Feuille d'entraînement : ALI et oscillateurs électroniques

Corrigés

1. Exercice 1X-ENS Physique-SI MP 2025, Q11

   D'après la question Q10, l'équation différentielle linéarisée régissant le mouvement en petits déplacements autour de \theta = 0 s'écrit :

   J\ddot{\theta} + \nu\dot{\theta} = \Delta C

   En introduisant la vitesse angulaire \omega = \dot{\theta}, cette équation devient :

   J\dot{\omega} + \nu\omega = \Delta C

   Par transformée de Laplace avec conditions initiales nulles :

   \begin{aligned} \Omega(p) &= \frac{1}{Jp + \nu}\Delta C(p) \\ \Theta(p) &= \frac{1}{p}\Omega(p) \end{aligned}

   La structure de commande en boucle fermée de position avec boucle interne de vitesse s'organise ainsi :

   • Boucle externe de position : un comparateur calcule l'écart de position \varepsilon_\theta(p) = \Theta_c(p) - \Theta(p) (mesure unitaire). Le correcteur proportionnel de gain K fournit la consigne de vitesse angulaire :

     \Omega_c(p) = K \, \varepsilon_\theta(p)

   • Boucle interne de vitesse : un comparateur calcule l'écart de vitesse \varepsilon_\omega(p) = \Omega_c(p) - \Omega(p) (mesure unitaire déduite du codeur). Le correcteur proportionnel-intégral H_c(p) génère directement le couple de commande :

     \Delta C(p) = H_c(p)\,\varepsilon_\omega(p) = \frac{K_p(1+\tau_i p)}{\tau_i p}\,\varepsilon_\omega(p)
   • Actionneur et mécanique : le couple \Delta C(p) actionne le système pour produire la vitesse \Omega(p), dont l'intégration fournit la position \Theta(p).

   On en déduit le schéma-bloc suivant :

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique-SI MP 2025, Q13

   D'après l'équation différentielle linéarisée obtenue à la question Q10, le mouvement autour de la position d'équilibre s'écrit :

   J\dot{\omega}(t) + \nu \omega(t) = \Delta C(t)

   En appliquant la transformée de Laplace avec conditions initiales nulles, la fonction de transfert entre le couple moteur \Delta C(p) et la vitesse angulaire \Omega(p) est :

   H_{\text{proc}}(p) = \frac{\Omega(p)}{\Delta C(p)} = \frac{1}{Jp + \nu} = \frac{\frac{1}{\nu}}{1 + \frac{J}{\nu}p}

   Le capteur de vitesse étant de gain unitaire, la fonction de transfert en boucle ouverte de la boucle interne de vitesse s'exprime par :

   BO_\omega(p) = H_c(p) H_{\text{proc}}(p) = \frac{K_p (1 + \tau_i p)}{\tau_i p} \times \frac{\frac{1}{\nu}}{1 + \frac{J}{\nu}p}

   Compensation de pôle :
   La méthode par compensation de pôle consiste à éliminer le pôle dominant du procédé (lié à la constante de temps mécanique J/\nu) par le zéro du régulateur PI. On choisit donc :

   \boxed{\tau_i = \frac{J}{\nu}}

   Fonction de transfert en boucle fermée :
   En introduisant cette valeur de \tau_i, les termes (1 + \tau_i p) et (1 + \frac{J}{\nu}p) se simplifient dans la boucle ouverte :

   BO_\omega(p) = \frac{K_p}{\nu \tau_i p} = \frac{K_p}{J p}

   La boucle de vitesse étant à retour unitaire, la fonction de transfert en boucle fermée est donnée par :

   BF_\omega(p) = \frac{BO_\omega(p)}{1 + BO_\omega(p)} = \frac{\frac{K_p}{J p}}{1 + \frac{K_p}{J p}} = \frac{1}{1 + \frac{J}{K_p} p}

   BF_\omega(p) est donc bien un système du premier ordre de gain statique unitaire :

   \boxed{BF_\omega(p) = \frac{1}{1 + \tau p} \quad \text{avec} \quad \tau = \frac{J}{K_p}}

   Détermination de K_p :
   On souhaite une constante de temps \tau = 0{,}05\text{ s}. Il vient :

   K_p = \frac{J}{\tau}

   Application numérique avec J = 0{,}15\text{ kg}\cdot\text{m}^2 et \tau = 0{,}05\text{ s} :

   K_p = \frac{0{,}15}{0{,}05} = 3\text{ N}\cdot\text{m}\cdot\text{s}\cdot\text{rad}^{-1}

   \boxed{K_p = 3\text{ N}\cdot\text{m}\cdot\text{s}\cdot\text{rad}^{-1}}

   Résultat

   $${\tau }_i=\frac{J}{\nu }$$

   $$B{F}_{\omega }(p)=\frac{1}{1+\tau p}\text{avec}\tau =\frac{J}{K_p}$$

   $$K_p=3\text{ N}\cdot \text{m}\cdot \text{s}\cdot {\text{rad}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique-SI MP 2025, Q14

   Le système étant asservi en boucle fermée à retour unitaire, l'écart de position s'écrit dans le domaine de Laplace :

   \varepsilon(p) = \Theta_c(p) - \Theta(p) = \frac{1}{1 + BO_\theta(p)}\,\Theta_c(p) = \frac{p(1 + \tau p)}{p(1 + \tau p) + K}\,\Theta_c(p)

   1. Entrée en échelon unitaire : \Theta_c(p) = \dfrac{1}{p}

   D'après le théorème de la valeur finale :

   \varepsilon_p = \lim_{p \to 0} p\,\varepsilon(p) = \lim_{p \to 0} \frac{p(1 + \tau p)}{p(1 + \tau p) + K} = 0

   La boucle ouverte possède une intégration pure (classe \alpha = 1). L'erreur statique de position est donc nulle :

   \boxed{\varepsilon_p = 0}

   La réponse est ainsi parfaitement précise vis-à-vis d'une consigne en échelon, en accord avec le cahier des charges.

   2. Entrée en rampe unitaire : \theta_c(t) = t \cdot u(t) \implies \Theta_c(p) = \dfrac{1}{p^2}

   L'erreur de traînage (ou erreur en vitesse) en régime permanent vaut :

   \varepsilon_v = \lim_{p \to 0} p\,\varepsilon(p) = \lim_{p \to 0} \frac{1 + \tau p}{p(1 + \tau p) + K} = \frac{1}{K}

   \boxed{\varepsilon_v = \frac{1}{K}}

   Cette erreur est finie et non nulle. Pour respecter le critère du cahier des charges (\varepsilon_v \le 0{,}9\text{ rad/s}), il suffira de régler le gain K de manière à ce que :

   K \ge \frac{1}{0{,}9} \approx 1{,}11\text{ s}^{-1}

   3. Entrée en parabole unitaire : \theta_c(t) = \dfrac{1}{2}t^2 \cdot u(t) \implies \Theta_c(p) = \dfrac{1}{p^3}

   L'erreur en accélération en régime permanent vaut :

   \varepsilon_a = \lim_{p \to 0} p\,\varepsilon(p) = \lim_{p \to 0} \frac{1 + \tau p}{p\,[p(1 + \tau p) + K]} = +\infty

   \boxed{\varepsilon_a = +\infty}

   4. Conclusion vis-à-vis du cahier des charges :

   • Les critères sur l'erreur en position (nulle) et l'erreur en vitesse (finie, ajustable par le choix de K) peuvent être validés.
   • En revanche, le critère d'une erreur en accélération finie ne peut pas être satisfait : le système étant de classe 1, l'erreur en accélération diverge obligatoirement. Pour annuler ou rendre finie cette erreur, il serait nécessaire d'avoir une boucle ouverte de classe supérieure ou égale à 2 (ajout d'une action intégrale dans le correcteur de position).

   Résultat

   $${\epsilon }_p=0$$

   $${\epsilon }_v=\frac{1}{K}$$

   $${\epsilon }_a=+\infty$$

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4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie MP 2023, Q19

   1. Élimination de la composante continue

   Le signal délivré par le capteur s'écrit e(t) = k I_0 - k I(t), où le terme k I_0 représente une composante continue (fréquence nulle \omega = 0), tandis que k I(t) correspond aux variations transitoires rapides lors du passage d'une goutte.

   Pour éliminer la composante continue tout en conservant les variations du signal, on peut utiliser un filtre passe-haut passif RC :

   • un condensateur de capacité C est placé en série sur la ligne du signal ;
   • une résistance de valeur R est reliée entre la sortie et la masse.

   En régime continu (\omega = 0), l'impédance du condensateur Z_C = \frac{1}{\mathrm{j}C\omega} tend vers l'infini : le condensateur se comporte comme un circuit ouvert et bloque la composante continue (s_1 = 0). Pour transmettre le signal lié au passage d'une goutte (durée de quelques millisecondes), il suffit de choisir la fréquence de coupure f_c = \frac{1}{2\pi RC} très inférieure aux fréquences caractéristiques du signal utile.

   2. Réalisation de l'inversion du signal

   Le bloc d'inversion du signal (qui réalise l'opération s_2(t) = -s_1(t)) peut être réalisé à l'aide d'un amplificateur linéaire intégré (ALI, ou amplificateur opérationnel).

   En régime linéaire avec une boucle de rétroaction négative, un montage amplificateur inverseur constitué de l'ALI et de deux résistances de même valeur R_0 permet d'imposer un gain unitaire inverseur :

   \boxed{\text{Filtre passe-haut } RC \text{ et Amplificateur Linéaire Intégré (ALI)}}

   Résultat

   $$\text{Filtre passe-haut }RC\text{ et Amplificateur Lineˊaire Inteˊgreˊ (ALI)}$$

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5. Exercice 5X-ENS Physique-SI MP 2023, Q21

   1. Schéma-bloc du système asservi

   La structure canonique de l'asservissement comprend une chaîne directe formée du comparateur, du correcteur C(p) et du système physique H(p), ainsi qu'une chaîne de retour munie du capteur K(p) mesurant le signal de sortie S(p) :

   2. Formation du signal d'erreur

   Le comparateur soustrait à la consigne Co(p) le signal de mesure M(p) = K(p) S(p) délivré par le capteur. Le signal d'erreur (ou écart) \varepsilon(p) est donc formé selon :

   \varepsilon(p) = Co(p) - M(p) = Co(p) - K(p) S(p)

   3. Rôle du capteur et du correcteur

   • Capteur K(p) : Il prélève l'information sur la grandeur de sortie S(p) et la convertit en un signal de mesure M(p) (souvent électrique) compatible et homogène à la consigne Co(p), avec un temps de réponse idéalement négligeable.
   • Correcteur C(p) : Il traite le signal d'erreur \varepsilon(p) pour délivrer au système le signal de commande approprié, afin d'assurer la stabilité en boucle fermée et d'optimiser les performances (précision statique, rapidité, amortissement).

   4. Fonctions de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée

   Par définition, la fonction de transfert en boucle ouverte F_O(p) est le rapport entre le signal réinjecté au comparateur M(p) et le signal d'erreur \varepsilon(p) lorsque la boucle est rompue :

   \boxed{F_O(p) = \frac{M(p)}{\varepsilon(p)} = C(p) \, H(p) \, K(p)}

   En boucle fermée, la relation dans la chaîne directe s'écrit :

   S(p) = C(p) H(p) \varepsilon(p) = C(p) H(p) \left[ Co(p) - K(p) S(p) \right]

   En regroupant les termes en S(p) :

   S(p) \left[ 1 + C(p) H(p) K(p) \right] = C(p) H(p) Co(p)

   On en déduit la fonction de transfert en boucle fermée F(p) = \frac{S(p)}{Co(p)} :

   \boxed{F(p) = \frac{C(p) H(p)}{1 + C(p) H(p) K(p)} = \frac{C(p) H(p)}{1 + F_O(p)}}

   Résultat

   $$F_O(p)=\frac{M(p)}{\epsilon (p)}=C(p)H(p)K(p)$$

   $$F(p)=\frac{C(p)H(p)}{1+C(p)H(p)K(p)}=\frac{C(p)H(p)}{1+F_O(p)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6X-ENS Physique-SI MP 2021, Q40

   Le bouclage du circuit par la connexion du point C au point A impose :

   V_1(p) = V_3(p)

   Sous l'hypothèse \mathrm{H}(R_{\mathrm{e}}), la relation (17) établie à la question Q38 reste valable et devient :

   \frac{G_0}{R} V_3(p) = Y(p) V_3(p) \iff \left[ Y(p) - \frac{G_0}{R} \right] V_3(p) = 0

   Pour obtenir un régime libre non trivial (v_3(t) \not\equiv 0), la variable complexe p doit être solution de l'équation caractéristique :

   \boxed{Y(p) - \frac{G_0}{R} = 0} \quad \text{ou de façon équivalente} \quad \boxed{R\,Y(p) - G_0 = 0}

   En régime libre, les solutions du système différentiel linéaire autonome sont des combinaisons linéaires de modes propres de la forme \exp(pt) (ou t^k\exp(pt) en cas de multiplicité), où p = \sigma + j\omega \in \mathbb{C} (\sigma, \omega \in \mathbb{R}) est racine de l'équation caractéristique :

   \mathrm{e}^{pt} = \mathrm{e}^{\sigma t} \mathrm{e}^{j\omega t}

   • Partie réelle \sigma = \operatorname{Re}(p) : elle gouverne l'évolution de l'enveloppe temporelle (stabilité).

     • Si \operatorname{Re}(p) < 0 : régime stable, atténuation exponentielle vers 0 ;
     • Si \operatorname{Re}(p) > 0 : régime instable, divergence exponentielle (condition de démarrage d'un oscillateur) ;
     • Si \operatorname{Re}(p) = 0 : régime marginalement stable, oscillations non amorties d'amplitude constante.

   • Partie imaginaire \omega = \operatorname{Im}(p) : elle gouverne la nature oscillatoire de la solution.

     • Si \operatorname{Im}(p) = 0 : régime apériodique pur (relaxation) ;
     • Si \operatorname{Im}(p) \neq 0 : régime oscillatoire (pseudo-périodique si \sigma \neq 0, sinusoïdal pur si \sigma = 0) de pulsation propre |\omega|.

   Résultat

   $$Y(p)-\frac{G_0}{R}=0$$

   $$RY(p)-G_0=0$$

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7. Exercice 7X-ENS Physique-SI MP 2026, Q31

   D'après les spécifications fournies par l'énoncé :

   • Comparateur de position et convertisseur : La consigne \Theta_c est comparée à la position réelle \Theta_r (capteur angulaire de gain unitaire, d'où un retour unitaire). L'écart angulaire est converti en tension U par un comparateur de gain :

     K_G = 10\text{ V}\cdot\text{rad}^{-1}
   • Boucle interne de vitesse : La tension U sert de consigne de vitesse. Elle est comparée à la mesure issue du codeur incrémental de gain K_C = 1\text{ V}\cdot\text{s}\cdot\text{rad}^{-1}. L'erreur est traitée par le régulateur de vitesse de fonction de transfert H_v(p), puis transmise au variateur de tension de gain pur K_a = 1{,}3, ce qui délivre la tension d'induit U_m.

   • Moteur : Il est modélisé par un premier ordre de gain statique K_m = 1{,}8\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{V}^{-1} et de constante de temps \tau_m = 0{,}016\text{ s} :

     \frac{\Omega_m(p)}{U_m(p)} = \frac{K_m}{1 + \tau_m p}

   • Réducteur mécanique : Avec un rapport de réduction de 18:1, la vitesse de l'arbre est \Omega_r = r\,\Omega_m avec un rapport :

     r = \frac{1}{18}

   • Passage de la vitesse à la position : La position angulaire \theta_r(t) est l'intégrale temporelle de la vitesse angulaire \omega_r(t) (\dot{\theta}_r = \omega_r), ce qui correspond dans le domaine de Laplace à un intégrateur pur :

     \frac{\Theta_r(p)}{\Omega_r(p)} = \frac{1}{p}

   On en déduit le schéma-bloc complété :

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8X-ENS Physique-SI MP 2026, Q34

   Pour asservir la position angulaire \theta_r(t) sur la consigne \theta_c(t), le correcteur de position, de fonction de transfert C(p), doit être inséré dans la chaîne directe de la boucle externe (boucle de position), en aval du comparateur de position.

   Il traite l'écart angulaire \varepsilon_\theta(p) = \Theta_c(p) - \Theta_r(p) (ou la tension proportionnelle issue du gain d'adaptation K_G) afin d'élaborer la consigne de tension U(p) destinée à la boucle interne de vitesse.

   Le bloc C(p) est donc placé en série avec le bloc de gain K_G entre le premier comparateur et le sommateur de la boucle de vitesse.

   \boxed{\text{Le correcteur } C(p) \text{ est inséré en série avec } K_G \text{ sur la chaîne directe de la boucle de position.}}

   Résultat

   $$\text{Le correcteur }C(p)\text{ est inseˊreˊ en seˊrie avec }{K}_G\text{ sur la chaıˆne directe de la boucle de position.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9X-ENS Physique-SI MP 2023, Q1

   1. Laser en anneau

   Représentation par schéma-blocs et justification : Dans un laser en anneau, l'onde électromagnétique parcourt la cavité dans un sens unique (unidirectionnel).

   • La chaîne directe est constituée du milieu amplificateur, caractérisé par une fonction de transfert (ou transmittance complexe) \underline{A}(\omega).
   • Le faisceau amplifié rencontre le miroir de couplage \mathrm{M_c} : une fraction de l'onde est transmise vers l'extérieur (signal de sortie), tandis que la fraction réfléchie continue son trajet.
   • La chaîne de retour modélise la propagation le long du reste de l'anneau (déphasage de propagation sur la longueur L-\ell_a et réflexions sur les miroirs \mathrm{M}'), de transmittance de retour notée \underline{B}(\omega), qui réinjecte l'onde à l'entrée de l'amplificateur.

   Nature physique des signaux :

   • Signal de sortie : Il s'agit du champ électrique de l'onde lumineuse transmise par le miroir de couplage \mathrm{M_c}, E_{\text{out}}(t) (ou de manière équivalente, l'intensité ou la puissance optique rayonnée).
   • Signal d'entrée : En régime autonome permanent (oscillateur libre), il n'y a aucun signal d'entrée extérieur injecté (E_{\text{in}} = 0). En revanche, au démarrage du laser, l'oscillation est amorcée par une entrée de type bruit : l'émission spontanée des atomes du milieu actif (fluctuations du vide quantique).

   2. Laser linéaire

   Représentation par schéma-blocs et adaptation : Dans une cavité linéaire à deux miroirs parallèles, l'onde effectue des allers-retours :

   • Au cours d'un cycle complet (aller-retour de longueur développée L), l'onde traverse deux fois le milieu amplificateur.
   • Le bloc direct peut regrouper le parcours complet aller-retour (deux traversées de l'amplificateur et réflexion sur le miroir de fond \mathrm{M}'), tandis que le bloc de réaction représente la réflexion sur le miroir de couplage \mathrm{M_c} qui reboucle le champ à l'intérieur.

   Les grandeurs d'entrée et de sortie sont de même nature que pour le laser en anneau : émission spontanée pour l'entrée d'amorçage, et faisceau électromagnétique transmis en sortie.

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10. Exercice 10X-ENS Physique-SI MP 2023, Q24

    24-a) Amplitude de déplacement du miroir mobile

    La fréquence de résonance du mode N de la cavité laser s'écrit :

    \nu_N = N \frac{c}{L}

    où L est la longueur développée de la cavité. Par différentiation, la variation de fréquence induite par une variation \Delta L de la longueur développée vaut :

    |\Delta \nu| = \frac{N c}{L^2} |\Delta L| = \frac{\nu_N}{L} |\Delta L|

    Pour balayer un intervalle spectral libre complet \nu_{\text{ISL}} = \frac{c}{L} (cf. question Q7-b), la variation requise de longueur développée vérifie :

    |\Delta \nu| = \nu_{\text{ISL}} \iff \frac{N c}{L^2} |\Delta L| = \frac{c}{L} \iff |\Delta L| = \frac{L}{N} = \lambda_\ell

    Le faisceau intra-cavité étant en incidence normale sur le miroir \mathrm{M}', un déplacement mécanique de ce miroir d'une amplitude \Delta z modifie la distance aller-retour de 2\Delta z, si bien que :

    |\Delta L| = 2 |\Delta z|

    On en déduit l'amplitude de déplacement nécessaire :

    \boxed{|\Delta z| = \frac{\lambda_\ell}{2}}

    Application numérique : avec \lambda_\ell \simeq 600\text{ nm} :

    |\Delta z| \simeq 300\text{ nm} = 0{,}3\ \mu\text{m}

    24-b) Signe de la constante K et expression de la correction \delta U_\epsilon

    1. Signe du signal d'erreur : Le signal transmis \theta(\nu - \nu_0) par la cavité de référence est maximal en \nu = \nu_0. Sa dérivée \epsilon(\nu - \nu_0) = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\nu} (représentée en sortie du bloc DS sur la figure 4) présente les propriétés suivantes :

       • si \nu < \nu_0 (flanc montant du pic) : \epsilon(\nu - \nu_0) > 0 ;
       • si \nu = \nu_0 (sommet du pic) : \epsilon(0) = 0 ;
       • si \nu > \nu_0 (flanc descendant du pic) : \epsilon(\nu - \nu_0) < 0.

    2. Action de la tension U sur la fréquence \nu :

       • D'après l'énoncé, l'épaisseur e de la cale piézoélectrique décroît lorsque la tension U augmente (\frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}U} < 0).
       • La figure 5 montre que le support fixe se situe à gauche (z=0) et le miroir mobile à droite (z=e), le faisceau incident arrivant de la droite. Une diminution de l'épaisseur e déplace donc le miroir vers la gauche, ce qui agrandit la cavité intra-laser : \delta L = -2\,\delta e. Par suite, \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}U} > 0.
       • Comme \nu = N\frac{c}{L}, la fréquence décroît lorsque L augmente : \frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}L} < 0.

       • Par composition :

         U \nearrow \;\implies\; e \searrow \;\implies\; L \nearrow \;\implies\; \nu \searrow

         Une augmentation de tension \delta U > 0 entraîne une baisse de fréquence \delta \nu < 0.

    3. Condition de stabilité de l'asservissement : Supposons que la fréquence du laser dérive vers le haut (\nu > \nu_0). L'asservissement doit ramener la fréquence vers \nu_0, donc provoquer une diminution de fréquence (\delta \nu < 0), ce qui exige une augmentation de tension :

       \delta U_\epsilon > 0

       Or pour \nu > \nu_0, le signal d'erreur est négatif : \epsilon(\nu - \nu_0) < 0. Pour que \delta U_\epsilon = K \epsilon(\nu - \nu_0) > 0, il faut impérativement que :

       \boxed{K < 0}

       Vérification réciproque : si \nu < \nu_0, \epsilon > 0 ; avec K < 0, \delta U_\epsilon < 0, ce qui augmente e, réduit L et fait croître \nu vers \nu_0. Le système réalise bien une rétroaction stabilisatrice (boucle fermée négative).

    En posant K = -|K|, l'expression de la correction s'écrit :

    \boxed{\delta U_\epsilon = K \epsilon(\nu - \nu_0) = - |K| \left.\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\nu}\right|_{\nu}}

    Résultat

    $$|\Delta z|=\frac{{\lambda }_{\ell }}{2}$$

    $$K<0$$

    $$\delta U_{ϵ}=Kϵ(\nu -{\nu }_0)=-|K|{\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}\nu }|}_{\nu }$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question