Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie MP 2023

1. Définition d'un référentiel galiléen :

Un référentiel galiléen (ou inertiel) est un référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié : tout système matériel mécaniquement isolé ou pseudo-isolé (\sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0}) y possède un vecteur vitesse constant (\vec{v} = \vec{\mathrm{cste}}), c'est-à-dire un mouvement de translation rectiligne et uniforme ou un état de repos.

2. Définition du poids :

Le poids \vec{P} d'un corps terrestre est la force d'attraction résultante exercée sur ce corps par la Terre, tenant compte à la fois de l'attraction gravitationnelle terrestre et de la force d'inertie d'entraînement axifuge liée à la rotation propre de la Terre dans le référentiel géocentrique. Il s'exprime par :

où m est la masse du corps et \vec{g} le champ de pesanteur local.

3. Expression du poids de la goutte d'eau :

La goutte d'eau est modélisée par une sphère de diamètre D, soit de rayon R = D/2, et de masse volumique \rho. Son volume vaut :

Sa masse est donc :

Le champ de pesanteur étant orienté selon l'axe vertical descendant (\vec{g} = g\vec{e}_z), le poids de la goutte s'écrit :

Effectuons une analyse dimensionnelle des deux membres de l'expression vectorielle définissant la force de frottement :

D'après la deuxième loi de Newton (\vec{F} = m \vec{a}), la dimension d'une force est :

Examinons à présent la dimension du terme de droite :

• C et \pi sont des grandeurs sans dimension : [C] = 1 et [\pi] = 1 ;
• \rho_a est une masse volumique : [\rho_a] = \mathrm{M} \cdot \mathrm{L}^{-3} ;
• D est une longueur (diamètre) : [D^2] = \mathrm{L}^2 ;
• v est une vitesse : [v^2] = (\mathrm{L} \cdot \mathrm{T}^{-1})^2 = \mathrm{L}^2 \cdot \mathrm{T}^{-2} ;
• le vecteur unitaire \vec{e}_z est adimensionné.

On en déduit la dimension du second membre :

On constate que :

La formule proposée est donc bien homogène à une force.

On applique la deuxième loi de Newton à la goutte d'eau (assimilée à un point matériel de masse m), dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

D'après l'énoncé, la poussée d'Archimède est négligée et la seule autre force est la force de frottement de l'air. En projetant sur l'axe vertical descendant d'axe (Oz) dirigé par \vec{e}_z, avec \vec{v} = v\,\vec{e}_z :

Par définition, la vitesse limite \vec{v}_{\lim} = v_{\lim}\,\vec{e}_z est constante au cours du temps, donc l'accélération s'annule (\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0) :

En remplaçant la masse de la goutte par son expression établie en Q1, m = \frac{\pi \rho D^3}{6} :

La vitesse étant dirigée vers le bas (v_{\lim} > 0), on en déduit :

avec :

Application numérique :

(valeur cohérente avec la valeur K = 150\text{ m}^{1/2}\cdot\text{s}^{-1} introduite en partie II).

Calculons la vitesse limite pour les trois diamètres demandés :

• Pour D = 1\text{ mm} = 1,0 \cdot 10^{-3}\text{ m} :

  \boxed{v_{\lim}(1\text{ mm}) = 1,45 \cdot 10^2 \times \sqrt{1,0 \cdot 10^{-3}} \approx 4,6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

• Pour D = 3\text{ mm} = 3,0 \cdot 10^{-3}\text{ m} :

  \boxed{v_{\lim}(3\text{ mm}) = 1,45 \cdot 10^2 \times \sqrt{3,0 \cdot 10^{-3}} \approx 7,9\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

• Pour D = 5\text{ mm} = 5,0 \cdot 10^{-3}\text{ m} :

  \boxed{v_{\lim}(5\text{ mm}) = 1,45 \cdot 10^2 \times \sqrt{5,0 \cdot 10^{-3}} \approx 1,0 \cdot 10^1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

L'observation de la figure 1 montre deux écarts majeurs entre la relation théorique v_{\lim} = K\sqrt{D} (en pointillés) et les résultats expérimentaux (en trait plein) :

1. Pour les grandes gouttes (D \gtrsim 3\text{ mm}) : La vitesse limite expérimentale s'écarte de la loi en \sqrt{D} et semble saturer autour de 9\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. Cela s'explique par :

   • La déformation de la goutte : l'hypothèse d'une goutte sphérique n'est plus valable. Sous l'effet des forces de pression aérodynamique exercées par l'air, la goutte s'aplatit à sa base (forme d'ellipsoïde aplati). Son maître-couple (surface frontale) et son coefficient de traînée C_x augmentent nettement, ce qui engendre un frottement plus important que prévu et limite la vitesse de chute. (Au-delà d'environ 5\text{ à }6\text{ mm}, les gouttes deviennent instables et se brisent).

2. Pour les très petites gouttes (D \ll 1\text{ mm}) :

   • Le changement de régime d'écoulement : à très faible diamètre, la vitesse de chute est faible et le nombre de Reynolds de l'écoulement devient petit (Re \ll 1). Le régime de frottement n'est plus quadratique mais visqueux/laminaire (loi de Stokes, où \vec{F}_{\text{frott}} \propto v), ce qui conduit à une dépendance en v_{\lim} \propto D^2 plutôt qu'en \sqrt{D} (la courbe théorique en \sqrt{D} présente une pente infinie en D=0, ce qui n'est pas physique).
3. La dépendance du coefficient de traînée : Le coefficient C a été supposé strictement constant, or le coefficient de traînée d'un corps varie avec le nombre de Reynolds Re = \frac{\rho_a v D}{\eta_{\text{air}}} sur l'ensemble de la plage de tailles explorée.

On étudie la platine, modélisée par un point matériel de masse M, dans le référentiel lié au support fixe, supposé galiléen. L'axe vertical descendant est orienté par le vecteur unitaire \vec{e}_z.

À l'équilibre et en l'absence de goutte (F(t) = 0), la vitesse de la platine est nulle, donc la force de frottement fluide \vec{f} = -\lambda \vec{v}_{\text{platine}} est également nulle. La platine n'est alors soumise qu'à deux forces :

• son poids : \vec{P} = M g \, \vec{e}_z ;

• la force de rappel élastique exercée par le ressort : le support fixe étant situé sous la platine (figure 2), le poids de celle-ci comprime le ressort (l_{\text{équ}} < l_0). Le ressort exerce donc une force de rappel dirigée vers le haut :

  \vec{F}_{\text{ressort}} = -k(l_0 - l_{\text{équ}})\,\vec{e}_z = k(l_{\text{équ}} - l_0)\,\vec{e}_z.

À l'équilibre statique, le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

En projetant sur l'axe vertical descendant \vec{e}_z, on obtient :

D'où l'expression de la longueur à l'équilibre :

On étudie la platine, modélisée par un solide de masse M en translation verticale le long de l'axe Oz, dans le référentiel lié au support supposé galiléen.

Le déplacement de la platine est repéré par Z(t) orienté vers le bas (\vec{e}_z), compté à partir de sa position d'équilibre z_{\text{équ}}.
La platine est soumise à quatre forces :

• son poids :

  \vec{P} = M g \vec{e}_z

• la force de rappel élastique du ressort : la platine étant située au-dessus du support fixe, un déplacement vers le bas (Z(t) > 0) comprime le ressort. Sa longueur à l'instant t vaut l(t) = l_{\text{équ}} - Z(t). Le ressort pousse la platine vers le haut (-\vec{e}_z) avec une intensité k(l_0 - l(t)) :

  \vec{F}_{\text{ressort}} = k\bigl(l(t) - l_0\bigr)\vec{e}_z = k\bigl(l_{\text{équ}} - l_0 - Z(t)\bigr)\vec{e}_z

  D'après la question Q5, à l'équilibre on a k(l_{\text{équ}} - l_0) = -Mg. Il vient donc :

  \vec{F}_{\text{ressort}} = \bigl(-Mg - k Z(t)\bigr)\vec{e}_z

• la force d'amortissement visqueux :

  \vec{f} = -\lambda \vec{v}_{\text{platine}} = -\lambda \frac{\mathrm{d}Z(t)}{\mathrm{d}t}\,\vec{e}_z

• la force exercée par l'impact de la goutte :

  \vec{F}(t) = F(t)\,\vec{e}_z

On applique la deuxième loi de Newton à la platine dans le référentiel galiléen :

En projetant sur le vecteur unitaire vertical descendant \vec{e}_z :

En divisant par la masse M, on obtient :

Par identification avec l'équation proposée :

1. Signification physique de \tau et ordre de grandeur

La grandeur \tau représente la durée de l'impact (ou durée d'écrasement) de la goutte d'eau sur la platine du capteur.

Lors de la collision avec la surface rigide de la platine, le bas de la goutte est stoppé quasi instantanément tandis que son sommet parcourt une distance de l'ordre de la taille caractéristique de la goutte, c'est-à-dire son diamètre D, à une vitesse de l'ordre de sa vitesse incidente v_{\lim}(D). Le temps nécessaire à l'écrasement total est ainsi de l'ordre du temps de transit :

2. Calcul numérique de \tau pour D = 2,5\text{ mm}

D'après le préambule de la partie II, la vitesse limite de la goutte est :

Pour D = 2,5\text{ mm} = 2,5 \cdot 10^{-3}\text{ m} et K = 150\text{ m}^{1/2}\cdot\text{s}^{-1} :

La durée d'impact avec le facteur correctif \xi = 0,65 s'exprime donc par :

a) L'équation différentielle régissant le mouvement de la platine est :

L'équation caractéristique associée s'écrit r^2 + \gamma r + \beta = 0, de discriminant \Delta = \gamma^2 - 4\beta. Pour éviter toute oscillation (qui fausserait la mesure et ralentirait l'établissement) tout en assurant le retour ou la montée le plus rapide possible, le système doit être réglé dans le régime critique, soit \Delta = 0 :

b) Pour 0 \le t \le \tau, la force appliquée est constante : F(t) = F_0.

• Une solution particulière constante est Z_p = \frac{F_0}{M\beta} = \frac{F_0}{k} puisque \beta = \frac{k}{M}.

• En régime critique, la racine double est r_0 = -\frac{\gamma}{2}. La solution générale de l'équation homogène s'écrit donc :

  Z_h(t) = (A + B t)\,\mathrm{e}^{-\gamma t / 2}

• La solution générale complète est ainsi :

  Z(t) = \frac{F_0}{k} + (A + B t)\,\mathrm{e}^{-\gamma t / 2}

Le système étant initialement au repos à sa position d'équilibre :

En factorisant par \frac{F_0}{k}, on obtient bien :

c) Pour avoir Z(\tau) \approx \frac{F_0}{k}, il faut que le terme transitoire soit négligeable devant 1 à la date t = \tau, ce qui impose :

La durée caractéristique d'établissement \tau_c = \frac{2}{\gamma} doit être très courte devant la durée de l'impact \tau.

Sous cette condition, Z(\tau) = \frac{F_0}{k}. Or, d'après les modélisations de l'énoncé :

Avec m(D) = \rho \frac{\pi D^3}{6} et v_{\lim}(D) = K\sqrt{D}, il vient :

On en déduit :

Le déplacement Z(\tau) est donc bien proportionnel à D^\alpha avec :

d) Pour t > \tau, F(t) = 0 : la platine revient vers sa position d'équilibre Z=0 selon une décroissance apériodique (régime critique sans oscillation).

e) Dès lors que \gamma est choisi suffisamment grand, la valeur maximale atteinte par le déplacement est Z_{\max} = Z(\tau) = \frac{\pi \rho K^2}{6 k \xi} D^3. La mesure expérimentale de cette élongation maximale permet d'en déduire directement le diamètre D de la goutte :

Considérons l'électrode modélisée par un plan infini d'épaisseur nulle situé en z = e/2, portant une densité surfacique de charge uniforme \sigma = \frac{Q}{S} > 0. On repère un point quelconque de l'espace M par ses coordonnées cartésiennes (x,y,z).

Étude des symétries

• Tout plan passant par le point M et perpendiculaire au plan de charge est un plan de symétrie matérielle (\Pi_s) pour la distribution.
• En particulier, le plan passant par M dirigé par (\vec{e}_x, \vec{e}_z) et le plan passant par M dirigé par (\vec{e}_y, \vec{e}_z) sont deux plans de symétrie de la distribution.

• Le champ électrostatique créé en un point appartenant à un plan de symétrie est obligatoirement contenu dans ce plan. Il appartient donc à l'intersection de ces deux plans :

  \vec{E}(M) \in (\vec{e}_x, \vec{e}_z) \cap (\vec{e}_y, \vec{e}_z) = \mathbb{R}\,\vec{e}_z

  Le champ électrostatique est donc vertical, purement suivant \vec{e}_z :

  \vec{E}(M) = E_z(x, y, z)\,\vec{e}_z

Étude des invariances

• La distribution de charges est un plan infini uniforme : elle est invariante par toute translation selon \vec{e}_x et selon \vec{e}_y.
• D'après le principe de Curie, le champ électrostatique possède les mêmes invariances que sa source. Ses composantes ne dépendent donc ni de x ni de y.

Par conséquent, le champ électrique \vec{E}(M) est dirigé selon l'axe (Oz) et ne dépend que de l'unique coordonnée z :

Énoncé du théorème de Gauss :

Le flux sortant du champ électrostatique \vec{E} à travers une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur est égal à la charge intérieure totale Q_{\text{int}} enserrée par cette surface, divisée par la permittivité diélectrique du vide \varepsilon_0 :

Calcul du champ électrostatique :

Considérons une surface de Gauss \Sigma constituée d'un cylindre d'axe parallèle à (Oz), de section droite d'aire \mathcal{S}, situé symétriquement de part et d'autre du plan chargé z = e/2, entre les cotes z = e/2 - h et z = e/2 + h (avec h > 0).

Le flux de \vec{E} à travers cette surface fermée se décompose en :

• le flux à travers la surface latérale : la normale extérieure \vec{n}_L est orthogonale à \vec{e}_z, d'où \vec{E} \cdot \vec{n}_L = 0 et \Phi_{\text{lat}} = 0 ;
• le flux à travers la base supérieure (normale +\vec{e}_z) : \Phi_{\text{sup}} = E_z(e/2 + h)\,\mathcal{S} ;
• le flux à travers la base inférieure (normale -\vec{e}_z) : \Phi_{\text{inf}} = -E_z(e/2 - h)\,\mathcal{S}.

D'après l'étude des symétries menée à la question Q9, le plan z = e/2 est un plan de symétrie de la distribution, donc E_z(e/2 - h) = -E_z(e/2 + h). Le flux total s'écrit donc :

La charge contenue à l'intérieur de \Sigma est celle interceptée sur le plan z = e/2 d'aire \mathcal{S} portant la densité surfacique uniforme \sigma = \frac{Q}{S} :

En appliquant le théorème de Gauss :

Ce résultat étant indépendant de la distance h > 0, le champ est uniforme de chaque côté du plan. En tout point de l'espace non situé sur le plan, le champ s'écrit :

D'après le résultat de la question Q10, le champ électrique créé par l'électrode supérieure située en z = e/2 portant la charge +Q (densité surfacique \sigma_+ = \frac{Q}{S}) est, pour tout point situé sous cette électrode (z < e/2) :

L'électrode inférieure est située en z = -e/2 et porte la charge -Q, correspondant à une densité surfacique uniforme \sigma_- = -\frac{Q}{S}. Par analogie, pour tout point situé au-dessus de cette électrode (z > -e/2) :

D'après le principe de superposition, le champ électrostatique total en un point M situé entre les deux électrodes (-e/2 < z < e/2) dans le vide est la somme des champs créés par chaque électrode :

En suivant la prescription de l'énoncé, à l'intérieur du matériau piézoélectrique de permittivité diélectrique \varepsilon, on remplace la permittivité du vide \varepsilon_0 par \varepsilon :

La différence de potentiel aux bornes du capteur s'obtient par circulation du champ électrostatique \vec{E}_{\text{piezo}} = -\dfrac{Q(t)}{\varepsilon S}\vec{e}_z établi à la question Q11 :

La tension u(t) est donc directement proportionnelle à la charge Q(t).

D'après l'énoncé, la charge Q(t) est proportionnelle à la force F(t) exercée par la goutte sur le capteur. Pendant l'impact (0 < t < \tau), la force vaut F(t) = F_0 avec :

En utilisant l'expression du temps caractéristique d'impact \tau(D) = \xi \dfrac{D}{v_{\lim}(D)} donnée à la question Q7 :

Or, la vitesse limite s'écrit v_{\lim}(D) = K\sqrt{D}, d'où v_{\lim}^2(D) = K^2 D. La masse d'une goutte sphérique d'eau de masse volumique \rho est :

On en déduit l'expression de la force :

La force F_0 est ainsi proportionnelle à D^3. Par transitivité des proportionnalités :

Pendant la durée \tau d'un impact, les gouttes qui frappent la surface S du capteur sont celles qui se trouvaient initialement dans un cylindre vertical de base S et de hauteur :

Le volume de ce cylindre d'influence est donc :

Les gouttes étant uniformément réparties avec une densité volumique N, le nombre moyen de gouttes G atteignant le capteur pendant la durée \tau s'écrit :

En injectant l'expression de la durée d'impact \tau(D) = \xi \dfrac{D}{v_{\lim}(D)}, on constate une simplification de la vitesse limite :

Pour éviter le chevauchement temporel des signaux engendrés par des impacts successifs, il ne doit pas tomber plus d'une goutte en moyenne pendant la durée d'un impact, ce qui se traduit par la condition :

La surface maximale S_{\max} du capteur correspond au cas limite G = 1, d'où :

Le nombre total de gouttes de pluie par unité de volume s'obtient en intégrant la densité de répartition n(D) sur toutes les tailles de gouttes possibles :

Par définition d'une valeur moyenne pondérée, le diamètre moyen des gouttes \langle D \rangle est donné par :

Calculons l'intégrale au numérateur en effectuant le changement de variable sans dimension x = \dfrac{D}{D_0}, d'où D = D_0 x et \mathrm{d}D = D_0\,\mathrm{d}x :

En utilisant l'intégrale donnée par l'énoncé, \displaystyle \int_0^\infty x \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x = 1, il vient :

En formant le rapport, on obtient :

Le paramètre caractéristique D_0 de la loi de Marshall et Palmer représente donc bien le diamètre moyen des gouttes de pluie.

D'après la question Q14, la densité volumique totale de gouttes s'écrit :

et le diamètre moyen des gouttes est \langle D \rangle = D_0.

En adoptant la modélisation établie à la question Q13 pour une averse caractérisée par cette densité volumique totale N_{\text{tot}} et ce diamètre moyen D_0, avec une durée d'impact \tau(D_0) = \xi \frac{D_0}{v_{\lim}(D_0)}, le nombre moyen de gouttes G frappant la surface S pendant cette durée s'écrit :

Pour éviter le chevauchement de deux signaux successifs, il faut en moyenne au plus un impact pendant la durée \tau, soit G \le 1. La surface maximale admissible S_{\max} vérifie donc G = 1 :

Application numérique : Convertissons les grandeurs dans le système international :

• n_0 = 8,0 \cdot 10^3\text{ m}^{-3}\cdot\text{mm}^{-1} = \frac{8,0 \cdot 10^3\text{ m}^{-3}}{10^{-3}\text{ m}} = 8,0 \cdot 10^6\text{ m}^{-4}
• D_0 = 1,5\text{ mm} = 1,5 \cdot 10^{-3}\text{ m}
• \xi = 6,5

Commentaire au regard de la photo 2 : Pour un capteur circulaire de diamètre d, la surface vaut S = \frac{\pi d^2}{4}. Avec S_{\max} \approx 85\text{ cm}^2, le diamètre maximal associé est :

Cette valeur coïncide remarquablement avec l'échelle de 10\text{ cm} fournie sur la photo 2 (et avec la surface standard de 80\text{ cm}^2 mentionnée dans la suite du sujet) : le capteur a été dimensionné au plus grand possible tout en respectant la marge de sécurité imposée par \xi = 6,5 pour éviter la superposition des signaux.

Considérons une surface collectrice horizontale d'aire S (par exemple l'ouverture du pluviomètre) pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t.

Pendant cette durée, les gouttes d'eau qui atteignent la surface S sont contenues dans le cylindre vertical de base S et de hauteur v_{\lim}(D_0)\,\mathrm{d}t. Le volume de ce cylindre d'air balayé est :

Puisque les gouttes sont réparties de façon homogène avec une densité volumique N, le nombre de gouttes recueillies pendant \mathrm{d}t est :

Chaque goutte étant modélisée par une sphère de diamètre D_0, le volume d'eau apporté par une goutte vaut :

Le volume d'eau liquide total recueilli sur la surface S pendant \mathrm{d}t s'écrit alors :

La hauteur d'eau équivalente accumulée au sol ou au fond du pluviomètre pendant \mathrm{d}t est :

Par définition, l'intensité R de l'averse est la hauteur d'eau tombée par unité de temps :

D'où l'expression de R :

1. Justification de l'expression de R :

D'après la question Q16, une population de gouttes de même diamètre D, animées d'une vitesse de chute v_{\lim}(D) et de densité volumique N, apporte une contribution à l'intensité pluviométrique égale au débit volumique d'eau par unité de surface :

Dans le cas d'une averse polydisperse décrite par la distribution de Marshall et Palmer, le nombre de gouttes par unité de volume ayant un diamètre compris entre D et D + \mathrm{d}D s'écrit \mathrm{d}N = n(D)\,\mathrm{d}D.

Chaque tranche de diamètres contribue de manière infinitésimale à la hauteur d'eau précipitée par unité de temps :

En intégrant sur l'ensemble des diamètres possibles D \in [0, +\infty[, on obtient bien :

2. Calcul analytique de R :

En remplaçant n(D) = n_0 \exp\left(-\frac{D}{D_0}\right) et v_{\lim}(D) = K \sqrt{D} = K D^{1/2} :

En posant le changement de variable sans dimension x = \frac{D}{D_0}, soit D = D_0 x et \mathrm{d}D = D_0\,\mathrm{d}x :

En utilisant la valeur fournie pour l'intégrale :

3. Application numérique :

Les grandeurs doivent impérativement être converties dans le système international d'unités :

• n_0 = 8,0\cdot 10^3\text{ m}^{-3}\cdot\text{mm}^{-1} = 8,0\cdot 10^3 \times 10^3\text{ m}^{-4} = 8,0\cdot 10^6\text{ m}^{-4} ;
• K = 150\text{ m}^{1/2}\cdot\text{s}^{-1} ;
• D_0 = 1,5\text{ mm} = 1,5\cdot 10^{-3}\text{ m} ;
• D_0^{4,5} = (1,5\cdot 10^{-3})^{4,5} \approx 1,961\cdot 10^{-13}\text{ m}^{4,5}.

Le calcul de l'intensité en unités SI (\text{m}\cdot\text{s}^{-1}) donne :

La conversion en \text{mm}\cdot\text{h}^{-1} s'effectue via 1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} = 10^3\text{ mm} \times 3600\text{ s}\cdot\text{h}^{-1} = 3,6\cdot 10^6\text{ mm}\cdot\text{h}^{-1} :

Pour chaque classe i, l'histogramme fournit le nombre N_i de gouttes d'eau de diamètre moyen D_i interceptées par la platine de surface S = 80\text{ cm}^2 pendant la durée d'observation \Delta t = 24\text{ h}.

1. Volume apporté par chaque goutte : Chaque goutte de la classe i étant supposée sphérique, son volume est donné par :

   V_i = \frac{\pi D_i^3}{6}

2. Volume total d'eau collecté : Le volume total d'eau liquide tombé sur le disdromètre durant la durée \Delta t s'obtient en sommant les contributions de toutes les classes :

   V_{\text{tot}} = \sum_i N_i V_i = \frac{\pi}{6} \sum_i N_i D_i^3

3. Calcul de l'intensité des précipitations R : Par définition, l'intensité pluviométrique R est la hauteur d'eau h = \frac{V_{\text{tot}}}{S} tombée par unité de temps :

   \boxed{R = \frac{V_{\text{tot}}}{S \, \Delta t} = \frac{\pi}{6 \, S \, \Delta t} \sum_i N_i D_i^3}

1. Élimination de la composante continue

Le signal délivré par le capteur s'écrit e(t) = k I_0 - k I(t), où le terme k I_0 représente une composante continue (fréquence nulle \omega = 0), tandis que k I(t) correspond aux variations transitoires rapides lors du passage d'une goutte.

Pour éliminer la composante continue tout en conservant les variations du signal, on peut utiliser un filtre passe-haut passif RC :

• un condensateur de capacité C est placé en série sur la ligne du signal ;
• une résistance de valeur R est reliée entre la sortie et la masse.

En régime continu (\omega = 0), l'impédance du condensateur Z_C = \frac{1}{\mathrm{j}C\omega} tend vers l'infini : le condensateur se comporte comme un circuit ouvert et bloque la composante continue (s_1 = 0). Pour transmettre le signal lié au passage d'une goutte (durée de quelques millisecondes), il suffit de choisir la fréquence de coupure f_c = \frac{1}{2\pi RC} très inférieure aux fréquences caractéristiques du signal utile.

2. Réalisation de l'inversion du signal

Le bloc d'inversion du signal (qui réalise l'opération s_2(t) = -s_1(t)) peut être réalisé à l'aide d'un amplificateur linéaire intégré (ALI, ou amplificateur opérationnel).

En régime linéaire avec une boucle de rétroaction négative, un montage amplificateur inverseur constitué de l'ALI et de deux résistances de même valeur R_0 permet d'imposer un gain unitaire inverseur :

Pendant sa chute verticale à vitesse constante v, la goutte traverse le faisceau lumineux d'épaisseur verticale h = 1,0\text{ cm}. Les différents instants caractéristiques du signal s(t) correspondent à :

• t_0 = 1,3\text{ ms} : l'avant (point le plus bas) de la goutte pénètre dans le faisceau lumineux ;
• t_1 = 1,6\text{ ms} : l'arrière (point le plus haut) de la goutte entre dans le faisceau ; la goutte de diamètre D < h est alors entièrement immergée dans le faisceau, la surface occultée est maximale et constante ;
• t_2 = 2,8\text{ ms} : l'avant de la goutte commence à sortir de la tranche lumineuse ;
• t_3 = 3,1\text{ ms} : l'arrière de la goutte quitte complètement le faisceau.

Entre les instants t_0 et t_2, l'avant de la goutte a donc parcouru exactement la hauteur h du faisceau (de même, l'arrière de la goutte parcourt cette même distance h entre t_1 et t_3). On a donc :

La vitesse de chute de la goutte s'exprime ainsi par :

Application numérique :

• h = 1,0\text{ cm} = 1,0 \cdot 10^{-2}\text{ m} ;
• t_2 - t_0 = 2,8\text{ ms} - 1,3\text{ ms} = 1,5\text{ ms} = 1,5 \cdot 10^{-3}\text{ s}.

D'après l'énoncé, lors du passage d'une goutte, le signal délivré par le capteur est :

où k I_0 est la composante continue (signal en l'absence de goutte). La chaîne de traitement effectue successivement :

1. L'élimination de la composante continue : le signal devient -k I(t).
2. L'inversion (changement de signe) : le signal devient +k I(t).

3. L'extraction de la racine carrée :

   s(t) = \sqrt{k I(t)}

Le maximum du signal s_{\max} est atteint lorsque la goutte est entièrement contenue dans le faisceau lumineux (sur le palier t_1 \le t \le t_2). À cet instant, la surface occultée par la goutte sphérique est sa section droite maximale, soit un disque d'aire :

En supposant l'intensité lumineuse uniformément répartie sur la section du faisceau de dimensions h \times l (d'aire S_f = h l), l'intensité occultée maximale est proportionnelle au rapport des surfaces :

En injectant cette expression dans la valeur du signal traité au palier :

On en déduit :

avec la constante :

Le maximum s_{\max} du signal est donc bien proportionnel au diamètre D de la goutte.

Le disdromètre optique présente plusieurs avantages déterminants par rapport au disdromètre à impact :

1. Mesure directe et simultanée de la vitesse et de la taille :

   • Le disdromètre à impact mesure une force ou une impulsion transmise à la platine. Pour en déduire le diamètre D, il est indispensable de faire l'hypothèse que la goutte tombe à sa vitesse limite théorique v_{\lim}(D). Or cette relation est mise en défaut en présence de vent, de turbulences atmosphériques ou pour de grosses gouttes déformées (comme mis en évidence à la question Q4).
   • À l'inverse, le disdromètre optique mesure indépendamment la vitesse de chute réelle de la goutte (à partir de la durée de traversée \Delta t = t_2 - t_0) et son diamètre D (à partir de l'amplitude s_{\max} du signal occulté).

2. Absence de contact mécanique :

   • Il s'agit d'une méthode non intrusive : on évite le phénomène d'éclatement des gouttes sur la surface solide (splashing), qui génère des gouttelettes secondaires parasites et fausse le dénombrement.
   • Il n'y a pas de pièces mécaniques en mouvement (aucun problème de vieillissement de la suspension, de frottements mécaniques ou de temps mort lié à la relaxation d'un oscillateur amorti).
3. Meilleure sensibilité aux petites gouttes :
   Le seuil de détection optique est plus bas, car les petites gouttes génèrent un transfert d'impulsion mécanique souvent indétectable sur une platine face au bruit de fond (bruit mécanique et vibrations dues au vent).

Les lois de Snell-Descartes pour la réfraction à la traversée d'un dioptre séparant deux milieux d'indices respectifs n_1 et n_2 s'énoncent comme suit :

1. Planéité : Le rayon réfracté est contenu dans le plan d'incidence, défini par le rayon incident et la normale au dioptre au point d'incidence.

2. Loi angulaire : Les angles d'incidence i_1 et de réfraction i_2, repérés par rapport à la normale au dioptre, vérifient la relation :

   n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)

Dans le cas de l'entrée du rayon dans la goutte d'eau, la lumière se propage de l'air (d'indice n_{\text{air}} = 1) vers l'eau (d'indice n). En notant i l'angle d'incidence et r l'angle de réfraction, cette relation s'écrit :

Considérons le trajet d'un rayon lumineux dans le plan d'incidence passant par le centre O de la goutte sphérique (figure 7) :

• Première réfraction à l'entrée (point A) : le rayon passe de l'air (indice n_{\text{air}} = 1) à l'eau (indice n) avec un angle d'incidence i et un angle de réfraction r. Le rayon est dévié vers la normale, dans le sens horaire, d'un angle :

  D_1 = i - r

• Réflexion interne partielle (point B) : le triangle OAB est isocèle en O car OA = OB = R (rayon de la sphère). L'angle d'incidence en B vaut donc également r. D'après les lois de Descartes pour la réflexion, l'angle réfléchi vaut r. La déviation géométrique subie par le rayon (dans le sens horaire) est :

  D_2 = \pi - 2r

• Seconde réfraction à la sortie (point C) : le triangle OBC est de même isocèle en O (OB = OC = R), de sorte que l'angle d'incidence sur le dioptre de sortie vaut r. D'après la relation de Snell-Descartes, l'angle d'émergence dans l'air est à nouveau i. Le rayon s'éloigne de la normale, toujours dans le sens horaire, d'un angle :

  D_3 = i - r

Les trois déviations s'opèrent toutes dans le même sens horaire. La déviation totale \Delta représentée sur la figure 7 correspond à la somme arithmétique de ces trois angles :

D'après la loi de Snell-Descartes établie en Q23 :

Les angles i et r étant compris entre 0 et \pi/2, on a :

En injectant ces expressions dans la formule de \Delta, il vient :

D'après la question Q24, l'expression de la déviation en fonction de x = \sin(i) s'écrit :

Pour x \in [0, 1[, la fonction \Delta est dérivable par rapport à x. En appliquant la dérivée d'une fonction composée avec la formule donnée \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\operatorname{Arcsin}(u) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}, on obtient :

L'angle \Delta(x) passe par un extremum lorsque sa dérivée s'annule, soit :

Les grandeurs sous les racines étant strictement positives pour x \in [0, 1[ et n > 1, on élève au carré :

Comme i_m \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[, on a x_m = \sin(i_m) > 0, d'où :

Sur la figure 8, la courbe \Delta(i) présente un extremum (un minimum) au voisinage de i_m \approx 60^\circ, où la tangente est horizontale :

Au voisinage de cette valeur, un développement limité donne :

La variation de la déviation \mathrm{d}\Delta est donc du second ordre par rapport à la variation d'angle d'incidence \mathrm{d}i.

Physiquement, cela signifie qu'un large pinceau de rayons incidents ayant des angles d'incidence distincts autour de i_m émerge avec quasiment la même déviation \Delta_m. La densité angulaire de rayons émergents :

devient très grande (théoriquement divergente dans l'approximation de l'optique géométrique), ce qui se traduit par une accumulation de lumière (formation d'une caustique) dans la direction \Delta_m.

D'après les résultats des questions Q24 et Q25, l'extremum de déviation est atteint pour :

L'angle de réfraction correspondant vérifie \sin(r_m) = \dfrac{x_m}{n}, et la déviation minimale s'exprime en degrés par :

1. Pour la radiation violette (\lambda = 400\text{ nm}, n = 1,343) :

2. Pour la radiation rouge (\lambda = 700\text{ nm}, n = 1,330) :

Le Soleil éclaire le rideau de pluie par l'arrière de l'observateur avec des rayons incidents parallèles. L'axe de référence pour l'observation est la direction anti-solaire (axe passant par l'œil de l'observateur et parallèle aux rayons solaires).

D'après la définition géométrique de l'angle de déviation \Delta, le rayon émergent renvoyé vers l'observateur fait un angle \theta avec la direction anti-solaire donné par :

À l'aide des valeurs calculées à la question Q27 :

Comme \theta_{\text{rouge}} > \theta_{\text{bleu}} :

• une goutte située plus haut dans le rideau de pluie renvoie le faisceau rouge vers l'œil de l'observateur, tandis que son faisceau bleu passe au-dessus de l'œil ;
• une goutte située plus bas renvoie le faisceau bleu vers l'œil de l'observateur, tandis que son faisceau rouge passe au-dessous de l'œil.

Puisque les rayons rouges proviennent de gouttes vues sous un angle d'élévation plus grand par rapport à l'axe anti-solaire que les gouttes émettant du bleu vers l'observateur :

a) Ordre de grandeur de \omega_1 et \omega_2 :

Le domaine visible correspond à des longueurs d'onde dans le vide comprises entre 400\text{ nm} et 800\text{ nm}. Pour une longueur d'onde centrale typique \lambda \approx 600\text{ nm} = 6\cdot 10^{-7}\text{ m} :

b) Durée \tau de la valeur moyenne :

Pour une observation à l'œil nu, le détecteur intègre le flux lumineux sur sa durée de temps de réponse, qui est le temps de persistance rétinienne :

Cette durée est gigantesque devant la période optique T = \frac{2\pi}{\omega} \sim 10^{-15}\text{ s} (\tau \sim 10^{14}\,T).

c) Calcul de l'intensité et conditions d'interférence :

D'après le principe de superposition, l'amplitude de l'onde totale au point P est :

Le carré de l'amplitude vaut donc :

En prenant la moyenne temporelle sur la durée \tau et en multipliant par la constante K :

On pose classiquement :

ainsi que le terme d'interférence :

On a bien la forme demandée :

À l'aide de l'identité trigonométrique fournie, le produit s_1 s_2 s'écrit :

• Le terme à la pulsation \omega_1+\omega_2 \approx 2\cdot 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} oscille extrêmement vite : sa moyenne sur \tau \approx 0,1\text{ s} est rigoureusement nulle.
• Le second terme oscille à la pulsation |\omega_1 - \omega_2|. Pour que sa moyenne temporelle ne s'annule pas, sa période d'oscillation doit être très supérieure au temps d'intégration \tau, ce qui impose en pratique l'égalité des fréquences : les sources doivent être synchrones (\omega_1 = \omega_2).
• De plus, la différence de phase à l'émission (\varphi_1 - \varphi_2) doit demeurer constante sur la durée de mesure \tau : les sources doivent être mutuellement cohérentes.

d) Formule de Fresnel :

Dans le cas où \omega_1 = \omega_2 = \omega et \varphi_1 = \varphi_2, le vecteur d'onde commun est :

où \lambda = \frac{2\pi c}{\omega} est la longueur d'onde de la radiation dans le vide.

Le terme d'interférence devient indépendant du temps :

Comme I_1 = \frac{1}{2}K a_1^2 et I_2 = \frac{1}{2}K a_2^2, on identifie K a_1 a_2 = 2\sqrt{I_1 I_2}.

En définissant la différence de chemin optique \delta(P) par :

la parité de la fonction cosinus permet d'obtenir directement la formule de Fresnel :

D'après la question Q29.d, l'intensité s'écrit :

La fonction \delta(P) \mapsto I(P) est périodique de période \lambda, paire, et varie de façon sinusoïdale entre deux extremums :

Le contraste (ou visibilité des franges) est défini par :

Sur la photo 5, les franges d'interférences présentent un excellent contraste : les minima d'intensité correspondent à des zones sombres très prononcées (extinction quasi complète, I_{\min} \approx 0).

Or, I_{\min} = 0 \iff V = 1 \iff \sqrt{I_1} = \sqrt{I_2}, c'est-à-dire :

Les intensités des deux ondes qui interfèrent sont donc sensiblement égales.

D'après l'énoncé et la figure 9, les deux rayons lumineux issus de la goutte d'eau émergent parallèlement entre eux.

Des rayons parallèles se coupent à l'infini : ils interfèrent donc à l'infini (ou, de manière équivalente, dans le plan focal image d'un système optique convergent observant dans cette direction, typiquement sur la rétine de l'œil de l'observateur).

D'après l'expression de l'intensité obtenue à la question Q29 :

L'intensité est maximale lorsque le cosinus vaut 1, c'est-à-dire lorsque le déphasage est un multiple entier de 2\pi. La condition d'interférences constructives (présence d'une frange brillante) s'écrit donc :

où p désigne l'ordre d'interférence.

Étudions la dépendance de l'écart angulaire en fonction de la taille des gouttes :

• L'expression donnée pour la différence de marche montre que \delta(P) est directement proportionnelle au diamètre D de la goutte :

  \delta(P) = D \cdot f(\theta)

  où \theta repère la direction angulaire d'émergence des rayons.

• Deux franges brillantes consécutives correspondent à une variation d'ordre \Delta p = 1, soit une variation de la différence de marche :

  \Delta \delta = \lambda \iff D \cdot \Delta f(\theta) = \lambda

• Pour de petites variations angulaires, \Delta f(\theta) \propto \Delta \theta, ce qui conduit à un écart angulaire entre franges de la forme :

  \Delta \theta \propto \frac{\lambda}{D}

Par conséquent, l'écart angulaire entre les franges est plus grand pour les petites gouttes.

D'après la loi de Snell-Descartes (question Q23), les angles de réfraction r_1 et r_2 vérifient :

Avec i_1 = 50,13^\circ, i_2 = 67,98^\circ et n = 1,330, on obtient :

Calculons les cosinus correspondants :

D'après la relation admise en Q32, la différence de marche s'écrit \delta(P) = A \cdot D avec :

La condition d'obtention de la frange claire (interférence constructive) d'ordre p = -2 est :

On en déduit l'expression du diamètre D de la goutte :

Application numérique avec \lambda = 700\text{ nm} = 7,00 \cdot 10^{-7}\text{ m} :

Dans l'eau pure, les espèces électroactives susceptibles d'intervenir proviennent de l'eau. Les demi-réactions électroniques sont :

• À l'anode (siège d'une oxydation) : l'eau est oxydée en dioxygène selon le couple \text{O}_2/\text{H}_2\text{O} :

  \text{H}_2\text{O}_{(\ell)} = \frac{1}{2}\,\text{O}_{2(\text{g})} + 2\,\text{H}^+_{(\text{aq})} + 2\,\text{e}^-

• À la cathode (siège d'une réduction) : les ions oxonium (ou l'eau) sont réduits en dihydrogène selon le couple \text{H}^+/\text{H}_2 :

  2\,\text{H}^+_{(\text{aq})} + 2\,\text{e}^- = \text{H}_{2(\text{g})}

En sommant ces deux demi-réactions de manière à éliminer les électrons et les protons \text{H}^+, on obtient l'équation-bilan de l'électrolyse pour une mole d'eau :

D'après la question Q34, l'équation-bilan pour une unité stœchiométrique d'eau s'écrit :

Cette réaction implique l'échange de \nu_e = 2 électrons entre le couple de réduction \text{H}^+/\text{H}_{2(\text{g})} (E_1^\circ = 0\text{ V}) et le couple d'oxydation \text{O}_{2(\text{g})}/\text{H}_2\text{O}_{(\ell)} (E_2^\circ = 1{,}23\text{ V}).

L'enthalpie libre standard de réaction est reliée à la différence de potentiel standard par :

Application numérique :

La constante thermodynamique d'équilibre K^\circ vérifie :

En introduisant l'expression de \Delta_r G^\circ :

Avec la donnée \dfrac{RT\ln(10)}{\mathcal{F}} = 0{,}06\text{ V} :