Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 TSI 2022 (page 4/4 : Partie IV)

À l'instant initial t = 0, la barre est immobile (v(0) = 0). Sous l'action de la force motrice constante \vec{F} = F \vec{e}_x, elle accélère et se met en mouvement dans le sens des x croissants (v(t) > 0).

Le déplacement de la tige modifie la surface du circuit, ce qui fait varier le flux du champ magnétique \vec{B} à travers le circuit. D'après les lois de l'induction (loi de Lenz) :

• cette variation de flux donne naissance à un courant induit ;
• ce courant induit subit, dans le champ magnétique \vec{B}, une force de Laplace \vec{F}_{\mathrm{L}} qui s'oppose au mouvement de la tige (rôle modérateur). Cette force agit comme une force de frottement fluide, de sens opposé à la vitesse et dont la norme augmente avec la vitesse.

Ainsi, au cours du temps :

• tant que F > \|\vec{F}_{\mathrm{L}}\|, l'accélération reste positive mais diminue progressivement au fur et à mesure que la vitesse augmente ;
• la force de Laplace finit par compenser exactement la force appliquée \vec{F} lorsque l'accélération s'annule.

La force de Laplace élémentaire subie par un élément rectiligne de conducteur \mathrm{d}\vec{\ell}, parcouru par un courant d'intensité i et plongé dans un champ magnétique \vec{B}, s'écrit :

Le conducteur MN étant rectiligne et le champ magnétique \vec{B} uniforme, la force totale s'obtient par intégration le long du segment orienté de M vers N :

D'après la figure A, les extrémités de la tige sont repérées le long de l'axe (Oy), avec N sur le rail supérieur et M sur le rail inférieur distants de L, soit :

Le champ magnétique étant \vec{B} = B\,\vec{e}_z, on a :

Comme (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) forme une base orthonormée directe, \vec{e}_y \wedge \vec{e}_z = \vec{e}_x, d'où :

en convenant que le courant algébrique i circule dans la tige du point M vers le point N.

La tige se déplace vers la droite sous l'action de la force extérieure \vec{F} = F\vec{e}_x (vitesse \vec{v} = v\vec{e}_x avec v > 0).

• Force de Laplace \vec{F}_{\mathrm{L}} : d'après la loi de Lenz, les effets induits s'opposent à la cause qui leur donne naissance (le mouvement de la tige). La force de Laplace est donc une force de freinage dirigée vers la gauche :

  \vec{F}_{\mathrm{L}} \text{ est dirigée selon } -\vec{e}_x.
• Courant induit i(t) : la force de Laplace s'écrit \vec{F}_{\mathrm{L}} = i\,\vec{MN}\wedge\vec{B}. Comme \vec{B} = B\vec{e}_z pointe vers le lecteur et que \vec{F}_{\mathrm{L}} est dirigée selon -\vec{e}_x, le courant circule de N vers M dans la tige (soit un parcours dans le sens horaire dans le circuit).
• Force électromotrice e(t) : la tige mobile en mouvement joue le rôle d'un générateur alimentant le conducteur ohmique R. En convention générateur, la flèche représentant la force électromotrice e(t) est orientée dans le même sens que le courant débité, c'est-à-dire de N vers M.

On complète ainsi le schéma de la figure A du document réponse :

Orientons le contour fermé dans le sens trigonométrique (sens direct dans le plan (xOy)). D'après la règle de la main droite, le vecteur normal unitaire à la surface s'écrit :

À un instant t, la position de la barre est repérée par son abscisse x(t). En prenant l'origine de l'abscisse au niveau du conducteur ohmique fixe, l'aire de la spire rectangulaire vaut :

Le champ magnétique \vec{B} = B\,\vec{e}_z étant uniforme et stationnaire, le flux magnétique à travers le circuit orienté s'écrit :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite e(t) s'obtient par dérivation du flux :

Sachant que la vitesse de la barre est v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}, on obtient :

Remarque (méthode équivalente par le champ de Lorentz) :
Les porteurs de charge dans la tige se déplacent à la vitesse \vec{v} = v(t)\,\vec{e}_x. Ils subissent le champ électromoteur de Lorentz :

La circulation de \vec{E}_{\mathrm{m}} le long de la barre mobile de M à N (\mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}y\,\vec{e}_y) donne directement :

Le circuit fermé est modélisé par une maille indéformable à chaque instant contenant la force électromotrice induite e(t) et la résistance électrique totale R. Tout phénomène d'auto-induction étant négligé (L_{\text{auto}}\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} \approx 0), la loi des mailles s'écrit directement :

soit :

En introduisant l'expression établie à la question Q44 (e(t) = -BLv(t)), on en déduit l'intensité algébrique du courant :

On étudie la barre conductrice MN de masse m, assimilée à un point matériel en translation le long de l'axe (Ox), dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

La barre est soumise aux actions mécaniques suivantes :

• la force constante appliquée par l'opérateur : \vec{F} = F\,\vec{e}_x ;
• la force de Laplace, d'expression algébrique établie à la question Q42 : \vec{F}_{\mathrm{L}} = i(t)LB\,\vec{e}_x ;
• le poids de la tige et la réaction normale des rails, dont la somme est orthogonale à l'axe (Ox) (les frottements étant négligés).

D'après le principe fondamental de la dynamique :

En projetant cette relation vectorielle sur le vecteur unitaire \vec{e}_x, on obtient l'équation mécanique du système :

D'après l'équation électrique obtenue à la question Q45 (utilisant la f.é.m. d'induction de la question Q44), l'intensité algébrique du courant s'exprime en fonction de la vitesse v(t) par :

En injectant cette relation dans l'équation différentielle du mouvement obtenue à la question Q46 :

on obtient :

Soit, en réarrangeant sous forme canonique :

ou sous la forme équivalente :

D'après la question Q47, l'équation différentielle régissant la vitesse v(t) s'écrit :

Par homogénéité, tous les termes d'une équation physique ont la même dimension. En comparant le premier et le deuxième membre du côté gauche :

Or, la dérivée par rapport au temps introduit l'inverse d'une durée :

On en déduit donc immédiatement :

En prenant l'inverse de cette grandeur :

La grandeur \dfrac{Rm}{B^2 L^2} a la dimension d'un temps (son unité dans le Système international est la seconde, \text{s}).

D'après les questions Q47 et Q48, la vitesse v(t) vérifie l'équation différentielle du premier ordre :

La solution générale s'écrit comme la somme de la solution de l'équation homogène et d'une solution particulière constante :

où v_{\lim} est la vitesse limite obtenue pour \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0 :

La tige étant initialement au repos (v(0) = 0), on en déduit :

L'expression temporelle de la vitesse est donc :

Comparaison avec la prédiction de la question Q41 :

• La vitesse part de zéro, croît continûment et tend vers une vitesse limite finie v_{\lim} = \dfrac{FR}{B^2 L^2} pour t \gg \tau.
• Ce résultat confirme rigoureusement l'analyse qualitative : sous l'action de la force motrice \vec{F}, la barre accélère, induisant une force de Laplace de freinage croissante proportionnelle à la vitesse, jusqu'à ce que les deux forces se compensent exactement en régime permanent.

La puissance développée par la force de Laplace \vec{F}_{\mathrm{L}} s'exerçant sur la tige mobile animée de la vitesse \vec{v}(t) = v(t)\,\vec{e}_x dans le référentiel d'étude est donnée par la définition générale d'une puissance mécanique :

D'après le résultat de la question Q42, la force de Laplace s'écrit \vec{F}_{\mathrm{L}} = i(t)LB\,\vec{e}_x. On en déduit directement :

En utilisant l'expression de la force électromotrice induite e(t) = -BLv(t) établie à la question Q44, cette puissance s'écrit également :

De plus, en substituant le courant induit i(t) = -\dfrac{BL}{R}v(t) obtenu à la question Q45, elle s'exprime en fonction de la seule vitesse sous la forme :

La puissance dissipée par effet Joule dans la résistance R du circuit s'écrit conventionnellement :

D'après l'équation électrique établie à la question Q45 et l'expression de la force électromotrice de la question Q44 :

En substituant cette relation, on obtient :

D'après le résultat de la question Q50, la puissance développée par la force de Laplace s'écrit \mathcal{P}_{\mathrm{L}} = i(t) L B v(t). On en déduit immédiatement :

Interprétation :

• La force de Laplace est résistive (\mathcal{P}_{\mathrm{L}} \le 0) : elle prélève de la puissance mécanique au mouvement de la barre (-\mathcal{P}_{\mathrm{L}} \ge 0).
• L'auto-induction étant négligée, aucune énergie magnétique n'est stockée dans le circuit (\frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{mag}}}{\mathrm{d}t} = 0).
• Par conséquent, la totalité de la puissance mécanique prélevée par la force de Laplace est intégralement et instantanément convertie en puissance électrique par phénomène d'induction de Lorentz, puis dissipée sous forme thermique par effet Joule dans le conducteur : la force de Laplace assure un couplage électromécanique parfait.

La barre conductrice est animée d'un mouvement de translation rectiligne selon l'axe (Ox) à la vitesse :

L'opérateur extérieur exerce sur la barre la force :

Par définition, la puissance mécanique fournie par cet opérateur à la tige est le produit scalaire de la force appliquée par la vitesse du point d'application :

D'où l'expression recherchée :

D'après la question Q46, l'équation du mouvement de la tige s'écrit :

En multipliant cette relation par la vitesse scalaire v(t), on obtient le théorème de la puissance mécanique :

En identifiant les termes grâce aux questions Q50, Q51 et Q52 :

• m\,v(t)\,\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}m\,v(t)^2\right) = \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t}, dérivée temporelle de l'énergie cinétique de la barre ;
• F\,v(t) = \mathcal{P}_{\mathrm{op}}, puissance mécanique fournie par l'opérateur extérieur ;
• i(t)\,L\,B\,v(t) = \mathcal{P}_{\mathrm{L}} = -\mathcal{P}_{\mathrm{J}}, opposé de la puissance dissipée par effet Joule dans le circuit.

Le bilan de puissance s'écrit donc :

ou, sous forme équivalente, \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t} = \mathcal{P}_{\mathrm{op}} - \mathcal{P}_{\mathrm{J}}.

Interprétation physique des termes :

• \mathcal{P}_{\mathrm{op}} = F\,v(t) est la puissance mécanique injectée dans le système par l'opérateur extérieur (source motrice).
• \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t} représente la fraction de cette puissance stockée sous forme d'énergie cinétique pour accélérer la tige pendant le régime transitoire.
• \mathcal{P}_{\mathrm{J}} = R\,i(t)^2 est la puissance électrique dissipée par effet Joule (ou délivrée à la charge électrique modélisée par R).