Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie PSI 2020

Dans un conducteur ohmique isotrope, la loi d'Ohm locale s'écrit en fonction du vecteur champ électrique \vec{E} :

En régime stationnaire, le champ électrique dérive d'un potentiel scalaire selon \vec{E} = -\vec{\nabla} V. La loi d'Ohm locale exprimée en fonction du potentiel électrique V devient donc :

À température ambiante (T \approx 300\text{ K}), le cuivre est un excellent conducteur électrique ; sa conductivité électrique a pour ordre de grandeur :

Une loi analogue dans le domaine de la thermique est la loi de Fourier, qui régit le transfert thermique par conduction :

Les grandeurs mises en jeu et leurs unités dans le Système International sont :

• \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} : vecteur densité de flux thermique (ou densité de courant thermique), exprimé en watt par mètre carré (\mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}) ;
• \lambda : conductivité thermique du milieu conducteur, exprimée en watt par mètre par kelvin (\mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}) ;
• T : température, exprimée en kelvin (\mathrm{K}), dont le gradient \vec{\operatorname{grad}}\, T est en kelvin par mètre (\mathrm{K}\cdot\mathrm{m}^{-1}).

Le courant électrique I traversant une section droite S orientée selon \vec{e}_y correspond au flux de la densité de courant \vec{j} = j\,\vec{e}_y :

La densité de courant étant uniforme sur toute la section :

D'après la loi d'Ohm locale rappelée en Q1, le champ électrique dans le conducteur s'écrit :

En adoptant la convention récepteur, la différence de potentiel U entre l'entrée (y = 0) et la sortie (y = h) du cylindre correspond à la circulation de \vec{E} :

Le champ étant uniforme, on obtient :

Par définition macroscopique de la résistance électrique d'un dipôle ohmique en convention récepteur, la loi d'Ohm s'écrit :

En utilisant les expressions obtenues à la question précédente :

il vient immédiatement pour la résistance R_\Omega :

soit finalement :

L'équation admise :

est une équation de diffusion (également appelée équation de la chaleur ou équation de Fick unidimensionnelle).

Pour déterminer l'unité de D, réalisons une analyse dimensionnelle :

Dans le Système International d'unités (SI), l'unité de D est donc le :

Le courant circule selon l'axe (Oy), puisque \vec{j}(x,t) = j(x,t)\,\vec{e}_y. La section droite \Sigma du conducteur est donc située dans le plan (xOz), définie par x \in [0, +\infty[ et z \in [0, p].

En orientant l'élément de surface selon \vec{e}_y, soit d\vec{S} = dx\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_y, l'intensité instantanée i(t) s'exprime comme le flux du vecteur densité volumique de courant à travers \Sigma :

En remplaçant par l'expression de \vec{j}(x,t) :

D'après la primitive fournie par l'énoncé, comme \lim_{x \to +\infty} e^{-x/\delta} = 0, on a \lim_{x \to +\infty} F(x) = 0. Il vient alors :

Le courant obtenu est sinusoïdal d'amplitude :

Pour un régime sinusoïdal, la valeur efficace est reliée à l'amplitude par I_{\text{eff}} = \frac{I_{\max}}{\sqrt{2}}, d'où :

La puissance volumique instantanée dissipée par effet Joule dans un conducteur ohmique s'écrit :

Par définition de la résistance équivalente R en régime sinusoïdal, la puissance moyenne dissipée par effet Joule est liée à la valeur efficace de l'intensité du courant par :

D'après la question Q6, l'intensité efficace vaut I_{\text{eff}} = \dfrac{p\,j_0\,\delta}{2}. Par conséquent :

On obtient ainsi :

En comparant cette expression à celle de la résistance d'un conducteur cylindrique de section uniforme S (Q4), R_\Omega = \dfrac{h}{\gamma S}, tout se passe comme si le courant ne circulait uniformément que dans une tranche superficielle de section efficace :

La grandeur \delta correspond donc à la profondeur effective de pénétration du courant le long de l'axe Ox sous l'effet du terme d'amortissement exponentiel \mathrm{e}^{-x/\delta}. Le courant reste confiné dans une fine couche en surface du conducteur, d'où la dénomination d'« épaisseur de peau ».

D'après les résultats des questions Q6 et Q7, pour un courant de valeur efficace I_{\text{eff}} fixée, la puissance moyenne dissipée par effet Joule s'écrit :

En remplaçant l'épaisseur de peau par son expression \delta = \sqrt{\dfrac{2}{\mu_0 \gamma \omega}}, il vient :

1. Cas d'une conductivité infinie (\gamma \to +\infty) :

Pour un conducteur parfait (\gamma \to +\infty), la résistance tend vers zéro et le champ électrique à l'intérieur du matériau s'annule : la puissance dissipée par effet Joule est nulle.

2. Cas d'une conductivité nulle (\gamma \to 0) :

Un matériau de conductivité nulle est un isolant parfait. Pour y maintenir un courant d'intensité efficace I_{\text{eff}} non nulle, il faudrait appliquer un champ électrique infini (ou une tension infinie), ce qui conduirait à une puissance dissipée par effet Joule infinie. En pratique, aucun courant ne peut circuler.

À intensité efficace I_{\text{eff}} fixée, la puissance moyenne dissipée par effet Joule s'écrit :

D'après les résultats de la question Q7, la résistance s'exprime par :

avec l'épaisseur de peau :

On en déduit l'expression de la résistance et de la puissance dissipée en fonction de la fréquence f :

Comparaison à haute et basse fréquences :

• À haute fréquence (f élevée), l'épaisseur de peau \delta est très faible. Le courant se concentre sur une bande superficielle très étroite, ce qui restreint la section utile de conduction : la résistance effective augmente et la puissance dissipée par effet Joule est donc plus élevée qu'à basse fréquence.
• À basse fréquence (f faible), l'épaisseur de peau \delta est plus grande, le courant pénètre plus profondément dans l'épaisseur du matériau, la résistance apparente est plus faible et la puissance dissipée par effet Joule est plus faible.

Détermination de l'exposant \alpha :

Le rapport des résistances entre une fréquence quelconque f et une fréquence de référence f_0 s'écrit :

Par identification avec la relation proposée R(f) = R(f_0) \left(\frac{f}{f_0}\right)^\alpha, on obtient :

D'après le texte introductif :

• L'inducteur est constitué d'un grand nombre de spires N en série et fonctionne sous un courant d'excitation i_{\text{exc}} de faible intensité. L'inductance propre d'un bobinage étant proportionnelle au carré du nombre de spires (L \propto N^2) et la résistance augmentant avec la longueur totale de fil en série, l'inducteur présente une résistance R et une inductance L élevées.
• L'induit (rotor) est constitué de spires montées en parallèle, destinées à être traversées par un courant d'induit I élevé. Pour limiter les pertes Joule dissipées (\mathcal{P}_{\text{Joule}} = R I^2) et maximiser le rendement, la résistance de l'induit doit être la plus faible possible. Son inductance est également nettement plus faible que celle de l'inducteur.

Les mesures du tableau 1 montrent que :

avec R_A \sim {5\,\mathrm{\Omega}}, L_A \sim {3\,\mathrm{mH}} et R_B \sim {100\,\mathrm{\Omega}}\text{ à }{900\,\mathrm{\Omega}}, L_B \sim {0{,}5\,\mathrm{H}}\text{ à }{0{,}8\,\mathrm{H}}.

On en déduit donc que :

1. Augmentation de la résistance avec la fréquence :

• Effet de peau (établi en partie I) : lorsque la fréquence f augmente, la pulsation \omega augmente et l'épaisseur de peau \delta = \sqrt{2/(\mu_0 \gamma \omega)} diminue. Les courants sont refoulés vers la périphérie des conducteurs du bobinage. La section efficace de passage du courant diminue, ce qui augmente la résistance effective (R \propto 1/\delta \propto \sqrt{f}).
• Pertes fer : les pertes par courants de Foucault et par hystérésis dans le circuit magnétique en fer augmentent avec la fréquence et sont modélisées par une résistance équivalente série croissante.

2. Équation de Maxwell-Faraday et loi de Lenz :

• L'équation locale de Maxwell-Faraday relie la circulation du champ électrique à la variation temporelle du champ magnétique :

  \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}
• Loi de Lenz : « Les phénomènes d'induction ont des effets qui s'opposent à la cause qui leur donne naissance. »

3. Diminution de l'inductance avec la fréquence :

• D'après l'équation de Maxwell-Faraday, la variation temporelle du champ magnétique créé par le courant principal induit un champ électrique, lequel génère des courants induits (courants de Foucault) au sein du noyau magnétique et des conducteurs.
• D'après la loi de Lenz, ces courants induits créent un champ magnétique induit qui s'oppose au champ magnétique inducteur (effet d'écran magnétique).
• Le champ magnétique résultant et le flux magnétique total \Phi embrassé par l'enroulement pour un courant I donné diminuent donc lorsque la fréquence augmente. Puisque l'inductance propre est définie par L = \Phi / I, la valeur de L diminue lorsque la fréquence augmente.

1. Nécessité de bloquer le rotor

L'équation électrique régissant l'induit d'une machine à courant continu s'écrit :

où e(t) = k\,\Omega(t) est la f.c.é.m. induite par la rotation du rotor à la vitesse angulaire \Omega(t).

Si le rotor est libre de tourner, l'échelon de tension entraîne une mise en mouvement mécanique, ce qui fait apparaître e(t) \neq 0 et couple la dynamique électrique à la dynamique mécanique. En bloquant le rotor, on impose \Omega = 0, donc e(t) = 0 à tout instant. L'induit se comporte alors comme un simple dipôle passif (R, L) série, ce qui permet d'identifier directement ses paramètres électriques intrinsèques.

2. Évaluation des grandeurs R, \tau'_e et L

Pour un échelon de tension V_0 = 10\text{ V} appliqué à un dipôle (R, L) avec une condition initiale de courant nul, la réponse en courant s'écrit :

• Résistance R : Sur la figure 4, l'asymptote en régime permanent donne :

  I_{\max} \approx 2{,}0\text{ A}

  On en déduit la résistance totale du circuit (alimentation, câbles et induit) :

  R = \frac{V_0}{I_{\max}} = \frac{10}{2{,}0} = 5{,}0\ \Omega
  \boxed{R \approx 5{,}0\ \Omega}

• Constante de temps \tau'_e : À la date t = \tau'_e, le courant atteint 63\,\% de sa valeur finale :

  I_A(\tau'_e) = 0{,}63 \times 2{,}0\text{ A} \approx 1{,}26\text{ A}

  La lecture graphique sur la figure 4 pour I_A \approx 1{,}26\text{ A} (ou par l'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote horizontale) donne :

  \boxed{\tau'_e \approx 0{,}7\text{ ms} = 7 \times 10^{-4}\text{ s}} \quad (\text{valeur comprise entre } 0{,}6\text{ ms et } 0{,}8\text{ ms})

• Inductance L : On calcule ensuite l'inductance de l'enroulement :

  L = R\,\tau'_e = 5{,}0 \times 0{,}7 \times 10^{-3} = 3{,}5 \times 10^{-3}\text{ H}
  \boxed{L \approx 3{,}5\text{ mH}}

3. Compatibilité avec les relevés de la première expérience

D'après la question Q10, l'induit correspond au couple A, pour lequel les mesures à f = 120\text{ Hz} indiquent :

• La résistance R \approx 5{,}0\ \Omega est très proche de R_A = 4{,}61\ \Omega. L'écart résiduel d'environ 0{,}4\ \Omega s'explique naturellement par la résistance interne de l'alimentation, la résistance des fils de connexion et le contact balais-collecteur (l'énoncé précise bien qu'il s'agit de l'association « alimentation-M.C.C. »).
• L'inductance L \approx 3{,}5\text{ mH} est en excellent accord avec L_A = 3{,}30\text{ mH}.

Les valeurs obtenues sont donc pleinement compatibles avec les relevés de la première expérience.