Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 TSI 2022

Une centrale nucléaire terrestre classique fonctionne selon un cycle de Rankine (ou Hirn) : la chaleur issue de la fission nucléaire vaporise de l'eau sous haute pression, qui se détend dans une turbine entraînant un alternateur, avant d'être condensée par échange thermique avec une source froide externe abondante (fleuve, mer ou tours aéroréfrigérantes).

Il est impossible de reproduire ce fonctionnement sur Mars pour deux raisons majeures :

• L'absence d'eau liquide comme source froide : Mars est dépourvue d'étendues d'eau liquide à sa surface. De plus, la très faible pression atmosphérique martienne (environ 6\text{ hPa}, voisine du point triple de l'eau) et les basses températures empêchent la présence d'eau liquide stable à l'air libre. Le refroidissement par condensation d'eau y est donc irréalisable.
• L'encombrement et la masse des infrastructures : une centrale conventionnelle requiert des turbines massives, de la tuyauterie lourde et d'imposants échangeurs thermiques, ce qui est incompatible avec la charge utile limitée et le coût d'un transport spatial où chaque kilogramme compte.

Le volume V du cœur d'uranium est lié à sa masse m et à la masse volumique \rho de l'uranium par la relation :

La puissance thermique volumique P_v, supposée uniforme dans le cœur, est le quotient de la puissance thermique totale P par le volume V :

Pour l'application numérique, les données sont :

• P = 4\text{ kW} = 4 \times 10^3\text{ W} ;
• m = 28\text{ kg} ;
• \rho = 19,1 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}.

On obtient :

Le bilan d'enthalpie porte sur le système fermé constitué par la couronne cylindrique de matière comprise entre les rayons r et r + \mathrm{d}r, de hauteur h, pendant la durée \mathrm{d}t. On interprète chaque terme de l'équation (I.1) :

• \mathrm{d}H représente la variation d'enthalpie (ou d'énergie interne pour ce solide indilatable et incompressible) de la couronne cylindrique entre les instants t et t + \mathrm{d}t ;
• \Phi(r)\,\mathrm{d}t représente l'énergie thermique reçue (entrante) par conduction à travers la surface cylindrique intérieure de rayon r et d'aire S(r) = 2\pi r h pendant la durée \mathrm{d}t ;
• -\Phi(r+\mathrm{d}r)\,\mathrm{d}t représente l'énergie thermique cédée (sortante) par conduction à travers la surface cylindrique extérieure de rayon r + \mathrm{d}r et d'aire S(r+\mathrm{d}r) = 2\pi(r+\mathrm{d}r)h pendant \mathrm{d}t (comptée négativement car le flux sort du système vers l'extérieur selon +\vec{e}_r) ;
• P_v\,2\pi r h\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}t représente l'énergie thermique générée par les réactions nucléaires de fission au sein du volume élémentaire \mathrm{d}V = 2\pi r h\,\mathrm{d}r de la couronne pendant la durée \mathrm{d}t.

En régime stationnaire (ou permanent), les grandeurs d'état du système sont indépendantes du temps. En particulier, la température du système ne varie pas au cours du temps, ce qui implique que l'enthalpie du système élémentaire reste constante au cours de la durée \mathrm{d}t :

Par ailleurs, au premier ordre en \mathrm{d}r, le flux thermique sortant en r+\mathrm{d}r s'écrit sous la forme d'un développement de Taylor :

Le bilan d'enthalpie de l'équation (I.1) devient alors :

En simplifiant par \mathrm{d}r\,\mathrm{d}t \neq 0, on obtient bien la relation demandée :

D'après l'équation (I.2) établie à la question Q4, le flux thermique satisfait en régime stationnaire :

Par intégration directe par rapport à la variable d'espace r, les grandeurs P_v et h étant indépendantes de r, il vient :

où A est une constante d'intégration (homogène à une puissance).

La loi phénoménologique de Fourier relie localement le vecteur densité de flux thermique \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} au gradient du champ de température T au sein d'un milieu conducteur isotrope :

où :

• \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} est le vecteur densité de flux thermique (ou densité volumique de courant thermique), exprimé en \mathrm{W\cdot m^{-2}} ;
• \lambda est la conductivité thermique (ou coefficient de conduction thermique) du matériau, exprimée en \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}} ;
• \vec{\operatorname{grad}} T est le gradient de la température, exprimé en \mathrm{K\cdot m^{-1}} (avec T en \mathrm{K}).

D'après les symétries et invariances de l'énoncé (invariance par rotation autour de l'axe (Oz) et par translation suivant cet axe), la température ne dépend que de la coordonnée radiale : T(r,\theta,z) = T(r).

Le gradient de température en coordonnées cylindriques se réduit donc à sa composante radiale :

D'après la loi de Fourier rappelée à la question Q6, le vecteur densité de flux thermique s'écrit :

Le flux thermique \Phi(r) à travers la surface latérale cylindrique d'aire S(r) = 2\pi r h, orientée vers l'extérieur suivant le vecteur normal unitaire \vec{e}_r (dans le sens des r croissants), est défini par :

Comme j_{\mathrm{th},r}(r) est uniforme sur cette surface cylindrique, on obtient :

D'après la question Q5, le bilan d'énergie en régime stationnaire donne :

D'après la question Q7, la loi de Fourier appliquée à travers la surface cylindrique de rayon r et de hauteur h conduit à :

En égalant ces deux expressions :

On isole la dérivée de la température par rapport à r (pour r > 0) :

Par intégration par rapport à r, on obtient :

où B est une constante d'intégration homogène à une température.

Considérons le cylindre de carbure de bore de rayon R_1 et de hauteur h situé au centre du réacteur (0 \leqslant r \leqslant R_1).

• D'après le texte, la barre de carbure de bore \mathrm{B}_4\mathrm{C} ne contient aucune matière fissile ; il n'y a donc aucun dégagement volumique d'énergie thermique en son sein (P_v = 0).
• Compte tenu des invariances par translation axiale et par rotation, les transferts thermiques sont purement radiaux.
• En régime permanent, l'enthalpie de la barre est constante (\mathrm{d}H_{\text{barre}}/\mathrm{d}t = 0), de sorte que le flux thermique net sortant à travers sa surface latérale en r = R_1 est nul :

D'après la question Q5, le flux thermique dans le cœur d'uranium s'écrit :

En appliquant cette relation en r = R_1, on a :

On en déduit immédiatement la valeur de la constante A :

D'après la question Q8, le profil de température s'écrit :

En remplaçant la constante A par son expression obtenue à la question Q9, A = -P_v \pi R_1^2 h, le premier terme devient :

Ainsi, l'expression générale de la température est :

On en déduit la différence de température entre la paroi interne r = R_1 et la paroi externe r = R_2 :

On obtient finalement l'expression de la température sur la face intérieure :

D'après la relation établie à la question Q10, la température T(R_1) s'exprime sous la forme :

Les données de l'énoncé sont :

• T(R_2) = 800\,^\circ\text{C} (soit 1073\text{ K}) ;
• P_v = 2{,}7 \times 10^6\text{ W}\cdot\text{m}^{-3} ;
• R_1 = 10\text{ cm} = 0{,}10\text{ m} ;
• R_2 = 20\text{ cm} = 0{,}20\text{ m} ;
• \lambda = 27{,}6\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} (conductivité thermique de l'uranium).

Calculons l'écart de température \Delta T = T(R_1) - T(R_2) :

D'où :

On en déduit la température sur la face intérieure :

Compte tenu de la précision des données fournies (notamment P_v à deux chiffres significatifs) :

La barre centrale de carbure de bore \mathrm{B}_4\mathrm{C} ne contient aucun matériau fissile : il n'y a donc aucune source ni aucun puits de chaleur en son sein.

En régime permanent, aucun transfert thermique n'est donc nécessaire pour maintenir l'équilibre thermique de la barre, si bien que le flux thermique est nul en tout point du volume de la barre :

D'après la loi de Fourier \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} = -\lambda \vec{\operatorname{grad}} T, l'annulation de la densité de flux implique l'annulation du gradient de température :

Par conséquent, la température est spatialement uniforme dans toute la barre de carbure de bore, et égale à la température à son interface avec le cœur :

D'après les questions Q11 et Q12, la température au sein de la barre de carbure de bore est uniforme et égale à la température à l'interface interne du combustible :

Cette valeur est très nettement inférieure à la température de fusion du carbure de bore :

La marge de sécurité est importante (plus de 1100\,^\circ\mathrm{C}). Le matériau ne risque aucunement de fondre au cours du fonctionnement en régime permanent : il conserve son état solide, son intégrité structurelle et son rôle d'absorbeur neutronique.

Le cœur contient une masse m = 28\text{ kg} d'uranium enrichi à une fraction massique w = 20\,\% en uranium 235. La masse d'uranium 235 fissile est donc :

Le nombre de noyaux d'uranium 235 correspondants vaut :

avec M = 235\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 0{,}235\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} et \mathcal{N}_{\mathrm{A}} = 6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}, soit :

Chaque fission libère une énergie E_{\mathrm{fiss}} = 200\text{ MeV} = 200 \times 10^6 \times 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ J} = 3{,}2 \times 10^{-11}\text{ J}.
L'énergie thermique totale maximale susceptible d'être dégagée par fission s'écrit :

En régime permanent, le réacteur fournit une puissance thermique P = 4\text{ kW} = 4{,}0 \times 10^3\text{ W}. La durée de vie théorique maximale \Delta t_{\mathrm{max}} associée à la consommation intégrale de l'uranium 235 est :

En convertissant en années (1\text{ an} \approx 365{,}25 \times 86\,400\text{ s} \approx 3{,}16 \times 10^7\text{ s}) :

Commentaires :

• Taux de combustion réel : En réalité, un réacteur ne peut pas consommer 100\,\% de son combustible fissile. L'accumulation de produits de fission absorbant les neutrons (« poisons neutroniques ») et la diminution de la concentration en fissile font chuter la réactivité en dessous du seuil critique bien avant l'épuisement total. Néanmoins, même avec un taux de combustion de quelques pourcents (par exemple 1\,\% à 5\,\%), la durée de vie effective reste comprise entre plusieurs dizaines et plusieurs centaines d'années (environ 36 à 180\text{ ans}).
• Adéquation avec la mission : D'après le document de l'Express, une mission humaine martienne typique dure entre 640 et 910\text{ jours} (environ 2 à 3\text{ ans}). La réserve d'énergie du réacteur est donc surabondante : la durée de vie du système ne sera pas limitée par la disponibilité du combustible nucléaire, mais par l'usure mécanique des composants auxiliaires (moteurs Stirling, tuyauteries de sodium liquide, électronique embarquée).

D'après la notation symbolique ^{A}_{Z}\mathrm{Na} = {}^{23}_{11}\mathrm{Na} fournie par l'énoncé :

• Le numéro atomique est Z = 11, ce qui correspond au nombre de protons dans le noyau.

• Le nombre de masse est A = 23, qui représente le nombre total de nucléons. Le nombre de neutrons N vaut donc :

  N = A - Z = 23 - 11 = 12
• L'atome étant électriquement neutre, son nuage électronique comporte autant d'électrons que le noyau contient de protons, soit 11 électrons.

D'après la question Q15, l'atome de sodium possède Z = 11 électrons.

Dans son état fondamental, les orbitales atomiques sont remplies selon la règle de Klechkowski par énergie croissante (1\mathrm{s}, 2\mathrm{s}, 2\mathrm{p}, 3\mathrm{s}...), tout en respectant le principe d'exclusion de Pauli (au plus 2 électrons par sous-couche \mathrm{s} et 6 électrons par sous-couche \mathrm{p}) :

• sous-couche 1\mathrm{s} : 2 électrons ;
• sous-couche 2\mathrm{s} : 2 électrons ;
• sous-couche 2\mathrm{p} : 6 électrons ;
• sous-couche 3\mathrm{s} : 1 électron.

La configuration électronique de l'atome de sodium dans son état fondamental est donc :

D'après la question Q16, la configuration électronique du sodium dans son état fondamental s'écrit :

La position d'un élément dans la classification périodique se déduit de sa couche de valence :

• Période (ligne) : le nombre quantique principal le plus élevé de la configuration occupée est n = 3. Le sodium appartient donc à la 3^{\text{e}} période.
• Colonne (groupe) : la couche de valence comporte un unique électron dans la sous-couche s (3\mathrm{s}^1), ce qui situe le sodium dans le bloc s, dans la 1^{\text{re}} colonne (groupe 1).

Le sodium appartient à la première colonne du tableau périodique (groupe 1) : il fait donc partie de la famille des métaux alcalins.

Parmi les propriétés caractéristiques de cette famille, on peut citer :

• Propriétés chimiques :

  • Un caractère très réducteur (potentiel standard très bas, par exemple E^\circ(\mathrm{Na}^+/\mathrm{Na}) = -2{,}71\text{ V}) se traduisant par la perte aisée de leur unique électron de valence pour donner des cations monovalents stables (\mathrm{M}^+) ;
  • Une grande réactivité avec l'eau, produisant du dihydrogène gazeux et des ions hydroxyde de manière vive voire explosive ;
  • Une oxydation très rapide à l'air, imposant leur conservation dans un solvant inerte (huile de paraffine).

• Propriétés physiques :

  • Des métaux très mous (qui se coupent facilement au couteau) ;
  • De faibles masses volumiques (le lithium, le sodium et le potassium flottent sur l'eau) ;
  • Des températures de fusion particulièrement basses pour des métaux (97{,}8\,^\circ\mathrm{C} pour le sodium) ;
  • Une excellente conductivité thermique et électrique.

D'après la question Q16, la configuration électronique de l'atome de sodium dans son état fondamental est :

Pour satisfaire à la règle de l'octet et acquérir une configuration électronique particulièrement stable à couche externe saturée, identique à celle du gaz noble le plus proche, le néon (\mathrm{Ne} : 1\mathrm{s}^2\, 2\mathrm{s}^2\, 2\mathrm{p}^6), l'atome de sodium cède aisément son unique électron de valence de la sous-couche 3\mathrm{s}.

Il forme ainsi le cation monovalent :

Les deux couples rédox intervenant dans la réaction sont :

• Le couple \mathrm{Na}^+_{(\mathrm{aq})}/\mathrm{Na}_{(\mathrm{s})}, dans lequel le sodium solide s'oxyde selon :

  \mathrm{Na}_{(\mathrm{s})} = \mathrm{Na}^+_{(\mathrm{aq})} + \mathrm{e}^-

• Le couple \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})}/\mathrm{H}_{2(\mathrm{g})}, dans lequel l'eau subit une réduction selon :

  2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})} + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} + 2\,\mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})}

En multipliant la première demi-équation par 2 afin d'égaler le nombre d'électrons échangés, on obtient l'équation bilan :

On peut également l'écrire pour une mole de sodium réagissant :

D'après la question Q20, l'équation de la réaction s'écrit :

D'après la loi de Hess, l'enthalpie standard de réaction à 293\text{ K} s'exprime par :

\mathrm{Na}_{(\mathrm{s})} et \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} étant des corps purs simples dans leur état standard de référence à 293\text{ K}, on a :

Il vient donc :

(Remarque : si l'équation de la réaction a été écrite pour une mole de sodium, soit \mathrm{Na}_{(\mathrm{s})} + \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})} \longrightarrow \mathrm{Na}^+_{(\mathrm{aq})} + \mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})} + \frac{1}{2}\,\mathrm{H}_{2(\mathrm{g})}, on obtient \Delta_\text{r}H^\circ = -184\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}.)

Comme \Delta_\text{r}H^\circ < 0, la réaction est exothermique.

La réaction d'oxydoréduction entre le dihydrogène gazeux \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} (réducteur) et le dioxygène gazeux \mathrm{O}_{2(\mathrm{g})} (oxydant) conduit à la formation d'eau liquide \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})}.

En utilisant les plus petits coefficients stœchiométriques entiers, l'équation s'écrit :

Remarque : On peut également écrire cette réaction pour la synthèse d'une mole d'eau liquide :

D'après la question Q22, l'équation de la réaction modélisant la synthèse de l'eau liquide s'écrit :

Les deux demi-équations d'oxydoréduction associées sont :

Le nombre d'électrons transférés pour l'écriture choisie est n = 4.

La formule de Nernst donne pour chaque couple :

À l'équilibre chimique, les deux potentiels s'égalisent (E_1 = E_2), d'où :

Comme l'activité de l'eau liquide vaut 1, la constante d'équilibre s'écrit :

On en déduit :

soit sous forme d'exponentielle :

En utilisant le logarithme décimal :

Avec E^\circ_1 = 1{,}23\text{ V}, E^\circ_2 = 0{,}00\text{ V} et \frac{RT}{\mathcal{F}}\ln 10 \approx 0{,}06\text{ V} :

On obtient finalement :

Pour la réaction de synthèse de l'eau liquide écrite à la question Q22 :

l'enthalpie standard de réaction s'exprime à l'aide des enthalpies standard de formation (loi de Hess) :

Les corps simples \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} et \mathrm{O}_{2(\mathrm{g})} étant dans leur état standard de référence, on a \Delta_{\mathrm{f}}H^\circ(\mathrm{H}_{2(\mathrm{g})}) = 0 et \Delta_{\mathrm{f}}H^\circ(\mathrm{O}_{2(\mathrm{g})}) = 0. D'après les données de l'énoncé, \Delta_{\mathrm{f}}H^\circ(\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})}) = -285{,}8\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}, d'où :

La réaction est donc exothermique.

D'après la relation de Van 't Hoff fournie :

Comme R > 0, T^2 > 0 et \Delta_{\mathrm{r}}H^\circ < 0, on en déduit :

La fonction logarithme népérien étant strictement croissante, la dérivée de K^\circ(T) par rapport à T est également strictement négative :

D'après la figure 6, la maille est cubique et contient deux types d'ions :

• Ions oxyde \mathrm{O}^{2-} (sphères gris foncé) :

  • 8 ions situés aux sommets du cube, comptant pour \frac{1}{8} :

    8 \times \frac{1}{8} = 1

  • 6 ions situés aux centres des faces, comptant pour \frac{1}{2} :

    6 \times \frac{1}{2} = 3

  Le nombre effectif d'ions oxyde par maille est donc :

  N(\mathrm{O}^{2-}) = 1 + 3 = 4

  Les ions oxyde forment ainsi un réseau cubique à faces centrées (cfc).

• Ions sodium \mathrm{Na}^{+} (sphères gris clair) : Ils occupent la totalité des 8 sites tétraédriques situés au centre des 8 petits sous-cubes d'arête a/2. Étant entièrement à l'intérieur de la maille, ils comptent chacun pour 1 :

  N(\mathrm{Na}^{+}) = 8 \times 1 = 8

Le rapport stœchiométrique des ions dans la maille s'écrit :

Il y a donc deux cations \mathrm{Na}^{+} pour un anion \mathrm{O}^{2-}, ce qui assure l'électroneutralité du cristal :

Le chlorure de sodium \mathrm{NaCl} est principalement connu et utilisé dans la vie courante comme sel de table (ou sel de cuisine) pour l'alimentation humaine (assaisonnement et conservation des aliments).

L'équation de dissolution du chlorure de sodium dans l'eau s'écrit :

Le produit de solubilité associé vaut, à l'équilibre en présence de solide :

avec c^\circ = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}.

Dans de l'eau pure, la dissolution d'une quantité correspondant à une concentration molaire s donne [\mathrm{Na}^+] = [\mathrm{Cl}^-] = s, soit :

D'après les données fournies, K_s = 33 à 25^\circ\text{C}, d'où :

La quantité apportée par unité de volume est :

Comme c_0 < s (soit un quotient réactionnel maximal Q_{r,\max} = (c_0/c^\circ)^2 = 1 < K_s), le domaine de saturation n'est pas atteint.

Dans le chlorure de sodium fondu, l'élément sodium est sous la forme d'ions \mathrm{Na}^+. La formation de sodium métallique liquide s'écrit selon la demi-équation électronique :

Cette transformation implique un gain d'électron (le nombre d'oxydation du sodium diminue de +\mathrm{I} à 0) : il s'agit donc d'une réduction.

Par définition, le siège d'une réduction est la cathode. La formation de sodium liquide a donc lieu à la cathode (les cathodes en acier de la cellule de Downs).

Dans tout système électrochimique (pile comme électrolyseur), une réduction ayant lieu à la cathode (étudiée en question Q28), l'autre électrode est nécessairement l'anode, siège d'une oxydation (perte d'électrons).

L'électrolyte liquide étant constitué d'ions \mathrm{Na}^+ et \mathrm{Cl}^-, les ions chlorure subissent une oxydation selon la demi-équation :

Il s'agit donc bien d'une oxydation.

Le gaz verdâtre libéré à l'anode est le dichlore \mathrm{Cl}_{2(\mathrm{g})}.

Sur la figure B du document réponse, le cycle est parcouru dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre), comme l'indiquent les flèches portées sur la courbe :

• la détente (\mathrm{d}V > 0) a lieu à des pressions supérieures à celles de la phase de compression (\mathrm{d}V < 0).

Le travail total reçu par le fluide au cours d'un cycle fermé s'exprime par :

Dans le diagramme de Clapeyron (p, V), cette intégrale est opposée à l'aire délimitée par la courbe fermée parcourue dans le sens trigonométrique. Le parcours étant horaire :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué à un fluide décrivant un cycle, le travail reçu par le fluide est donné par l'intégrale le long du cycle :

Le cycle étant moteur (parcouru dans le sens horaire d'après la question Q30), ce travail reçu est négatif. Le travail utile fourni par le moteur au milieu extérieur est donc positif et égal à l'aire \mathcal{A} délimitée par la courbe dans le diagramme (p, V) :

Déterminons l'aire élémentaire \mathcal{A}_0 correspondant à un carreau du quadrillage de la figure B :

• Suivant l'axe des ordonnées : un carreau correspond à une variation de pression \Delta p = 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa}.

• Suivant l'axe des abscisses : l'intervalle entre 2{,}0 \times 10^{-3}\text{ m}^3 et 3{,}0 \times 10^{-3}\text{ m}^3 comprend 4 carreaux. Un carreau correspond donc à :

  \Delta V = \frac{3{,}0 - 2{,}0}{4} \times 10^{-3}\text{ m}^3 = 0{,}25 \times 10^{-3}\text{ m}^3

L'aire d'un carreau représente ainsi une énergie de :

Estimons le nombre de carreaux N délimités par le cycle :

• La courbe est inscrite entre V_2 = 2{,}25 \times 10^{-3}\text{ m}^3 et V_1 = 2{,}75 \times 10^{-3}\text{ m}^3 (largeur de 2 carreaux), et entre p_{\min} \approx 1{,}5 \times 10^5\text{ Pa} et p_{\max} \approx 5{,}5 \times 10^5\text{ Pa} (hauteur d'environ 4 carreaux).

• Par comptage des carreaux entiers et des fractions de carreaux coupés par la courbe (ou en assimilant le cycle à une ellipse inclinée de demi-axes approximatifs a \approx 2{,}2 carreaux et b \approx 0{,}6 carreau, d'aire \pi a b \approx 4{,}1 carreaux), on dénombre :

  N \approx 4{,}0 \text{ à } 4{,}5\text{ carreaux}

On en déduit la valeur du travail fourni par le moteur au cours d'un cycle :

Compte tenu de la précision de lecture graphique, on retient :

(une valeur comprise entre 90\text{ J} et 120\text{ J} est parfaitement acceptable).

Le cycle de Stirling idéal suivi par les n moles de gaz parfait est délimité par les volumes V_2 (volume minimal) et V_1 (volume maximal), et par les températures extrêmes T_1 (source froide) et T_3 (source chaude avec T_3 > T_1) :

• État 1 \rightarrow État 2 : compression isotherme réversible à la température T_1. La pression varie selon la loi p(V) = \dfrac{nRT_1}{V} de V_1 à V_2. La trajectoire est une branche d'hyperbole orientée vers la gauche et vers le haut (p_2 > p_1).
• État 2 \rightarrow État 3 : échauffement isochore à volume constant V = V_2. Le système est représenté par un segment vertical orienté vers le haut, de p_2 = \dfrac{nRT_1}{V_2} à p_3 = \dfrac{nRT_3}{V_2}.
• État 3 \rightarrow État 4 : détente isotherme réversible à la température T_3. La pression suit l'hyperbole p(V) = \dfrac{nRT_3}{V} de V_2 à V_1. Cette isotherme est située au-dessus de la première car T_3 > T_1. La transformation est orientée vers la droite et vers le bas (p_4 < p_3).
• État 4 \rightarrow État 1 : refroidissement isochore à volume constant V = V_1. Le système est représenté par un segment vertical orienté vers le bas, ramenant la pression de p_4 = \dfrac{nRT_3}{V_1} à p_1 = \dfrac{nRT_1}{V_1}.

Le cycle idéal forme ainsi un « rectangle déformé » délimité par deux verticales et deux hyperboles, parcouru dans le sens horaire.

La transformation (1 \to 2) est une compression isotherme réversible à la température T_1 d'un gaz supposé parfait, passant du volume initial V_1 au volume final V_2 avec V_1 > V_2.

Expression du travail reçu W_{12} La transformation étant mécaniquement réversible, la pression extérieure est à chaque instant égale à la pression du fluide : p_{\text{ext}} = p = \frac{nRT_1}{V}. Le travail reçu par le fluide s'écrit :

En introduisant le taux de compression volumique r = \frac{V_1}{V_2}, on obtient :

Expression du transfert thermique reçu Q_{12} D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide entre les états 1 et 2 :

Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de la température (première loi de Joule). La transformation étant isotherme à la température T_1, on a :

On en déduit :

Signes de W_{12} et Q_{12} Par définition, le rapport volumique vérifie r = \frac{V_1}{V_2} > 1, donc \ln r > 0. Les températures étant absolues (T_1 > 0) et n > 0, il vient :

La transformation (2 \to 3) s'effectue à volume constant (V = V_2 = \text{cte}). Le travail des forces de pression reçu par le fluide est donc nul :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide entre les états 2 et 3 :

Pour un gaz parfait (première loi de Joule), la variation d'énergie interne ne dépend que de la température. Avec T_2 = T_1 (issue de la compression isotherme à T_1) et la capacité thermique à volume constant C_{\mathrm{V}} = \dfrac{nR}{\gamma - 1} rappelée par l'énoncé, on obtient :

On en déduit l'expression du transfert thermique :

Puisque T_3 > T_1 et \gamma > 1, on a :

Le fluide reçoit effectivement de la chaleur au cours de cet échauffement.

La transformation (3 \to 4) est une détente isotherme réversible à la température T_3. Le volume du gaz passe de V_3 = V_2 à V_4 = V_1.

Le travail reçu par les forces de pression lors de cette transformation quasi-statique et sans frottement s'écrit :

En utilisant l'équation d'état du gaz parfait p = \frac{nRT_3}{V} avec T = T_3 = \text{cste} :

Avec r = \frac{V_1}{V_2}, on obtient :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide fermé entre les états 3 et 4 :

D'après la première loi de Joule, l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température. La transformation étant isotherme (T_4 = T_3), on a \Delta U_{34} = 0, d'où :

Étude des signes : Le rapport volumique vérifie r = \frac{V_1}{V_2} > 1, donc \ln r > 0. Les grandeurs n, R et T_3 étant strictement positives, il vient :

La transformation (4 \to 1) est un refroidissement isochore à volume constant (V = V_1).

Les seules forces travaillant étant les forces de pression, le travail échangé est nul :

D'après le premier principe de la thermodynamique :

Le fluide étant modélisé par un gaz parfait, il vérifie la première loi de Joule : son énergie interne ne dépend que de sa température. La variation d'énergie interne s'écrit donc :

Or, l'état 4 est à la température T_4 = T_3 (état final de la détente isotherme) et l'état 1 est à la température T_1. Avec C_\mathrm{V} = \dfrac{nR}{\gamma - 1}, on obtient :

Comme T_1 < T_3 et que pour tout gaz parfait \gamma > 1, on a T_1 - T_3 < 0 et \gamma - 1 > 0, d'où :

Le fluide cède de l'énergie thermique au milieu extérieur au cours de ce refroidissement.

Le rendement \eta d'un moteur thermique est défini par le rapport entre l'énergie utile fournie par le fluide au cours d'un cycle, à savoir le travail mécanique cédé à l'extérieur -W, et l'énergie thermique Q_{\text{reçu}} reçue par le fluide :

Sur l'ensemble du cycle, le travail total reçu par le gaz s'écrit, les transformations isochores n'échangeant aucun travail de forces de pression (W_{23} = W_{41} = 0) :

D'après les questions Q33 et Q35 :

On en déduit le travail fourni au cours d'un cycle :

Puisque T_3 > T_1 et r > 1, on a bien -W > 0.

En l'absence de régénérateur, l'énergie thermique reçue par le fluide provient des deux étapes où le transfert thermique est positif, c'est-à-dire l'échauffement isochore (Q_{23} > 0, d'après Q34) et la détente isotherme (Q_{34} > 0, d'après Q35) :

En effectuant le rapport, la quantité nR se simplifie :

Soit, en divisant le numérateur et le dénominateur par nR :

On peut également l'écrire sous forme adimensionnée :

Le rendement de Carnot \eta_{\mathrm{C}} est le rendement théorique maximal que peut atteindre tout moteur thermique fonctionnant de manière cyclique entre deux thermostats aux températures T_1 (source froide) et T_3 (source chaude, avec T_3 > T_1). D'après le théorème de Carnot, cette valeur limite est atteinte lorsque le cycle est entièrement réversible.

Pour un cycle moteur ditherme réversible :

• Le premier principe de la thermodynamique sur un cycle (\Delta U = 0) s'écrit :

  W + Q_{\mathrm{c}} + Q_{\mathrm{f}} = 0 \implies -W = Q_{\mathrm{c}} + Q_{\mathrm{f}}

  où Q_{\mathrm{c}} > 0 est la chaleur reçue de la source chaude (à T_3) et Q_{\mathrm{f}} < 0 celle cédée à la source froide (à T_1).

• Le second principe sur un cycle réversible (\Delta S = 0 et S_{\mathrm{cr\acute{e}\acute{e}e}} = 0) donne l'égalité de Clausius :

  \frac{Q_{\mathrm{c}}}{T_3} + \frac{Q_{\mathrm{f}}}{T_1} = 0 \implies \frac{Q_{\mathrm{f}}}{Q_{\mathrm{c}}} = -\frac{T_1}{T_3}

Par définition du rendement thermique \eta = \frac{-W}{Q_{\mathrm{c}}} :

On obtient ainsi :

Lorsque le moteur est équipé d'un régénérateur idéal, le transfert thermique cédé par le gaz lors du refroidissement isochore (4 \rightarrow 1), soit |Q_{41}| = -Q_{41}, est entièrement stocké par le régénérateur, puis intégralement restitué au fluide lors de l'échauffement isochore (2 \rightarrow 3) :

Cette étape d'échauffement ne nécessite donc plus aucun apport d'énergie thermique de la part de la source chaude extérieure.

La seule énergie thermique fournie au fluide par la source chaude au cours du cycle est désormais celle apportée lors de la détente isotherme réversible (3 \rightarrow 4) :

Le travail mécanique total fourni par le fluide sur un cycle reste inchangé :

Le rendement du cycle idéal avec régénérateur devient ainsi :

Le rendement du cycle idéal de Stirling avec régénération parfaite est donc égal au rendement maximal de Carnot.

Les températures thermodynamiques des sources chaude et froide s'écrivent :

D'après la question Q38, le rendement de Carnot associé à ces températures vaut :

L'énoncé indique que l'efficacité globale \eta des moteurs a évolué entre 30\,\% et 50\,\% de l'efficacité de Carnot :

La conversion du travail mécanique en travail électrique étant supposée parfaite, la puissance mécanique fournie par les deux moteurs est égale à la puissance électrique produite : \mathcal{P}_{\text{meca}} = P_{\text{elec}} = 180\text{ W}.

Le rendement thermique s'exprime par le quotient de la puissance utile par la puissance thermique fournie par la source chaude :

On en déduit un encadrement de la puissance thermique reçue par les deux moteurs :

• Pour une efficacité de 50\,\% de Carnot (\eta \approx 0{,}318) :

  P_{\text{th},\min} = \frac{180}{0{,}50 \times 0{,}6352} \approx 567\text{ W} \approx 5{,}7 \times 10^2\text{ W}.

• Pour une efficacité de 30\,\% de Carnot (\eta \approx 0{,}191) :

  P_{\text{th},\max} = \frac{180}{0{,}30 \times 0{,}6352} \approx 945\text{ W} \approx 9{,}4 \times 10^2\text{ W}.

En prenant une efficacité moyenne de 40\,\% de Carnot (\eta \approx 0{,}254), on obtient :

À l'instant initial t = 0, la barre est immobile (v(0) = 0). Sous l'action de la force motrice constante \vec{F} = F \vec{e}_x, elle accélère et se met en mouvement dans le sens des x croissants (v(t) > 0).

Le déplacement de la tige modifie la surface du circuit, ce qui fait varier le flux du champ magnétique \vec{B} à travers le circuit. D'après les lois de l'induction (loi de Lenz) :

• cette variation de flux donne naissance à un courant induit ;
• ce courant induit subit, dans le champ magnétique \vec{B}, une force de Laplace \vec{F}_{\mathrm{L}} qui s'oppose au mouvement de la tige (rôle modérateur). Cette force agit comme une force de frottement fluide, de sens opposé à la vitesse et dont la norme augmente avec la vitesse.

Ainsi, au cours du temps :

• tant que F > \|\vec{F}_{\mathrm{L}}\|, l'accélération reste positive mais diminue progressivement au fur et à mesure que la vitesse augmente ;
• la force de Laplace finit par compenser exactement la force appliquée \vec{F} lorsque l'accélération s'annule.

La force de Laplace élémentaire subie par un élément rectiligne de conducteur \mathrm{d}\vec{\ell}, parcouru par un courant d'intensité i et plongé dans un champ magnétique \vec{B}, s'écrit :

Le conducteur MN étant rectiligne et le champ magnétique \vec{B} uniforme, la force totale s'obtient par intégration le long du segment orienté de M vers N :

D'après la figure A, les extrémités de la tige sont repérées le long de l'axe (Oy), avec N sur le rail supérieur et M sur le rail inférieur distants de L, soit :

Le champ magnétique étant \vec{B} = B\,\vec{e}_z, on a :

Comme (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) forme une base orthonormée directe, \vec{e}_y \wedge \vec{e}_z = \vec{e}_x, d'où :

en convenant que le courant algébrique i circule dans la tige du point M vers le point N.

La tige se déplace vers la droite sous l'action de la force extérieure \vec{F} = F\vec{e}_x (vitesse \vec{v} = v\vec{e}_x avec v > 0).

• Force de Laplace \vec{F}_{\mathrm{L}} : d'après la loi de Lenz, les effets induits s'opposent à la cause qui leur donne naissance (le mouvement de la tige). La force de Laplace est donc une force de freinage dirigée vers la gauche :

  \vec{F}_{\mathrm{L}} \text{ est dirigée selon } -\vec{e}_x.
• Courant induit i(t) : la force de Laplace s'écrit \vec{F}_{\mathrm{L}} = i\,\vec{MN}\wedge\vec{B}. Comme \vec{B} = B\vec{e}_z pointe vers le lecteur et que \vec{F}_{\mathrm{L}} est dirigée selon -\vec{e}_x, le courant circule de N vers M dans la tige (soit un parcours dans le sens horaire dans le circuit).
• Force électromotrice e(t) : la tige mobile en mouvement joue le rôle d'un générateur alimentant le conducteur ohmique R. En convention générateur, la flèche représentant la force électromotrice e(t) est orientée dans le même sens que le courant débité, c'est-à-dire de N vers M.

On complète ainsi le schéma de la figure A du document réponse :

Orientons le contour fermé dans le sens trigonométrique (sens direct dans le plan (xOy)). D'après la règle de la main droite, le vecteur normal unitaire à la surface s'écrit :

À un instant t, la position de la barre est repérée par son abscisse x(t). En prenant l'origine de l'abscisse au niveau du conducteur ohmique fixe, l'aire de la spire rectangulaire vaut :

Le champ magnétique \vec{B} = B\,\vec{e}_z étant uniforme et stationnaire, le flux magnétique à travers le circuit orienté s'écrit :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite e(t) s'obtient par dérivation du flux :

Sachant que la vitesse de la barre est v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}, on obtient :

Remarque (méthode équivalente par le champ de Lorentz) :
Les porteurs de charge dans la tige se déplacent à la vitesse \vec{v} = v(t)\,\vec{e}_x. Ils subissent le champ électromoteur de Lorentz :

La circulation de \vec{E}_{\mathrm{m}} le long de la barre mobile de M à N (\mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}y\,\vec{e}_y) donne directement :

Le circuit fermé est modélisé par une maille indéformable à chaque instant contenant la force électromotrice induite e(t) et la résistance électrique totale R. Tout phénomène d'auto-induction étant négligé (L_{\text{auto}}\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} \approx 0), la loi des mailles s'écrit directement :

soit :

En introduisant l'expression établie à la question Q44 (e(t) = -BLv(t)), on en déduit l'intensité algébrique du courant :

On étudie la barre conductrice MN de masse m, assimilée à un point matériel en translation le long de l'axe (Ox), dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

La barre est soumise aux actions mécaniques suivantes :

• la force constante appliquée par l'opérateur : \vec{F} = F\,\vec{e}_x ;
• la force de Laplace, d'expression algébrique établie à la question Q42 : \vec{F}_{\mathrm{L}} = i(t)LB\,\vec{e}_x ;
• le poids de la tige et la réaction normale des rails, dont la somme est orthogonale à l'axe (Ox) (les frottements étant négligés).

D'après le principe fondamental de la dynamique :

En projetant cette relation vectorielle sur le vecteur unitaire \vec{e}_x, on obtient l'équation mécanique du système :

D'après l'équation électrique obtenue à la question Q45 (utilisant la f.é.m. d'induction de la question Q44), l'intensité algébrique du courant s'exprime en fonction de la vitesse v(t) par :

En injectant cette relation dans l'équation différentielle du mouvement obtenue à la question Q46 :

on obtient :

Soit, en réarrangeant sous forme canonique :

ou sous la forme équivalente :

D'après la question Q47, l'équation différentielle régissant la vitesse v(t) s'écrit :

Par homogénéité, tous les termes d'une équation physique ont la même dimension. En comparant le premier et le deuxième membre du côté gauche :

Or, la dérivée par rapport au temps introduit l'inverse d'une durée :

On en déduit donc immédiatement :

En prenant l'inverse de cette grandeur :

La grandeur \dfrac{Rm}{B^2 L^2} a la dimension d'un temps (son unité dans le Système international est la seconde, \text{s}).

D'après les questions Q47 et Q48, la vitesse v(t) vérifie l'équation différentielle du premier ordre :

La solution générale s'écrit comme la somme de la solution de l'équation homogène et d'une solution particulière constante :

où v_{\lim} est la vitesse limite obtenue pour \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0 :

La tige étant initialement au repos (v(0) = 0), on en déduit :

L'expression temporelle de la vitesse est donc :

Comparaison avec la prédiction de la question Q41 :

• La vitesse part de zéro, croît continûment et tend vers une vitesse limite finie v_{\lim} = \dfrac{FR}{B^2 L^2} pour t \gg \tau.
• Ce résultat confirme rigoureusement l'analyse qualitative : sous l'action de la force motrice \vec{F}, la barre accélère, induisant une force de Laplace de freinage croissante proportionnelle à la vitesse, jusqu'à ce que les deux forces se compensent exactement en régime permanent.

La puissance développée par la force de Laplace \vec{F}_{\mathrm{L}} s'exerçant sur la tige mobile animée de la vitesse \vec{v}(t) = v(t)\,\vec{e}_x dans le référentiel d'étude est donnée par la définition générale d'une puissance mécanique :

D'après le résultat de la question Q42, la force de Laplace s'écrit \vec{F}_{\mathrm{L}} = i(t)LB\,\vec{e}_x. On en déduit directement :

En utilisant l'expression de la force électromotrice induite e(t) = -BLv(t) établie à la question Q44, cette puissance s'écrit également :

De plus, en substituant le courant induit i(t) = -\dfrac{BL}{R}v(t) obtenu à la question Q45, elle s'exprime en fonction de la seule vitesse sous la forme :