Feuille d'entraînement : ALI et oscillateurs électroniques

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique PC 2026, Q11

   Le montage présente une boucle de rétroaction négative : la résistance R_1 relie la sortie de l'ALI à son entrée inverseuse (borne -), sans aucune boucle de réaction sur l'entrée non inverseuse (borne +). Ce bouclage assure la stabilité du montage, ce qui justifie que :

   \boxed{\text{L'ALI fonctionne en régime linéaire.}}

   L'ALI étant supposé idéal et fonctionnant en régime linéaire, la tension différentielle d'entrée est nulle :

   \varepsilon = V^+ - V^- = 0 \implies V^- = V^+

   L'entrée non inverseuse est directement reliée à la masse, soit V^+ = 0\text{ V}. On en déduit :

   V^- = 0\text{ V} \quad \text{(masse virtuelle)}

   La photodiode est connectée entre l'entrée inverseuse au potentiel V^- et la masse au potentiel 0\text{ V}. La tension à ses bornes vaut donc :

   U_{\text{ph}} = V^- - 0 = 0\text{ V}

   \boxed{\text{La tension aux bornes de la photodiode étant nulle, elle est bien en court-circuit.}}

   Résultat

   $$\text{L’ALI fonctionne en reˊgime lineˊaire.}$$

   $$\text{La tension aux bornes de la photodiode eˊtant nulle, elle est bien en court-circuit.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique PC 2026, Q12

   L'amplificateur linéaire intégré (ALI) étant supposé idéal :

   • les courants d'entrée sont nuls : i^- = i^+ = 0 ;

   • il fonctionne en régime linéaire (rétroaction négative, d'après la question Q11), d'où une tension différentielle d'entrée nulle :

     \varepsilon = V^+ - V^- = 0 \implies V^- = V^+.

   L'entrée non-inverseuse étant reliée à la masse (V^+ = 0\text{ V}), la borne inverseuse est au potentiel de la masse virtuelle :

   V^- = 0\text{ V}.

   D'après le fléchage de la figure 4, le courant I_{\text{cc}} arrive au nœud de l'entrée inverseuse. Comme aucun courant n'entre dans l'ALI (i^- = 0), ce courant traverse intégralement la résistance de rétroaction R_1 de la borne inverseuse vers la sortie.

   La loi d'Ohm aux bornes de la résistance R_1 s'écrit alors :

   V^- - U_s = R_1 I_{\text{cc}}.

   Sachant que V^- = 0\text{ V}, on obtient :

   U_s = - R_1 I_{\text{cc}}.

   En remplaçant l'intensité produite par la photodiode par sa relation avec l'éclairement, I_{\text{cc}} = \beta \mathcal{E}, il vient finalement :

   \boxed{U_s = - \beta R_1 \mathcal{E}}

   Résultat

   $$U_s=-\beta R_1\mathcal{E}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENS Physique-Chimie L PC 2024, Q13

   • Type d'oscillateur : Le phénomène de « stick-slip » repose sur une forte non-linéarité à seuil (la force de frottement solide discontinue selon les lois d'Amontons-Coulomb). Le cycle d'oscillation est une alternance de deux régimes dynamiques distincts :

     • une phase lente d'adhérence (stick), durant laquelle l'énergie élastique s'accumule progressivement dans le ressort sous l'effet du déplacement imposé de l'extrémité tractée ;
     • une phase rapide de glissement (slip), où cette énergie potentielle est brusquement relâchée sous forme d'énergie cinétique puis partiellement dissipée par frottement dynamique.

     Cette alternance périodique de stockage lent et de décharge rapide, analogue à la charge et la décharge d'un condensateur à travers un interrupteur à seuil (ou un composant non linéaire), caractérise un oscillateur de relaxation.

   • Élément jouant le rôle de l'alimentation continue : Dans un oscillateur de relaxation électronique (ex. oscillateur à néon, multivibrateur astable, trigger de Schmitt), l'entretien des oscillations est rendu possible par un apport permanent d'énergie issu d'une source continue.

     Ici, ce rôle est joué par l'opérateur extérieur qui entraîne l'élément tracteur (3) à vitesse constante \vec{V}_{\mathrm{B}} = V_{\mathrm{B}} \vec{e}_x (moteur ou opérateur fournissant une puissance mécanique continue pour compenser les pertes énergétiques dissipées par frottement au contact).

   \boxed{\text{Oscillateur de relaxation} \quad ; \quad \text{Élément tracteur (3) entraîné à vitesse constante } V_{\mathrm{B}}}

   Résultat

   $$\text{Oscillateur de relaxation};\text{Eˊleˊment tracteur (3) entraıˆneˊ aˋ vitesse constante }{V}_{\mathrm{B}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Mines-Ponts Physique 1 PC 2024, Q16

   1. Expressions des potentiels V^+ et V^- et condition de saturation haute

   L'ALI étant supposé idéal, les courants d'entrée sont nuls :

   i^+ = 0 \quad \text{et} \quad i^- = 0

   Chaque générateur de tension continue V_0 débite ainsi dans un pont diviseur de tension non chargé. On en déduit directement :

   \boxed{V^+ = \frac{R_1}{R_1 + R_2} V_0} \quad \text{et} \quad \boxed{V^- = \frac{R_1}{R_1 + R_{\mathrm{th}}} V_0}

   D'après les règles de fonctionnement à saturation données par l'énoncé, la sortie est à saturation haute V_{\mathrm{s}} = +V_{\mathrm{sat}} si et seulement si V^+ > V^-, soit :

   \begin{aligned} \frac{R_1}{R_1 + R_2} V_0 > \frac{R_1}{R_1 + R_{\mathrm{th}}} V_0 &\iff R_1 + R_{\mathrm{th}} > R_1 + R_2 \\ &\iff R_{\mathrm{th}} > R_2 \end{aligned}

   En utilisant la loi de variation de la thermistance R_{\mathrm{th}}(T) = R_0 [1 + \alpha(T - T_{\mathrm{ref}})], cette condition s'écrit :

   \begin{aligned} R_0 [1 + \alpha(T - T_{\mathrm{ref}})] > R_2 &\iff 1 + \alpha(T - T_{\mathrm{ref}}) > \frac{R_2}{R_0} \\ &\iff T > T_{\mathrm{ref}} + \frac{R_2 - R_0}{\alpha R_0} \end{aligned}

   \boxed{T > T_{\mathrm{ref}} + \frac{R_2 - R_0}{\alpha R_0}}

   2. Température de changement d'état de l'ALI

   La sortie de l'ALI change d'état lorsque V^+ = V^-, soit R_{\mathrm{th}} = R_2. Cette température de basculement T_{\mathrm{c}} vaut donc :

   \boxed{T_{\mathrm{c}} = T_{\mathrm{ref}} + \frac{R_2 - R_0}{\alpha R_0}}

   3. Réalisation de ce réglage sur le spa

   Ce réglage est effectué en ajustant la valeur de la résistance variable R_2 (schématisée par un potentiomètre). Sur le spa, lorsque l'utilisateur sélectionne la température de consigne désirée sur l'unité de commande, le système modifie la résistance R_2 associée au comparateur.

   4. Précision relative requise sur R_2

   À la température de basculement, on a R_2 = R_0 [1 + \alpha(T - T_{\mathrm{ref}})]. En différentiant cette relation par rapport à T :

   \mathrm{d}R_2 = \alpha R_0 \mathrm{d}T

   La précision relative sur R_2 nécessaire pour régler la température à \Delta T près s'écrit :

   \frac{\Delta R_2}{R_2} = \frac{\alpha R_0 \Delta T}{R_0 [1 + \alpha(T - T_{\mathrm{ref}})]} = \frac{\alpha \Delta T}{1 + \alpha(T - T_{\mathrm{ref}})}

   Pour des températures usuelles du spa comprises entre 20\,^\circ\mathrm{C} et 40\,^\circ\mathrm{C}, avec T_{\mathrm{ref}} = 20\,^\circ\mathrm{C}, on a T - T_{\mathrm{ref}} \in [0\,;\,20]\,^\circ\mathrm{C}. Comme \alpha = 4 \times 10^{-3}\text{ K}^{-1}, le terme correctif \alpha(T - T_{\mathrm{ref}}) \le 0{,}08 \ll 1 reste très faible devant 1, si bien que :

   \frac{\Delta R_2}{R_2} \approx \alpha \Delta T

   Pour \Delta T = 1\,^\circ\mathrm{C} = 1\text{ K} :

   \begin{aligned} \frac{\Delta R_2}{R_2} &\approx 4 \times 10^{-3} \times 1 = 4 \times 10^{-3} = 0{,}4\% \end{aligned}

   (À T = 40\,^\circ\mathrm{C}, on obtiendrait \frac{4 \times 10^{-3}}{1{,}08} \approx 3{,}7 \times 10^{-3} \approx 0{,}4\%).

   \boxed{\frac{\Delta R_2}{R_2} \approx 0{,}4\%}

   Résultat

   $$V^{+}=\frac{R_1}{R_1+R_2}{V}_0$$

   $$V^{-}=\frac{R_1}{R_1+R_{\mathrm{th}}}{V}_0$$

   $$T>T_{\mathrm{ref}}+\frac{R_2-R_0}{\alpha R_0}$$

   $$T_{\mathrm{c}}=T_{\mathrm{ref}}+\frac{R_2-R_0}{\alpha R_0}$$

   $$\frac{\Delta R_2}{R_2}\approx 0,4\%$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question