Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie PSI 2020 (page 2/3 : Parties III et IV)

La machine à courant continu (M.C.C.) est connectée en parallèle avec le conducteur ohmique de résistance variable R_2. Notons Z_{\text{M.C.C.}} l'impédance équivalente de la machine.

L'impédance de l'association parallèle s'écrit :

Puisque l'impédance de la M.C.C. est supposée très grande devant R_2 (Z_{\text{M.C.C.}} \gg R_2), le courant appelé par la machine est négligeable devant celui qui traverse R_2. On a donc :

Le circuit se réduit alors à un diviseur de tension résistif non chargé alimenté par la source idéale de tension continue U_0. La tension aux bornes de la M.C.C. est donc :

Puisque l'impédance de la M.C.C. est supposée très grande devant celle des capacités, la machine ne perturbe pas le circuit et l'on peut considérer le pont diviseur capacitif à vide.

Les condensateurs de capacités C_1 et C_2 sont alors montés en série et portent la même charge électrique q(t) :

où u_1 est la tension aux bornes du condensateur de capacité C_1. La loi des mailles s'écrit :

En éliminant la charge q = C_2\,V'_{\text{M.C.C.}}, on obtient :

soit :

Remarque : On retrouve ce résultat par la formule du pont diviseur de tension en utilisant les impédances complexes \underline{Z}_1 = \frac{1}{jC_1\omega} et \underline{Z}_2 = \frac{1}{jC_2\omega} :

ce rapport étant strictement indépendant de la fréquence.

D'après la définition temporelle du signal U_1(t) sur une période :

D'où l'expression de la valeur moyenne :

• Étudiant E1 (pont diviseur résistif) :

  • Avantage : montage très simple, délivrant une tension continue sans perturbations électromagnétiques ni ondulation de courant.
  • Inconvénients : rendement énergétique déplorable en raison des pertes par effet Joule considérables dans les résistances lorsque l'induit appelle un courant I important ; tension V_{\mathrm{M.C.C.}} s'effondrant en charge car la condition Z_{\mathrm{M.C.C.}} \gg R_2 n'est plus respectée.

• Étudiant E2 (pont diviseur capacitif) :

  • Avantage : pas de pertes Joule au repos dans des condensateurs idéaux.
  • Inconvénient rédhibitoire : les condensateurs se comportent comme des circuits ouverts en régime continu ; ils sont incapables de débiter le courant continu permanent requis pour le fonctionnement de la machine.

• Étudiant E3 (ALI en comparateur) :

  • Avantages : réglage aisé de la tension moyenne par modulation du rapport cyclique \alpha, et possibilité de fonctionnement dans les deux sens de rotation (tension bipolaire).
  • Inconvénient : un ALI est un composant de commande/signal, limité en courant de sortie à quelques dizaines de milliampères ; il ne peut pas délivrer la puissance requise par un moteur électrique.

• Pour l'amplificateur A.Li.1 :
  La sortie est rebouclée sur la borne inverseuse (-) via le condensateur C, tandis que la borne non-inverseuse (+) est reliée à la masse. Il s'agit d'une boucle de contre-réaction pure (rétroaction négative). L'amplificateur A.Li.1 fonctionne donc, a priori, en régime linéaire.
• Pour l'amplificateur A.Li.2 :
  La sortie est reliée à la borne non-inverseuse (+) par la résistance R_5, et l'entrée inverseuse (-) est reliée à la masse. Il y a une boucle de réaction positive sans contre-réaction. Cette configuration déstabilise l'amplificateur et fait diverger la tension différentielle d'entrée vers les butées d'alimentation. L'amplificateur A.Li.2 fonctionne donc, a priori, en régime saturé (V_B = \pm V_{\text{sat}}).

L'amplificateur linéaire A.Li.1 est supposé idéal, de sorte que le courant entrant sur sa borne inverseuse est nul (i^- = 0). De plus, la présence d'une boucle de rétroaction négative (via le condensateur C) assure un fonctionnement en régime linéaire (d'après la question Q17).

La tension différentielle d'entrée est donc nulle :

En régime sinusoïdal de pulsation \omega, l'impédance complexe du condensateur s'écrit \underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega}.

La loi des nœuds appliquée à la borne inverseuse s'écrit :

En tenant compte de \underline{V}^- = 0 :

On en déduit l'expression de la fonction de transfert :

Dans le domaine temporel, cette relation correspond à :

Le montage lié à l'amplificateur A.Li.1 réalise donc la fonction d'intégrateur inverseur (ou intégrateur pur).

L'amplificateur linéaire A.Li.2 possède une rétroaction sur son entrée non inverseuse (+) et fonctionne en régime saturé (cf. question Q17), sa tension de sortie ne pouvant prendre que deux valeurs :

L'entrée inverseuse étant reliée à la masse, on a V^- = 0.

Le courant d'entrée i^+ étant nul, le théorème de Millman au nœud non inverseur donne :

La tension différentielle d'entrée est \varepsilon = V^+ - V^- = V^+. Le basculement de la sortie se produit pour \varepsilon = 0, soit V^+ = 0, ce qui conduit à :

On distingue deux seuils de basculement selon l'état de la sortie :

• Si V_B = -V_{\text{sat}}, la sortie bascule vers +V_{\text{sat}} dès que V_A dépasse le seuil haut :

  V_{\text{seuil}}^{+} = +\frac{R_4}{R_5} V_{\text{sat}}

• Si V_B = +V_{\text{sat}}, la sortie bascule vers -V_{\text{sat}} dès que V_A descend sous le seuil bas :

  V_{\text{seuil}}^{-} = -\frac{R_4}{R_5} V_{\text{sat}}

Le montage lié à l'amplificateur A.Li.2 réalise donc la fonction de comparateur à deux seuils (ou comparateur à hystérésis, ou trigger de Schmitt non inverseur), symétrique et centré sur zéro.

D'après la question Q18, le montage intégrateur impose :

Le comparateur à hystérésis non inverseur A.Li.2 possède pour seuils de basculement :

À t=0, la condition initiale est V_A(0) = V_{\text{seuil}}^{+} = \frac{R_4}{R_5}V_{\text{sat}}. À cette valeur haute de déclenchement, la sortie bascule à V_B = +V_{\text{sat}} :

• Pour t \in [0\,;\, T/2], V_B(t) = +V_{\text{sat}}. La dérivée de V_A est constante et négative :

  \frac{\mathrm{d}V_A}{\mathrm{d}t} = -\frac{V_{\text{sat}}}{R_3 C}

  V_A(t) décroît linéairement depuis V_{\text{seuil}}^{+} jusqu'à V_{\text{seuil}}^{-} en une durée \frac{T}{2} vérifiant :

  \Delta V_A = V_{\text{seuil}}^{+} - V_{\text{seuil}}^{-} = 2\frac{R_4}{R_5}V_{\text{sat}} = \frac{V_{\text{sat}}}{R_3 C} \frac{T}{2} \implies \frac{T}{2} = 2 R_3 C \frac{R_4}{R_5}
• À t = T/2, V_A atteint V_{\text{seuil}}^{-}, ce qui provoque le basculement de la sortie du comparateur à V_B = -V_{\text{sat}}.

• Pour t \in [T/2\,;\, T], V_B(t) = -V_{\text{sat}}. La dérivée devient positive :

  \frac{\mathrm{d}V_A}{\mathrm{d}t} = +\frac{V_{\text{sat}}}{R_3 C}

  V_A(t) croît linéairement de V_{\text{seuil}}^{-} à V_{\text{seuil}}^{+}, atteint en une même durée \frac{T}{2}.

Le système oscille donc indéfiniment de façon périodique avec une période :

Effet d'une augmentation de la résistance R_3 :

• Les niveaux de tension extrêmes \pm V_{\text{sat}} de V_B et \pm \frac{R_4}{R_5} V_{\text{sat}} de V_A ne dépendent pas de R_3 : les amplitudes restent inchangées.
• La valeur absolue de la pente des rampes \left|\frac{\mathrm{d}V_A}{\mathrm{d}t}\right| = \frac{V_{\text{sat}}}{R_3 C} diminue, ce qui augmente la durée nécessaire pour parcourir l'écart de tension entre les seuils.
• Par conséquent, la période T augmente (proportionnellement à R_3), ce qui correspond à une diminution de la fréquence d'oscillation f = \frac{1}{T}.

1. Intervalle de variation de \beta

La source de tension continue impose une tension V_m = 15\text{ V} aux bornes de deux condensateurs identiques C_0 montés en série. La prise de masse centrale impose un potentiel nul (0\text{ V}) au point milieu.

Par symétrie, les potentiels des deux rails d'alimentation du potentiomètre sont :

Le curseur du potentiomètre permet de sélectionner continûment tout potentiel compris entre ces deux bornes, soit :

Comme V^+ = \beta V_m, on en déduit immédiatement :

2. Fonctionnement de l'amplificateur A.Li.3

L'amplificateur A.Li.3 fonctionne en boucle ouverte (sans aucune rétroaction), donc en régime saturé. Les potentiels d'entrée sont :

• sur l'entrée non inverseuse : V^+ = \beta V_m ;
• sur l'entrée inverseuse : V^- = V_C = V_A(t).

La tension de sortie V_D(t) prend donc les valeurs :

3. Dates de basculement et allure de V_D(t)

Avec R_5 = 2R_4 et V_{\text{sat}} = V_m, la tension triangulaire V_A(t) oscille symétriquement entre -V_m/2 et +V_m/2 avec la période T = 4 R_3 C \frac{R_4}{R_5} = 2 R_3 C (résultat de la question Q20). D'après la condition initiale V_A(0) = +V_m/2 :

• Pour t \in [0, T/2], V_A(t) décroît : V_A(t) = \dfrac{V_m}{2} - \dfrac{2V_m}{T} t.
• Pour t \in [T/2, T], V_A(t) croît : V_A(t) = -\dfrac{V_m}{2} + \dfrac{2V_m}{T}\left(t - \frac{T}{2}\right).

Le franchissement du seuil V_A(t) = \beta V_m a lieu aux instants :

• Cas \beta = 1/3 :

  t_1 = \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right)T = \frac{T}{12}, \qquad t_2 = \frac{11T}{12}

  V_D(t) = -V_{\text{sat}} pour t \in [0, T/12] \cup [11T/12, T] et V_D(t) = +V_{\text{sat}} pour t \in [T/12, 11T/12]. La durée à l'état haut vaut \frac{5}{6}T.

• Cas \beta = -1/3 :

  t_1 = \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{6}\right)T = \frac{5T}{12}, \qquad t_2 = \frac{7T}{12}

  V_D(t) = -V_{\text{sat}} pour t \in [0, 5T/12] \cup [7T/12, T] et V_D(t) = +V_{\text{sat}} pour t \in [5T/12, 7T/12]. La durée à l'état haut vaut \frac{1}{6}T.

D'après la question Q20, la période du signal délivré par le montage astable (générateur de signaux triangulaires et rectangulaires) vaut :

L'énoncé stipulant que R_5 = 2R_4, la période de hachage se simplifie en :

La fréquence de hachage f_h = \frac{1}{T_h} s'écrit donc :

Le transistor est passant lorsque la tension de commande est à l'état haut :

avec V_m = V_{\text{sat}} = 15\text{ V}.

La tension V_A(t) oscille symétriquement entre -V_M et +V_M, où :

Pendant la phase de croissance de V_A(t) (durée T_h/2), la pente vaut :

La durée \Delta t_1 pendant laquelle V_A(t) croît depuis la valeur minimale -V_M jusqu'au seuil \beta V_{\text{sat}} est :

Par symétrie du signal triangulaire, la durée \Delta t_2 passée sous la valeur seuil \beta V_{\text{sat}} au cours de la demi-période de décroissance est identique (\Delta t_2 = \Delta t_1).

La durée totale de conduction du transistor sur une période est donc :

On en déduit le rapport cyclique \alpha' = \frac{t_{\mathrm{on}}}{T_h} :

Par analogie avec l'électrocinétique, pour deux milieux à des températures T_1 et T_2, le flux thermique \Phi transféré entre ces deux milieux sous l'effet de l'écart de température s'écrit :

La conductance thermique G_{\mathrm{th}} est donc l'inverse de la résistance thermique R_{\mathrm{th}} :

Le flux thermique \Phi s'exprimant en watts (\mathrm{W}) et l'écart de température en kelvins (\mathrm{K}), la résistance thermique s'exprime en \mathrm{K}\cdot\mathrm{W}^{-1}. Par conséquent, l'unité de la conductance thermique dans le Système international est le :

Considérons le transistor comme un système fermé indéformable, de capacité thermique C_t, à la température supposée uniforme T_t(t).

Entre les instants t et t + \mathrm{d}t, la variation d'énergie interne du transistor s'écrit :

D'après le premier principe de la thermodynamique, cette variation provient des puissances thermiques échangées :

• la puissance thermique produite au sein du transistor : \mathcal{P}_{\text{source}} = P_s(t) ;

• le flux thermique transféré du transistor vers le boîtier à la température T_b(t) :

  \Phi_{t \to b}(t) = G_{tb} \bigl(T_t(t) - T_b(t)\bigr)

Le bilan thermique s'écrit donc :

Ce qui conduit directement à l'équation différentielle :

On choisit pour système le boîtier, de température T_b(t) et de capacité thermique C_b. Le boîtier étant assimilé à une phase condensée indéformable, la variation de son énergie interne pendant une durée \mathrm{d}t s'écrit :

Pendant cette durée, le boîtier échange de l'énergie thermique par conduction et convection avec :

• le transistor, recevant un flux thermique :

  \Phi_{t \to b} = G_{tb}\bigl(T_t(t) - T_b(t)\bigr)

• le milieu extérieur, auquel il cède un flux thermique :

  \Phi_{b \to \text{ext}} = G_{be}\bigl(T_b(t) - T_{\text{ext}}\bigr)

Le premier principe de la thermodynamique appliqué au boîtier sous forme différentielle s'écrit :

En remplaçant les flux par leurs expressions :

Soit sous forme ordonnée :

L'analogie formelle entre transfert thermique et conduction électrique repose sur les correspondances suivantes :

1. Identification des potentiels :

• Le nœud 1 reçoit la puissance dissipée P_s(t) et est relié à la capacité thermique du transistor C_t ; son potentiel correspond donc à la température du transistor :

  \boxed{V_1 \longleftrightarrow T_t(t)}

• Le nœud 2 est le nœud intermédiaire représentant le boîtier ; son potentiel correspond donc à la température du boîtier :

  \boxed{V_2 \longleftrightarrow T_b(t)}

• Le potentiel V_3, imposé par une source de tension continue par rapport à la masse, sert de référence thermique constante ; il correspond donc à la température extérieure :

  \boxed{V_3 \longleftrightarrow T_{\mathrm{ext}}}

2. Identification des dipôles :

• D'après la question Q24, le bilan sur le transistor s'écrit :

  P_s(t) = C_t \frac{\mathrm{d}T_t}{\mathrm{d}t} + G_{tb}\bigl(T_t(t) - T_b(t)\bigr)

  En appliquant la loi des nœuds au potentiel V_1, le courant injecté P_s(t) se sépare entre la branche capacitive C_t \frac{\mathrm{d}(V_1-V_3)}{\mathrm{d}t} = C_t \frac{\mathrm{d}V_1}{\mathrm{d}t} (car V_3 est constant) et la branche reliant V_1 à V_2. Le courant traversant B_1 est donc de la forme G_{tb}(V_1 - V_2) = \frac{V_1 - V_2}{R_{tb}}.

  L'élément \text{B}_1 est donc un conducteur ohmique de résistance :

  \boxed{R_{tb} = \frac{1}{G_{tb}}}

• D'après la question Q25, le bilan sur le boîtier s'écrit :

  G_{tb}\bigl(T_t(t) - T_b(t)\bigr) = C_b \frac{\mathrm{d}T_b}{\mathrm{d}t} + G_{be}\bigl(T_b(t) - T_{\mathrm{ext}}\bigr)

  La loi des nœuds au potentiel V_2 montre que le courant issu de B_1 se sépare entre deux branches en parallèle connectées à la ligne de potentiel V_3 :

  • une branche capacitive absorbant C_b \frac{\mathrm{d}(V_2-V_3)}{\mathrm{d}t} = C_b \frac{\mathrm{d}V_2}{\mathrm{d}t} ;
  • une branche résistive absorbant \frac{V_2 - V_3}{R_{be}} = G_{be}(V_2 - V_3).

  Les dipôles \text{B}_2 et \text{B}_3 jouent des rôles symétriques en parallèle : l'un est un condensateur de capacité \mathbf{C_b}, l'autre est un conducteur ohmique de résistance \mathbf{R_{be} = 1/G_{be}}.

En résumé :

D'après la loi phénoménologique de Newton pour les échanges convectifs fournie par l'énoncé, la puissance thermique élémentaire échangée s'écrit :

En analysant les dimensions des grandeurs physiques mises en jeu :

• la puissance thermique \mathrm{d}P s'exprime en watts (\mathrm{W}) ;
• l'écart de température T(x) - T_a s'exprime en kelvins (\mathrm{K}) ;
• la surface élémentaire \mathrm{d}S s'exprime en mètres carrés (\mathrm{m}^2).

On en déduit la dimension et l'unité SI du coefficient de transfert convectif h :

Nécessité du découpage en tranches élémentaires \mathrm{d}x :

La conduction thermique suivant l'axe Ox combinée aux pertes convectives latérales induit une diminution de la température T(x) de l'ailette de la base (x = 0) vers l'extrémité (x = a).

La température de l'ailette n'étant pas uniforme le long de l'axe Ox, l'écart de température local T(x) - T_a, et par conséquent la densité surfacique de flux thermique cédée à l'air ambiant, varie continûment avec la coordonnée x. On ne peut donc pas évaluer directement le flux global par une expression globale du type h\,(T - T_a)\,S_{\text{tot}}.

Il est donc indispensable d'isoler une tranche élémentaire de longueur \mathrm{d}x, comprise entre x et x+\mathrm{d}x, suffisamment fine pour que sa température puisse être considérée comme spatialement uniforme et égale à T(x), afin d'établir un bilan d'énergie en régime stationnaire.

Considérons le système fermé constitué par la tranche d'ailette comprise entre x et x+\mathrm{d}x, de section droite transverse S = b\,e.

En régime stationnaire, l'énergie interne du système est constante, si bien que le bilan thermique s'écrit :

où :

• \Phi(x) = -\lambda S \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = -\lambda b e \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} est le flux thermique conductif traversant la section S à l'abscisse x, d'après la loi de Fourier ;
• \Phi(x+\mathrm{d}x) - \Phi(x) = \dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}x = -\lambda b e \dfrac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2} \mathrm{d}x ;

• \mathrm{d}P est la puissance thermique perdue par la surface latérale \mathrm{d}S de la tranche. Comme b \gg e, le périmètre de la section vaut \mathcal{P} = 2(b+e) \approx 2b, de sorte que l'aire latérale se résume à celle des faces supérieure et inférieure : \mathrm{d}S \approx 2b\,\mathrm{d}x. On a ainsi :

  \mathrm{d}P = h\bigl(T(x) - T_a\bigr)\,\mathrm{d}S = 2hb\bigl(T(x) - T_a\bigr)\,\mathrm{d}x

En injectant ces expressions dans le bilan thermique, on obtient :

En simplifiant par b\,\mathrm{d}x \neq 0 et en divisant par \lambda e :

En introduisant la longueur caractéristique L :

Application numérique :

La longueur de l'ailette vaut a = 20\text{ cm}, d'où :

La longueur a de l'ailette est ainsi très grande devant la longueur caractéristique L.

D'après la question Q28, la longueur de l'ailette a = 20\text{ cm} est très grande devant la longueur caractéristique de décroissance thermique L = 1{,}0\text{ cm} :

Un écart de température s'atténuant exponentiellement selon le facteur \mathrm{e}^{-x/L}, à l'extrémité x = a, l'atténuation vaut \mathrm{e}^{-a/L} = \mathrm{e}^{-20} \approx 2 \times 10^{-9} \ll 1. La perturbation thermique est donc totalement amortie bien avant d'atteindre l'extrémité de l'ailette, dont la température y est quasiment égale à la température ambiante T_a. Les conditions aux limites effectives en x = a n'ont ainsi aucune influence sur le comportement thermique de l'ailette : on peut modéliser celle-ci par une ailette semi-infinie (a \to +\infty).

Posons l'écart de température \theta(x) = T(x) - T_a. D'après l'équation établie en Q28 :

L'équation caractéristique associée r^2 - \frac{1}{L^2} = 0 admet pour racines r = \pm \frac{1}{L}, d'où la solution générale :

Déterminons les constantes d'intégration :

• Pour a \to +\infty, la température doit rester finie et tendre vers T_a (soit \lim_{x\to +\infty} \theta(x) = 0), ce qui impose :

  B = 0
• En x = 0, la température imposée est T(0) = T_0, d'où \theta(0) = T_0 - T_a = A.

On en déduit l'expression du profil de température :

1. Puissance thermique totale évacuée par l'ailette :

En régime stationnaire, la conservation de l'énergie impose que la puissance totale dissipée vers l'air ambiant par les faces de l'ailette, P_{\text{tot}}, soit égale au flux thermique entrant par conduction à la base de l'ailette en x = 0.

La section droite de l'ailette vaut S = e \cdot b. D'après la loi de Fourier :

D'après l'expression du profil de température établie à la question Q29, T(x) = T_a + (T_0 - T_a)\,\mathrm{e}^{-x/L}, la dérivée spatiale en x = 0 vaut :

En injectant l'expression de la longueur caractéristique L = \sqrt{\frac{\lambda e}{2h}} (établie à la question Q28) :

Remarque : on retrouve de façon équivalente ce résultat en intégrant la puissance échangée sur toute la surface latérale utile \mathrm{d}S = 2b\,\mathrm{d}x :

2. Réduction de la longueur de l'ailette :

L'écart de température \Delta T(x) = T(x) - T_a décroît exponentiellement selon \mathrm{e}^{-x/L} :

• pour x = 3L, \mathrm{e}^{-3} \approx 0{,}05 (l'écart de température n'est plus que de 5\,\% de l'écart initial) ;
• pour x = 5L, \mathrm{e}^{-5} \approx 0{,}007 (moins de 1\,\%).

La portion de l'ailette au-delà de x \approx 3L à 5L se trouve donc pratiquement à la température ambiante T_a, si bien que les échanges thermiques y sont négligeables.

Comme actuellement a = 20\text{ cm} = 20 L, les trois quarts de l'ailette n'apportent aucun gain significatif en refroidissement, tout en augmentant la masse, le coût et l'encombrement.

On peut donc réduire la longueur de l'ailette sans perte sensible d'efficacité en choisissant une nouvelle longueur :

3. Commentaire sur la forme des radiateurs (figure 14) :

Les radiateurs sont formés d'un grand nombre d'ailettes minces, courtes et parallèles (structure en peigne) :

• une longueur modérée (a' \sim \text{quelques centimètres}) évite le gaspillage de matière en zone isotherme à T_a ;
• la multiplication d'ailettes minces permet d'augmenter considérablement la surface totale d'échange conducto-convectif dans un volume extérieur restreint.