Corrigé détaillé X ENS Physique PSI 2022 (page 4/4 : Partie IV)

On étudie la masse m dans le référentiel du bâti, fixe par rapport au sol en l'absence de secousse sismique. D'après la figure 12, l'axe vertical (Oz) est orienté vers le haut, l'origine z = 0 correspond au bas du bâti et le point d'attache supérieur du ressort (plafond du bâti) est situé à la cote z = L.

À l'équilibre au repos, la vitesse relative est nulle, donc la force d'amortissement visqueux s'annule : \vec{f}_v = \vec{0}. Les forces appliquées à la masse m sont :

• son poids :

  \vec{P} = -m g \, \vec{e}_z

• la tension du ressort, dont la longueur à l'équilibre est \ell_{\text{eq}} = L - z_{\text{eq}} :

  \vec{T} = k (\ell_{\text{eq}} - \ell_0) \, \vec{e}_z = k (L - z_{\text{eq}} - \ell_0) \, \vec{e}_z

À l'équilibre, le principe fondamental de la dynamique se réduit à la condition d'équilibre statique :

En projetant sur le vecteur unitaire vertical ascendant \vec{e}_z :

Il vient ainsi :

On étudie la masse m dans le référentiel terrestre \mathcal{R}_{\text{T}}, supposé galiléen pour la durée de l'expérience, muni de l'axe vertical (Oz) orienté vers le haut de vecteur unitaire \vec{e}_z.

D'après l'énoncé et la figure 13 :

• La position de la masse dans le référentiel terrestre s'écrit z_{\text{ter}}(t) = z_{\text{eq}} + z_m(t). Son accélération est donc :

  \vec{a}(m/\mathcal{R}_{\text{T}}) = \frac{\mathrm{d}^2 z_m}{\mathrm{d}t^2} \vec{e}_z.

• Le bâti subit un déplacement x(t) par rapport au sol ; le point d'attache supérieur du ressort se situe à l'altitude L + x(t). La longueur instantanée du ressort vaut :

  \ell(t) = [L + x(t)] - [z_{\text{eq}} + z_m(t)] = (L - z_{\text{eq}}) - (z_m(t) - x(t)).

  En utilisant la relation d'équilibre de la question précédente, L - z_{\text{eq}} = \ell_0 + \frac{mg}{k}, l'allongement s'exprime par :

  \ell(t) - \ell_0 = \frac{mg}{k} - (z_m(t) - x(t)).

  La force de rappel exercée par le ressort sur la masse s'écrit donc :

  \vec{F}_{\text{él}} = k(\ell(t) - \ell_0)\vec{e}_z = \left[mg - k(z_m(t) - x(t))\right]\vec{e}_z.
• Le poids est \vec{P} = -mg\vec{e}_z.

• La force d'amortissement visqueux dépend de la vitesse de la masse dans le bâti, v_m(t) = \dot{z}_m(t) - \dot{x}(t) :

  \vec{f}_v = -\alpha (\dot{z}_m(t) - \dot{x}(t))\vec{e}_z.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse dans le référentiel terrestre galiléen donne :

En projetant sur l'axe (Oz) :

d'où l'équation différentielle satisfaite par z_m(t) :

Par définition du repérage relatif lié au bâti, on a la relation géométrique :

En dérivant par rapport au temps, \dot{z}_m = \dot{z} + \dot{x} et \ddot{z}_m = \ddot{z} + \ddot{x}. En reportant ces relations dans l'équation du mouvement précédente, on obtient :

ce qui conduit après simplification à :

D'après l'équation du mouvement relatif établie à la question Q36 :

En régime sinusoïdal forcé, en adoptant les représentations complexes \underline{z}(t) = \underline{Z}\mathrm{e}^{j\omega t} et \underline{x}(t) = \underline{X}\mathrm{e}^{j\omega t}, les dérivées temporelles se traduisent par une multiplication par j\omega :

En divisant par la masse m, et en introduisant la pulsation propre \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} et le facteur de qualité Q = \frac{m\omega_0}{\alpha} (soit \frac{\alpha}{m} = \frac{\omega_0}{Q}) :

On en déduit la fonction de transfert en déplacement :

En divisant le numérateur et le dénominateur par \omega_0^2, on obtient la forme canonique d'un filtre passe-haut du second ordre :

Comportement asymptotique et tracé du diagramme de Bode en amplitude : Le gain en décibels est G_{\mathrm{dB}} = 20\log_{10}|\underline{H}_d^m|.

• À basse fréquence (\omega \ll \omega_0) :

  \underline{H}_d^m \underset{\omega \ll \omega_0}{\simeq} \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 \implies G_{\mathrm{dB}} \simeq 40\log_{10}\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right).

  L'asymptote est une droite de pente +40\text{ dB/décade}.

• À haute fréquence (\omega \gg \omega_0) :

  \underline{H}_d^m \underset{\omega \gg \omega_0}{\simeq} -1 \implies |\underline{H}_d^m| \to 1 \implies G_{\mathrm{dB}} \simeq 0\text{ dB}.

  L'asymptote est horizontale à 0\text{ dB}.

• À la pulsation propre (\omega = \omega_0) :

  |\underline{H}_d^m(j\omega_0)| = \frac{1}{|j/Q|} = Q = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies G_{\mathrm{dB}}(\omega_0) = -3\text{ dB}.

Nature du capteur selon les domaines de fréquence :

• Basses fréquences (\omega \ll \omega_0) :

  \underline{Z} \simeq \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 \underline{X} = -\frac{1}{\omega_0^2} \left(-\omega^2\underline{X}\right).

  L'accélération du sol étant \underline{A} = -\omega^2\underline{X}, le déplacement relatif est proportionnel à l'accélération : le dispositif fonctionne en accéléromètre.

• Fréquences intermédiaires (\omega \approx \omega_0) : Le terme d'amortissement domine au dénominateur :

  \underline{Z} \simeq \frac{(\omega/\omega_0)^2}{j\frac{\omega}{Q\omega_0}} \underline{X} = -j\frac{Q}{\omega_0}\left(j\omega\underline{X}\right).

  La vitesse du sol étant \underline{V} = j\omega\underline{X}, le déplacement relatif est proportionnel à la vitesse : le dispositif fonctionne en capteur de vitesse (vélocimètre).

• Hautes fréquences (\omega \gg \omega_0) :

  \underline{Z} \simeq -\underline{X} \implies z(t) \simeq -x(t).

  La masse reste immobile dans le référentiel terrestre par inertie ; le déplacement relatif mesure directement le déplacement du sol : le dispositif fonctionne en capteur de déplacement (sismomètre au sens strict).

L'équation du mouvement relatif de la masse dans le référentiel lié au bâti s'écrit (d'après la question Q36) :

À très basses fréquences (\omega \ll \omega_0), pour une sollicitation harmonique de pulsation \omega, les termes dérivées temporelles sont d'ordres de grandeur respectifs :

Ces deux termes sont donc négligeables devant le terme de rappel élastique \omega_0^2 z. L'équation du mouvement approchée s'écrit donc :

En notant a(t) = \left|\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}\right| l'accélération du bâti, on a |z(t)| \simeq \frac{a(t)}{\omega_0^2}.

Si l'appareil de mesure possède une résolution en déplacement notée \Delta z, la plus petite variation de déplacement mesurable est \Delta z. L'accélération minimale a_{\min} que le sismomètre peut résoudre vaut donc :

Optimiser la résolution consiste à pouvoir détecter l'accélération la plus faible possible, c'est-à-dire à rendre a_{\min} minimal. Comme \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, il faut choisir :

• une pulsation propre \omega_0 la plus faible possible ;
• ce qui implique de choisir une masse m importante et une faible constante de raideur k (suspension très souple).

Le phénomène physique exploité par ce système est l'induction électromagnétique (plus précisément l'induction motionnelle ou de Lorentz, correspondant à un circuit déformable ou mobile dans un champ magnétique stationnaire).

L'apparition du courant électrique s'explique selon deux points de vue équivalents :

• Point de vue macroscopique (loi de Faraday) : Au passage de l'onde sismique, la barre est mise en mouvement relativement au bâti avec une vitesse \dot{z}(t)\,\vec{e}_z. L'aire \mathcal{S}(t) délimitée par le circuit fermé (constitué de la barre mobile, des rails et de la résistance R) varie au cours du temps. Le champ magnétique \vec{B}_0 étant stationnaire et uniforme, le flux magnétique à travers le circuit,

  \Phi(t) = \iint_{\mathcal{S}(t)} \vec{B}_0 \cdot \mathrm{d}\vec{S},

  dépend du temps car la surface d'intégration varie. D'après la loi de Faraday, cette variation temporelle de flux donne naissance à une force électromotrice induite :

  e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}.

  Le circuit étant fermé sur la résistance R, cette f.é.m. engendre la circulation d'un courant induit i(t).

• Point de vue microscopique (force de Lorentz) : Dans la barre mobile, les porteurs de charge libres (de charge q) sont animés d'une vitesse d'entraînement macroscopique non nulle selon l'axe vertical (Oz). Ils sont ainsi soumis à la force magnétique de Lorentz :

  \vec{F}_{\mathrm{mag}} = q\,\vec{v} \wedge \vec{B}_0.

  Comme \vec{v} est selon \vec{e}_z et \vec{B}_0 selon \vec{e}_x, cette force est dirigée le long de la barre mobile selon \vec{e}_y (\vec{e}_z \wedge \vec{e}_x = \vec{e}_y), ce qui induit un déplacement de charges le long de la barre : c'est l'origine du champ électromoteur de Lorentz \vec{E}_m = \vec{v} \wedge \vec{B}_0.

1. Équation électrique

Considérons le circuit formé par les deux rails verticaux, la barre mobile horizontale de longueur \ell à la cote z(t) et la branche inférieure contenant la résistance R. Dans le référentiel lié au bâti, le champ magnétique appliqué \vec{B}_0 = B_0 \vec{e}_x est stationnaire et uniforme. La tige mobile se déplace à la vitesse relative :

Le champ électromoteur de Lorentz au sein de la tige vaut :

D'après la figure 15, le courant i(t) descend dans la branche droite, traverse le fond de droite à gauche, remonte le rail gauche et traverse la barre mobile de gauche à droite selon +\vec{e}_y. La force électromotrice d'induction de Lorentz s'exprime donc par circulation de \vec{E}_m le long de la barre :

En négligeant l'auto-inductance du circuit, la loi d'Ohm (ou loi des mailles) s'écrit directement :

2. Équation mécanique

On applique le principe fondamental de la dynamique à la tige mobile de masse m dans le référentiel non galiléen lié au bâti. Le mouvement est repéré par son écart à l'équilibre z(t) le long de l'axe vertical (Oz). Les actions exercées sur la barre sont :

• la résultante du poids et de la force de rappel élastique : -k\,z(t)\,\vec{e}_z (d'après l'étude à la question Q36) ;
• la force de frottement fluide visqueux : \vec{f}_v = -\alpha \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\vec{e}_z ;
• la force d'inertie d'entraînement due à l'accélération du sol : \vec{f}_{ie} = -m \dfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}\vec{e}_z ;

• la force de Laplace exercée sur la tige parcourue par le courant i(t)\vec{e}_y dans le champ \vec{B}_0 :

  \vec{F}_L = (i \ell \vec{e}_y) \wedge (B_0 \vec{e}_x) = - i \ell B_0 \vec{e}_z = -\sigma\,i(t)\,\vec{e}_z

En projetant la relation fondamentale de la dynamique sur l'axe (Oz), on obtient :

soit finalement :

D'après la question Q40, l'équation différentielle régissant le mouvement relatif z(t) s'écrit :

En divisant par la masse m, on met l'équation sous la forme canonique :

où \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} est la pulsation propre mécanique. Par identification du coefficient d'amortissement, on obtient :

Le facteur de qualité \widetilde{Q} du géophone s'exprime donc par :

On remarque que \frac{1}{\widetilde{Q}} = \frac{1}{Q} + \frac{\sigma^2}{R m \omega_0} : l'amortissement électromagnétique s'ajoute à l'amortissement visqueux mécanique et abaisse le facteur de qualité.

Protocole d'accordement en régime critique : Le régime critique correspond à :

(en supposant les frottements mécaniques suffisamment faibles pour que \alpha < 2m\omega_0). Pour accorder le géophone :

1. On remplace la résistance de charge R par une résistance variable (boîte à décades de résistances ou potentiomètre) connectée aux bornes de la bobine.
2. On écarte la masse de sa position d'équilibre (ou on applique une impulsion de déplacement) en l'absence d'onde sismique (x(t) = 0), et on enregistre l'évolution temporelle de z(t) ou de la tension e(t) à l'oscilloscope ou via une interface d'acquisition.
3. Pour une résistance R élevée, l'amortissement est faible (\widetilde{Q} > 1/2) : la réponse est pseudo-périodique (oscillante). En diminuant R, on augmente l'amortissement de Laplace.
4. On ajuste R jusqu'à atteindre la valeur limite R_c pour laquelle la réponse transitoire retourne le plus rapidement possible à zéro sans osciller ni dépasser la position d'équilibre.

Justification du choix du régime critique :

• En régime sous-critique (\widetilde{Q} > 1/2), l'appareil oscille à sa pulsation propre lors d'une secousse brève, créant des signaux parasites (« résonance ») qui masquent la forme d'onde réelle du séisme.
• En régime apériodique surmouvementé (\widetilde{Q} < 1/2), le système est trop freiné, ce qui allonge le temps de réponse et atténue fortement la sensibilité dynamique.
• Le régime critique (\widetilde{Q} = 1/2) offre le temps de réponse le plus court possible sans dépassement ni oscillations, assurant un enregistrement fidèle des trains d'ondes sismiques successifs.

D'après l'équation électrique obtenue à la question Q40, la tension aux bornes de la résistance R est égale à la force électromotrice induite :

En notation complexe, en régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, cette relation devient :

Par ailleurs, l'équation différentielle mécanique établie à la question Q40 avec le frottement effectif \alpha' = \alpha + \frac{\sigma^2}{R} s'écrit :

Elle conduit, par passage aux grandeurs complexes et analogie directe avec la question Q37, à :

En substituant cette expression dans celle de \underline{E}, on obtient la fonction de transfert :

ce qui peut se mettre sous forme canonique en faisant apparaître le préfacteur dimensionnel \sigma \omega_0 :

Comportement à hautes fréquences (\omega \gg \omega_0) :

Au dénominateur, le terme d'ordre le plus élevé -\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 devient prépondérant :

Il s'ensuit que :

où \underline{V} = j\omega \underline{X} est la vitesse complexe du sol (ou du bâti). Dans le domaine temporel, la tension mesurée est :

Dans la gamme des hautes fréquences (\omega \gg \omega_0), le géophone fonctionne ainsi en capteur de vitesse (vélocimètre) du sol.

Limites d'utilisation du capteur :

• Coupure basse fréquence : Pour \omega \ll \omega_0, le gain s'effondre en \omega^3 (ou \omega^2 vis-à-vis de la vitesse). Le capteur est donc insensible aux mouvements lents ou continus (séismes à très longue période, dérives tectoniques).
• Non-linéarités et saturation mécanique : Pour des secousses sismiques de forte amplitude, le débattement de la masse devient important, ce qui fait sortir le ressort de son domaine d'élasticité linéaire (voire entraîne des butées mécaniques).
• Limitations à très haute fréquence : L'inductance propre de la bobine (négligée ici) introduit une impédance jL\omega parasite qui réduit le courant et déforme la bande passante ; des résonances mécaniques parasites du ressort et des bruits ambiants (trafic routier) risquent en outre de saturer la mesure.

On étudie l'ensemble mobile constitué des deux barres rigidement liées, de masse totale m, dans le référentiel non galiléen lié au bâti du sismomètre, muni du repère orthonormé direct (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) représenté sur la figure 16 :

• \vec{e}_x est orthogonal au plan de la figure (sortant) ;
• \vec{e}_y est vertical descendant le long des barres ;
• \vec{e}_z est horizontal et orienté vers la droite, suivant l'axe de translation de la barre mobile.

Le bilan des actions mécaniques s'exerçant sur l'équipage mobile en projection sur l'axe (\mathrm{O}z) comprend :

• la force de rappel élastique du ressort :

  \vec{F}_{\text{él}} = -k\,z(t)\,\vec{e}_z

• la force de frottement fluide mécanique :

  \vec{f}_v = -\alpha\,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,\vec{e}_z

• la force de Laplace d'amortissement due au premier circuit (détecteur de résistance R) établie à la question Q40 :

  \vec{F}_{L,1} = -\frac{\sigma^2}{R}\,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,\vec{e}_z

• la force d'inertie d'entraînement liée à l'accélération du sol \ddot{x}(t) :

  \vec{f}_{ie} = -m\,\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}\,\vec{e}_z

• la force de Laplace \vec{F} exercée sur la seconde barre parcourue par le courant imposé I(t) dans le champ \vec{B}_0 = B_0\,\vec{e}_x. D'après le schéma de la figure 16, le courant entre par le haut de la barre mobile et circule dans le sens de \vec{e}_y (\mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}y\,\vec{e}_y) :

  \vec{F} = \int_0^\ell I(t)\,\mathrm{d}y\,\vec{e}_y \wedge B_0\,\vec{e}_x = I(t)\,\ell B_0\,(\vec{e}_y \wedge \vec{e}_x) = -\sigma\,I(t)\,\vec{e}_z

  En notant F(t) = \vec{F}\cdot \vec{e}_z la composante algébrique de cette force de contre-réaction (avec F(t) = -\sigma I(t)), on applique le principe fondamental de la dynamique à l'équipage mobile :

  m\,\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} = -k\,z - \left(\alpha + \frac{\sigma^2}{R}\right)\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} - m\,\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + F(t)

En posant \alpha' = \alpha + \dfrac{\sigma^2}{R}, l'équation différentielle régissant le mouvement relatif z(t) s'écrit :

soit, en explicitant l'action du courant de commande I(t) :

Relicaitons les équations régissant les différents sous-systèmes en régime sinusoïdal forcé :

1. Chaîne directe mécanique : D'après l'équation du mouvement établie à la question Q43 :

   m\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} + \alpha'\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} + kz = -m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + F(t)

   En régime sinusoïdal forcé, avec \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} \longleftrightarrow -\omega^2 \underline{X}, l'accélération du bâti induit la force d'inertie d'entraînement \underline{F}_{\mathrm{ie}} = -m(-\omega^2 \underline{X}) = m\omega^2 \underline{X}.

   La force totale s'exerçant sur l'oscillateur est donc la somme \underline{F}_{\mathrm{tot}} = -m(-\omega^2 \underline{X}) + \underline{F}. Le déplacement relatif \underline{Z} vérifie alors :

   \left(k - m\omega^2 + j\alpha'\omega\right)\underline{Z} = \underline{F}_{\mathrm{tot}}

   Le premier bloc (fonction de transfert mécanique) a donc pour transmittance :

   \underline{H}_{\mathrm{m\acute{e}ca}}(j\omega) = \frac{1}{k - m\omega^2 + j\alpha'\omega} = \frac{1/m}{\omega_0^2 - \omega^2 + j\frac{\omega\omega_0}{\widetilde{Q}}}

2. Transducteur de mesure (géophone) : La f.e.m. d'induction s'écrit e(t) = \sigma \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}, d'où en notation complexe :

   \underline{E} = j\sigma\omega\,\underline{Z}

   Le bloc reliant \underline{Z} à \underline{E} a donc pour transmittance :

   \boxed{\sigma j\omega}

3. Correcteur de l'asservissement : La relation (12) imposée par le circuit d'asservissement est :

   \underline{I} = -\underline{H}(j\omega)\,\underline{E}

   Le bloc reliant \underline{E} à \underline{I} a donc pour transmittance :

   \boxed{-\underline{H}(j\omega)}

4. Actionneur (second rail de Laplace) : Le courant \underline{I} injecté dans le second rail crée une force de Laplace de rétroaction \vec{F} = -\sigma I(t)\vec{e}_z, soit en complexe \underline{F} = -\sigma \underline{I}. Le bloc de conversion courant-force fermant la boucle de retour a donc pour transmittance :

   \boxed{-\sigma}

On en déduit le schéma-bloc complété :

Dans le référentiel lié au bâti, l'équation régissant le mouvement relatif z(t) de la barre mobile s'écrit :

où \alpha' = \alpha + \frac{\sigma^2}{R} est le coefficient de frottement effectif incluant l'amortissement électromagnétique du premier rail (question Q41), et F(t)\vec{e}_z est la force de Laplace exercée sur la barre par le second rail.

D'après la géométrie du second rail (figure 16), le champ magnétique vaut \vec{B}_0 = B_0 \vec{e}_x et le courant I circule dans la barre selon -\vec{e}_y. La force de Laplace s'exerçant sur la tige de longueur \ell est :

soit F(t) = \sigma I(t).

En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, avec les notations complexes associées, les dérivées temporelles se traduisent par une multiplication par \mathrm{j}\omega, de sorte que l'accélération du sol devient -\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} \leftrightarrow \omega^2 \underline{X}. En utilisant la relation d'asservissement \underline{I} = -\underline{H}(\mathrm{j}\omega)\underline{E} et la f.e.m. d'induction \underline{E} = \sigma \mathrm{j}\omega \underline{Z}, l'expression complexe de la force \underline{F} devient :

L'équation du mouvement en régime harmonique s'écrit alors :

En transposant le terme de contre-réaction dans le membre de gauche :

En divisant chaque terme par k = m\omega_0^2 et en introduisant le facteur de qualité \widetilde{Q} = \frac{m\omega_0}{\alpha'}, on obtient la fonction de transfert :

qui peut également s'écrire sous forme développée :

Lorsque la fonction de transfert du correcteur est un gain pur \underline{H}(\mathrm{j}\omega) = g_1 > 0, la force de contre-réaction s'écrit en régime harmonique :

Dans le domaine temporel, cette force correspond à une force d'amortissement visqueux supplémentaire opposée à la vitesse relative de la barre :

L'équation du mouvement relatif de la barre devient :

En divisant par m, on obtient :

avec :

• la pulsation propre \omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}, qui est inchangée ;

• un nouveau facteur de qualité Q_1, donné par :

  \boxed{Q_1 = \frac{m\omega_0}{\alpha' + g_1 \sigma^2} = \frac{\widetilde{Q}}{1 + \dfrac{g_1 \sigma^2}{\alpha'}} < \widetilde{Q}}

La fonction de transfert en déplacement conserve la même forme canonique :

Les modifications apportées au comportement du système sont donc :

1. Augmentation de l'amortissement : le coefficient d'amortissement passe de \alpha' à \alpha_{\text{eff}} = \alpha' + g_1 \sigma^2.
2. Diminution du facteur de qualité (Q_1 < \widetilde{Q}), ce qui atténue d'autant plus toute résonance éventuelle et raccourcit la durée du régime transitoire.
3. Contrôle électronique de l'amortissement : le paramètre g_1 permet d'ajuster l'amortissement (par exemple pour atteindre le régime critique Q_1 = 1/2) par voie purement électrique, sans modifier les paramètres mécaniques (m, k, \alpha) ni la résistance de charge R.

1. Avantage apporté au niveau de la pulsation propre

Avec \underline{H}(\mathrm{j}\omega) = \dfrac{g_2}{\mathrm{j}\omega} (g_2 > 0), la relation (12) donne pour le courant dans le second rail :

La force de Laplace exercée par ce second rail sur la barre mobile vaut :

Cette force agit comme une force de rappel élastique supplémentaire de raideur équivalente k_{\mathrm{ass}} = g_2 \sigma^2. La raideur totale devient k' = k + g_2 \sigma^2, ce qui augmente la pulsation propre :

L'avantage est de pouvoir augmenter et ajuster électroniquement la fréquence propre du système (via le gain g_2), sans modifier la suspension mécanique ni imposer un ressort de raideur mécanique trop élevée.

2. Expression de la nouvelle fonction de transfert \underline{H}_d

L'équation du mouvement établie à la question Q43 s'écrit en régime harmonique :

soit :

En divisant par m et en introduisant \omega'_0 = \sqrt{\omega_0^2 + \dfrac{g_2 \sigma^2}{m}} :

En factorisant par {\omega'_0}^2 et en posant Q' = \dfrac{m\omega'_0}{\alpha'} = \widetilde{Q}\dfrac{\omega'_0}{\omega_0} :

3. Expression de la force supplémentaire \underline{F}

D'après le schéma-bloc de la figure 17 :

Comme \underline{Z} = \underline{H}_d \underline{X}, il vient :

4. Limite basse fréquence et comparaison à la force d'inertie d'entraînement

À basse fréquence (\omega \ll \omega'_0), la fonction de transfert tend vers :

D'où l'expression de la force :

Dans le cas d'un asservissement efficace où la raideur électromagnétique domine la raideur mécanique (g_2 \sigma^2 \gg m\omega_0^2 = k), on a {\omega'_0}^2 \simeq \dfrac{g_2 \sigma^2}{m}, ce qui conduit à :

En revenant au domaine temporel, sachant que -\omega^2 \underline{X} \longleftrightarrow \dfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}(t) :

Or, la force d'inertie d'entraînement subie par la masse s'écrit \vec{f}_{ie} = -m \dfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}\vec{e}_z, soit en valeur algébrique :

On constate ainsi que :

5. Utilité de la correction apportée

La force électromagnétique de contre-réaction vient compenser quasi instantanément la force d'inertie d'entraînement. Par conséquent :

• le déplacement relatif z(t) de la barre mobile reste extrêmement faible (z(t) \approx 0) ;
• le ressort mécanique ne subit quasiment aucune déformation, ce qui préserve sa linéarité, élimine les effets d'hystérésis et empêche la saturation mécanique même en présence de séismes de forte amplitude.

6. Nature du capteur obtenu par mesure de la tension u(t)

La tension aux bornes de la résistance r est proportionnelle au courant d'asservissement I(t) :

La tension mesurée étant directement proportionnelle à l'accélération \ddot{x}(t) du sol à basse fréquence, on obtient un accéléromètre asservi (ou accéléromètre à équilibrage de force).

D'après les questions Q46 et Q47, un terme proportionnel g_1 accroît l'amortissement sans modifier la pulsation propre, tandis qu'un terme en \frac{g_2}{\mathrm{j}\omega} accroît la constante de rappel équivalente (et donc la pulsation propre) sans modifier le coefficient d'amortissement. Pour contrôler indépendamment ces deux paramètres, on choisit une fonction de transfert associant les deux contributions (correcteur proportionnel-intégral PI) :

En injectant cette forme dans l'équation de la dynamique établie en Q45 :

La pulsation propre et le facteur de qualité du système asservi deviennent ainsi :

1. Compensation de la force d'inertie d'entraînement :

À basse fréquence (\omega \ll \omega'_0), le déplacement relatif s'écrit \underline{Z} \simeq \frac{m\omega^2}{k + g_2\sigma^2}\underline{X}. La force de rappel exercée par le second rail est alors :

Pour compenser au mieux la force d'inertie d'entraînement \underline{F}_{\mathrm{ie}} = m\omega^2\underline{X} (soit \underline{F} \simeq -\underline{F}_{\mathrm{ie}}), il faut que \frac{g_2\sigma^2}{k + g_2\sigma^2} \simeq 1, ce qui impose de choisir un gain g_2 suffisamment grand :

Cette condition assure également une réjection quasi-totale du déplacement relatif (\underline{Z} \to 0), maintenant ainsi la suspension au voisinage immédiat de sa position d'équilibre sur une large bande passante.

2. Réalisation du régime critique :

Le système se trouve en régime critique lorsque son facteur de qualité vaut :

On en déduit la valeur que doit prendre g_1 en fonction de g_2 :

Dans la limite g_2\sigma^2 \gg k, cette relation se simplifie en g_1 \simeq 2\sqrt{\frac{m g_2}{\sigma^2}} - \frac{\alpha'}{\sigma^2}.

Dans le référentiel lié au bâti, l'équation du mouvement de la barre mobile (déplacement relatif z(t)) s'écrit :

où f_{ie}(t) = -m\ddot{x}(t) est la force d'inertie d'entraînement et F(t) = \sigma I(t) est la force de Laplace exercée par le second rail. En régime harmonique, \underline{f}_{ie} = m\omega^2 \underline{X}.

La f.e.m. induite est \underline{E} = \sigma \mathrm{j}\omega \underline{Z}, et le courant imposé par la boucle de contre-réaction vérifie \underline{I} = -\underline{H}(\mathrm{j}\omega)\underline{E}. La force de contre-réaction s'écrit donc :

En reportant cette force dans l'équation mécanique et en regroupant les termes en \underline{Z} au membre de gauche :

Avec le correcteur PID \underline{H}(\mathrm{j}\omega) = g_1 + \dfrac{g_2}{\mathrm{j}\omega} + \dfrac{g_3}{(\mathrm{j}\omega)^2}, le terme de contre-réaction se développe en :

L'équation mécanique harmonique devient alors :

Pour obtenir le terme constant égal à 1 au dénominateur conformément à l'expression (13), multiplions cette relation par \dfrac{\mathrm{j}\omega}{\sigma^2 g_3} :

On en déduit l'expression de la fonction de transfert en vitesse \underline{H}_v = \dfrac{\underline{Z}}{\mathrm{j}\omega \underline{X}} :

Par identification directe avec la forme canonique de l'énoncé :

1. Identification du terme en \omega^3 : \dfrac{1}{\omega_{02}^3} = \dfrac{m}{\sigma^2 g_3}, d'où :

   \boxed{\omega_{02} = \left(\frac{\sigma^2 g_3}{m}\right)^{1/3}}

2. Identification du terme en \omega^2 : en notant que \dfrac{\alpha'}{m} = \dfrac{\omega_0}{Q} et \dfrac{\sigma^2}{m} = \dfrac{\omega_{02}^3}{g_3}, on obtient :

   \frac{1}{\omega_{01}^2} = \frac{\alpha' + \sigma^2 g_1}{\sigma^2 g_3} = \frac{\frac{\alpha'}{m}}{\frac{\sigma^2 g_3}{m}} + \frac{g_1}{g_3} \implies \boxed{\frac{1}{\omega_{01}^2} = \frac{\omega_0}{Q\,\omega_{02}^3} + \frac{g_1}{g_3}}

3. Identification du terme en \omega : avec k = m\omega_0^2, il vient :

   \frac{1}{Q'\omega_{01}} = \frac{k + \sigma^2 g_2}{\sigma^2 g_3} = \frac{m\omega_0^2}{\sigma^2 g_3} + \frac{g_2}{g_3} \implies \boxed{\frac{1}{Q'\omega_{01}} = \frac{g_2}{g_3} + \frac{\omega_0^2}{\omega_{02}^3}}

Diagramme de Bode asymptotique en amplitude :

Sous l'hypothèse \omega_{01} \ll \omega_{02}, distinguons trois domaines de pulsations :

• Basses fréquences (\omega \ll \omega_{01}) : le dénominateur tend vers 1. Ainsi, |\underline{H}_v| \sim \dfrac{\omega^2}{\omega_{02}^3}. Le gain en décibels varie comme +40\log_{10}\omega, soit une pente de +40\text{ dB/décade}.

• Moyennes fréquences (\omega_{01} \ll \omega \ll \omega_{02}) : le terme dominant au dénominateur est -\dfrac{\omega^2}{\omega_{01}^2}. La fonction de transfert devient indépendante de \omega :

  \underline{H}_v \sim \frac{\frac{\omega^2}{\omega_{02}^3}}{-\frac{\omega^2}{\omega_{01}^2}} = -\frac{\omega_{01}^2}{\omega_{02}^3} = \text{cte}

  Le gain présente donc un plateau horizontal de pente 0\text{ dB/décade}.

• Hautes fréquences (\omega \gg \omega_{02}) : le terme dominant au dénominateur est -\mathrm{j}\dfrac{\omega^3}{\omega_{02}^3}. On a :

  \underline{H}_v \sim \frac{\frac{\omega^2}{\omega_{02}^3}}{-\mathrm{j}\frac{\omega^3}{\omega_{02}^3}} = \frac{\mathrm{j}}{\omega} \implies |\underline{H}_v| \propto \frac{1}{\omega}

  Le gain décroît avec une pente de -20\text{ dB/décade}.

Nature du capteur pour \omega_{01} < \omega < \omega_{02} :

Dans cette bande passante, \underline{H}_v = \dfrac{\underline{Z}}{\mathrm{j}\omega \underline{X}} = \dfrac{\underline{Z}}{\underline{V}_{\text{sol}}} \simeq \text{constante}. Le déplacement mesuré z(t) est donc directement proportionnel à la vitesse du sol v_{\text{sol}}(t) = \dot{x}(t) :