Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie PSI 2020

Dans un conducteur ohmique isotrope, la loi d'Ohm locale s'écrit en fonction du vecteur champ électrique \vec{E} :

En régime stationnaire, le champ électrique dérive d'un potentiel scalaire selon \vec{E} = -\vec{\nabla} V. La loi d'Ohm locale exprimée en fonction du potentiel électrique V devient donc :

À température ambiante (T \approx 300\text{ K}), le cuivre est un excellent conducteur électrique ; sa conductivité électrique a pour ordre de grandeur :

Une loi analogue dans le domaine de la thermique est la loi de Fourier, qui régit le transfert thermique par conduction :

Les grandeurs mises en jeu et leurs unités dans le Système International sont :

• \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} : vecteur densité de flux thermique (ou densité de courant thermique), exprimé en watt par mètre carré (\mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}) ;
• \lambda : conductivité thermique du milieu conducteur, exprimée en watt par mètre par kelvin (\mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}) ;
• T : température, exprimée en kelvin (\mathrm{K}), dont le gradient \vec{\operatorname{grad}}\, T est en kelvin par mètre (\mathrm{K}\cdot\mathrm{m}^{-1}).

Le courant électrique I traversant une section droite S orientée selon \vec{e}_y correspond au flux de la densité de courant \vec{j} = j\,\vec{e}_y :

La densité de courant étant uniforme sur toute la section :

D'après la loi d'Ohm locale rappelée en Q1, le champ électrique dans le conducteur s'écrit :

En adoptant la convention récepteur, la différence de potentiel U entre l'entrée (y = 0) et la sortie (y = h) du cylindre correspond à la circulation de \vec{E} :

Le champ étant uniforme, on obtient :

Par définition macroscopique de la résistance électrique d'un dipôle ohmique en convention récepteur, la loi d'Ohm s'écrit :

En utilisant les expressions obtenues à la question précédente :

il vient immédiatement pour la résistance R_\Omega :

soit finalement :

L'équation admise :

est une équation de diffusion (également appelée équation de la chaleur ou équation de Fick unidimensionnelle).

Pour déterminer l'unité de D, réalisons une analyse dimensionnelle :

Dans le Système International d'unités (SI), l'unité de D est donc le :

Le courant circule selon l'axe (Oy), puisque \vec{j}(x,t) = j(x,t)\,\vec{e}_y. La section droite \Sigma du conducteur est donc située dans le plan (xOz), définie par x \in [0, +\infty[ et z \in [0, p].

En orientant l'élément de surface selon \vec{e}_y, soit d\vec{S} = dx\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_y, l'intensité instantanée i(t) s'exprime comme le flux du vecteur densité volumique de courant à travers \Sigma :

En remplaçant par l'expression de \vec{j}(x,t) :

D'après la primitive fournie par l'énoncé, comme \lim_{x \to +\infty} e^{-x/\delta} = 0, on a \lim_{x \to +\infty} F(x) = 0. Il vient alors :

Le courant obtenu est sinusoïdal d'amplitude :

Pour un régime sinusoïdal, la valeur efficace est reliée à l'amplitude par I_{\text{eff}} = \frac{I_{\max}}{\sqrt{2}}, d'où :

La puissance volumique instantanée dissipée par effet Joule dans un conducteur ohmique s'écrit :

Par définition de la résistance équivalente R en régime sinusoïdal, la puissance moyenne dissipée par effet Joule est liée à la valeur efficace de l'intensité du courant par :

D'après la question Q6, l'intensité efficace vaut I_{\text{eff}} = \dfrac{p\,j_0\,\delta}{2}. Par conséquent :

On obtient ainsi :

En comparant cette expression à celle de la résistance d'un conducteur cylindrique de section uniforme S (Q4), R_\Omega = \dfrac{h}{\gamma S}, tout se passe comme si le courant ne circulait uniformément que dans une tranche superficielle de section efficace :

La grandeur \delta correspond donc à la profondeur effective de pénétration du courant le long de l'axe Ox sous l'effet du terme d'amortissement exponentiel \mathrm{e}^{-x/\delta}. Le courant reste confiné dans une fine couche en surface du conducteur, d'où la dénomination d'« épaisseur de peau ».

D'après les résultats des questions Q6 et Q7, pour un courant de valeur efficace I_{\text{eff}} fixée, la puissance moyenne dissipée par effet Joule s'écrit :

En remplaçant l'épaisseur de peau par son expression \delta = \sqrt{\dfrac{2}{\mu_0 \gamma \omega}}, il vient :

1. Cas d'une conductivité infinie (\gamma \to +\infty) :

Pour un conducteur parfait (\gamma \to +\infty), la résistance tend vers zéro et le champ électrique à l'intérieur du matériau s'annule : la puissance dissipée par effet Joule est nulle.

2. Cas d'une conductivité nulle (\gamma \to 0) :

Un matériau de conductivité nulle est un isolant parfait. Pour y maintenir un courant d'intensité efficace I_{\text{eff}} non nulle, il faudrait appliquer un champ électrique infini (ou une tension infinie), ce qui conduirait à une puissance dissipée par effet Joule infinie. En pratique, aucun courant ne peut circuler.

À intensité efficace I_{\text{eff}} fixée, la puissance moyenne dissipée par effet Joule s'écrit :

D'après les résultats de la question Q7, la résistance s'exprime par :

avec l'épaisseur de peau :

On en déduit l'expression de la résistance et de la puissance dissipée en fonction de la fréquence f :

Comparaison à haute et basse fréquences :

• À haute fréquence (f élevée), l'épaisseur de peau \delta est très faible. Le courant se concentre sur une bande superficielle très étroite, ce qui restreint la section utile de conduction : la résistance effective augmente et la puissance dissipée par effet Joule est donc plus élevée qu'à basse fréquence.
• À basse fréquence (f faible), l'épaisseur de peau \delta est plus grande, le courant pénètre plus profondément dans l'épaisseur du matériau, la résistance apparente est plus faible et la puissance dissipée par effet Joule est plus faible.

Détermination de l'exposant \alpha :

Le rapport des résistances entre une fréquence quelconque f et une fréquence de référence f_0 s'écrit :

Par identification avec la relation proposée R(f) = R(f_0) \left(\frac{f}{f_0}\right)^\alpha, on obtient :

D'après le texte introductif :

• L'inducteur est constitué d'un grand nombre de spires N en série et fonctionne sous un courant d'excitation i_{\text{exc}} de faible intensité. L'inductance propre d'un bobinage étant proportionnelle au carré du nombre de spires (L \propto N^2) et la résistance augmentant avec la longueur totale de fil en série, l'inducteur présente une résistance R et une inductance L élevées.
• L'induit (rotor) est constitué de spires montées en parallèle, destinées à être traversées par un courant d'induit I élevé. Pour limiter les pertes Joule dissipées (\mathcal{P}_{\text{Joule}} = R I^2) et maximiser le rendement, la résistance de l'induit doit être la plus faible possible. Son inductance est également nettement plus faible que celle de l'inducteur.

Les mesures du tableau 1 montrent que :

avec R_A \sim {5\,\mathrm{\Omega}}, L_A \sim {3\,\mathrm{mH}} et R_B \sim {100\,\mathrm{\Omega}}\text{ à }{900\,\mathrm{\Omega}}, L_B \sim {0{,}5\,\mathrm{H}}\text{ à }{0{,}8\,\mathrm{H}}.

On en déduit donc que :

1. Augmentation de la résistance avec la fréquence :

• Effet de peau (établi en partie I) : lorsque la fréquence f augmente, la pulsation \omega augmente et l'épaisseur de peau \delta = \sqrt{2/(\mu_0 \gamma \omega)} diminue. Les courants sont refoulés vers la périphérie des conducteurs du bobinage. La section efficace de passage du courant diminue, ce qui augmente la résistance effective (R \propto 1/\delta \propto \sqrt{f}).
• Pertes fer : les pertes par courants de Foucault et par hystérésis dans le circuit magnétique en fer augmentent avec la fréquence et sont modélisées par une résistance équivalente série croissante.

2. Équation de Maxwell-Faraday et loi de Lenz :

• L'équation locale de Maxwell-Faraday relie la circulation du champ électrique à la variation temporelle du champ magnétique :

  \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}
• Loi de Lenz : « Les phénomènes d'induction ont des effets qui s'opposent à la cause qui leur donne naissance. »

3. Diminution de l'inductance avec la fréquence :

• D'après l'équation de Maxwell-Faraday, la variation temporelle du champ magnétique créé par le courant principal induit un champ électrique, lequel génère des courants induits (courants de Foucault) au sein du noyau magnétique et des conducteurs.
• D'après la loi de Lenz, ces courants induits créent un champ magnétique induit qui s'oppose au champ magnétique inducteur (effet d'écran magnétique).
• Le champ magnétique résultant et le flux magnétique total \Phi embrassé par l'enroulement pour un courant I donné diminuent donc lorsque la fréquence augmente. Puisque l'inductance propre est définie par L = \Phi / I, la valeur de L diminue lorsque la fréquence augmente.

1. Nécessité de bloquer le rotor

L'équation électrique régissant l'induit d'une machine à courant continu s'écrit :

où e(t) = k\,\Omega(t) est la f.c.é.m. induite par la rotation du rotor à la vitesse angulaire \Omega(t).

Si le rotor est libre de tourner, l'échelon de tension entraîne une mise en mouvement mécanique, ce qui fait apparaître e(t) \neq 0 et couple la dynamique électrique à la dynamique mécanique. En bloquant le rotor, on impose \Omega = 0, donc e(t) = 0 à tout instant. L'induit se comporte alors comme un simple dipôle passif (R, L) série, ce qui permet d'identifier directement ses paramètres électriques intrinsèques.

2. Évaluation des grandeurs R, \tau'_e et L

Pour un échelon de tension V_0 = 10\text{ V} appliqué à un dipôle (R, L) avec une condition initiale de courant nul, la réponse en courant s'écrit :

• Résistance R : Sur la figure 4, l'asymptote en régime permanent donne :

  I_{\max} \approx 2{,}0\text{ A}

  On en déduit la résistance totale du circuit (alimentation, câbles et induit) :

  R = \frac{V_0}{I_{\max}} = \frac{10}{2{,}0} = 5{,}0\ \Omega
  \boxed{R \approx 5{,}0\ \Omega}

• Constante de temps \tau'_e : À la date t = \tau'_e, le courant atteint 63\,\% de sa valeur finale :

  I_A(\tau'_e) = 0{,}63 \times 2{,}0\text{ A} \approx 1{,}26\text{ A}

  La lecture graphique sur la figure 4 pour I_A \approx 1{,}26\text{ A} (ou par l'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote horizontale) donne :

  \boxed{\tau'_e \approx 0{,}7\text{ ms} = 7 \times 10^{-4}\text{ s}} \quad (\text{valeur comprise entre } 0{,}6\text{ ms et } 0{,}8\text{ ms})

• Inductance L : On calcule ensuite l'inductance de l'enroulement :

  L = R\,\tau'_e = 5{,}0 \times 0{,}7 \times 10^{-3} = 3{,}5 \times 10^{-3}\text{ H}
  \boxed{L \approx 3{,}5\text{ mH}}

3. Compatibilité avec les relevés de la première expérience

D'après la question Q10, l'induit correspond au couple A, pour lequel les mesures à f = 120\text{ Hz} indiquent :

• La résistance R \approx 5{,}0\ \Omega est très proche de R_A = 4{,}61\ \Omega. L'écart résiduel d'environ 0{,}4\ \Omega s'explique naturellement par la résistance interne de l'alimentation, la résistance des fils de connexion et le contact balais-collecteur (l'énoncé précise bien qu'il s'agit de l'association « alimentation-M.C.C. »).
• L'inductance L \approx 3{,}5\text{ mH} est en excellent accord avec L_A = 3{,}30\text{ mH}.

Les valeurs obtenues sont donc pleinement compatibles avec les relevés de la première expérience.

La machine à courant continu (M.C.C.) est connectée en parallèle avec le conducteur ohmique de résistance variable R_2. Notons Z_{\text{M.C.C.}} l'impédance équivalente de la machine.

L'impédance de l'association parallèle s'écrit :

Puisque l'impédance de la M.C.C. est supposée très grande devant R_2 (Z_{\text{M.C.C.}} \gg R_2), le courant appelé par la machine est négligeable devant celui qui traverse R_2. On a donc :

Le circuit se réduit alors à un diviseur de tension résistif non chargé alimenté par la source idéale de tension continue U_0. La tension aux bornes de la M.C.C. est donc :

Puisque l'impédance de la M.C.C. est supposée très grande devant celle des capacités, la machine ne perturbe pas le circuit et l'on peut considérer le pont diviseur capacitif à vide.

Les condensateurs de capacités C_1 et C_2 sont alors montés en série et portent la même charge électrique q(t) :

où u_1 est la tension aux bornes du condensateur de capacité C_1. La loi des mailles s'écrit :

En éliminant la charge q = C_2\,V'_{\text{M.C.C.}}, on obtient :

soit :

Remarque : On retrouve ce résultat par la formule du pont diviseur de tension en utilisant les impédances complexes \underline{Z}_1 = \frac{1}{jC_1\omega} et \underline{Z}_2 = \frac{1}{jC_2\omega} :

ce rapport étant strictement indépendant de la fréquence.

D'après la définition temporelle du signal U_1(t) sur une période :

D'où l'expression de la valeur moyenne :

• Étudiant E1 (pont diviseur résistif) :

  • Avantage : montage très simple, délivrant une tension continue sans perturbations électromagnétiques ni ondulation de courant.
  • Inconvénients : rendement énergétique déplorable en raison des pertes par effet Joule considérables dans les résistances lorsque l'induit appelle un courant I important ; tension V_{\mathrm{M.C.C.}} s'effondrant en charge car la condition Z_{\mathrm{M.C.C.}} \gg R_2 n'est plus respectée.

• Étudiant E2 (pont diviseur capacitif) :

  • Avantage : pas de pertes Joule au repos dans des condensateurs idéaux.
  • Inconvénient rédhibitoire : les condensateurs se comportent comme des circuits ouverts en régime continu ; ils sont incapables de débiter le courant continu permanent requis pour le fonctionnement de la machine.

• Étudiant E3 (ALI en comparateur) :

  • Avantages : réglage aisé de la tension moyenne par modulation du rapport cyclique \alpha, et possibilité de fonctionnement dans les deux sens de rotation (tension bipolaire).
  • Inconvénient : un ALI est un composant de commande/signal, limité en courant de sortie à quelques dizaines de milliampères ; il ne peut pas délivrer la puissance requise par un moteur électrique.

• Pour l'amplificateur A.Li.1 :
  La sortie est rebouclée sur la borne inverseuse (-) via le condensateur C, tandis que la borne non-inverseuse (+) est reliée à la masse. Il s'agit d'une boucle de contre-réaction pure (rétroaction négative). L'amplificateur A.Li.1 fonctionne donc, a priori, en régime linéaire.
• Pour l'amplificateur A.Li.2 :
  La sortie est reliée à la borne non-inverseuse (+) par la résistance R_5, et l'entrée inverseuse (-) est reliée à la masse. Il y a une boucle de réaction positive sans contre-réaction. Cette configuration déstabilise l'amplificateur et fait diverger la tension différentielle d'entrée vers les butées d'alimentation. L'amplificateur A.Li.2 fonctionne donc, a priori, en régime saturé (V_B = \pm V_{\text{sat}}).

L'amplificateur linéaire A.Li.1 est supposé idéal, de sorte que le courant entrant sur sa borne inverseuse est nul (i^- = 0). De plus, la présence d'une boucle de rétroaction négative (via le condensateur C) assure un fonctionnement en régime linéaire (d'après la question Q17).

La tension différentielle d'entrée est donc nulle :

En régime sinusoïdal de pulsation \omega, l'impédance complexe du condensateur s'écrit \underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega}.

La loi des nœuds appliquée à la borne inverseuse s'écrit :

En tenant compte de \underline{V}^- = 0 :

On en déduit l'expression de la fonction de transfert :

Dans le domaine temporel, cette relation correspond à :

Le montage lié à l'amplificateur A.Li.1 réalise donc la fonction d'intégrateur inverseur (ou intégrateur pur).

L'amplificateur linéaire A.Li.2 possède une rétroaction sur son entrée non inverseuse (+) et fonctionne en régime saturé (cf. question Q17), sa tension de sortie ne pouvant prendre que deux valeurs :

L'entrée inverseuse étant reliée à la masse, on a V^- = 0.

Le courant d'entrée i^+ étant nul, le théorème de Millman au nœud non inverseur donne :

La tension différentielle d'entrée est \varepsilon = V^+ - V^- = V^+. Le basculement de la sortie se produit pour \varepsilon = 0, soit V^+ = 0, ce qui conduit à :

On distingue deux seuils de basculement selon l'état de la sortie :

• Si V_B = -V_{\text{sat}}, la sortie bascule vers +V_{\text{sat}} dès que V_A dépasse le seuil haut :

  V_{\text{seuil}}^{+} = +\frac{R_4}{R_5} V_{\text{sat}}

• Si V_B = +V_{\text{sat}}, la sortie bascule vers -V_{\text{sat}} dès que V_A descend sous le seuil bas :

  V_{\text{seuil}}^{-} = -\frac{R_4}{R_5} V_{\text{sat}}

Le montage lié à l'amplificateur A.Li.2 réalise donc la fonction de comparateur à deux seuils (ou comparateur à hystérésis, ou trigger de Schmitt non inverseur), symétrique et centré sur zéro.

D'après la question Q18, le montage intégrateur impose :

Le comparateur à hystérésis non inverseur A.Li.2 possède pour seuils de basculement :

À t=0, la condition initiale est V_A(0) = V_{\text{seuil}}^{+} = \frac{R_4}{R_5}V_{\text{sat}}. À cette valeur haute de déclenchement, la sortie bascule à V_B = +V_{\text{sat}} :

• Pour t \in [0\,;\, T/2], V_B(t) = +V_{\text{sat}}. La dérivée de V_A est constante et négative :

  \frac{\mathrm{d}V_A}{\mathrm{d}t} = -\frac{V_{\text{sat}}}{R_3 C}

  V_A(t) décroît linéairement depuis V_{\text{seuil}}^{+} jusqu'à V_{\text{seuil}}^{-} en une durée \frac{T}{2} vérifiant :

  \Delta V_A = V_{\text{seuil}}^{+} - V_{\text{seuil}}^{-} = 2\frac{R_4}{R_5}V_{\text{sat}} = \frac{V_{\text{sat}}}{R_3 C} \frac{T}{2} \implies \frac{T}{2} = 2 R_3 C \frac{R_4}{R_5}
• À t = T/2, V_A atteint V_{\text{seuil}}^{-}, ce qui provoque le basculement de la sortie du comparateur à V_B = -V_{\text{sat}}.

• Pour t \in [T/2\,;\, T], V_B(t) = -V_{\text{sat}}. La dérivée devient positive :

  \frac{\mathrm{d}V_A}{\mathrm{d}t} = +\frac{V_{\text{sat}}}{R_3 C}

  V_A(t) croît linéairement de V_{\text{seuil}}^{-} à V_{\text{seuil}}^{+}, atteint en une même durée \frac{T}{2}.

Le système oscille donc indéfiniment de façon périodique avec une période :

Effet d'une augmentation de la résistance R_3 :

• Les niveaux de tension extrêmes \pm V_{\text{sat}} de V_B et \pm \frac{R_4}{R_5} V_{\text{sat}} de V_A ne dépendent pas de R_3 : les amplitudes restent inchangées.
• La valeur absolue de la pente des rampes \left|\frac{\mathrm{d}V_A}{\mathrm{d}t}\right| = \frac{V_{\text{sat}}}{R_3 C} diminue, ce qui augmente la durée nécessaire pour parcourir l'écart de tension entre les seuils.
• Par conséquent, la période T augmente (proportionnellement à R_3), ce qui correspond à une diminution de la fréquence d'oscillation f = \frac{1}{T}.

1. Intervalle de variation de \beta

La source de tension continue impose une tension V_m = 15\text{ V} aux bornes de deux condensateurs identiques C_0 montés en série. La prise de masse centrale impose un potentiel nul (0\text{ V}) au point milieu.

Par symétrie, les potentiels des deux rails d'alimentation du potentiomètre sont :

Le curseur du potentiomètre permet de sélectionner continûment tout potentiel compris entre ces deux bornes, soit :

Comme V^+ = \beta V_m, on en déduit immédiatement :

2. Fonctionnement de l'amplificateur A.Li.3

L'amplificateur A.Li.3 fonctionne en boucle ouverte (sans aucune rétroaction), donc en régime saturé. Les potentiels d'entrée sont :

• sur l'entrée non inverseuse : V^+ = \beta V_m ;
• sur l'entrée inverseuse : V^- = V_C = V_A(t).

La tension de sortie V_D(t) prend donc les valeurs :

3. Dates de basculement et allure de V_D(t)

Avec R_5 = 2R_4 et V_{\text{sat}} = V_m, la tension triangulaire V_A(t) oscille symétriquement entre -V_m/2 et +V_m/2 avec la période T = 4 R_3 C \frac{R_4}{R_5} = 2 R_3 C (résultat de la question Q20). D'après la condition initiale V_A(0) = +V_m/2 :

• Pour t \in [0, T/2], V_A(t) décroît : V_A(t) = \dfrac{V_m}{2} - \dfrac{2V_m}{T} t.
• Pour t \in [T/2, T], V_A(t) croît : V_A(t) = -\dfrac{V_m}{2} + \dfrac{2V_m}{T}\left(t - \frac{T}{2}\right).

Le franchissement du seuil V_A(t) = \beta V_m a lieu aux instants :

• Cas \beta = 1/3 :

  t_1 = \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right)T = \frac{T}{12}, \qquad t_2 = \frac{11T}{12}

  V_D(t) = -V_{\text{sat}} pour t \in [0, T/12] \cup [11T/12, T] et V_D(t) = +V_{\text{sat}} pour t \in [T/12, 11T/12]. La durée à l'état haut vaut \frac{5}{6}T.

• Cas \beta = -1/3 :

  t_1 = \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{6}\right)T = \frac{5T}{12}, \qquad t_2 = \frac{7T}{12}

  V_D(t) = -V_{\text{sat}} pour t \in [0, 5T/12] \cup [7T/12, T] et V_D(t) = +V_{\text{sat}} pour t \in [5T/12, 7T/12]. La durée à l'état haut vaut \frac{1}{6}T.

D'après la question Q20, la période du signal délivré par le montage astable (générateur de signaux triangulaires et rectangulaires) vaut :

L'énoncé stipulant que R_5 = 2R_4, la période de hachage se simplifie en :

La fréquence de hachage f_h = \frac{1}{T_h} s'écrit donc :

Le transistor est passant lorsque la tension de commande est à l'état haut :

avec V_m = V_{\text{sat}} = 15\text{ V}.

La tension V_A(t) oscille symétriquement entre -V_M et +V_M, où :

Pendant la phase de croissance de V_A(t) (durée T_h/2), la pente vaut :

La durée \Delta t_1 pendant laquelle V_A(t) croît depuis la valeur minimale -V_M jusqu'au seuil \beta V_{\text{sat}} est :

Par symétrie du signal triangulaire, la durée \Delta t_2 passée sous la valeur seuil \beta V_{\text{sat}} au cours de la demi-période de décroissance est identique (\Delta t_2 = \Delta t_1).

La durée totale de conduction du transistor sur une période est donc :

On en déduit le rapport cyclique \alpha' = \frac{t_{\mathrm{on}}}{T_h} :

Par analogie avec l'électrocinétique, pour deux milieux à des températures T_1 et T_2, le flux thermique \Phi transféré entre ces deux milieux sous l'effet de l'écart de température s'écrit :

La conductance thermique G_{\mathrm{th}} est donc l'inverse de la résistance thermique R_{\mathrm{th}} :

Le flux thermique \Phi s'exprimant en watts (\mathrm{W}) et l'écart de température en kelvins (\mathrm{K}), la résistance thermique s'exprime en \mathrm{K}\cdot\mathrm{W}^{-1}. Par conséquent, l'unité de la conductance thermique dans le Système international est le :

Considérons le transistor comme un système fermé indéformable, de capacité thermique C_t, à la température supposée uniforme T_t(t).

Entre les instants t et t + \mathrm{d}t, la variation d'énergie interne du transistor s'écrit :

D'après le premier principe de la thermodynamique, cette variation provient des puissances thermiques échangées :

• la puissance thermique produite au sein du transistor : \mathcal{P}_{\text{source}} = P_s(t) ;

• le flux thermique transféré du transistor vers le boîtier à la température T_b(t) :

  \Phi_{t \to b}(t) = G_{tb} \bigl(T_t(t) - T_b(t)\bigr)

Le bilan thermique s'écrit donc :

Ce qui conduit directement à l'équation différentielle :

On choisit pour système le boîtier, de température T_b(t) et de capacité thermique C_b. Le boîtier étant assimilé à une phase condensée indéformable, la variation de son énergie interne pendant une durée \mathrm{d}t s'écrit :

Pendant cette durée, le boîtier échange de l'énergie thermique par conduction et convection avec :

• le transistor, recevant un flux thermique :

  \Phi_{t \to b} = G_{tb}\bigl(T_t(t) - T_b(t)\bigr)

• le milieu extérieur, auquel il cède un flux thermique :

  \Phi_{b \to \text{ext}} = G_{be}\bigl(T_b(t) - T_{\text{ext}}\bigr)

Le premier principe de la thermodynamique appliqué au boîtier sous forme différentielle s'écrit :

En remplaçant les flux par leurs expressions :

Soit sous forme ordonnée :

L'analogie formelle entre transfert thermique et conduction électrique repose sur les correspondances suivantes :

1. Identification des potentiels :

• Le nœud 1 reçoit la puissance dissipée P_s(t) et est relié à la capacité thermique du transistor C_t ; son potentiel correspond donc à la température du transistor :

  \boxed{V_1 \longleftrightarrow T_t(t)}

• Le nœud 2 est le nœud intermédiaire représentant le boîtier ; son potentiel correspond donc à la température du boîtier :

  \boxed{V_2 \longleftrightarrow T_b(t)}

• Le potentiel V_3, imposé par une source de tension continue par rapport à la masse, sert de référence thermique constante ; il correspond donc à la température extérieure :

  \boxed{V_3 \longleftrightarrow T_{\mathrm{ext}}}

2. Identification des dipôles :

• D'après la question Q24, le bilan sur le transistor s'écrit :

  P_s(t) = C_t \frac{\mathrm{d}T_t}{\mathrm{d}t} + G_{tb}\bigl(T_t(t) - T_b(t)\bigr)

  En appliquant la loi des nœuds au potentiel V_1, le courant injecté P_s(t) se sépare entre la branche capacitive C_t \frac{\mathrm{d}(V_1-V_3)}{\mathrm{d}t} = C_t \frac{\mathrm{d}V_1}{\mathrm{d}t} (car V_3 est constant) et la branche reliant V_1 à V_2. Le courant traversant B_1 est donc de la forme G_{tb}(V_1 - V_2) = \frac{V_1 - V_2}{R_{tb}}.

  L'élément \text{B}_1 est donc un conducteur ohmique de résistance :

  \boxed{R_{tb} = \frac{1}{G_{tb}}}

• D'après la question Q25, le bilan sur le boîtier s'écrit :

  G_{tb}\bigl(T_t(t) - T_b(t)\bigr) = C_b \frac{\mathrm{d}T_b}{\mathrm{d}t} + G_{be}\bigl(T_b(t) - T_{\mathrm{ext}}\bigr)

  La loi des nœuds au potentiel V_2 montre que le courant issu de B_1 se sépare entre deux branches en parallèle connectées à la ligne de potentiel V_3 :

  • une branche capacitive absorbant C_b \frac{\mathrm{d}(V_2-V_3)}{\mathrm{d}t} = C_b \frac{\mathrm{d}V_2}{\mathrm{d}t} ;
  • une branche résistive absorbant \frac{V_2 - V_3}{R_{be}} = G_{be}(V_2 - V_3).

  Les dipôles \text{B}_2 et \text{B}_3 jouent des rôles symétriques en parallèle : l'un est un condensateur de capacité \mathbf{C_b}, l'autre est un conducteur ohmique de résistance \mathbf{R_{be} = 1/G_{be}}.

En résumé :

D'après la loi phénoménologique de Newton pour les échanges convectifs fournie par l'énoncé, la puissance thermique élémentaire échangée s'écrit :

En analysant les dimensions des grandeurs physiques mises en jeu :

• la puissance thermique \mathrm{d}P s'exprime en watts (\mathrm{W}) ;
• l'écart de température T(x) - T_a s'exprime en kelvins (\mathrm{K}) ;
• la surface élémentaire \mathrm{d}S s'exprime en mètres carrés (\mathrm{m}^2).

On en déduit la dimension et l'unité SI du coefficient de transfert convectif h :

Nécessité du découpage en tranches élémentaires \mathrm{d}x :

La conduction thermique suivant l'axe Ox combinée aux pertes convectives latérales induit une diminution de la température T(x) de l'ailette de la base (x = 0) vers l'extrémité (x = a).

La température de l'ailette n'étant pas uniforme le long de l'axe Ox, l'écart de température local T(x) - T_a, et par conséquent la densité surfacique de flux thermique cédée à l'air ambiant, varie continûment avec la coordonnée x. On ne peut donc pas évaluer directement le flux global par une expression globale du type h\,(T - T_a)\,S_{\text{tot}}.

Il est donc indispensable d'isoler une tranche élémentaire de longueur \mathrm{d}x, comprise entre x et x+\mathrm{d}x, suffisamment fine pour que sa température puisse être considérée comme spatialement uniforme et égale à T(x), afin d'établir un bilan d'énergie en régime stationnaire.

Considérons le système fermé constitué par la tranche d'ailette comprise entre x et x+\mathrm{d}x, de section droite transverse S = b\,e.

En régime stationnaire, l'énergie interne du système est constante, si bien que le bilan thermique s'écrit :

où :

• \Phi(x) = -\lambda S \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = -\lambda b e \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} est le flux thermique conductif traversant la section S à l'abscisse x, d'après la loi de Fourier ;
• \Phi(x+\mathrm{d}x) - \Phi(x) = \dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}x} \mathrm{d}x = -\lambda b e \dfrac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2} \mathrm{d}x ;

• \mathrm{d}P est la puissance thermique perdue par la surface latérale \mathrm{d}S de la tranche. Comme b \gg e, le périmètre de la section vaut \mathcal{P} = 2(b+e) \approx 2b, de sorte que l'aire latérale se résume à celle des faces supérieure et inférieure : \mathrm{d}S \approx 2b\,\mathrm{d}x. On a ainsi :

  \mathrm{d}P = h\bigl(T(x) - T_a\bigr)\,\mathrm{d}S = 2hb\bigl(T(x) - T_a\bigr)\,\mathrm{d}x

En injectant ces expressions dans le bilan thermique, on obtient :

En simplifiant par b\,\mathrm{d}x \neq 0 et en divisant par \lambda e :

En introduisant la longueur caractéristique L :

Application numérique :

La longueur de l'ailette vaut a = 20\text{ cm}, d'où :

La longueur a de l'ailette est ainsi très grande devant la longueur caractéristique L.

D'après la question Q28, la longueur de l'ailette a = 20\text{ cm} est très grande devant la longueur caractéristique de décroissance thermique L = 1{,}0\text{ cm} :

Un écart de température s'atténuant exponentiellement selon le facteur \mathrm{e}^{-x/L}, à l'extrémité x = a, l'atténuation vaut \mathrm{e}^{-a/L} = \mathrm{e}^{-20} \approx 2 \times 10^{-9} \ll 1. La perturbation thermique est donc totalement amortie bien avant d'atteindre l'extrémité de l'ailette, dont la température y est quasiment égale à la température ambiante T_a. Les conditions aux limites effectives en x = a n'ont ainsi aucune influence sur le comportement thermique de l'ailette : on peut modéliser celle-ci par une ailette semi-infinie (a \to +\infty).

Posons l'écart de température \theta(x) = T(x) - T_a. D'après l'équation établie en Q28 :

L'équation caractéristique associée r^2 - \frac{1}{L^2} = 0 admet pour racines r = \pm \frac{1}{L}, d'où la solution générale :

Déterminons les constantes d'intégration :

• Pour a \to +\infty, la température doit rester finie et tendre vers T_a (soit \lim_{x\to +\infty} \theta(x) = 0), ce qui impose :

  B = 0
• En x = 0, la température imposée est T(0) = T_0, d'où \theta(0) = T_0 - T_a = A.

On en déduit l'expression du profil de température :

1. Puissance thermique totale évacuée par l'ailette :

En régime stationnaire, la conservation de l'énergie impose que la puissance totale dissipée vers l'air ambiant par les faces de l'ailette, P_{\text{tot}}, soit égale au flux thermique entrant par conduction à la base de l'ailette en x = 0.

La section droite de l'ailette vaut S = e \cdot b. D'après la loi de Fourier :

D'après l'expression du profil de température établie à la question Q29, T(x) = T_a + (T_0 - T_a)\,\mathrm{e}^{-x/L}, la dérivée spatiale en x = 0 vaut :

En injectant l'expression de la longueur caractéristique L = \sqrt{\frac{\lambda e}{2h}} (établie à la question Q28) :

Remarque : on retrouve de façon équivalente ce résultat en intégrant la puissance échangée sur toute la surface latérale utile \mathrm{d}S = 2b\,\mathrm{d}x :

2. Réduction de la longueur de l'ailette :

L'écart de température \Delta T(x) = T(x) - T_a décroît exponentiellement selon \mathrm{e}^{-x/L} :

• pour x = 3L, \mathrm{e}^{-3} \approx 0{,}05 (l'écart de température n'est plus que de 5\,\% de l'écart initial) ;
• pour x = 5L, \mathrm{e}^{-5} \approx 0{,}007 (moins de 1\,\%).

La portion de l'ailette au-delà de x \approx 3L à 5L se trouve donc pratiquement à la température ambiante T_a, si bien que les échanges thermiques y sont négligeables.

Comme actuellement a = 20\text{ cm} = 20 L, les trois quarts de l'ailette n'apportent aucun gain significatif en refroidissement, tout en augmentant la masse, le coût et l'encombrement.

On peut donc réduire la longueur de l'ailette sans perte sensible d'efficacité en choisissant une nouvelle longueur :

3. Commentaire sur la forme des radiateurs (figure 14) :

Les radiateurs sont formés d'un grand nombre d'ailettes minces, courtes et parallèles (structure en peigne) :

• une longueur modérée (a' \sim \text{quelques centimètres}) évite le gaspillage de matière en zone isotherme à T_a ;
• la multiplication d'ailettes minces permet d'augmenter considérablement la surface totale d'échange conducto-convectif dans un volume extérieur restreint.

1. Interprétation des pertes :
Lorsque les deux rames sont toutes les deux pleines ou toutes les deux vides, les travaux des forces de pesanteur se compensent exactement (\Delta M = 0). La puissance électrique consommée, identique dans les deux cas, correspond donc exclusivement aux pertes (frottements mécaniques des roues sur les rails, pertes poulie-câble et pertes du moteur) :

2. Initiatives de modélisation :

• On estime la masse moyenne d'un passager à m_0 \approx 70\text{ kg}.
• On prend l'accélération de la pesanteur g \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (ou 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}).

• La durée d'un trajet à la vitesse d'exploitation v = 2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} sur la longueur développée L = 1\,000\text{ m} est :

  \Delta t = \frac{L}{v} = \frac{1\,000}{2} = 500\text{ s} \quad (\approx 8\text{ min } 20\text{ s})

  En négligeant dans un premier temps le temps d'arrêt en station devant la durée du trajet, la capacité d'une rame pleine assurant le débit D = 1\,500\text{ personnes}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{1\,500}{3\,600}\text{ pers}\cdot\text{s}^{-1} = \frac{5}{12}\text{ pers}\cdot\text{s}^{-1} est :

  N = D\,\Delta t = \frac{5}{12} \times 500 \approx 208\text{ passagers}

3. Puissance gravitationnelle à fournir :
Lorsque la rame montante est pleine (N passagers) et la rame descendante demi-pleine (N/2 passagers), le déséquilibre correspond à un excédent de \Delta N = N/2 \approx 104 passagers à élever, soit une masse excédentaire :

La pente moyenne de la voie est donnée par le dénivelé total H = 250\text{ m} sur la longueur L :

La vitesse verticale ascensionnelle moyenne vaut ainsi :

La puissance mécanique nécessaire pour vaincre ce déséquilibre gravitationnel s'écrit :

On constate remarquablement que la durée du trajet se simplifie. L'application numérique donne :

4. Puissance électrique totale consommée :
En supposant les pertes par frottement indépendantes de la charge (conformément à l'énoncé) :

Remarque sur la puissance de crête : sur la portion où la pente est maximale (p_{\max} = 30\,\%), la vitesse verticale instantanée atteint v_{z,\max} = 2 \times 0{,}30 = 0{,}6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, ce qui porte la puissance mécanique à P_{\text{grav},\max} \approx 43\text{ kW} et la puissance électrique de pointe à environ 47\text{ kW}.

1. Limites du hacheur série pour le funiculaire

• Le hacheur série (figure 8) associe un interrupteur commandé unidirectionnel (transistor T) et une diode de roue libre D. La tension aux bornes de l'induit vérifie U_{\text{M.C.C.}}(t) \ge 0 et le courant d'induit ne peut être que positif : I(t) \ge 0.
• Il s'agit d'un convertisseur unidirectionnel en courant, fonctionnant dans un unique quadrant du plan (U, I) : le quadrant moteur (P_{\text{élec}} = U \cdot I \ge 0). Le transfert de puissance ne peut s'effectuer que de la source d'alimentation vers la machine.

2. Cas où la rame descendante est pleine et la rame montante peu chargée

• Lorsque la rame descendante est plus chargée que la rame montante, le poids total de la rame descendante l'emporte sur celui de la rame montante. La pesanteur fournit alors un travail moteur net sur le câble.
• Si la puissance motrice due à la gravité excède les pertes mécaniques par frottement, le câble tend à accélérer le système au-delà de sa vitesse d'exploitation (v = 2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}).
• Pour maintenir la vitesse constante, le moteur doit développer un couple de freinage résistant (C_{\text{em}} \cdot \Omega < 0).
• Le sens de rotation restant inchangé, la f.e.m. induite garde son signe (E = K \Omega > 0). Puisque le couple électromagnétique s'exprime par C_{\text{em}} = K I, inverser le signe du couple impose d'inverser le sens du courant d'induit (I < 0).
• La M.C.C. fonctionne alors en génératrice (P_{\text{em}} = E \cdot I < 0). Or, le hacheur série est incapable de conduire un courant négatif : il ne permet aucun freinage électrique ni récupération.

3. Solutions pour récupérer l'énergie

• Convertisseur réversible en courant (hacheur deux quadrants réversible en courant) : remplacer le hacheur série par une cellule à deux bras de commutation transistor/diode antiparallèle en demi-pont (ou un pont en H quatre quadrants pour gérer en plus l'inversion du sens de marche). En mode freinage, ce montage fonctionne en hacheur survolteur (boost) et renvoie le courant généré vers la ligne continue d'alimentation.

• Récupération et valorisation de l'énergie électrique :

  • Réinjection sur le réseau alternatif : si la source continue est issue du réseau électrique via un onduleur réversible (redresseur MLI réversible ou pont complet à thyristors en onduleur assisté), l'énergie de freinage est directement renvoyée au réseau général.
  • Stockage d'énergie embarqué ou au sol : installer un banc de supercondensateurs ou des batteries d'accumulateurs sur le bus continu pour emmagasiner l'énergie lors de la descente et la restituer lors d'une montée ultérieure.

Le numéro atomique Z correspond au nombre de protons du noyau, indiqué en indice dans la notation {}_{Z}^{A}\text{X}.

1. Cas du sodium ({}_{11}^{23}\text{Na}, Z = 11) : D'après les règles de remplissage (principe de stabilité de Klechkowski), sa configuration électronique à l'état fondamental s'écrit :

   1s^2\, 2s^2\, 2p^6\, 3s^1 \quad \text{soit} \quad [\text{Ne}]\, 3s^1
   • Le nombre quantique principal maximal de la couche occupée est n = 3, donc le sodium appartient à la 3e période.
   • Il possède 1 électron de valence (sous-couche s), il appartient donc à la colonne 1.

2. Cas du chlore ({}_{17}^{35,5}\text{Cl}, Z = 17) : Sa configuration électronique fondamentale est :

   \boxed{1s^2\, 2s^2\, 2p^6\, 3s^2\, 3p^5 \quad \text{ou} \quad [\text{Ne}]\, 3s^2\, 3p^5}
   • Le nombre quantique principal maximal est n = 3, donc le chlore appartient à la 3e période.
   • Il possède 7 électrons de valence (3s^2\, 3p^5) et appartient au bloc p, ce qui correspond à la colonne 17 (groupe des halogènes, ancienne notation VIIA : 10 + 7).

En résumé :

D'après la position des éléments déterminée à la question précédente :

• Le sodium, situé dans la première colonne (groupe 1) du tableau périodique, appartient à la famille des métaux alcalins (ou alcalins).
• Le chlore, situé dans la dix-septième colonne (groupe 17), appartient à la famille des halogènes.

Deux autres éléments appartenant à la même famille que le chlore (famille des halogènes) sont par exemple :

1. Dépendance de la conductivité électrique d'une solution :

   D'après la loi de Kohlrausch (valable en solution suffisamment diluée) :

   \sigma = \sum_{i} \lambda_i \, [X_i]

   La conductivité électrique \sigma dépend donc :

   • de la concentration de chaque ion présent en solution ;
   • de la nature des ions (caractérisée par leurs conductivités molaires ioniques \lambda_i, liées à la charge et à la taille/mobilité des ions hydratés) ;
   • de la température du milieu (une élévation de température abaisse la viscosité du solvant, augmentant la mobilité des ions et donc la conductivité) ;
   • de la nature du solvant (viscosité, permittivité diélectrique).

2. Identification de la cellule de conductimétrie :

   Une cellule conductimétrique est constituée de deux électrodes métalliques planes et parallèles (plaques de platine platiné) d'aire S séparées d'une distance \ell. Sur la figure 18, cette géométrie d'électrodes planes internes est visible sur la cellule A.

   \boxed{\text{La cellule A est la cellule associée au conductimètre.}}

3. Rôle de l'autre cellule :

   La cellule B se termine par un bulbe sphérique en verre mince sensible à l'activité des ions hydronium : il s'agit d'une électrode combinée de verre.

   \boxed{\text{La cellule B sert à des mesures de pH (pH-métrie).}}

Puisqu'il reste du chlorure de sodium non dissous après agitation prolongée, la solution est saturée : sa concentration est égale à la solubilité s recherchée.

D'après la figure 17, les points expérimentaux sont alignés avec l'origine, ce qui confirme la loi de Kohlrausch à faible concentration :

En utilisant le point remarquable (C = 6{,}0\ \text{mmol}\cdot\text{L}^{-1},\ G = 800\ \mu\text{S}), ou (C = 3{,}0\ \text{mmol}\cdot\text{L}^{-1},\ G = 400\ \mu\text{S}), on détermine la pente de la droite d'étalonnage :

Pour la solution diluée au millième, la conductance mesurée est G = 780\ \mu\text{S}. Par lecture graphique (ou par calcul direct de proportionnalité) :

La solution filtrée ayant été diluée au millième (F = 1000), la solubilité s du chlorure de sodium est :

1. Nombres d'oxydation du chlore

En appliquant les règles usuelles (\text{n.o.}(\mathrm{H}) = +\mathrm{I} et \text{n.o.}(\mathrm{O}) = -\mathrm{II}) :

• Dans l'ion chlorure \mathrm{Cl}^{-} :

  \text{n.o.}(\mathrm{Cl}) = -\mathrm{I}

• Dans le dichlore aqueux \mathrm{Cl}_{2(\mathrm{aq})} (corps simple neutre) :

  \text{n.o.}(\mathrm{Cl}) = 0

• Dans l'acide hypochloreux \mathrm{HClO} :

  \text{n.o.}(\mathrm{Cl}) + \text{n.o.}(\mathrm{H}) + \text{n.o.}(\mathrm{O}) = 0 \implies \text{n.o.}(\mathrm{Cl}) + 1 - 2 = 0 \implies \text{n.o.}(\mathrm{Cl}) = +\mathrm{I}

• Dans l'ion hypochlorite \mathrm{ClO}^{-} :

  \text{n.o.}(\mathrm{Cl}) + \text{n.o.}(\mathrm{O}) = -1 \implies \text{n.o.}(\mathrm{Cl}) - 2 = -1 \implies \text{n.o.}(\mathrm{Cl}) = +\mathrm{I}

2. Attribution des domaines

• Domaine C : situé aux potentiels les plus bas sur l'ensemble de la plage de pH, il correspond au nombre d'oxydation le plus bas (-\mathrm{I}). Il s'agit de l'ion chlorure \mathbf{Cl^{-}}.
• Domaine B : situé à potentiel intermédiaire entre \mathrm{Cl}^{-} et \mathrm{HClO}, et restreint aux \mathrm{pH} très acides (\mathrm{pH} \lesssim 1{,}5), il correspond au nombre d'oxydation 0. Il s'agit du dichlore dissous \mathbf{Cl_{2(\mathrm{aq})}} (qui dismute à plus fort pH).

• Domaines A et D : situés à haut potentiel, ils correspondent au nombre d'oxydation +\mathrm{I}. Ils sont séparés par une frontière verticale à \mathrm{pH} \approx 7{,}5, correspondant au \mathrm{p}K_a du couple acide-base \mathrm{HClO}/\mathrm{ClO}^{-} :

  • à gauche (\mathrm{pH} < 7{,}5), la forme acide prédomine : le domaine A correspond à \mathbf{HClO} ;
  • à droite (\mathrm{pH} > 7{,}5), la forme basique prédomine : le domaine D correspond à \mathbf{ClO^{-}}.

1. Équation de la réaction à l'étape 2

L'eau de Javel est une solution basique. À l'étape 2, aucune acidification n'a encore eu lieu. D'après le diagramme E-\mathrm{pH} (question Q37) :

• pour le chlore, en milieu basique, l'oxydant prédominant est l'ion hypochlorite \mathrm{ClO}^- (degré d'oxydation +\mathrm{I}), qui est réduit en ion chlorure \mathrm{Cl}^- (degré -\mathrm{I}) ;
• pour l'iode, en milieu basique, le diiode \mathrm{I}_2 n'a pas de domaine de stabilité (il dismute) ; l'ion iodure \mathrm{I}^- (degré -\mathrm{I}) est oxydé en ion iodate \mathrm{IO}_3^- (degré +\mathrm{V}).

Les deux demi-équations électroniques s'écrivent :

En sommant et en simplifiant les molécules d'eau et les ions hydroxyde qui s'éliminent exactement, on obtient l'équation-bilan :

2. Rôle de l'iodure de potassium en excès

L'iodure de potassium est introduit en excès pour plusieurs raisons :

• Aspect quantitatif : s'assurer que la totalité des ions hypochlorite \mathrm{ClO}^- du prélèvement réagissent (réactif limitant), condition indispensable pour un dosage indirect exact.
• Réaction ultérieure : fournir les ions \mathrm{I}^- nécessaires à la réaction de médiamutation à l'étape 3 avec les ions \mathrm{IO}_3^- formés.

• Solubilisation du diiode : maintenir le diiode \mathrm{I}_2 formé à l'étape 3 soluble en solution aqueuse sous forme d'ions triiodure selon l'équilibre de complexation :

  \mathrm{I}_2\text{(aq)} + \mathrm{I}^- \rightleftharpoons \mathrm{I}_3^-

  ce qui confère à la solution sa couleur jaune-brunâtre et évite les pertes par précipitation ou par volatilisation de \mathrm{I}_2.

À l'issue de l'étape 2 (d'après la question Q38), l'ensemble des ions hypochlorite a été réduit et a oxydé une partie des ions iodure en ions iodate \mathrm{IO}_3^-. La solution contient donc des ions iodate \mathrm{IO}_3^- et un reliquat important d'ions iodure \mathrm{I}^- (introduits en excès).

Lors de l'étape 3, l'acidification par l'acide chlorhydrique apporte des protons \mathrm{H}^+. D'après le diagramme E\text{--}\mathrm{pH} de l'iode (figure 19), à \mathrm{pH} < 6, les domaines de prédominance de \mathrm{IO}_3^- et de \mathrm{I}^- sont disjoints : ces deux espèces réagissent spontanément pour former du diiode \mathrm{I}_2.

Les demi-équations électroniques associées aux couples \mathrm{IO}_3^- / \mathrm{I}_2 et \mathrm{I}_2 / \mathrm{I}^- s'écrivent :

En combinant ces deux demi-équations de façon à éliminer les électrons transférés, on obtient :

Nom de la réaction : Au cours de cette réaction, l'élément iode passe :

• du degré d'oxydation +\mathrm{V} (dans \mathrm{IO}_3^-) à 0 (dans \mathrm{I}_2) par réduction ;
• du degré d'oxydation -\mathrm{I} (dans \mathrm{I}^-) à 0 (dans \mathrm{I}_2) par oxydation.

Cette réaction au cours de laquelle un même élément, initialement présent à deux degrés d'oxydation différents, conduit à une espèce d'étage d'oxydation intermédiaire est appelée une médiamutation (ou comproportionation).

L'eau de Javel contient simultanément des ions hypochlorite \mathrm{ClO}^- (au nombre d'oxydation +\mathrm{I}) et des ions chlorure \mathrm{Cl}^- (au nombre d'oxydation -\mathrm{I}) en proportions équimolaires.

Si l'on acidifiait la solution avant l'introduction des ions iodure \mathrm{I}^-, ces deux espèces réagiraient ensemble selon une réaction de médiamutation (ou comproportionation) :

(ou sous forme acide : \mathrm{HClO} + \mathrm{Cl}^- + \mathrm{H}^+ \rightleftharpoons \mathrm{Cl}_{2(\mathrm{g})} + \mathrm{H}_2\mathrm{O}).

Cette réaction présente deux inconvénients majeurs :

• Sur le plan de la sécurité : elle dégage du dichlore gazeux \mathrm{Cl}_2, gaz toxique, suffocant et dangereux pour les voies respiratoires (comme le rappelle explicitement l'énoncé).
• Sur le plan analytique : l'échappement de dichlore gazeux hors du milieu réactionnel conduirait à une perte de matière en élément chlore, ce qui fausserait le dosage en sous-estimant la concentration C_0 en ions hypochlorite.

En ajoutant d'abord les ions iodure en excès en milieu basique (étape 2), les ions \mathrm{ClO}^- sont intégralement consommés pour former des ions iodate \mathrm{IO}_3^- non volatils, ce qui empêche totalement la formation de dichlore gazeux lors de l'acidification ultérieure (étape 3).

Le diiode \mathrm{I}_2 formé à l'issue de l'étape 3 est titré par les ions thiosulfate \mathrm{S}_2\mathrm{O}_3^{2-}.

Les demi-équations électroniques associées aux deux couples rédox s'écrivent :

En sommant ces deux demi-équations, on obtient l'équation-bilan de la réaction de dosage :

Soit C_{\text{dil}} la concentration en ions hypochlorite \mathrm{ClO}^- dans la solution diluée prélevée à l'étape 1. La quantité de matière de \mathrm{ClO}^- présente dans la prise d'essai de volume V_{\text{init}} est :

D'après l'équation de l'étape 2 (établie à la question Q38) :

L'oxydant \mathrm{ClO}^- étant le réactif limitant (les ions iodure étant introduits en excès), la quantité d'ions iodate formée est :

Lors de l'étape 3 (établie à la question Q39), la médiamutation en milieu acide s'écrit :

Chaque mole de \mathrm{IO}_3^- consommée produit 3 moles de diiode :

À l'équivalence du titrage du diiode par les ions thiosulfate (étape 5, question Q41) :

les réactifs sont introduits dans les proportions stœchiométriques :

On en déduit l'égalité :

Le produit commercial ayant été dilué d'un facteur 100 à l'étape 1, on a C_0 = 100 \, C_{\text{dil}}, d'où :