la célérité c_1.
• Les ondes réfléchies R_1 (à l'interface 1/2) et R_2 (à l'interface 2/3).

• L'onde réfractée critique à l'interface 2/3 : en effet, pour i_2 = i_{\ell(2/3)} = \arcsin(c_2/c_3), l'angle d'incidence i_1 dans la couche 1 vérifie :

  \sin i_1 = \frac{c_1}{c_3} < 1 \quad (\text{car } c_1 < c_3)

  Cet angle existe, si bien qu'un rayon réfracté critique peut glisser le long de l'interface 2/3 à la vitesse c_3 et remonter vers la surface.

• En revanche, l'onde réfractée critique à l'interface 1/2 n'existe pas.

3. Limite(s) principale(s) de la méthode :

Les conséquences et limites associées sont :

• Problème de la couche cachée (hidden layer ou low-velocity zone) : la couche 2 ne générant aucune onde de tête, elle n'apparaît sur aucun segment de la dromochronique des premières arrivées. Sa célérité c_2 et son épaisseur h_2 demeurent totalement indétectables par cette méthode.
• Erreur sur la profondeur des interfaces profondes : en ignorant l'existence de cette zone de basse vitesse ou en supposant une augmentation monotone de la vitesse, le calcul de la profondeur de l'interface 2/3 est systématiquement surestimé.