Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie TSI 2020 (page 4/4 : Parties III et IV)

D'après le document 7, l'éthylène glycol est totalement miscible à l'eau et peu volatil : il se disperse ainsi préférentiellement dans les eaux de surface et souterraines (ruissellement des zones aéroportuaires, rejets industriels).

Dans ces milieux, sa dégradation rapide par des microorganismes s'accompagne d'une forte consommation de dioxygène dissous (demande biochimique en oxygène élevée), conduisant à une hypoxie voire une anoxie des eaux réceptrices, létale pour la faune aquatique.

Par conséquent, le milieu naturel le plus susceptible de subir les effets néfastes de l'éthylène glycol est le milieu aquatique (eaux douces de surface et eaux souterraines).

L'équation de la réaction étudiée est :

D'après la loi de Hess, l'enthalpie standard de cette réaction s'exprime en fonction des enthalpies standard de formation \Delta_{\mathrm{f}} H^\circ des réactifs et des produits :

En utilisant les valeurs du tableau des Données 2 :

• \Delta_{\mathrm{f}} H^\circ(\mathrm{C_2H_6O_2(g)}) = -392\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}
• \Delta_{\mathrm{f}} H^\circ(\mathrm{C_2H_4O(g)}) = -51{,}0\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}
• \Delta_{\mathrm{f}} H^\circ(\mathrm{H_2O(g)}) = -285\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}

On obtient :

D'après le résultat de la question précédente (Q50), l'enthalpie standard de la réaction d'hydrolyse de l'oxyde d'éthylène vaut :

L'enthalpie standard de réaction étant strictement négative, la transformation s'accompagne d'une libération d'énergie thermique vers le milieu extérieur à température et pression constantes (Q_P = \Delta H < 0).

La relation de Van 't Hoff relie la constante d'équilibre K à la température T :

Les enthalpies standard de formation étant supposées indépendantes de la température (approximation d'Ellingham), l'enthalpie standard de réaction \Delta_{\mathrm{r}}H^\circ est constante sur l'intervalle de température [T_1, T_2].

En intégrant la relation entre l'état à la température T_1 (constante K_1) et l'état à la température T_2 (constante K_2), on obtient :

En composant par la fonction exponentielle, on en déduit l'expression de la constante K_2 :

L'équation de la réaction s'écrit :

avec \Delta_{\mathrm{r}} H^\circ = -56{,}0\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} < 0 et une variation de quantité de matière gazeuse \Delta\nu_g = 1 - (1 + 1) = -1.

1. Fixation de la température à T_1 = 400\text{ K} :

   • Thermodynamique : la réaction étant exothermique (\Delta_{\mathrm{r}} H^\circ < 0), la loi de Van 't Hoff indique que la constante d'équilibre K(T) décroît avec la température. Pour maximiser le rendement à l'équilibre, il serait théoriquement souhaitable d'opérer à basse température.
   • Cinétique : d'après la loi d'Arrhenius, la vitesse de réaction augmente fortement avec la température. Une température trop basse conduirait à une cinétique excessivement lente et non rentable à l'échelle industrielle.
   • Bilan : la valeur T_1 = 400\text{ K} constitue un excellent compromis cinétique/thermodynamique : à cette température modérée, la vitesse est convenable et la constante d'équilibre reste très élevée (K_1 = 2{,}0\cdot 10^4 \gg 1), garantissant un équilibre très déplacé vers la formation du produit.

2. Fixation de la pression à P = 15{,}0\text{ bar} :

   • Thermodynamique : le quotient réactionnel s'exprime par :

     Q_r = \frac{x_{\mathrm{C_2H_6O_2}}}{x_{\mathrm{C_2H_4O}}\,x_{\mathrm{H_2O}}}\,\frac{P^\circ}{P}

     Comme \Delta\nu_g = -1 < 0, une élévation de pression diminue Q_r à composition donnée, ce qui déplace l'équilibre dans le sens direct (principe de modération de Le Chatelier). L'augmentation de pression améliore donc le rendement en éthylène glycol.

   • Cinétique : une pression élevée augmente les pressions partielles des réactifs gazeux, donc leurs concentrations volumiques, ce qui accroît la fréquence des chocs efficaces et la vitesse de réaction.
   • Bilan : une pression de 15{,}0\text{ bar} optimise rendement et rapidité sans atteindre des pressions extrêmes nécessitant des coûts d'infrastructure trop lourds.

3. Ajout d'un catalyseur :

   • Un catalyseur accélère la cinétique de la réaction en diminuant son énergie d'activation, sans modifier ni la constante d'équilibre K, ni le bilan thermodynamique final.
   • Il permet d'atteindre l'état d'équilibre en un temps beaucoup plus court, ce qui autorise justement l'utilisation d'une température modérée (400\text{ K}) sans pénaliser la rentabilité temporelle.

4. Présence d'un grand excès d'eau :

   • Déplacement d'équilibre : l'eau étant un réactif abondant et très économique, son excès déplace l'équilibre vers la formation de l'éthylène glycol, maximisant la consommation du réactif limitant et plus coûteux, l'oxyde d'éthylène.
   • Sélectivité : l'éthylène glycol formé comporte des groupements hydroxyle réactifs et peut réagir consécutivement avec l'oxyde d'éthylène pour former des polyéthers indésirables (di- et triéthylène glycol). L'excès d'eau favorise statistiquement l'attaque de l'oxyde d'éthylène par \mathrm{H_2O} plutôt que par \mathrm{C_2H_6O_2}, limitant ainsi les réactions secondaires parasites.
   • Sécurité thermique : la présence d'eau liquide/vapeur à forte capacité thermique permet également d'absorber une partie de la chaleur dégagée par cette réaction exothermique, évitant l'emballement thermique du réacteur.

Le haut-parleur électrodynamique assure la conversion d'un signal électrique en une onde acoustique selon les étapes suivantes :

1. Alimentation électrique : le générateur extérieur délivre une tension alternative qui fait circuler un courant variable i(t) dans la bobine mobile.
2. Action mécanique (conversion électromécanique) : les conducteurs de la bobine, parcourus par le courant i(t) et immergés dans le champ magnétique radial permanent \vec{B} créé par l'aimant dans l'entrefer, sont soumis à des forces de Laplace. La résultante de ces forces s'exerce selon l'axe (Oz) et varie en sens et en intensité au rythme du courant.
3. Mouvement oscillatoire : sous l'action de cette force axiale oscillante, et rappelée par la suspension et le spider, l'équipage mobile constitué par la bobine et la membrane entre en vibration selon l'axe (Oz).
4. Émission acoustique : la membrane en vibration transmet son mouvement aux couches d'air adjacentes, générant ainsi des variations locales de pression (succession de compressions et de dépressions) qui se propagent dans le milieu sous forme d'ondes sonores audibles de même fréquence que le signal électrique d'origine.

Considérons un élément de longueur d\vec{\ell} de la bobine parcouru par le courant d'intensité i(t). La force de Laplace élémentaire s'exerçant sur cet élément s'écrit :

D'après les données et la figure 11 :

• L'axe (Oz) est perpendiculaire au plan de la figure et dirigé vers l'avant (observateur) : \vec{u}_z = \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta dans la base cylindro-polaire locale (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z) où \vec{u}_\theta est orienté dans le sens trigonométrique direct (anti-horaire).
• Le champ magnétique créé dans l'entrefer est radial permanent : \vec{B} = B\,\vec{u}_r avec B > 0.

• Le courant i(t) circule dans le sens horaire selon la figure 11, d'où le vecteur déplacement élémentaire le long d'une spire de rayon a :

  d\vec{\ell} = - a\, d\theta\,\vec{u}_\theta

Le produit vectoriel s'écrit donc :

Comme \vec{u}_\theta \wedge \vec{u}_r = -\vec{u}_z, il vient :

La force élémentaire est portée par l'axe (Oz) en tout point de la spire :

La résultante des forces de Laplace sur une spire s'obtient en intégrant sur la circonférence (\theta variant de 0 à 2\pi) :

La bobine comportant N spires identiques situées dans l'entrefer où le champ a la même intensité B, la résultante totale des forces de Laplace est :

On étudie l'ensemble {bobine + membrane} modélisé par un solide ponctuel de masse m, en translation rectiligne selon l'axe (Oz), dans le référentiel lié au châssis du haut-parleur (référentiel terrestre supposé galiléen).

Les forces s'exerçant sur le système selon la direction (Oz) (l'axe (Oz) étant horizontal d'après la figure 10, le poids et les réactions normales de guidage n'ont pas de composante selon \vec{u}_z) sont :

• la force électromagnétique de Laplace (établie en Q55) :

  \vec{F}_{\mathrm{L}} = 2\pi N a B \, i(t) \, \vec{u}_z

• la force de rappel élastique exercée par le spider et la suspension :

  \vec{F}_e = -k z(t) \, \vec{u}_z

• la force de frottement visqueux due à l'air :

  \vec{F} = -f \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} \, \vec{u}_z

D'après le principe fondamental de la dynamique :

En projetant sur l'axe (Oz) selon le vecteur unitaire \vec{u}_z, il vient :

En regroupant les termes dépendant du déplacement z(t) dans le membre de gauche, on obtient l'équation mécanique régissant le mouvement de la membrane :

D'après la question Q55, la résultante des forces de Laplace s'exerçant sur la bobine mobile s'écrit :

La bobine étant animée d'un mouvement de translation rectiligne selon (Oz) de vitesse \vec{v}(t) = v(t) \, \vec{u}_z, la puissance mécanique développée par les forces de Laplace est :

La puissance électrique cédée au circuit mécanique par la force électromotrice induite (considérée ici comme une force contre-électromotrice) s'écrit :

L'énoncé précisant que la puissance des forces de Laplace et celle de la force électromotrice induite se compensent exactement, on a :

Cette relation étant vérifiée pour toute valeur non nulle de l'intensité i(t), on en déduit :

Le circuit électrique de la bobine mobile comprend en série :

• le générateur extérieur imposant la tension u(t) ;
• la résistance interne du bobinage R ;
• l'inductance propre du bobinage L ;
• la source liée à la force électromotrice d'induction e(t).

D'après le résultat de la question Q57, la puissance cédée par les forces de Laplace à la partie mécanique s'écrit \mathcal{P}_{\text{L}} = e(t)\, i(t). En vertu de la conservation de l'énergie, cette puissance mécanique provient d'une puissance électrique reçue par le couplage ; e(t) s'oppose donc à la circulation du courant i(t) : il s'agit d'une force contre-électromotrice (f.c.é.m.).

On en déduit le schéma électrique équivalent :

D'après le schéma équivalent du circuit mobile (établi à la question Q58), le circuit est une maille fermée en série constituée de la source de tension extérieure u(t), du conducteur ohmique de résistance R, de la bobine d'auto-inductance L et du dipôle modélisant l'induction électromécanique.

En orientant la maille dans le sens du courant i(t), la force électromotrice induite e(t) s'oppose à la cause qui lui donne naissance (loi de Lenz) et se comporte comme une force contre-électromotrice (tension aux bornes égale à +e(t) en convention récepteur). La loi des mailles s'écrit alors :

avec u_R(t) = R\,i(t) et u_L(t) = L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}.

En utilisant l'expression de la f.e.m. induite obtenue à la question Q57, e(t) = 2\pi N a B\, v(t) = 2\pi N a B\,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}, on obtient l'équation électrique différentielle du système, notée (8) :

En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, on associe aux grandeurs réelles u(t), i(t), z(t) et à la vitesse axiale v(t) = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} les grandeurs complexes \underline{u}, \underline{i}, \underline{z} et \underline{v} = j\omega \underline{z}, avec l'opérateur différentiel \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \leftrightarrow j\omega.

1. Équation mécanique en notation complexe :

D'après la question Q56, l'équation mécanique (7) s'écrit :

En notation complexe, en exprimant z et sa dérivée seconde à l'aide de la vitesse complexe \underline{v} = j\omega \underline{z} (soit \underline{z} = \frac{\underline{v}}{j\omega} et \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} \leftrightarrow j\omega \underline{v}) :

On en déduit l'expression de la vitesse complexe :

2. Équation électrique en notation complexe et impédance totale :

D'après la question Q59, l'équation électrique (8) s'écrit :

En notation complexe, elle devient :

En remplaçant \underline{v} par son expression issue de l'équation mécanique :

En factorisant par \underline{i}, l'impédance totale \underline{Z} = \frac{\underline{u}}{\underline{i}} s'exprime donc sous la forme :

Le domaine des fréquences audibles pour l'oreille humaine s'étend sur trois décades, typiquement de 20\text{ Hz} à 20\text{ kHz}. Un haut-parleur unique ne peut pas restituer fidèlement l'ensemble de ce spectre pour des raisons mécaniques, électriques et acoustiques :

• Dans les basses fréquences (graves) : les longueurs d'onde acoustiques sont grandes ; pour rayonner une puissance acoustique suffisante, il est nécessaire de déplacer un volume d'air important. Cela requiert une membrane de grande surface et une élongation importante. L'équipage mobile présente alors une masse m non négligeable.
• Dans les hautes fréquences (aigus) : l'effet de l'inertie devient prépondérant (terme m\omega dans l'impédance mécanique) et l'impédance électrique de la bobine (L\omega) limite le courant i(t). Pour obtenir de fortes accélérations sans distorsion et sans atténuation, il est indispensable de disposer d'une membrane très petite et très légère (faible masse m). De plus, une grande membrane deviendrait excessivement directive pour les courtes longueurs d'onde.

L'association de plusieurs haut-parleurs spécialisés au sein d'une enceinte (typiquement un haut-parleur de graves à grand diamètre, un médium et un haut-parleur d'aigus à très faible inertie), couplés à des filtres électriques séparateurs (filtre passif ou actif) :