Amplificateur linéaire intégré et oscillateurs électroniques : 145 questions de concours corrigées

En reliant V_s et I par une expression mathématique, déterminer la fonction réalisée par l'ALI 2.

Rappeler ce qui caractérise un ALI idéal de gain infini, et tracer l’allure de la caractéristique V_s = f(V₊ - V₋) sous ces hypothèses.

Rappeler en quoi consiste le modèle de l’ALI idéal.

Démontrer par ailleurs que u₁ = Gu₀ où l’on exprimera G en fonction de Rₐ et R_b.

Montrer que le montage permet une conversion du courant i_4,lim en une tension vₘ.

Préciser, en le justifiant, le régime de fonctionnement de l'ALI dans ce montage.

Exprimer le potentiel V⁺ à l'entrée non inverseuse de l'ALI en fonction de la tension de sortie u_s, de E et de x.

Rappeler les valeurs des courants de polarisation, de l'impédance d'entrée, de l'impédance de sortie, et du gain statique pour un ALI idéal.

Justifier que l'ALI n°1 fonctionne en régime saturé.

Exprimer le potentiel de l'entrée non-inverseuse de l'ALI n°1 en fonction de R₁, R₂, u₁(t) et u₂(t).

Justifier que l'ALI n°2 fonctionne en régime linéaire.

Proposer un montage simple permettant d'éliminer la composante continue. Quel composant électronique permettrait de réaliser le bloc d'inversion du signal ?

Proposer un montage simple permettant d'éliminer la composante continue. Quel composant électronique permettrait de réaliser le bloc d'inversion du signal ?

Rappeler le modèle d'un ALI idéal en régime linéaire. Quel indice laisse à penser que le régime de fonctionnement des ALI est linéaire ?

On souhaite obtenir une tension proportionnelle à la température. Pour cela, la résistance Rₜ est insérée dans le montage suivant : Le montage comprend un générateur idéal de tension continue de…

Pourquoi peut-on envisager un fonctionnement en régime linéaire ? Que vaut alors la tension d'entrée (V⁺ - V⁻) de l'A.L.I. ?

Quel est le nom de ce montage ? Justifier que u₁ = E.

Dans quel régime fonctionne l'ALI ? Justifier la réponse.

Tracer la caractéristique s = f(u₂).

Exprimer le potentiel V⁺ à la borne non inverseuse en fonction de R₁, R₂, s et U_r.

Déterminer l'expression de V_s en fonction de V₁, V₂, V₃, R₀, R₁, R₂ et R₃. Proposer un nom à ce montage.

En déduire le nom que porte la partie du montage encadrée par des tirets sur la figure 4.

Quelles sont les principales caractéristiques d'un amplificateur linéaire intégré, en le supposant tout d'abord idéal, puis en considérant un amplificateur réel de type standard.

Que peut-on dire du fonctionnement du circuit U0 ?

Exprimer la tension au niveau de l'entrée (+), notée V⁽⁺⁾, en fonction des éléments du schéma et de la tension V_s.

Déterminer, en précisant bien les hypothèses faites, les fonctions de transfert de ces deux structures, notées respectivement A₁ et A₂.

Exprimer V₂ en fonction de V₁, V₃ en fonction de V₂ et V₁ en fonction de V₃. En déduire une relation entre A et H_F valable s'il y a effectivement oscillation. Cette relation est appelée condition…

Montrer que la condition d'oscillation conduit à la relation Arg[H_F(ω)] = 0.

Après avoir rappelé le modèle de l'amplificateur linéaire intégré idéal, exprimer la tension Vₑ en fonction de e₁, V_s et des différentes résistances (figure 1).

Donner les relations faisant intervenir les fonctions de transfert : entre v_s et vₑ.

En déduire la fonction de transfert globale du montage A(jω) = v_s / v₁ en fonction de H(jω) et K(jω).

Donner une relation vérifiée par H(jω) et K(jω) qui permette d'avoir un oscillateur.

En déduire une relation entre les gains |H(jω)| et |K(jω)| notée relation (R1).

En déduire une relation entre les phases (H(jω)) et (K(jω)) notée relation (R2).

Préciser pour chacun des amplificateurs linéaires, s'il fonctionne, a priori, en régime linéaire ou saturé.

Déterminer, en fonction de R₃ et C, la fonction de transfert H(jω) = V_A/V_B du montage lié à l'amplificateur linéaire A.Li.1. Quelle est la fonction réalisée par cette partie du montage ?

Quelle fonction réalise le montage lié à l'amplificateur linéaire A.Li.2. ?

Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension x(t) définie sur le circuit de la figure 5. À quelle situation mécanique ce circuit correspond-il ?

Représenter sur un même graphique les évolutions temporelles de u_c(t), V₊(t) et V_s(t) entre t = 0 et t = t₃.

En appliquant une loi des nœuds au point A, montrer que la tension u₀ repérée sur le schéma de la figure 4 vérifie l’équation différentielle du₁/dt = 1/ω₀ d²u₀/dt² + 3 du₀/dt + ω₀ u₀ où l’on…

En déduire une condition sur G, puis sur Rₐ et R_b pour que le système d’alimentation soit oscillant de façon sinusoïdale. On exprimera la fréquence f₀ de ces oscillations en fonction de R et C.

Commenter l’intérêt d’utiliser ce montage, en calculant notamment sa résistance d’entrée.

Étudier la valeur de la tension de sortie u_s en fonction de celle de u_cn. En déduire la représentation graphique u_s = f(u_cn) en faisant apparaître les valeurs remarquables. Quelle est la…

À partir du montage de la figure 2, exprimer les tensions V⁺ et V⁻ en fonction de V₀, R₁, R₂ et R_th. En déduire à quelle condition sur la température T on reste à saturation haute à V_s = +V_sat…

Montrer que la tension u₂(t) peut s'exprimer sous la forme : u₂(t) = -k du₃/dt avec k une constante positive que l'on exprimera en fonction des composants du montage.

Représenter graphiquement l'évolution des tensions u₂(t) et u₃(t) entre les instants t = 0 et t = t₂.

Exprimer la période T des oscillations de ces tensions en fonction des composants du montage.

Établir la relation entre vₑ(t) et v₁(t) puis celle entre v₁(t) et v₂(t).

Déterminer la valeur de v_s selon les valeurs et le sens de variation de v₂, puis représenter graphiquement ces variations en reportant v_s en ordonnée et v₂ en abscisse. On fera apparaître les…

En tenant compte des trois résultats précédents, déterminer les variations de v₂ et v_s en fonction du temps. Représenter ces variations sur un même graphe. Laquelle des tensions vₑ(t), v₁(t), v₂(t)…

La tension u précédente est placée à l'entrée du montage suivant dans lequel AL2 et AL3 sont des A.L.I. idéaux, identiques à AL1 et alimentés de la même façon. On donne R = 1 kΩ. Exprimer v en…

La fiche technique de l'amplificateur opérationnel LM741 utilisé indique une vitesse limite de balayage de 0,5 V.⁻¹. Pourquoi le signal s(t) sera-t-il déformé ? Comment minimiser les effets de ce…

Initialement, on suppose que s(0) = -U_s. Exprimer la tension de basculement U_b⁺, tension pour laquelle la sortie s(t) bascule en +U_s en fonction de R₁, R₂, U_r et U_s. En déduire l'expression de…

En déduire l'allure de la caractéristique du comparateur à hystérésis s = f(u₂). Conclure.

Quel est le régime de fonctionnement de l'ALI ? Justifier.

Tracer l'allure de V_s = f(V⁻).

La tension Vₑ croit de -15 V à +15 V. Montrer qu'il existe une tension de basculement. Tracer la courbe donnant V_s en fonction de Vₑ ; préciser quelques valeurs numériques permettant un tracé…

Même question si maintenant la tension Vₑ décroit de +15 V à -15 V. Tracer la courbe donnant V_s en fonction de Vₑ sur le même graphe qu'à la question précédente, mais avec une couleur différente.

Déterminer, d'après la durée de la deuxième phase, l'expression littérale de la période de v_c.

Déterminer l'équation différentielle régissant l'évolution de la tension v₃(t) ; on fera apparaître dans cette équation la pulsation propre, le facteur de qualité et le gain maximal.

À quelle condition sur H₁ cela sera-t-il possible ?

Déterminer l'expression de la fonction de transfert du filtre de la figure 2 et la mettre sous la forme H(jω) = -A/(1 + j(ω/ω₁ - ω₂/ω)) en précisant les expressions de A, ω₁ et ω₂ en fonction de R₁…

Proposer des valeurs de R₁ et de R₂ permettant à ce montage de fonctionner comme oscillateur.

On suppose que V_A(t=0) = (R₄ V_sat)/R₅. En veillant à indiquer toutes les informations nécessaires, tracer sur un même graphe, l'allure des deux tensions V_A et V_B en fonction du temps. Comment…

On construit ce montage avec R = 470,0 kΩ, C = 500,0 nF, R₁ = 1,000 kΩ et R₂ = 3,300 kΩ. Déterminer numériquement la fréquence de l’oscillateur en régime établi avec 4 chiffres significatifs.

Évoquer une limitation de l’ALI qui pourrait nuire au fonctionnement correct de ce montage.

Exprimer la sensibilité s du montage en V·°C⁻¹ en fonction de R₁, R₀, a et de E.

En prenant R₁ = R₀ = 100 Ω et E = 1,0 V, calculer cette sensibilité s.

Expliquer pourquoi une valeur aussi faible de sensibilité risque de ne pas permettre un suivi convenable de la température du bassin.

Calculer la valeur de h_s après cette averse à l'aide des données numériques.

Donner les expressions des amplitudes complexes V_S_A et V_S_B en fonction de V_C_1 et V_C_2.

Après avoir rappelé la définition d'un ALI idéal, indiquer quels sont ceux qui fonctionnent en régime linéaire. On justifiera simplement la réponse.

Pour 0 ≤ θ = t/T ≤ 1/4, donner l'expression de vₜ en fonction de θ et de E.

Vérifier que pour la plage de température considérée, l'hypothèse du régime linéaire est validée.

Indiquer à quelle condition, portant sur les composants du système, l'hypothèse H(Rₑ) est justifiable.

Exprimer la tension s₁ en fonction des données du montage. Représenter un montage permettant d'obtenir une tension s = -s₁.

En déduire l'expression de la tension différentielle ε en fonction de E₁, E₂, V_s, γ, δ et β(T).

Donner des ordres de grandeurs pour les caractéristiques d'un amplificateur réel standard.

Pourquoi appelle-t-on ce circuit un comparateur à hystérésis ?

Expliquer pourquoi v_c se met à décroitre.

Ces limitations sont-elles visibles sur la Figure F8 ?

En déduire alors l'expression de la fonction de transfert globale du montage associant les deux blocs fonctionnels filtre puis amplificateur en la mettant sous la forme H_FA = H₁/(1 + j Q [x - 1/x])…

Conclure sur la façon d'améliorer la qualité de l'oscillateur.

On donne : R₁ = 10 kΩ, R₂ = 6,5 kΩ, R₃ = 1,0 kΩ et e₁ = 100 mV. On mesure V_s = 6,50 V, en déduire Vₑ.

Donner les relations faisant intervenir les fonctions de transfert : entre v_s, vₑ et v₁.

Exprimer la différence de potentiel v en fonction de vₑ, v_s, R₁ et R₂.

Établir la relation entre V_s et R' et en déduire une expression de V_s en fonction de la température θ.

Déterminer la sensibilité de ce nouveau montage, définie par σ_θ = dV_s/dθ, où la grandeur thermométrique est maintenant V_s. Commenter l'expression de la sensibilité obtenue, et proposer des…

On suppose, uniquement dans cette question, que l'on place dans le circuit de la figure 5 une résistance R₀ en parallèle sur le condensateur de capacité C₁. Établir l'équation différentielle…

Pour R₅ = 500 Ω, R₃ = R₄ = R₆ = 1,00 kΩ, tracer la caractéristique s = h(e) : on précisera la valeur numérique des pentes des droites apparaissant sur le tracé ainsi que l'expression des coordonnées…

Comparer précisément le tracé s = h(e) de la question 25 avec le relevé expérimental s = h_exp (e) et proposer une interprétation pour les écarts entre les tracés. Estimer la valeur numérique de la…

Déterminer les valeurs numériques de αₑ et βₑ fixées par le relevé expérimental de la figure 8.

Comment avoir accès expérimentalement à une tension proportionnelle à x(t) ? Comment imposer expérimentalement des conditions initiales x(0) et x(0) non identiquement nulles dans le montage de la…

Établir l'équation différentielle reliant les tensions z(t) et s(t) et donner la forme générale (sans préciser toutes les constantes) de z(t) en régime établi pour s(t) = S₀ sin (ω t). En déduire…

Déterminer l’équation différentielle vérifiée par u_c(t) après la fermeture de l’interrupteur.

Montrer qu’à un instant t₁ à exprimer en fonction de R₁, R₂, et R et C, la tension V_s bascule de +V_sat à -V_sat.

Montrer que la sortie va basculer de nouveau de -V_sat à +V_sat à l’instant t₂ tel que : t₂ = t₁ + RC ln ( 1 + 2R₂/R₁ )

Ce montage seul permet-il de générer le clignotement de la lampe ? Justifier la réponse.

Lorsqu’il est intégré dans le circuit de la figure 4, que vaut le courant noté iₘ sur le schéma de la figure 8 ? D’où vient-il ?

Exprimer u₁ en fonction de R₁, R₀, a, E et de θ, dans le cas où l’ALI est parfait et de gain infini.

Expliquer en quelques phrases en quoi ce montage est susceptible de réaliser la régulation souhaitée.

Déterminer le système d'équations littérales que doivent satisfaire les paramètres E et x afin d'assurer cette régulation.

Calculer les valeurs numériques de E et x correspondantes.

Pour quelle valeur T_c de la température, l'interrupteur (caractérisé par V_s) change-t-il d'état ? On exprimera T_c en fonction de R₂, R₀ et α. On suppose R₀ et α parfaitement déterminés, quelle…

Expliquer comment organiser deux interrupteurs commandés qui permettent de maintenir la température dans l'intervalle [T_min , Tₘₐₓ ].

En supposant que u₂(t) = +V_sat, déterminer la tension seuil U₁⁻ correspondant au basculement de l'ALI n°1.

En supposant que u₂(t) = -V_sat, déterminer la tension seuil U₁⁺ correspondant au basculement de l'ALI n°1.

Déterminer l'expression de la tension u₃(t), tant que l'ALI n°1 n'a pas basculé, en fonction du temps t, de la tension de saturation V_sat et des composants du montage.

Exprimer l'instant t₁, où le potentiel en sortie de l'ALI n°1 bascule à -V_sat, en fonction des composants du montage.

Déterminer l'expression de la tension u₃(t), après le basculement de l'ALI n°1, en fonction du temps t, de la tension de saturation V_sat et des composants du montage.

Exprimer l'instant t₂, où le potentiel en sortie de l'ALI n°1 bascule à nouveau à +V_sat, en fonction des composants du montage.

À l'aide des résultats précédents, déterminer l'expression de h_s en fonction de H, a₁, a₂, C₀, ε₀, ε, R₁ et T.

Déterminer le gain G₀ de ce filtre en fonction de R₁ et R₂.

Donner l'expression de V_S en fonction de V_R_8, V_S_B, R₅ et R₆.

On pose R₁ = R₃ et R₂ = R₄. Poser une condition ou des conditions sur R₁, R₃, C₁, C₂, R₅, R₆, R₇ et R₈ pour que l'expression de V_S se mette sous la forme : V_S(ω) = g_i/(1+τ_iω)i(ω) où i(t) = [i(ω)].

Compléter en utilisant σ, H(jω) et jω le système bouclé ci-dessous (figure 17). [Les candidats reproduiront le schéma ci-dessous sur leurs copies.]

Dans le cas où H(jω) est un gain pur, noté H(jω) = g₁, avec g₁ positif, en déduire quelle(s) est(sont) la(les) modification(s) éventuelle(s) sur le comportement du système.

Au regard des questions précédentes, donner l'expression de H(jω) permettant d'avoir un contrôle à la fois sur la pulsation propre et sur le facteur de qualité du système. Comment choisir g₁ et g₂…

En fixant R = 1 kΩ et en prenant R₁ = R₂ puis, uniquement pour cette application numérique R₃ = R₄, déterminer la valeur de C permettant d'obtenir une tension vₜ(t) de fréquence 2 kHz. Comment faire…

Déterminer la tension de sortie u du montage en fonction de E, α et de la différence (T - T₀).

Montrer que pour une valeur bien choisie de E' que l'on précisera, la tension w correspond exactement à la température θ exprimée en °Celsius. (On rappelle θ(°C) = T(K) - 273).

Expliquer pourquoi le comparateur simple ne permet pas d'assurer la régulation du pH.

Déterminer l'expression de i₁ et en déduire que l'expression de V⁺ peut se mettre sous la forme : V⁺ = γ · E₁ + δ · V_s où γ et δ sont des constantes positives que l'on exprimera en fonction de R₁…

La diode est-elle passante ou bloquée ? Comment évoluent la température, la valeur du coefficient β(T) et la tension différentielle ε ?

La diode sera-t-elle alors passante ou bloquée ? Comment évolueront la température, la valeur du coefficient β(T) et la tension différentielle ε ?

Reproduire cette courbe sur la copie et y superposer le tracé de la courbe donnant V_s(t) en fonction du temps, à la même échelle.

En déduire l'équation horaire de v_c(t) et l'instant t₁ de fin de cette phase.

En déduire l'équation horaire de v_c(t), et l'instant t₂ de fin de cette phase.

Déduire de l'enregistrement de la Figure F8 les valeurs numériques approchées des quantités suivantes : V_sat ; le rapport R₂ / R₁ et le produit RC. Pour le calcul numérique du logarithme népérien…

Quelles caractéristiques de l'amplificateur peuvent entraîner une possible limitation de la fréquence de cet oscillateur ? Donner un ordre de grandeur de ces limitations.

Déterminer les impédances d'entrée Zₑ₁ et Zₑ₂ de chaque montage et expliquer pourquoi la structure n°2 est a priori un meilleur choix pour l'application envisagée.

Que vaut la fréquence d'oscillation pendant la phase de démarrage ?

À quelles conditions la fréquence des oscillations peut-elle être considérée comme égale à la fréquence propre du filtre ?

En considérant d'une part l'étude précédente, et d'autre part le fait que le circuit U1 n'est pas idéal expliquer pourquoi il est préférable que le gain de l'étage amplificateur ne soit pas trop…

Quelle est la nouvelle condition d'oscillation relative à la phase de H_F(ω) ?

Déterminer l'expression de la fonction de transfert H(jω₀).

On connecte le point A du circuit précédent (figure 10) au point C du circuit décrit sur la figure 11. Un potentiomètre relié à un ensemble de deux condensateurs et une source de tension constante…

La tension V_D(t) est utilisée pour commander le transistor du hacheur série qui alimente la M.C.C., on a ainsi : V_com(t) = V_D(t). Préciser les relations qui relient la fréquence de hachage f_h et…

Établir la caractéristique s = h(e) du montage de la figure 7. Cette caractéristique fait apparaitre 3 zones différentes : dans chacune d'entre elles, on précisera l'expression de s = h(e) et la…

Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension x(t) du circuit de la figure 9 en fonction de R₁, R₂, C₁, C₂, αₑ et βₑ. Commenter. Si R₃ = R₄ = R₆ = 1 kΩ, quelle condition doit vérifier R₅…

En supposant les intensités I_p+ et I_p- constantes dans le temps, établir l'équation différentielle reliant les tensions z(t) et s(t). Résoudre cette équation en z(t) pour s(t) = S₀ sin (ω t) en…

En appuyant votre raisonnement sur une équation différentielle que l'on essaiera de rapprocher le plus possible de celle de Duffing obtenue à la question 28, comparer qualitativement les valeurs de…

À partir de fonctions électroniques comme la soustraction, l'addition, la multiplication ou des fonctions de filtrage, proposer un schéma électrique pour extraire les composantes utiles du signal…

Exprimer la nouvelle fonction de transfert en vitesse H_v sous la forme H_v = Z/(jω X) = (ω²/ω₀₂³)/(1 + jω/(Q'ω₀₁) - ω²/ω₀₁² - jω³/ω₀₂³) . Donner les expressions de ω₀₂ en fonction de σ, m et g₃…

Proposer un montage qui permettrait de faire briller la LED lorsque la tension aux bornes du quartz devient supérieure à une valeur limite, cette dernière permettant de différencier le cas d'un…