Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie MP 2023 (page 2/3 : Parties IV, V et VI)

Pendant la durée \tau d'un impact, les gouttes qui frappent la surface S du capteur sont celles qui se trouvaient initialement dans un cylindre vertical de base S et de hauteur :

Le volume de ce cylindre d'influence est donc :

Les gouttes étant uniformément réparties avec une densité volumique N, le nombre moyen de gouttes G atteignant le capteur pendant la durée \tau s'écrit :

En injectant l'expression de la durée d'impact \tau(D) = \xi \dfrac{D}{v_{\lim}(D)}, on constate une simplification de la vitesse limite :

Pour éviter le chevauchement temporel des signaux engendrés par des impacts successifs, il ne doit pas tomber plus d'une goutte en moyenne pendant la durée d'un impact, ce qui se traduit par la condition :

La surface maximale S_{\max} du capteur correspond au cas limite G = 1, d'où :

Le nombre total de gouttes de pluie par unité de volume s'obtient en intégrant la densité de répartition n(D) sur toutes les tailles de gouttes possibles :

Par définition d'une valeur moyenne pondérée, le diamètre moyen des gouttes \langle D \rangle est donné par :

Calculons l'intégrale au numérateur en effectuant le changement de variable sans dimension x = \dfrac{D}{D_0}, d'où D = D_0 x et \mathrm{d}D = D_0\,\mathrm{d}x :

En utilisant l'intégrale donnée par l'énoncé, \displaystyle \int_0^\infty x \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x = 1, il vient :

En formant le rapport, on obtient :

Le paramètre caractéristique D_0 de la loi de Marshall et Palmer représente donc bien le diamètre moyen des gouttes de pluie.

D'après la question Q14, la densité volumique totale de gouttes s'écrit :

et le diamètre moyen des gouttes est \langle D \rangle = D_0.

En adoptant la modélisation établie à la question Q13 pour une averse caractérisée par cette densité volumique totale N_{\text{tot}} et ce diamètre moyen D_0, avec une durée d'impact \tau(D_0) = \xi \frac{D_0}{v_{\lim}(D_0)}, le nombre moyen de gouttes G frappant la surface S pendant cette durée s'écrit :

Pour éviter le chevauchement de deux signaux successifs, il faut en moyenne au plus un impact pendant la durée \tau, soit G \le 1. La surface maximale admissible S_{\max} vérifie donc G = 1 :

Application numérique : Convertissons les grandeurs dans le système international :

• n_0 = 8,0 \cdot 10^3\text{ m}^{-3}\cdot\text{mm}^{-1} = \frac{8,0 \cdot 10^3\text{ m}^{-3}}{10^{-3}\text{ m}} = 8,0 \cdot 10^6\text{ m}^{-4}
• D_0 = 1,5\text{ mm} = 1,5 \cdot 10^{-3}\text{ m}
• \xi = 6,5

Commentaire au regard de la photo 2 : Pour un capteur circulaire de diamètre d, la surface vaut S = \frac{\pi d^2}{4}. Avec S_{\max} \approx 85\text{ cm}^2, le diamètre maximal associé est :

Cette valeur coïncide remarquablement avec l'échelle de 10\text{ cm} fournie sur la photo 2 (et avec la surface standard de 80\text{ cm}^2 mentionnée dans la suite du sujet) : le capteur a été dimensionné au plus grand possible tout en respectant la marge de sécurité imposée par \xi = 6,5 pour éviter la superposition des signaux.

Considérons une surface collectrice horizontale d'aire S (par exemple l'ouverture du pluviomètre) pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t.

Pendant cette durée, les gouttes d'eau qui atteignent la surface S sont contenues dans le cylindre vertical de base S et de hauteur v_{\lim}(D_0)\,\mathrm{d}t. Le volume de ce cylindre d'air balayé est :

Puisque les gouttes sont réparties de façon homogène avec une densité volumique N, le nombre de gouttes recueillies pendant \mathrm{d}t est :

Chaque goutte étant modélisée par une sphère de diamètre D_0, le volume d'eau apporté par une goutte vaut :

Le volume d'eau liquide total recueilli sur la surface S pendant \mathrm{d}t s'écrit alors :

La hauteur d'eau équivalente accumulée au sol ou au fond du pluviomètre pendant \mathrm{d}t est :

Par définition, l'intensité R de l'averse est la hauteur d'eau tombée par unité de temps :

D'où l'expression de R :

1. Justification de l'expression de R :

D'après la question Q16, une population de gouttes de même diamètre D, animées d'une vitesse de chute v_{\lim}(D) et de densité volumique N, apporte une contribution à l'intensité pluviométrique égale au débit volumique d'eau par unité de surface :

Dans le cas d'une averse polydisperse décrite par la distribution de Marshall et Palmer, le nombre de gouttes par unité de volume ayant un diamètre compris entre D et D + \mathrm{d}D s'écrit \mathrm{d}N = n(D)\,\mathrm{d}D.

Chaque tranche de diamètres contribue de manière infinitésimale à la hauteur d'eau précipitée par unité de temps :

En intégrant sur l'ensemble des diamètres possibles D \in [0, +\infty[, on obtient bien :

2. Calcul analytique de R :

En remplaçant n(D) = n_0 \exp\left(-\frac{D}{D_0}\right) et v_{\lim}(D) = K \sqrt{D} = K D^{1/2} :

En posant le changement de variable sans dimension x = \frac{D}{D_0}, soit D = D_0 x et \mathrm{d}D = D_0\,\mathrm{d}x :

En utilisant la valeur fournie pour l'intégrale :

3. Application numérique :

Les grandeurs doivent impérativement être converties dans le système international d'unités :

• n_0 = 8,0\cdot 10^3\text{ m}^{-3}\cdot\text{mm}^{-1} = 8,0\cdot 10^3 \times 10^3\text{ m}^{-4} = 8,0\cdot 10^6\text{ m}^{-4} ;
• K = 150\text{ m}^{1/2}\cdot\text{s}^{-1} ;
• D_0 = 1,5\text{ mm} = 1,5\cdot 10^{-3}\text{ m} ;
• D_0^{4,5} = (1,5\cdot 10^{-3})^{4,5} \approx 1,961\cdot 10^{-13}\text{ m}^{4,5}.

Le calcul de l'intensité en unités SI (\text{m}\cdot\text{s}^{-1}) donne :

La conversion en \text{mm}\cdot\text{h}^{-1} s'effectue via 1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} = 10^3\text{ mm} \times 3600\text{ s}\cdot\text{h}^{-1} = 3,6\cdot 10^6\text{ mm}\cdot\text{h}^{-1} :

Pour chaque classe i, l'histogramme fournit le nombre N_i de gouttes d'eau de diamètre moyen D_i interceptées par la platine de surface S = 80\text{ cm}^2 pendant la durée d'observation \Delta t = 24\text{ h}.

1. Volume apporté par chaque goutte : Chaque goutte de la classe i étant supposée sphérique, son volume est donné par :

   V_i = \frac{\pi D_i^3}{6}

2. Volume total d'eau collecté : Le volume total d'eau liquide tombé sur le disdromètre durant la durée \Delta t s'obtient en sommant les contributions de toutes les classes :

   V_{\text{tot}} = \sum_i N_i V_i = \frac{\pi}{6} \sum_i N_i D_i^3

3. Calcul de l'intensité des précipitations R : Par définition, l'intensité pluviométrique R est la hauteur d'eau h = \frac{V_{\text{tot}}}{S} tombée par unité de temps :

   \boxed{R = \frac{V_{\text{tot}}}{S \, \Delta t} = \frac{\pi}{6 \, S \, \Delta t} \sum_i N_i D_i^3}

1. Élimination de la composante continue

Le signal délivré par le capteur s'écrit e(t) = k I_0 - k I(t), où le terme k I_0 représente une composante continue (fréquence nulle \omega = 0), tandis que k I(t) correspond aux variations transitoires rapides lors du passage d'une goutte.

Pour éliminer la composante continue tout en conservant les variations du signal, on peut utiliser un filtre passe-haut passif RC :

• un condensateur de capacité C est placé en série sur la ligne du signal ;
• une résistance de valeur R est reliée entre la sortie et la masse.

En régime continu (\omega = 0), l'impédance du condensateur Z_C = \frac{1}{\mathrm{j}C\omega} tend vers l'infini : le condensateur se comporte comme un circuit ouvert et bloque la composante continue (s_1 = 0). Pour transmettre le signal lié au passage d'une goutte (durée de quelques millisecondes), il suffit de choisir la fréquence de coupure f_c = \frac{1}{2\pi RC} très inférieure aux fréquences caractéristiques du signal utile.

2. Réalisation de l'inversion du signal

Le bloc d'inversion du signal (qui réalise l'opération s_2(t) = -s_1(t)) peut être réalisé à l'aide d'un amplificateur linéaire intégré (ALI, ou amplificateur opérationnel).

En régime linéaire avec une boucle de rétroaction négative, un montage amplificateur inverseur constitué de l'ALI et de deux résistances de même valeur R_0 permet d'imposer un gain unitaire inverseur :

Pendant sa chute verticale à vitesse constante v, la goutte traverse le faisceau lumineux d'épaisseur verticale h = 1,0\text{ cm}. Les différents instants caractéristiques du signal s(t) correspondent à :

• t_0 = 1,3\text{ ms} : l'avant (point le plus bas) de la goutte pénètre dans le faisceau lumineux ;
• t_1 = 1,6\text{ ms} : l'arrière (point le plus haut) de la goutte entre dans le faisceau ; la goutte de diamètre D < h est alors entièrement immergée dans le faisceau, la surface occultée est maximale et constante ;
• t_2 = 2,8\text{ ms} : l'avant de la goutte commence à sortir de la tranche lumineuse ;
• t_3 = 3,1\text{ ms} : l'arrière de la goutte quitte complètement le faisceau.

Entre les instants t_0 et t_2, l'avant de la goutte a donc parcouru exactement la hauteur h du faisceau (de même, l'arrière de la goutte parcourt cette même distance h entre t_1 et t_3). On a donc :

La vitesse de chute de la goutte s'exprime ainsi par :

Application numérique :

• h = 1,0\text{ cm} = 1,0 \cdot 10^{-2}\text{ m} ;
• t_2 - t_0 = 2,8\text{ ms} - 1,3\text{ ms} = 1,5\text{ ms} = 1,5 \cdot 10^{-3}\text{ s}.

D'après l'énoncé, lors du passage d'une goutte, le signal délivré par le capteur est :

où k I_0 est la composante continue (signal en l'absence de goutte). La chaîne de traitement effectue successivement :

1. L'élimination de la composante continue : le signal devient -k I(t).
2. L'inversion (changement de signe) : le signal devient +k I(t).

3. L'extraction de la racine carrée :

   s(t) = \sqrt{k I(t)}

Le maximum du signal s_{\max} est atteint lorsque la goutte est entièrement contenue dans le faisceau lumineux (sur le palier t_1 \le t \le t_2). À cet instant, la surface occultée par la goutte sphérique est sa section droite maximale, soit un disque d'aire :

En supposant l'intensité lumineuse uniformément répartie sur la section du faisceau de dimensions h \times l (d'aire S_f = h l), l'intensité occultée maximale est proportionnelle au rapport des surfaces :

En injectant cette expression dans la valeur du signal traité au palier :

On en déduit :

avec la constante :

Le maximum s_{\max} du signal est donc bien proportionnel au diamètre D de la goutte.

Le disdromètre optique présente plusieurs avantages déterminants par rapport au disdromètre à impact :

1. Mesure directe et simultanée de la vitesse et de la taille :

   • Le disdromètre à impact mesure une force ou une impulsion transmise à la platine. Pour en déduire le diamètre D, il est indispensable de faire l'hypothèse que la goutte tombe à sa vitesse limite théorique v_{\lim}(D). Or cette relation est mise en défaut en présence de vent, de turbulences atmosphériques ou pour de grosses gouttes déformées (comme mis en évidence à la question Q4).
   • À l'inverse, le disdromètre optique mesure indépendamment la vitesse de chute réelle de la goutte (à partir de la durée de traversée \Delta t = t_2 - t_0) et son diamètre D (à partir de l'amplitude s_{\max} du signal occulté).

2. Absence de contact mécanique :

   • Il s'agit d'une méthode non intrusive : on évite le phénomène d'éclatement des gouttes sur la surface solide (splashing), qui génère des gouttelettes secondaires parasites et fausse le dénombrement.
   • Il n'y a pas de pièces mécaniques en mouvement (aucun problème de vieillissement de la suspension, de frottements mécaniques ou de temps mort lié à la relaxation d'un oscillateur amorti).
3. Meilleure sensibilité aux petites gouttes :
   Le seuil de détection optique est plus bas, car les petites gouttes génèrent un transfert d'impulsion mécanique souvent indétectable sur une platine face au bruit de fond (bruit mécanique et vibrations dues au vent).

Les lois de Snell-Descartes pour la réfraction à la traversée d'un dioptre séparant deux milieux d'indices respectifs n_1 et n_2 s'énoncent comme suit :

1. Planéité : Le rayon réfracté est contenu dans le plan d'incidence, défini par le rayon incident et la normale au dioptre au point d'incidence.

2. Loi angulaire : Les angles d'incidence i_1 et de réfraction i_2, repérés par rapport à la normale au dioptre, vérifient la relation :

   n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)

Dans le cas de l'entrée du rayon dans la goutte d'eau, la lumière se propage de l'air (d'indice n_{\text{air}} = 1) vers l'eau (d'indice n). En notant i l'angle d'incidence et r l'angle de réfraction, cette relation s'écrit :

Considérons le trajet d'un rayon lumineux dans le plan d'incidence passant par le centre O de la goutte sphérique (figure 7) :

• Première réfraction à l'entrée (point A) : le rayon passe de l'air (indice n_{\text{air}} = 1) à l'eau (indice n) avec un angle d'incidence i et un angle de réfraction r. Le rayon est dévié vers la normale, dans le sens horaire, d'un angle :

  D_1 = i - r

• Réflexion interne partielle (point B) : le triangle OAB est isocèle en O car OA = OB = R (rayon de la sphère). L'angle d'incidence en B vaut donc également r. D'après les lois de Descartes pour la réflexion, l'angle réfléchi vaut r. La déviation géométrique subie par le rayon (dans le sens horaire) est :

  D_2 = \pi - 2r

• Seconde réfraction à la sortie (point C) : le triangle OBC est de même isocèle en O (OB = OC = R), de sorte que l'angle d'incidence sur le dioptre de sortie vaut r. D'après la relation de Snell-Descartes, l'angle d'émergence dans l'air est à nouveau i. Le rayon s'éloigne de la normale, toujours dans le sens horaire, d'un angle :

  D_3 = i - r

Les trois déviations s'opèrent toutes dans le même sens horaire. La déviation totale \Delta représentée sur la figure 7 correspond à la somme arithmétique de ces trois angles :

D'après la loi de Snell-Descartes établie en Q23 :

Les angles i et r étant compris entre 0 et \pi/2, on a :

En injectant ces expressions dans la formule de \Delta, il vient :

D'après la question Q24, l'expression de la déviation en fonction de x = \sin(i) s'écrit :

Pour x \in [0, 1[, la fonction \Delta est dérivable par rapport à x. En appliquant la dérivée d'une fonction composée avec la formule donnée \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\operatorname{Arcsin}(u) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}, on obtient :

L'angle \Delta(x) passe par un extremum lorsque sa dérivée s'annule, soit :

Les grandeurs sous les racines étant strictement positives pour x \in [0, 1[ et n > 1, on élève au carré :

Comme i_m \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[, on a x_m = \sin(i_m) > 0, d'où :

Sur la figure 8, la courbe \Delta(i) présente un extremum (un minimum) au voisinage de i_m \approx 60^\circ, où la tangente est horizontale :

Au voisinage de cette valeur, un développement limité donne :

La variation de la déviation \mathrm{d}\Delta est donc du second ordre par rapport à la variation d'angle d'incidence \mathrm{d}i.

Physiquement, cela signifie qu'un large pinceau de rayons incidents ayant des angles d'incidence distincts autour de i_m émerge avec quasiment la même déviation \Delta_m. La densité angulaire de rayons émergents :

devient très grande (théoriquement divergente dans l'approximation de l'optique géométrique), ce qui se traduit par une accumulation de lumière (formation d'une caustique) dans la direction \Delta_m.

D'après les résultats des questions Q24 et Q25, l'extremum de déviation est atteint pour :

L'angle de réfraction correspondant vérifie \sin(r_m) = \dfrac{x_m}{n}, et la déviation minimale s'exprime en degrés par :

1. Pour la radiation violette (\lambda = 400\text{ nm}, n = 1,343) :

2. Pour la radiation rouge (\lambda = 700\text{ nm}, n = 1,330) :

Le Soleil éclaire le rideau de pluie par l'arrière de l'observateur avec des rayons incidents parallèles. L'axe de référence pour l'observation est la direction anti-solaire (axe passant par l'œil de l'observateur et parallèle aux rayons solaires).

D'après la définition géométrique de l'angle de déviation \Delta, le rayon émergent renvoyé vers l'observateur fait un angle \theta avec la direction anti-solaire donné par :

À l'aide des valeurs calculées à la question Q27 :

Comme \theta_{\text{rouge}} > \theta_{\text{bleu}} :

• une goutte située plus haut dans le rideau de pluie renvoie le faisceau rouge vers l'œil de l'observateur, tandis que son faisceau bleu passe au-dessus de l'œil ;
• une goutte située plus bas renvoie le faisceau bleu vers l'œil de l'observateur, tandis que son faisceau rouge passe au-dessous de l'œil.

Puisque les rayons rouges proviennent de gouttes vues sous un angle d'élévation plus grand par rapport à l'axe anti-solaire que les gouttes émettant du bleu vers l'observateur :