Feuille d'entraînement : Approche énergétique et oscillateurs mécaniques

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie TSI 2025, Q1

   Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le poids \vec{P} = m\vec{g} est une force uniforme. Le travail du poids lors du déplacement de l'enfant du point \text{A} au point \text{B} ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement des altitudes initiale z_\text{A} = H et finale z_\text{B} = h :

   W_{\vec{P}} = \int_{\text{A}}^{\text{B}} \vec{P} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = m g (z_\text{A} - z_\text{B}) = m g (H - h)

   Application numérique avec m = 50\text{ kg}, g = 10\text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}, H = 21,0\text{ m} et h = 1,0\text{ m} :

   W_{\vec{P}} = 50 \times 10 \times (21,0 - 1,0) = 1,0 \cdot 10^4\text{ J}

   \boxed{W_{\vec{P}} = m g (H - h) = 1,0 \cdot 10^4\text{ J} = 10\text{ kJ}}

   Résultat

   $$W_{\vec{P}}=mg(H-h)=1,0\cdot 10^4\text{ J}=10\text{ kJ}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie TSI 2025, Q2

   Énoncé du théorème de l'énergie cinétique :
   Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un point matériel entre deux positions A et B est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures appliquées à ce point matériel entre ces deux positions :

   \Delta E_c = E_c(B) - E_c(A) = \sum W_{A \to B}(\vec{F}_{\text{ext}})

   Application à l'enfant :

   • Système : enfant modélisé par le point matériel \text{M} de masse m.
   • Référentiel : terrestre, supposé galiléen.

   • Bilan des forces :

     • le poids \vec{P} ;
     • la réaction normale de la piste \vec{R}_N, orthogonale à tout instant au déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{\ell} (glissade sans frottement), d'où un travail nul : W_{A \to B}(\vec{R}_N) = 0.

   L'enfant partant sans vitesse initiale depuis le point A, on a v_A = 0, soit E_c(A) = 0. Au point B, son énergie cinétique s'écrit E_c(B) = \frac{1}{2} m v_{B\_{sans\_frottement}}^2.

   En appliquant le théorème de l'énergie cinétique entre A et B et en utilisant l'expression du travail du poids établie à la question Q1 :

   \begin{aligned} \frac{1}{2} m v_{B\_{sans\_frottement}}^2 - 0 &= W_{A \to B}(\vec{P}) + W_{A \to B}(\vec{R}_N) \\ \frac{1}{2} m v_{B\_{sans\_frottement}}^2 &= m g (H - h) \end{aligned}

   On en déduit l'expression de la vitesse atteinte au point B :

   \boxed{v_{B\_{sans\_frottement}} = \sqrt{2g(H - h)}}

   Résultat

   $$v_{B\_sans\_frottement}=\sqrt{2g(H-h)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2025, Q35

   On étudie le train modélisé par le point matériel M de masse m dans le référentiel terrestre, supposé galiléen.

   Le système est soumis à deux forces :

   • son poids \vec{P} = m\vec{g} = mg\cos\theta\,\vec{e}_r - mg\sin\theta\,\vec{e}_\theta ;
   • l'action normale des rails \vec{R} = R_r\,\vec{e}_r, qui est purement radiale puisque les frottements sont négligés.

   D'après le principe fondamental de la dynamique :

   m\vec{a} = \vec{P} + \vec{R}

   D'après le résultat de la question Q33, l'accélération orthoradiale s'écrit a_\theta = \dot{v}. Sachant que le rayon R est constant et que la vitesse scalaire vaut v = R\dot{\theta}, on a :

   a_\theta = R\ddot{\theta}

   En projetant la relation fondamentale sur le vecteur orthoradial \vec{e}_\theta :

   \begin{aligned} m R\ddot{\theta} &= -mg\sin\theta \end{aligned}

   En divisant par mR, on obtient l'équation différentielle du mouvement :

   \boxed{\ddot{\theta} + \frac{g}{R}\sin\theta = 0}

   Résolution analytique :

   • Cette équation différentielle est non linéaire en raison de la présence du terme en \sin\theta.
   • Lors du looping, le train réalise un tour complet : l'angle \theta varie de 0 à 2\pi, ce qui rend l'approximation des petits angles (\sin\theta \approx \theta) totalement invalide.
   • La résolution exacte à la main n'est pas possible de manière simple car elle fait appel aux intégrales et fonctions elliptiques, qui ne sont pas des fonctions élémentaires usuelles.

   Il n'est donc pas possible de déterminer \theta(t) analytiquement facilement à la main, ce qui motive l'utilisation d'une résolution numérique.

   Résultat

   $$\ddot{\theta }+\frac{g}{R}\sin \theta =0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2025, Q47

   L'énergie cinétique perdue par le train est intégralement dissipée par effet Joule (sous forme d'énergie thermique) dans les spires conductrices en cuivre du stator.

   Pour le justifier, établissons le bilan de puissance instantané :

   • Puissance mécanique reçue par le train :
     Le théorème de la puissance cinétique appliqué au train dans le référentiel d'étude galiléen s'écrit :

     \frac{\mathrm{d}E_c}{\mathrm{d}t} = \vec{F}_{\text{spires}\to\text{train}} \cdot \vec{v}

     D'après la question Q46, la force de freinage totale vaut \vec{F}_{\text{spires}\to\text{train}} = - N \alpha v \vec{e}_x, d'où :

     \frac{\mathrm{d}E_c}{\mathrm{d}t} = - N \alpha v^2 = - N \frac{B^2 \ell^2}{R} v^2 < 0

   • Puissance dissipée par effet Joule dans les spires :
     À chaque instant, N spires sont en interaction avec les N aimants. D'après les questions Q43 et Q44, chacune de ces spires est parcourue par un courant d'intensité i vérifiant i^2 = \left(\frac{B \ell v}{R}\right)^2. La puissance totale dissipée par effet Joule dans l'ensemble des N spires est donc :

     \mathcal{P}_J = \sum_{k=1}^N R\,i_k^2 = N R \left(\frac{B \ell v}{R}\right)^2 = N \frac{B^2 \ell^2}{R} v^2 = N \alpha v^2

   En comparant ces deux expressions, on obtient la relation instantanée :

   \frac{\mathrm{d}E_c}{\mathrm{d}t} + \mathcal{P}_J = 0 \iff -\frac{\mathrm{d}E_c}{\mathrm{d}t} = \mathcal{P}_J

   Par intégration entre l'instant initial t=0 et un instant t quelconque, la variation d'énergie cinétique \Delta E_c = E_c(t) - E_c(0) est directement reliée à l'énergie dissipée par effet Joule E_J :

   \boxed{|\Delta E_c| = - \Delta E_c = E_J = \int_0^t \mathcal{P}_J(t')\,\mathrm{d}t'}

   La diminution d'énergie cinétique du train est donc rigoureusement égale à l'énergie thermique créée par effet Joule dans les spires du stator.

   Résultat

   $$|\Delta E_c|=-\Delta E_c=E_J={\int }_0^t{\mathcal{P}}_J(t^{\prime })\mathrm{d}{t}^{\prime }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q1

   Pour un système de masse m animé d'un mouvement de translation à la vitesse v_A dans le référentiel d'étude martien, l'énergie cinétique s'écrit :

   \boxed{E_c(A) = \frac{1}{2} m v_A^2}

   Résultat

   $$E_c(A)=\frac{1}{2}m{v}_A^2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q4

   Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un point matériel (ou d'un solide indéformable en translation) entre deux positions A et B est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures appliquées à ce système entre ces deux positions :

   \boxed{\Delta E_{\mathrm{c}} = E_{\mathrm{c}}(B) - E_{\mathrm{c}}(A) = \sum W_{AB}(\vec{F}_{\mathrm{ext}})}

   Résultat

   $$\Delta E_{\mathrm{c}}=E_{\mathrm{c}}(B)-E_{\mathrm{c}}(A)=\sum W_{AB}({\vec{F}}_{\mathrm{ext}})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q6

   Le travail du poids calculé à la question précédente est strictement positif :

   W_{AB}(\vec{P}) > 0

   Par conséquent, ce travail est qualifié de moteur.

   \boxed{\text{Le travail du poids est moteur car } W_{AB}(\vec{P}) > 0.}

   Résultat

   $$\text{Le travail du poids est moteur car }{W}_{AB}(\vec{P})>0.$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie TSI 2022, Q8

   On étudie le système constitué par le voilier (ou l'ensemble de la charge suspendue) de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

   On repère l'altitude suivant un axe vertical (Oz) orienté vers le haut, dont l'origine z = 0 est prise au niveau de la surface de l'eau. Le bas de la quille se trouve initialement sans vitesse à l'altitude z_i = H = 10\text{ m}.

   Le treuil étant débrayé et les frottements négligés, le système est uniquement soumis à son poids \vec{P} = -m g \vec{u}_z, qui dérive de l'énergie potentielle de pesanteur :

   E_{pp}(z) = m g z \quad (\text{en choisissant } E_{pp}(0) = 0)

   Le poids étant une force conservative et aucune autre force n'intervenant, l'énergie mécanique E_m = E_c + E_{pp} se conserve au cours de la chute :

   \Delta E_m = 0 \iff E_m(z = 0) = E_m(z = H)

   En développant avec v_i = 0 et v_f = v :

   \begin{aligned} \frac{1}{2} m v^2 + 0 &= 0 + m g H \\ v^2 &= 2 g H \end{aligned}

   On en déduit l'expression littérale de la vitesse d'impact :

   \boxed{v = \sqrt{2 g H}}

   Application numérique :

   v = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

   Résultat

   $$v=\sqrt{2gH}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2022, Q53

   D'après la question Q46, l'équation du mouvement de la tige s'écrit :

   m\,\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} = F + i(t)\,L\,B

   En multipliant cette relation par la vitesse scalaire v(t), on obtient le théorème de la puissance mécanique :

   m\,v(t)\,\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} = F\,v(t) + i(t)\,L\,B\,v(t)

   En identifiant les termes grâce aux questions Q50, Q51 et Q52 :

   • m\,v(t)\,\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}m\,v(t)^2\right) = \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t}, dérivée temporelle de l'énergie cinétique de la barre ;
   • F\,v(t) = \mathcal{P}_{\mathrm{op}}, puissance mécanique fournie par l'opérateur extérieur ;
   • i(t)\,L\,B\,v(t) = \mathcal{P}_{\mathrm{L}} = -\mathcal{P}_{\mathrm{J}}, opposé de la puissance dissipée par effet Joule dans le circuit.

   Le bilan de puissance s'écrit donc :

   \boxed{\mathcal{P}_{\mathrm{op}} = \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t} + \mathcal{P}_{\mathrm{J}}}

   ou, sous forme équivalente, \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t} = \mathcal{P}_{\mathrm{op}} - \mathcal{P}_{\mathrm{J}}.

   Interprétation physique des termes :

   • \mathcal{P}_{\mathrm{op}} = F\,v(t) est la puissance mécanique injectée dans le système par l'opérateur extérieur (source motrice).
   • \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t} représente la fraction de cette puissance stockée sous forme d'énergie cinétique pour accélérer la tige pendant le régime transitoire.
   • \mathcal{P}_{\mathrm{J}} = R\,i(t)^2 est la puissance électrique dissipée par effet Joule (ou délivrée à la charge électrique modélisée par R).

   Résultat

   $${\mathcal{P}}_{\mathrm{op}}=\frac{\mathrm{d}{\mathcal{E}}_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t}+{\mathcal{P}}_{\mathrm{J}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q38

    Le référentiel d'étude lié au laboratoire est supposé galiléen. La tige, de masse m et de longueur 2\ell, effectue un mouvement de rotation pure autour de l'axe fixe \Delta avec la vitesse angulaire \dot{\theta}(t).

    Son énergie cinétique s'écrit :

    E_c = \frac{1}{2} J \dot{\theta}^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{4}{3} m\ell^2\right) \dot{\theta}^2 = \frac{2}{3} m\ell^2 \dot{\theta}^2

    D'après le résultat de la question Q37, l'énergie potentielle de pesanteur s'exprime (à une constante additive près) par :

    E_p(\theta) = -mg\ell \sin\alpha \cos\theta(t) + \text{cte}

    L'énergie mécanique totale de la tige est donc :

    E_m = E_c + E_p = \frac{2}{3} m\ell^2 \dot{\theta}^2 - mg\ell \sin\alpha \cos\theta(t) + \text{cte}

    La liaison pivot d'axe \Delta en O étant parfaite et les frottements étant négligés, la puissance des forces de liaison est nulle. Le poids étant une force conservative, le système est conservatif :

    \frac{\mathrm{d}E_m}{\mathrm{d}t} = 0

    En dérivant l'énergie mécanique par rapport au temps :

    \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}E_m}{\mathrm{d}t} &= \frac{4}{3} m\ell^2 \dot{\theta} \ddot{\theta} + mg\ell \sin\alpha \, \dot{\theta} \sin\theta = 0 \\ &= \dot{\theta} \left( \frac{4}{3} m\ell^2 \ddot{\theta} + mg\ell \sin\alpha \sin\theta \right) = 0 \end{aligned}

    Cette égalité étant vérifiée à tout instant pour un mouvement quelconque (\dot{\theta}(t) non identiquement nulle), on simplifie par \frac{4}{3} m\ell^2 \dot{\theta}, ce qui conduit directement à :

    \boxed{\ddot{\theta} + \frac{3}{4} \frac{g}{\ell} \sin\alpha \sin\theta(t) = 0}

    Résultat

    $$\ddot{\theta }+\frac{3}{4}\frac{g}{\ell }\sin \alpha \sin \theta (t)=0$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question