Corrigé détaillé X ENS Physique PSI 2022 (page 2/4 : Partie II)

On étudie la tranche de solide délimitée par les abscisses x et x+\mathrm{d}x, de dimensions \mathrm{d}x selon (\mathrm{O}x), H selon (\mathrm{O}y) et h selon (\mathrm{O}z). La section droite est S = hH et les surfaces supérieure et inférieure valent \mathrm{d}S = H\,\mathrm{d}x.

1. Actions selon la direction verticale (\mathrm{O}z) :

• Force normale appliquée en surface supérieure (z = h) :

  \vec{F}_N = -\sigma_N H\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_z

• Réaction normale exercée par le substrat en surface inférieure (z = 0) :

  \vec{F}_R = \sigma_R H\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_z

Le mouvement selon (\mathrm{O}z) étant négligé, ces forces se compensent (\sigma_R \simeq \sigma_N).

2. Actions selon la direction longitudinale (\mathrm{O}x) :

• Forces élastiques internes exercées par le reste de la couche sur les sections droites en x et x+\mathrm{d}x (en utilisant la loi de Hooke uniaxiale F = S E \frac{\partial u}{\partial x}) :

  \begin{aligned} \text{En } x : \quad & \vec{F}_{\text{él}}(x) = - E h H \frac{\partial u}{\partial x}(x, t)\,\vec{e}_x \\ \text{En } x+\mathrm{d}x : \quad & \vec{F}_{\text{él}}(x+\mathrm{d}x) = + E h H \frac{\partial u}{\partial x}(x+\mathrm{d}x, t)\,\vec{e}_x \end{aligned}

  Leur résultante vaut :

  \mathrm{d}\vec{F}_{\text{él}} = E h H \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, t)\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_x

• Force de cisaillement en surface supérieure (z = h), orientée selon +\vec{e}_x :

  \vec{F}_c = \tau_c(x, t) H\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_x

• Force de frottement exercée par le substrat en surface inférieure (z = 0), définie positive selon -\vec{e}_x :

  \vec{F}_f = -\tau_f(x, t) H\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_x

La résultante des forces selon l'axe (\mathrm{O}x) s'écrit donc :

On applique le principe fondamental de la dynamique à la tranche de solide délimitée par les abscisses x et x+\mathrm{d}x, de masse \mathrm{d}m = \rho S\,\mathrm{d}x = \rho h H\,\mathrm{d}x, dans le référentiel d'étude supposé galiléen :

En projetant sur l'axe (\mathrm{O}x), le mouvement étant unidirectionnel suivant cet axe, et en utilisant l'expression de la résultante des forces obtenue à la question Q9 :

En divisant chaque terme par E h H \,\mathrm{d}x, on obtient :

En introduisant la célérité des ondes de compression c_p = \sqrt{\frac{E}{\rho}} établie à la question Q5, soit \frac{\rho}{E} = \frac{1}{c_p^2}, on réordonne les termes :

Par identification avec l'équation (4) proposée par l'énoncé :

D'après la question Q10, l'équation régissant le déplacement s'écrit :

Multiplions cette équation par E\frac{\partial u}{\partial t} en utilisant la relation E/c_p^2 = \rho :

En utilisant les identités remarquées en question Q8 :

En réorganisant les termes, l'équation de conservation de l'énergie mécanique volumique devient :

Signification physique des nouveaux termes :

• Le terme \displaystyle \mathcal{P}_{c,\mathrm{vol}} = \frac{\tau_c(x, t)}{h} \frac{\partial u}{\partial t} représente la puissance volumique fournie au solide par la force de cisaillement extérieure appliquée en surface supérieure (z = h). C'est un apport d'énergie mécanique au système.
• Le terme \displaystyle \mathcal{P}_{f,\mathrm{vol}} = -\frac{\tau_f(x, t)}{h} \frac{\partial u}{\partial t} représente la puissance volumique cédée au niveau de l'interface inférieure (z = 0) sous l'effet du frottement avec le substrat.

Échauffement de l'interface :

Lorsque le solide glisse sur le substrat, la force de frottement tangentielle s'oppose au mouvement (travail résistant). Le terme lié à la force de frottement, à savoir :

représente une perte d'énergie mécanique volumique, dissipée de façon irréversible en chaleur par frottement à l'interface solide/substrat. C'est donc ce terme qui traduit un échauffement thermique de l'interface (échauffement frictionnel).

On introduit les variables adimensionnées (notées avec un tilde) définies par :

Les opérateurs de dérivation spatiale et temporelle se réécrivent :

D'après l'équation (4) établie à la question Q10 avec A = \frac{1}{E h} :

En injectant les grandeurs adimensionnées :

En multipliant toute l'équation par le facteur \frac{\ell^2}{u_0}, on obtient bien :

Puisque par hypothèse \frac{\ell}{T} \ll c_p, on a :

Le terme d'inertie (membre de gauche) est donc négligeable devant les autres termes de l'équation. En posant le nombre sans dimension :

l'équation adimensionnée se simplifie en :

Considérons le volume de solide affecté par la perturbation, délimité par une longueur \ell, une largeur H et une épaisseur h :

• Force de cisaillement externe : elle s'exerce sur les faces horizontales (en z=0 et z=h) d'aire S_{\mathrm{cis}} = H \ell avec une contrainte typique \tau_0. L'ordre de grandeur de cette force de cisaillement est :

  F_{\mathrm{cis}} \sim \tau_0 \, H \ell

• Force élastique interne (traction/compression) : elle s'exerce sur la section transversale S_{\mathrm{trans}} = H h. Le gradient de déplacement caractéristique est \frac{\partial u}{\partial x} \sim \frac{u_0}{\ell}, ce qui induit une contrainte élastique \sigma \sim E \frac{u_0}{\ell} d'après la loi de Hooke. La force élastique de rappel longitudinale est donc d'ordre de grandeur :

  F_{\text{él}} \sim \sigma S_{\mathrm{trans}} \sim E \frac{u_0}{\ell} \, H h

Le rapport de ces deux forces s'écrit alors :

Ce nombre sans dimension s'interprète donc comme le rapport entre :

• la force motrice ou résistante de cisaillement externe s'exerçant aux interfaces de la plaque (frottement et contrainte imposée),
• et la force de rappel d'élasticité interne s'opposant à la déformation longitudinale au sein du matériau.

Considérons le contact entre la couche de solide (solide 1) et le substrat (solide 2) au niveau de l'interface en z = 0.

1. Équilibre vertical : Le mouvement selon l'axe (\mathrm{O}z) étant négligé, l'équilibre mécanique vertical d'un élément de surface \mathrm{d}S = H\,\mathrm{d}x impose l'égalité entre la réaction normale du substrat et la force pressante appliquée au sommet :

   \sigma_R = \sigma_N \implies \|\mathrm{d}\vec{N}\| = \sigma_N\,\mathrm{d}S.

2. Loi de frottement de Coulomb en glissement : Lorsqu'une zone de l'interface est en glissement à la vitesse relative \vec{v}_{1/2} = \frac{\partial u}{\partial t}\,\vec{e}_x (avec \frac{\partial u}{\partial t} > 0 compte tenu du cisaillement appliqué selon +\vec{e}_x), la force de réaction tangentielle \mathrm{d}\vec{T} exercée par le substrat s'oppose au glissement :

   \mathrm{d}\vec{T} = - \|\mathrm{d}\vec{T}\|\,\vec{e}_x = - f \|\mathrm{d}\vec{N}\|\,\vec{e}_x = - f \sigma_N\,\mathrm{d}S\,\vec{e}_x.

3. Expression de la contrainte \tau_f(x, t) : Par définition donnée dans l'énoncé, la force tangentielle par unité de surface exercée par le substrat sur le solide s'écrit -\tau_f(x, t)\,\vec{e}_x (la contrainte \tau_f étant comptée positive selon -\vec{e}_x). Par identification :

   \frac{\|\mathrm{d}\vec{T}\|}{\mathrm{d}S} = \tau_f(x, t) = f \sigma_N.

On en déduit l'expression de la contrainte de frottement lors du glissement :

Le substrat étant infiniment rigide et fixe dans le référentiel d'étude, la condition de non-glissement de la couche solide sur le substrat impose une vitesse de glissement nulle à l'interface (z=0) :

Le solide étant initialement au repos (u(x, 0) = 0), le déplacement reste identiquement nul dans toute zone sans glissement :

À la frontière entre une zone glissante et une zone adhérente (par exemple en x = \pm \ell_g), la continuité du champ de déplacement impose donc la condition aux limites :

Puisque u(x, t) = 0 sur l'ensemble de la zone de non-glissement, ses dérivées spatiales y sont nulles : \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0. L'équation de la limite quasi-statique (7) :

fournit immédiatement l'expression de la contrainte de frottement :

1. À l'extérieur de la zone de glissement (|x| > \ell_g)

D'après la question Q15, la couche est immobile par rapport au substrat rigide dans les zones où il n'y a pas glissement. En prenant comme référence de déplacement l'état au repos initial, le champ de déplacement est nul :

2. À l'intérieur de la zone de glissement (|x| \le \ell_g)

Dans cette zone, la contrainte de frottement vaut \tau_f(x, t) = \tau_r (d'après la question Q14) et la contrainte appliquée est constante et uniforme : \tau_c(x, t) = \tau_c. L'équation d'équilibre quasi-statique (7) s'écrit alors :

Par intégration successive par rapport à x, on obtient :

où C_1 et C_2 sont deux constantes d'intégration.

La continuité du champ de déplacement aux limites de la zone glissante en x = \pm \ell_g impose :

On en déduit :

Finalement, le profil de déplacement est parabolique dans la zone glissante et nul à l'extérieur :

D'après l'équation de conservation locale de l'énergie (3) et le résultat de la question 8, la densité volumique d'énergie potentielle élastique s'écrit :

Le champ de déplacement u ne dépend que de x. Le volume élémentaire d'une tranche de hauteur h et de largeur H est donc \mathrm{d}V = h H \, \mathrm{d}x.

D'après la question 16 :

• Pour |x| > \ell_g, la couche ne glisse pas et reste au repos : u(x) = 0, donc \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 0 et e_{p,\text{él}} = 0.

• Pour |x| \leqslant \ell_g, le champ de déplacement s'écrit :

  u(x) = \frac{\tau_c - \tau_r}{2Eh} (\ell_g^2 - x^2) \implies \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}(x) = - \frac{\tau_c - \tau_r}{Eh} x

L'énergie potentielle élastique totale de la couche s'obtient par intégration sur le volume du solide, qui se réduit à l'intervalle [-\ell_g, \ell_g] :

On obtient ainsi :

En l'absence de zone de glissement (\ell_g = 0 ou situation de non-glissement où u(x) = 0 partout), la couche n'est pas déformée et son énergie élastique est nulle : E_{e,\text{non-glissement}} = 0.

Puisque E_e > 0, la présence de la zone de glissement induit un gain d'énergie potentielle élastique pour la couche de solide, qui emmagasine de l'énergie mécanique sous forme de déformation élastique.

Les forces de cisaillement appliquées aux surfaces supérieure (z = h) et inférieure (z = 0) de la couche s'écrivent, pour un élément de surface \mathrm{d}S = H\,\mathrm{d}x :

• en surface supérieure (z = h) : \mathrm{d}\vec{F}_{\text{sup}} = \tau_c \, H\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_x ;
• à l'interface inférieure avec le substrat (z = 0) : \mathrm{d}\vec{F}_{\text{inf}} = -\tau_f(x) \, H\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_x.

Le champ de déplacement \vec{u}(x) = u(x)\vec{e}_x étant indépendant de z, les deux faces subissent le même déplacement longitudinal.

Le travail mécanique élémentaire des efforts de cisaillement au cours de la déformation, depuis l'état non déformé (u=0) jusqu'à l'état final u(x), s'obtient à contraintes \tau_c et \tau_f constantes :

En dehors de la zone glissante (|x| > \ell_g), u(x) = 0 et \tau_f = \tau_c, donc le travail est nul. À l'intérieur de la zone glissante (|x| \leqslant \ell_g), le frottement est saturé à la valeur de Coulomb : \tau_f(x) = \tau_r.

Le travail total des forces de cisaillement s'obtient en intégrant sur toute la zone glissante :

En utilisant l'expression du champ de déplacement obtenue à la question Q16, u(x) = \frac{\tau_c - \tau_r}{2Eh} (\ell_g^2 - x^2), il vient :

D'où l'expression du travail des forces de cisaillement :

D'après les résultats des questions Q17 et Q18, l'énergie potentielle élastique et le travail des forces de cisaillement s'expriment respectivement en fonction de la demi-longueur \ell_g par :

Lors d'une progression de la zone de glissement de [-\ell_g, \ell_g] à [-\ell_g - \mathrm{d}\ell_g, \ell_g + \mathrm{d}\ell_g], la longueur totale glissante 2\ell_g s'accroît d'une quantité 2\,\mathrm{d}\ell_g.

En dérivant par rapport à la variable 2\ell_g :

d'où le taux d'accroissement de l'énergie élastique :

De même, puisque W_{\text{cis}} = 2E_e :

d'où le taux d'accroissement du travail des forces de cisaillement :

Comparaison et déduction : On constate que :

Le travail fourni par les efforts de cisaillement extérieurs est deux fois supérieur à l'énergie stockée sous forme élastique au sein du solide.

Il en résulte un surplus d'énergie mécanique disponible :

Ce surplus d'énergie n'est pas emmagasiné par déformation élastique dans le volume et devient disponible pour rompre les liaisons à l'interface (progression de la fracture) ou pour être rayonné sous forme d'ondes sismiques.

D'après les résultats de la question Q19, le surplus d'énergie libéré lors de l'accroissement de la zone glissante de taille 2\mathrm{d}\ell_g vaut :

Par définition du taux de restitution d'énergie surfacique G(2\ell_g) = \dfrac{1}{H} \dfrac{\mathrm{d}(W_{\text{cis}} - E_e)}{\mathrm{d}(2\ell_g)}, on en déduit directement :

Cette quantité G représente l'énergie mécanique disponible par unité de surface nouvellement créée le long de l'interface. Au niveau de l'interface, cette énergie accumulée peut être utilisée pour :

• rompre les micro-contacts adhésifs assurant l'accrochage entre la couche solide et le substrat (énergie de fracturation de l'interface), ce qui permet l'avancée de la zone de glissement ;
• être dissipée sous forme de chaleur supplémentaire au front de glissement ou rayonnée sous forme d'ondes élastiques (ondes sismiques) lorsque le glissement devient instable et dynamique.

Lors d'une progression de la zone glissante d'une longueur \mathrm{d}(2\ell_g) = 2\,\mathrm{d}\ell_g, la nouvelle aire de contact rompue à l'interface est :

Le coût énergétique nécessaire pour rompre les micro-contacts sur cette surface est :

D'autre part, la variation d'énergie mécanique disponible libérée par le système pour cette même avancée s'écrit, d'après la définition du taux de restitution d'énergie G(2\ell_g) :

D'après le bilan énergétique global, la zone glissante ne peut progresser que si l'énergie mécanique restituée compense au moins le coût de création de la nouvelle zone de rupture (\mathrm{d}(W_{\text{cis}} - E_e) \ge \mathrm{d}\mathcal{E}_{\text{rupture}}), ce qui conduit à la condition :

D'après la question précédente (Q21), la zone de glissement progresse dès lors que le taux de restitution d'énergie élastique surfacique atteint le coût de fracture de l'interface, soit :

avec, d'après la question Q20 :

• Taille limite L_c d'une zone glissante stable :

  À contrainte de cisaillement \tau_c > \tau_r fixée, le glissement ne progresse pas tant que G(2\ell_g) < G_c. La demi-longueur critique \ell_{g,c} correspond au cas limite d'égalité G(2\ell_{g,c}) = G_c, ce qui donne :

  \begin{aligned} \frac{(\tau_c - \tau_r)^2 \ell_{g,c}^2}{2Eh} &= G_c \\ \ell_{g,c} &= \frac{\sqrt{2EhG_c}}{\tau_c - \tau_r} \end{aligned}

  La taille totale de la zone glissante étant L = 2\ell_g, la taille limite L_c = 2\ell_{g,c} en-dessous de laquelle il n'y a pas propagation du glissement s'écrit :

  \boxed{L_c = \frac{2\sqrt{2EhG_c}}{\tau_c - \tau_r}}

• Seuil limite \tau_c^{\lim} de la contrainte de cisaillement :

  Pour une taille de zone glissante fixée de demi-longueur \ell_g (soit une taille totale 2\ell_g), la condition de stabilité G(2\ell_g) \le G_c impose que le cisaillement appliqué reste inférieur au seuil limite \tau_c^{\lim} vérifiant G(2\ell_g) = G_c :

  \begin{aligned} \frac{(\tau_c^{\lim} - \tau_r)^2 \ell_g^2}{2Eh} &= G_c \\ \tau_c^{\lim} - \tau_r &= \frac{\sqrt{2EhG_c}}{\ell_g} \end{aligned}

  D'où l'expression de la contrainte limite au-delà de laquelle l'interface est déstabilisée :

  \boxed{\tau_c^{\lim} = \tau_r + \frac{\sqrt{2EhG_c}}{\ell_g} = \tau_r + \frac{2\sqrt{2EhG_c}}{2\ell_g}}

D'après l'expression établie à la question Q20, le taux de restitution d'énergie surfacique s'écrit en fonction de la demi-longueur de glissement \ell_g :

En dérivant par rapport à la taille totale 2\ell_g de la zone glissante, on obtient :

Stabilité de l'évolution : Puisque le coût de fracture G_c est une constante du matériau et que \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}(2\ell_g)} > 0, le taux d'énergie restituée croît strictement avec la taille de la fissure. Dès que la condition de propagation G(2\ell_g) \ge G_c est franchie (c'est-à-dire pour 2\ell_g \ge L_c), tout accroissement de taille augmente encore l'écart moteur G - G_c. L'évolution de la zone glissante est donc instable (rupture catastrophique auto-entretenue).

Évolution pour G(2\ell_g) > G_c et énergie cinétique :

• Lorsque G(2\ell_g) > G_c, l'énergie mécanique libérée par l'avancée du glissement est strictement supérieure à l'énergie nécessaire à la rupture des micro-contacts. La fissure ne peut plus être freinée : la zone glissante s'étend de manière spontanée et accélérée le long de l'interface jusqu'à atteindre des vitesses de propagation proches de la célérité des ondes élastiques. Le modèle quasi-statique cesse alors d'être valide.
• Le surplus de puissance mécanique non absorbé par la fracture de l'interface (G - G_c > 0) est converti en travail dynamique accélérant la matière : l'énergie cinétique volumique de la couche de solide augmente (apparition d'un mouvement macroscopique rapide), ce qui donne naissance au rayonnement des ondes sismiques.