Corrigé détaillé Mines Physique 1 PSI 2025 (page 2/2 : Partie III)

1. Direction du champ magnétique \vec{B}(M) :

Considérons le point M(r, \theta, z) repéré en coordonnées cylindriques de base locale (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_z).

• Le plan \Pi_s = (M, \vec{e}_r, \vec{e}_z), qui contient l'axe du fil (Oz) et le point M, est un plan de symétrie pour la distribution de courant : la réflexion plane par rapport à \Pi_s laisse le fil invariant et conserve le vecteur densité de courant \vec{\jmath} = j(r)\,\vec{e}_z.

• Le champ magnétique \vec{B} étant un pseudo-vecteur (vecteur axial), en tout point M appartenant à un plan de symétrie des courants \Pi_s, le champ magnétique est orthogonal à ce plan :

  \vec{B}(M) \perp \Pi_s \iff \vec{B}(M) = B_\theta(M)\,\vec{e}_\theta

Le champ magnétique \vec{B}(M) est donc orthoradial, c'est-à-dire dirigé selon le vecteur unitaire \vec{e}_\theta.

2. Invariances et dépendance spatiale :

• Le fil étant supposé infini, la distribution de courant est invariante par toute translation selon (Oz) : le champ ne dépend pas de z.
• La distribution présente une invariance par rotation autour de l'axe (Oz) (symétrie axiale) : le champ ne dépend pas de \theta.

Le champ magnétique ne dépend donc que de la distance radiale r :

3. Projection de \vec{B} sur la base locale cylindrique :

Appliquons le théorème d'Ampère sur un contour circulaire \mathcal{C} d'axe (Oz), de rayon r, passant par M et orienté selon \vec{e}_\theta :

Le contour \mathcal{C} enlace le fil orienté par le courant I dans le sens de \vec{e}_z. D'après la règle du tire-bouchon de Maxwell, le courant algébrique enlacé est I_{\text{enl}} = +I. Le théorème d'Ampère s'écrit :

La projection du champ magnétique \vec{B} sur la base locale cylindrique s'écrit donc :

Le projectile effectue un mouvement de translation rectiligne uniformément accéléré selon l'axe du canon, avec une accélération a constante et une vitesse initiale nulle au départ en x(0) = 0 :

À la date t = \Delta t, le projectile atteint la sortie du canon en x(\Delta t) = \ell, d'où :

À cet instant, la vitesse de sortie est v_s = a \Delta t = \sqrt{2 a \ell}, ce qui correspond à l'impulsion p_s = m v_s = m \sqrt{2 a \ell}. On en déduit l'expression de l'accélération a :

Calculons numériquement l'accélération avec m = 50\text{ g} = 5{,}0 \times 10^{-2}\text{ kg}, \ell = 25\text{ m} et p_s = 10\text{ kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1} :

(soit une durée de tir de \Delta t = \sqrt{\frac{50}{800}} = 0{,}25\text{ s}).

Pour un tir incliné d'un angle \alpha par rapport à l'horizontale, la composante du poids selon l'axe du tir est m g \sin\alpha \le m g. Or, avec g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

L'accélération imposée par la force motrice étant près de deux ordres de grandeur supérieure à l'accélération de la pesanteur, il est parfaitement légitime de négliger le poids du projectile devant la force motrice lors de la phase de propulsion.

La force de Laplace élémentaire subie par un élément de conducteur filiforme \mathrm{d}\vec{\ell}, parcouru par un courant d'intensité I et plongé dans un champ magnétique extérieur \vec{B}, s'écrit :

Pour un conducteur filiforme orienté dans le sens du courant, la force totale est :

Pour un barreau rectiligne de vecteur longueur \vec{d} reliant les deux rails dans un champ uniforme \vec{B}, cette expression devient :

Appliquons le principe fondamental de la dynamique au projectile de masse m dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. En négligeant les frottements et le poids (justifié à la question Q16), la force propulsive est uniquement la force de Laplace :

En norme, la force propulsive vérifie :

où \theta désigne l'angle entre le vecteur longueur \vec{d} (porté par l'axe transversal reliant les deux rails) et le champ magnétique \vec{B}.

Pour obtenir l'accélération a souhaitée avec une intensité de champ magnétique minimale B_0, il faut maximiser la force de Laplace pour un champ donné. Il convient donc de choisir :

1. un champ \vec{B} orthogonal à la tige transversale (\sin\theta = 1) ;
2. un champ \vec{B} orthogonal à la direction des rails, de sorte que la force \vec{F}_L = I\,\vec{d}\wedge\vec{B} soit entièrement colinéaire à l'axe du canon (direction de l'accélération \vec{a}).

Sous ces conditions optimales, m a = I d B_0, ce qui donne :

D'après la question Q15, le champ magnétique créé par un fil infini rectiligne parcouru par un courant I à une distance r a pour norme :

À la distance r = \frac{d}{2} correspondant à la position du projectile, ce champ vaut :

Or, d'après la question Q17, l'intensité minimale du champ magnétique nécessaire pour communiquer l'accélération a au projectile est :

En égalant ces deux expressions, l'écartement d des rails se simplifie :

Le courant électrique minimal nécessaire est donc :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé et le résultat de la question Q16 (a = 8{,}0 \times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}) :

• m = 50\text{ g} = 5{,}0 \times 10^{-2}\text{ kg} ;
• a = 8{,}0 \times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• \mu_0 = 1{,}3 \times 10^{-6}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1} ;
• \pi \simeq 3{,}14.

On calcule :

D'où :

(En prenant la valeur exacte \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}, le facteur \pi se simplifie rigoureusement et donne I = \sqrt{10^8} = 1{,}0 \times 10^4\text{ A} = 10\text{ kA}).

L'énergie cinétique emportée par le projectile à sa sortie du canon s'exprime en fonction de son impulsion p_s = m v_s :

Pendant la durée \Delta t du tir, le courant I circule dans le circuit de résistance R. L'énergie électrique consommée (dominée par l'effet Joule) est :

D'après la question Q18, le courant minimal vaut I^2 = \dfrac{\pi m a}{\mu_0}. Par ailleurs, pour un mouvement rectiligne uniformément accéléré sans vitesse initiale (question Q16), la vitesse finale est v_s = a \Delta t = \dfrac{p_s}{m}, d'où :

L'énergie électrique s'écrit donc :

Le rendement de propulsion est alors :

On identifie directement l'expression sous la forme \eta = \dfrac{R_u}{R} avec :

Conclusion :
La résistance réelle R d'un circuit constitué de deux rails de 25\text{ m} et des contacts glissants est au minimum de l'ordre de quelques milliohms à quelques centièmes d'ohm (R \gtrsim 10^{-3} \text{ à } 10^{-2}\ \Omega). Avec une résistance utile de l'ordre de R_u \simeq 10^{-7}\ \Omega, le rendement propulsif est extrêmement faible :

La quasi-totalité de l'énergie électrique fournie est dissipée par effet Joule. Le canon électromagnétique impose donc de stocker une énergie colossale et pose des défis majeurs d'échauffement thermique et de dégradation des rails.

La loi de Faraday stipule que la force électromotrice induite e apparaissant dans un circuit fermé orienté \Gamma, bordant une surface orientée S, est égale à l'opposé de la dérivée par rapport au temps du flux magnétique \Phi à travers ce contour :

avec :

la normale à la surface étant orientée selon la règle de la main droite associée au sens de parcours de \Gamma.

On distingue traditionnellement :

• l'induction de Neumann : le contour est géométriquement fixe dans le référentiel d'étude, mais le champ magnétique varie dans le temps (\partial\vec{B}/\partial t \neq \vec{0}). La f.é.m. provient de la circulation du champ électrique induit :

  e_{\text{Neumann}} = -\iint_S \frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\vec{S}

• l'induction de Lorentz : le champ magnétique est stationnaire (\partial\vec{B}/\partial t = \vec{0}), mais le circuit se déplace ou se déforme à une vitesse \vec{v}. La f.é.m. provient de l'action de la force magnétique de Lorentz sur les porteurs de charge :

  e_{\text{Lorentz}} = \oint_\Gamma (\vec{v}\wedge\vec{B})\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}

Dans le cas de la figure 7 :

• Le projectile se déplace à la vitesse \vec{v} = \dot{X}\,\vec{e}_x, ce qui entraîne une déformation temporelle du contour du circuit (dont l'aire augmente au fur et à mesure que X(t) croît) : il s'agit d'une induction de Lorentz.
• Le courant I(t) traversant le circuit n'est pas constant : il varie au cours de la propulsion. Le champ magnétique \vec{B} qu'il engendre dépend donc explicitement du temps (\partial\vec{B}/\partial t \neq \vec{0}), ce qui correspond à une induction de Neumann.

Cette distinction montre que les deux situations sont présentes simultanément : il y a coexistence d'une induction de Lorentz et d'une induction de Neumann. La loi de Faraday globale e = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} prend naturellement en compte ces deux effets sans qu'il soit nécessaire de les dissocier.

Orientons le contour fermé du circuit dans le sens du courant I(t) issu de la borne positive du générateur de tension continue E_0.

Le flux magnétique total à travers le circuit se réduit ici à son flux propre :

D'après la loi de Faraday (rappelée à la question Q20), la force électromotrice induite dans la maille s'écrit :

La loi des mailles appliquée au circuit fermé (constitué du générateur, des rails et du projectile de résistance totale R(X)) donne :

En développant la dérivée du produit, sachant que X dépend du temps :

On obtient ainsi l'équation électrique différentielle régissant le système :

Le projectile ferme la ligne conductrice à l'abscisse X(t). Lors d'un déplacement infinitésimal \mathrm{d}X pendant la durée \mathrm{d}t, la surface du circuit augmente et le barreau coupe les lignes de champ magnétique. D'après le théorème de Maxwell, le travail élémentaire des forces de Laplace s'écrit :

où \mathrm{d}\Phi_c est le flux coupé par le conducteur mobile. Le flux propre à travers le circuit étant \Phi = L(X) I(t), la variation de flux liée au seul mouvement géométrique du contour (à courant fixé) vaut :

Ce travail mécanique s'exprime également à partir de la force propulsive \vec{F} = F\,\vec{e}_x :

Par identification, on obtient bien l'expression imposée par l'énoncé :

Établissons à présent l'équation mécanique du mouvement :

• Système : projectile de masse m, assimilé à un point matériel d'abscisse X(t).
• Référentiel : référentiel du laboratoire (terrestre), supposé galiléen, muni de la base cartésienne (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z).

• Bilan des forces :

  • le poids est négligé conformément aux hypothèses ;
  • les frottements mécaniques sont négligés ;
  • l'action normale des rails de guidage compense tout mouvement selon y et z ;
  • la force propulsive de Laplace \vec{F} = F\,\vec{e}_x = I^2(t)\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}X}\vec{e}_x.

D'après le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe (Ox) :

soit finalement :

1. Réfutation de l'argument :

Le projectile agit comme un contact glissant qui court-circuite les deux rails à l'abscisse X(t). Le courant I(t) ne circule que dans la boucle fermée comprise entre le générateur (x=0) et le projectile (x=X). La portion des rails située au-delà du projectile, pour x \in [X(t), \ell], est en circuit ouvert : aucun courant ne la traverse. La résistance dépend de la longueur du domaine effectivement parcouru par le courant, c'est-à-dire X(t), et non de la longueur totale \ell des rails. L'argument est donc incorrect.

2. Justification du modèle linéaire et expression de \rho :

Chaque rail de guidage présente une section droite constante :

D'après la loi d'Ohm locale en régime quasi-stationnaire (\vec{\jmath} = \gamma \vec{E}), un tronçon de rail de longueur X présente une résistance donnée par la formule de Pouillet :

Le courant traverse successivement le rail supérieur sur la longueur X, le projectile, puis revient par le rail inférieur sur la même longueur X. En négligeant la résistance propre du projectile et celle du générateur, la résistance totale du circuit est la somme des résistances des deux rails en série :

On retrouve bien une loi linéaire de la forme R(X) = \rho X, où le coefficient de résistance linéique vaut :

1. Champ magnétique entre les rails

On modélise chaque rail comme une nappe plane de courant de hauteur h (selon l'axe Oz) et de longueur infinie selon Ox :

• On suppose le courant I uniformément réparti sur la hauteur h de chaque rail, ce qui définit une densité surfacique de courant :

  j_s = \frac{I}{h}
• L'écartement d entre les rails est supposé faible devant leur hauteur h (d \ll h), ce qui permet de négliger les effets de bord au voisinage du plan médian z = 0.
• Par invariance selon Ox et par symétrie, le champ magnétique entre les rails est dirigé selon la verticale \vec{e}_z.
• À l'instar du solénoïde infini (ou d'une ligne à rubans), les champs magnétiques créés par les deux rails de courants opposés s'additionnent constructivement dans la région interne (0 < y < d) et se compensent à l'extérieur : le champ extérieur est ainsi négligeable (B_{\text{ext}} \simeq 0).

Appliquons le théorème d'Ampère le long d'un contour rectangulaire fermé \mathcal{C} tracé dans un plan orthogonal à l'écoulement du courant (plan yOz), de hauteur H \leqslant h selon Oz, ayant un côté vertical situé entre les rails et l'autre à l'extérieur :

Le courant total enlacé par ce contour correspond au courant traversant le rail sur la hauteur H, soit :

D'après le théorème d'Ampère \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enl}} :

On en déduit l'expression du champ magnétique régnant entre les rails :

2. Déduction de \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}X}

Le circuit fermé alimenté par le générateur est constitué des rails jusqu'à l'abscisse X(t) et du projectile. Il délimite une surface plane rectangulaire d'aire S(X) = d \cdot X.

Le champ \vec{B} = B_0 \vec{e}_z étant uniforme et perpendiculaire à ce rectangle, le flux magnétique propre à travers le circuit s'écrit :

Par définition de l'inductance propre L(X), telle que \Phi = L(X) I, on identifie :

En dérivant par rapport à la position X, on obtient :

D'après la question Q22, le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe (Ox) donne :

En utilisant l'inductance linéique obtenue à la question Q24, \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}X} = \frac{\mu_0 d}{h}, on obtient :

D'après la question Q21, la loi des mailles s'écrit :

Avec R(X) = \rho X (question Q23) et L(X) = \left(\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}X}\right) X, où \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}X} est constante, les deux termes inductifs se regroupent :

L'équation de la maille devient alors :

En divisant cette relation par la résistance linéique \rho = \frac{2}{\gamma h e}, on met l'équation sous la forme imposée par l'énoncé :

avec :

et :

Dimension et interprétation physique de \tau :

• Dans l'équation différentielle, le terme X(t)I(t) a la dimension d'une longueur multipliée par une intensité ([XI] = \mathrm{L}\cdot\mathrm{I}), tandis que la parenthèse \left[I\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t} + X\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\right] = \frac{\mathrm{d}(XI)}{\mathrm{d}t} a la dimension \mathrm{L}\cdot\mathrm{I}\cdot\mathrm{T}^{-1}. Par conséquent, \tau est homogène à un temps :

  \boxed{[\tau] = \mathrm{T}}
• Physiquement, \tau s'écrit \tau = \frac{L(X)}{R(X)}. C'est le temps de réponse inductif (ou constante de temps L/R) du circuit. Bien que la résistance et l'inductance du circuit croissent toutes deux linéairement avec l'avancement X(t) du projectile, leur rapport reste rigoureusement constant au cours du mouvement. \tau mesure le temps caractéristique d'établissement du flux magnétique et du courant dans la boucle.