Feuille d'entraînement : Machines thermiques

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q29

   Le système \{\text{GP}\} décrit un cycle moteur (moteur thermique à allumage commandé) :

   • Signe de Q_c : Lors de la phase de combustion isochore 2 \to 3, le mélange s'échauffe de T_2 = 614\text{ K} à T_3 = 1\,800\text{ K} au contact de la source chaude. Le système reçoit donc de l'énergie thermique de la part de la source chaude :

     \boxed{Q_c > 0}

   • Signe de Q_f : Lors de la phase de refroidissement isochore 4 \to 1, le gaz se refroidit de T_4 = 879\text{ K} à la température ambiante T_1 = 300\text{ K}. Le système cède donc de l'énergie thermique à la source froide :

     \boxed{Q_f < 0}

   • Signe de W : Par définition d'un moteur thermique, le système fournit un travail utile au milieu extérieur (vers le rotor et les roues) au cours d'un cycle. En convention récepteur, le travail reçu par le système sur un cycle complet est donc négatif :

     \boxed{W < 0}

   Ces signes sont cohérents avec le premier principe appliqué au cycle (\Delta U = W + Q_c + Q_f = 0, soit -W = Q_c + Q_f > 0) et avec l'inégalité de Clausius (\frac{Q_c}{T_c} + \frac{Q_f}{T_f} \le 0).

   Résultat

   $$Q_c>0$$

   $$Q_f<0$$

   $$W<0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q30

   Le cycle thermodynamique de Beau de Rochas suivi par le mélange \{\text{GP}\} est constitué des transformations suivantes :

   • 1 \to 2 : compression adiabatique réversible (isentropique), le volume passe de V_h à V_b (V_b < V_h) ;
   • 2 \to 3 : combustion isochore au volume V_b, la pression augmente de P_2 à P_3 ;
   • 3 \to 4 : détente adiabatique réversible (isentropique), le volume passe de V_b à V_h ;
   • 4 \to 1 : refroidissement isochore au volume V_h, la pression diminue de P_4 à P_1.

   Les phases d'admission (0 \to 1) et d'éjection (1 \to 0), isobares à la pression atmosphérique, se superposent et présentent des bilans de travail opposés qui s'annulent.

   Commentaire sur le sens de parcours :

   \boxed{\text{Le cycle est parcouru dans le sens horaire.}}

   L'intégrale cyclique \oint P\,\mathrm{d}V, correspondant à l'aire géométrique délimitée par le cycle, est donc strictement positive. Par conséquent, le travail total reçu par le fluide sur un cycle :

   W = -\oint P\,\mathrm{d}V < 0

   est strictement négatif. Le système fournit du travail mécanique utile au milieu extérieur : il s'agit bien d'un cycle moteur.

   Résultat

   $$\text{Le cycle est parcouru dans le sens horaire.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique-Chimie TSI 2025, Q32

   Le diagramme fourni est un diagramme enthalpique de Mollier (\ln p, h), où l'abscisse représente l'enthalpie massique h (en \text{kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) et l'ordonnée la pression p (en \text{MPa}, échelle logarithmique). On rappelle que 1\text{ bar} = 0{,}1\text{ MPa}.

   1. Caractérisation et positionnement des quatre points :

   • Point A : état de vapeur saturante sèche à p_A = 5\text{ bar} = 0{,}5\text{ MPa} et \theta_A \approx 0\,^\circ\text{C}. Il se situe à l'intersection de l'isobare p = 0{,}5\text{ MPa} et de la courbe de rosée (courbe de saturation de droite, titre en vapeur x = 1) :

     h_A \approx 575\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad p_A = 0{,}5\text{ MPa}.

   • Point B : vapeur surchauffée en sortie de compresseur, défini par p_B = 15\text{ bar} = 1{,}5\text{ MPa} et \theta_B = 80\,^\circ\text{C}. Il se situe à l'intersection de l'isobare p = 1{,}5\text{ MPa} et de l'isotherme \theta = 80\,^\circ\text{C} dans le domaine vapeur :

     h_B \approx 645\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad p_B = 1{,}5\text{ MPa}.

   • Point C : liquide saturant en sortie de condenseur, à la pression p_C = p_B = 1{,}5\text{ MPa}. Il se trouve à l'intersection de l'isobare p = 1{,}5\text{ MPa} et de la courbe d'ébullition (courbe de saturation de gauche, x = 0) :

     h_C \approx 310\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad p_C = 1{,}5\text{ MPa}.

   • Point D : mélange diphasique liquide-vapeur issu de la détente isenthalpique (h_D = h_C). Il se situe sur l'isobare p_D = 5\text{ bar} = 0{,}5\text{ MPa} à la même abscisse que C :

     h_D = h_C \approx 310\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad p_D = 0{,}5\text{ MPa}.

   2. Tracé des transformations et sens de parcours :

   • A \to B : compression adiabatique irréversible, reliant A à B (courbe orientée vers le haut et la droite) ;
   • B \to C : désurchauffe, condensation totale isobare au condenseur (segment horizontal vers la gauche à p = 1{,}5\text{ MPa}) ;
   • C \to D : détente isenthalpique dans le détendeur (segment vertical descendant à h \approx 310\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) ;
   • D \to A : vaporisation complète isobare à l'évaporateur (segment horizontal vers la droite à p = 0{,}5\text{ MPa}).

   \boxed{\text{Le cycle } A \to B \to C \to D \to A \text{ est parcouru dans le sens trigonométrique (anti-horaire).}}

   Résultat

   $$\text{Le cycle }A\to B\to C\to D\to A\text{ est parcouru dans le sens trigonomeˊtrique (anti-horaire).}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie TSI 2024, Q42

   On considère le système fermé constitué par le fluide frigorigène décrivant un cycle de transformations entre deux thermostats aux températures constantes T_f et T_c.

   1. Premier principe de la thermodynamique sur un cycle : L'énergie interne U étant une fonction d'état, sa variation sur un cycle est nulle :

   \Delta U = W + Q_f + Q_c = 0

   On en déduit le travail reçu par le fluide :

   W = - (Q_f + Q_c)

   2. Second principe de la thermodynamique sur un cycle réversible : L'entropie S étant également une fonction d'état, on a \Delta S = 0. Le cycle étant supposé réversible, l'entropie créée est nulle (S_{\text{créée}} = 0) :

   \Delta S = S_{\text{éch}} + S_{\text{créée}} = \frac{Q_f}{T_f} + \frac{Q_c}{T_c} + 0 = 0

   D'où l'égalité de Clausius :

   \frac{Q_c}{T_c} = -\frac{Q_f}{T_f} \iff Q_c = -Q_f \frac{T_c}{T_f}

   3. Expression du travail reçu : En réinjectant l'expression de Q_c dans le premier principe :

   W = -\left( Q_f - Q_f \frac{T_c}{T_f} \right) = Q_f \left( \frac{T_c - T_f}{T_f} \right)

   4. Efficacité de Carnot : Pour une machine frigorifique, la grandeur utile est le transfert thermique extrait de la source froide Q_f, et la grandeur coûteuse est le travail électrique reçu W. L'efficacité s'écrit :

   e_{\text{Carnot}} = \frac{Q_f}{W} = \frac{Q_f}{Q_f \left( \dfrac{T_c - T_f}{T_f} \right)}

   Soit finalement :

   \boxed{e_{\text{Carnot}} = \frac{T_f}{T_c - T_f}}

   Résultat

   $$e_{\text{Carnot}}=\frac{T_f}{T_c-T_f}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2023, Q36

   Considérons le fluide décrivant un cycle de Carnot ditherme, c'est-à-dire un cycle entièrement réversible en contact avec deux thermostats aux températures T_f et T_c.

   Le fluide étant un système fermé revenant à son état initial, ses fonctions d'état ont une variation nulle sur un cycle :

   • d'après le premier principe de la thermodynamique :

     \Delta U = W + Q_c + Q_f = 0 \implies W = -(Q_c + Q_f)

   • d'après le second principe de la thermodynamique, en l'absence de création d'entropie pour un cycle réversible (S_{\text{créée}} = 0) :

     \Delta S = \frac{Q_c}{T_c} + \frac{Q_f}{T_f} + S_{\text{créée}} = 0 \implies \frac{Q_c}{T_c} + \frac{Q_f}{T_f} = 0

   On en déduit l'expression du transfert thermique avec la source chaude :

   Q_c = -\frac{T_c}{T_f} Q_f

   En reportant cette relation dans l'expression du travail W :

   W = -\left( -\frac{T_c}{T_f} Q_f + Q_f \right) = Q_f \left( \frac{T_c - T_f}{T_f} \right)

   Par définition, l'efficacité de Carnot e_c s'écrit :

   e_c = \frac{Q_f}{W}

   soit :

   \boxed{e_c = \frac{T_f}{T_c - T_f}}

   Pour un cycle réel irréversible, le second principe impose S_{\text{créée}} \ge 0, d'où l'inégalité de Clausius :

   \frac{Q_c}{T_c} + \frac{Q_f}{T_f} \le 0 \implies Q_c \le -\frac{T_c}{T_f} Q_f

   Le travail à fournir au fluide vérifie alors :

   W = -(Q_c + Q_f) \ge Q_f \left( \frac{T_c - T_f}{T_f} \right)

   Comme Q_f > 0 et W > 0, il vient :

   \boxed{e \le e_c}

   L'efficacité réelle d'une machine frigorifique ditherme est toujours inférieure ou égale à l'efficacité de Carnot, cette dernière représentant la limite thermodynamique maximale théorique indépassable.

   Résultat

   $$e_c=\frac{T_f}{T_c-T_f}$$

   $$e\le e_c$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2022, Q32

   Le cycle de Stirling idéal suivi par les n moles de gaz parfait est délimité par les volumes V_2 (volume minimal) et V_1 (volume maximal), et par les températures extrêmes T_1 (source froide) et T_3 (source chaude avec T_3 > T_1) :

   • État 1 \rightarrow État 2 : compression isotherme réversible à la température T_1. La pression varie selon la loi p(V) = \dfrac{nRT_1}{V} de V_1 à V_2. La trajectoire est une branche d'hyperbole orientée vers la gauche et vers le haut (p_2 > p_1).
   • État 2 \rightarrow État 3 : échauffement isochore à volume constant V = V_2. Le système est représenté par un segment vertical orienté vers le haut, de p_2 = \dfrac{nRT_1}{V_2} à p_3 = \dfrac{nRT_3}{V_2}.
   • État 3 \rightarrow État 4 : détente isotherme réversible à la température T_3. La pression suit l'hyperbole p(V) = \dfrac{nRT_3}{V} de V_2 à V_1. Cette isotherme est située au-dessus de la première car T_3 > T_1. La transformation est orientée vers la droite et vers le bas (p_4 < p_3).
   • État 4 \rightarrow État 1 : refroidissement isochore à volume constant V = V_1. Le système est représenté par un segment vertical orienté vers le bas, ramenant la pression de p_4 = \dfrac{nRT_3}{V_1} à p_1 = \dfrac{nRT_1}{V_1}.

   Le cycle idéal forme ainsi un « rectangle déformé » délimité par deux verticales et deux hyperboles, parcouru dans le sens horaire.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2022, Q33

   La transformation (1 \to 2) est une compression isotherme réversible à la température T_1 d'un gaz supposé parfait, passant du volume initial V_1 au volume final V_2 avec V_1 > V_2.

   Expression du travail reçu W_{12} La transformation étant mécaniquement réversible, la pression extérieure est à chaque instant égale à la pression du fluide : p_{\text{ext}} = p = \frac{nRT_1}{V}. Le travail reçu par le fluide s'écrit :

   \begin{aligned} W_{12} &= -\int_{V_1}^{V_2} p \, \mathrm{d}V \\ &= -\int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT_1}{V} \, \mathrm{d}V \\ &= -nRT_1 \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \end{aligned}

   En introduisant le taux de compression volumique r = \frac{V_1}{V_2}, on obtient :

   \boxed{W_{12} = nRT_1 \ln r}

   Expression du transfert thermique reçu Q_{12} D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide entre les états 1 et 2 :

   \Delta U_{12} = W_{12} + Q_{12}

   Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de la température (première loi de Joule). La transformation étant isotherme à la température T_1, on a :

   \Delta U_{12} = 0 \implies Q_{12} = -W_{12}

   On en déduit :

   \boxed{Q_{12} = -nRT_1 \ln r}

   Signes de W_{12} et Q_{12} Par définition, le rapport volumique vérifie r = \frac{V_1}{V_2} > 1, donc \ln r > 0. Les températures étant absolues (T_1 > 0) et n > 0, il vient :

   \boxed{W_{12} > 0 \quad \text{et} \quad Q_{12} < 0}

   Résultat

   $$W_{12}=nR{T}_1\ln r$$

   $$Q_{12}=-nR{T}_1\ln r$$

   $$W_{12}>0\text{et}{Q}_{12}<0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2022, Q38

   Le rendement de Carnot \eta_{\mathrm{C}} est le rendement théorique maximal que peut atteindre tout moteur thermique fonctionnant de manière cyclique entre deux thermostats aux températures T_1 (source froide) et T_3 (source chaude, avec T_3 > T_1). D'après le théorème de Carnot, cette valeur limite est atteinte lorsque le cycle est entièrement réversible.

   Pour un cycle moteur ditherme réversible :

   • Le premier principe de la thermodynamique sur un cycle (\Delta U = 0) s'écrit :

     W + Q_{\mathrm{c}} + Q_{\mathrm{f}} = 0 \implies -W = Q_{\mathrm{c}} + Q_{\mathrm{f}}

     où Q_{\mathrm{c}} > 0 est la chaleur reçue de la source chaude (à T_3) et Q_{\mathrm{f}} < 0 celle cédée à la source froide (à T_1).

   • Le second principe sur un cycle réversible (\Delta S = 0 et S_{\mathrm{cr\acute{e}\acute{e}e}} = 0) donne l'égalité de Clausius :

     \frac{Q_{\mathrm{c}}}{T_3} + \frac{Q_{\mathrm{f}}}{T_1} = 0 \implies \frac{Q_{\mathrm{f}}}{Q_{\mathrm{c}}} = -\frac{T_1}{T_3}

   Par définition du rendement thermique \eta = \frac{-W}{Q_{\mathrm{c}}} :

   \begin{aligned} \eta_{\mathrm{C}} &= \frac{Q_{\mathrm{c}} + Q_{\mathrm{f}}}{Q_{\mathrm{c}}} = 1 + \frac{Q_{\mathrm{f}}}{Q_{\mathrm{c}}} \end{aligned}

   On obtient ainsi :

   \boxed{\eta_{\mathrm{C}} = 1 - \frac{T_1}{T_3}}

   Résultat

   $${\eta }_{\mathrm{C}}=1-\frac{T_1}{T_3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique-Chimie TSI 2021, Q3

   Une pompe à chaleur est une machine thermodynamique réceptrice qui prélève de la chaleur à une source froide à la température T_f pour en céder à une source chaude à la température T_c > T_f, grâce à un apport de travail mécanique fourni par le milieu extérieur (compresseur).

   En adoptant la convention thermodynamique récepteur (grandeurs comptées positivement lorsqu'elles sont reçues par le fluide frigorigène) :

   • W > 0 : le fluide reçoit du travail de la part du compresseur ;
   • Q_f > 0 : le fluide reçoit un transfert thermique de la part de la source froide ;
   • Q_c < 0 : le fluide cède un transfert thermique à la source chaude.

   \boxed{W > 0, \quad Q_f > 0 \quad \text{et} \quad Q_c < 0}

   Résultat

   $$W>0,Q_f>0\text{et}{Q}_c<0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie TSI 2021, Q6

    Le travail élémentaire des forces de pression reçu par l'unité de masse (ou la masse) du fluide s'écrit \delta w = - P\,\mathrm{d}v. Sur un cycle fermé, le travail total reçu est donné par :

    W = -\oint P\,\mathrm{d}v

    Une pompe à chaleur est une machine réceptrice : elle consomme du travail mécanique fourni par le compresseur, d'où W > 0 (confirmé à la question Q3). Il en résulte :

    \oint P\,\mathrm{d}v < 0

    En diagramme de Clapeyron (P, v), l'intégrale \oint P\,\mathrm{d}v représente l'aire algébrique délimitée par la courbe fermée. Elle est strictement négative lorsque le cycle est parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre :

    \boxed{\text{Le cycle est parcouru dans le sens trigonométrique (anti-horaire).}}

    D'après la relation de Reech (ou les lois des gaz parfaits avec le coefficient isentropique \gamma > 1), les adiabatiques réversibles ont une pente plus abrupte que les isothermes :

    \left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{S} = \gamma \left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{T} < \left(\frac{\partial P}{\partial v}\right)_{T} < 0

    Le cycle se compose de quatre évolutions réversibles :

    • 1 \to 2 : compression adiabatique réversible réchauffant le fluide de T_f à T_c ;
    • 2 \to 3 : compression isotherme à la température T_c, le fluide cédant de la chaleur à la source chaude (Q_c < 0) ;
    • 3 \to 4 : détente adiabatique réversible refroidissant le fluide de T_c à T_f ;
    • 4 \to 1 : détente isotherme à la température T_f, le fluide recevant de la chaleur de la source froide (Q_f > 0).

    Résultat

    $$\text{Le cycle est parcouru dans le sens trigonomeˊtrique (anti-horaire).}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question