Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 TSI 2025 (page 3/3 : Partie D)

Les conditions optiques permettant d'obtenir un stigmatisme approché (ainsi qu'un aplanétisme approché) sont les conditions de Gauss. Elles sont au nombre de deux :

1. Rayons proches de l'axe optique : les rayons lumineux traversent le système optique au voisinage immédiat de l'axe optique (distance à l'axe très faible devant les rayons de courbure des dioptres).
2. Rayons peu inclinés par rapport à l'axe optique : les angles que font les rayons avec l'axe optique (et avec les normales aux dioptres) sont petits devant 1\text{ rad}, ce qui permet d'utiliser les approximations au premier ordre : \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta.

Ces rayons sont qualifiés de rayons paraxiaux. En pratique, ces conditions sont réalisées en diaphragmant l'instrument d'optique et en restreignant le champ d'observation.

Le train joue le rôle d'un objet réel situé à la distance D = 3\text{ m} en amont de la lentille. En orientant l'axe optique dans le sens de propagation de la lumière (de gauche à droite sur les figures 14 et 15), la position algébrique de l'objet est :

Pour que l'image formée sur le capteur soit nette, le capteur doit être situé dans le plan de l'image A', soit :

La formule de conjugaison de Descartes avec origine au centre optique s'écrit :

On en déduit l'expression littérale de la distance d :

Application numérique avec D = 3\text{ m} = 300\text{ cm} et f' = 5{,}00\text{ cm} = 0{,}0500\text{ m} :

En arrondissant à deux chiffres significatifs :

La surface totale du capteur photographique rectangulaire vaut :

Le capteur est composé de N = 24\text{ Mpixels} = 24 \times 10^6\text{ pixels} carrés de côté a disposés en matrice. En négligeant l'espace inter-pixels (facteur de remplissage proche de 1), la surface totale s'écrit :

On en déduit l'expression littérale du côté d'un pixel :

Avec les valeurs numériques fournies :

• L = 36\text{ mm} = 36 \times 10^{-3}\text{ m} ;
• \ell = 24\text{ mm} = 24 \times 10^{-3}\text{ m} ;
• N = 24 \times 10^6.

Le calcul donne :

Pendant la durée d'exposition t_{\exp}, le train se déplace à vitesse v selon une direction orthogonale à l'axe optique. La distance parcourue par le sujet est :

D'après la relation de grandissement transversal, l'image de ce point se déplace sur le capteur d'une distance :

avec, d'après les questions Q39 et l'expression du grandissement :

Si ce déplacement sur le capteur excède la taille a d'un pixel, le flux lumineux issu d'un point du sujet balaie plusieurs pixels successifs au cours de la pose : l'information spatiale est étalée, ce qui produit un flou de mouvement (ou flou de bougé).

Pour obtenir un cliché net, il faut que le déplacement de l'image n'excède pas la taille d'un pixel :

On en déduit l'expression de la durée maximale d'exposition :

Application numérique : Avec a = 6{,}0 \times 10^{-6}\text{ m}, D = 3\text{ m}, d \approx 5{,}08 \times 10^{-2}\text{ m} (soit |\gamma| = \frac{d}{D} \approx 1{,}69 \times 10^{-2}) et v = 15\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Le freinage inductif repose sur l'enchaînement de plusieurs phénomènes physiques :

1. Induction électromagnétique (loi de Faraday) : Lors du déplacement du train à la vitesse \vec{v}, les zones de champ magnétique \vec{B} créées par les aimants embarqués se déplacent par rapport aux spires conductrices fixes du stator. Le flux du champ magnétique \Phi(t) à travers chaque spire fixe varie au cours du temps, ce qui fait apparaître une force électromotrice induite :

   e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}
2. Circulation de courants induits : Les spires de cuivre étant fermées sur elles-mêmes et de résistance non nulle R, cette f.é.m. induite y fait circuler des courants induits d'intensité i(t) = \frac{e(t)}{R}.

3. Action mécanique de Laplace et loi de Lenz : Les brins des spires parcourus par ces courants induits et baignés dans le champ magnétique \vec{B} subissent des forces de Laplace :

   \mathrm{d}\vec{F}_{\text{aimant}\to\text{spire}} = i\,\mathrm{d}\vec{\ell}\wedge\vec{B}

   Par le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), le train (porteur des aimants) subit en retour la force directement opposée :

   \vec{F}_{\text{spires}\to\text{train}} = -\vec{F}_{\text{aimant}\to\text{spire}}

   D'après la loi de modération de Lenz, les effets de l'induction s'opposent aux causes qui leur ont donné naissance (le déplacement relatif du train) : cette force s'oppose à la vitesse \vec{v} du train et constitue donc une force de frottement fluide, assurant le freinage.

4. Bilan énergétique : L'énergie cinétique perdue par le train est convertie par couplage électromécanique en puissance électrique induite, intégralement dissipée sous forme thermique par effet Joule dans les spires du stator.

Considérons la spire fixe de côté \ell et l'aimant mobile se déplaçant à la vitesse \vec{v} = v\,\vec{e}_x avec v = \dot{x}. Pour 0 < x < \ell, la zone de recouvrement entre l'aimant et la spire est un rectangle de largeur x et de hauteur \ell.

On choisit le vecteur normal à la surface de la spire selon \vec{n} = \vec{e}_y (orienté vers l'avant, colinéaire et de même sens que \vec{B}). Par la règle de la main droite (avec \vec{e}_x vers la droite et \vec{e}_z vers le bas), le sens positif de parcours du contour et du courant induit i est le sens trigonométrique :

• de gauche à droite sur le brin inférieur ;
• du bas vers le haut sur le brin droit ;
• de droite à gauche sur le brin supérieur ;
• du haut vers le bas (+\vec{e}_z) sur le brin gauche.

Le champ magnétique n'étant non nul que dans la zone de recouvrement de surface S(t) = \ell\,x(t), le flux magnétique à travers la spire s'écrit :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans la spire vaut :

En négligeant l'auto-inductance de la spire (L \approx 0), la loi des mailles (ou loi d'Ohm pour le circuit induit) s'écrit, en convention générateur pour e :

ce qui donne l'équation électrique liant B, v, \ell, R et i :

Puisque le bord avant de l'aimant est à la position x avec 0 < x < \ell et que la zone de champ magnétique a pour largeur \ell, la zone occupée par le champ \vec{B} = B\,\vec{e}_y s'étend sur l'intervalle [x-\ell,\, x]. La spire, fixe entre les abscisses 0 et \ell, n'est donc baignée par le champ magnétique que sur le domaine [0,\, x].

Par conséquent, les éléments du circuit soumis à la force de Laplace \vec{\mathrm{d}F} = i\,\vec{\mathrm{d}\ell} \wedge \vec{B} sont :

• le brin vertical gauche, situé en abscisse x' = 0, entièrement immergé dans le champ sur toute sa longueur \ell ;
• les deux segments horizontaux (haut et bas), immergés entre les abscisses 0 et x ;
• le brin vertical droit, situé en x' = \ell, qui se trouve hors du champ magnétique (\vec{B} = \vec{0}) et ne subit donc aucune force.

Pour les deux segments horizontaux, les éléments de longueur sont \vec{\mathrm{d}\ell}_{\text{haut}} = -\mathrm{d}x'\,\vec{e}_x et \vec{\mathrm{d}\ell}_{\text{bas}} = \mathrm{d}x'\,\vec{e}_x. Les forces subies s'écrivent :

Ces deux forces sont opposées et se compensent parfaitement :

Sur le brin vertical gauche, avec l'orientation définie à la question Q43 (\vec{n} = \vec{e}_y), le contour est orienté selon +\vec{e}_z : \vec{\mathrm{d}\ell} = \mathrm{d}z\,\vec{e}_z. La force de Laplace exercée par l'aimant sur ce brin est :

Le trièdre (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) étant direct, on a \vec{e}_z \wedge \vec{e}_y = -\vec{e}_x. En remplaçant l'intensité par son expression obtenue à la question Q43, i = -\frac{B \ell v}{R} :

Cette force est bien de la forme annoncée \vec{F}_{\text{aimant}\to\text{spire}} = \alpha v \vec{e}_x, avec :

Pour \ell < x < 2\ell, l'aimant est en phase de sortie de la spire fixe :

• L'aimant s'étend sur l'intervalle spatial [x - \ell,\, x].
• La spire fixe s'étend sur l'intervalle spatial [0,\, \ell].

La zone de recouvrement entre la spire et le champ magnétique s'étend donc de x - \ell à \ell, soit sur une largeur \ell - (x - \ell) = 2\ell - x.

Avec le vecteur unitaire normal \vec{n} = \vec{e}_y, le flux magnétique à travers la spire s'écrit :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite est :

L'inductance propre étant négligée, le courant induit circulant dans la spire vaut :

Déterminons maintenant les actions mécaniques de Laplace s'exerçant sur la spire :

• Le côté gauche (x = 0) est hors du champ magnétique car x - \ell > 0.
• Les côtés horizontaux (z = 0 et z = \ell) subissent des forces de Laplace selon l'axe Oz de sens opposés, qui se compensent mutuellement.
• Le côté droit (x = \ell) se trouve dans la zone de champ magnétique car x - \ell < \ell < x.

D'après la figure 16, l'axe Oz est dirigé vers le bas et le trièdre (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) est direct. Avec la normale choisie \vec{n} = \vec{e}_y dirigée vers le lecteur, le sens de parcours direct (sens trigonométrique dans le plan de projection) parcourt le conducteur droit (x = \ell) de bas en haut, c'est-à-dire selon -\vec{e}_z :

La force de Laplace exercée sur ce côté droit s'écrit :

Comme \vec{e}_z \times \vec{e}_y = -\vec{e}_x, on a (-\vec{e}_z) \times \vec{e}_y = +\vec{e}_x. Il vient :

En remplaçant i par son expression :

On retrouve bien :

D'après les questions Q44 et Q45, la force exercée par un aimant sur la spire avec laquelle il est en interaction s'écrit, tout au long de son passage (0 < x < 2\ell) :

D'après le principe des actions réciproques, la force exercée par cette spire sur l'aimant est :

Le train comportant N aimants en interaction simultanée avec les spires fixes du stator, la force totale exercée par l'ensemble des spires sur le train est la somme des contributions individuelles :

On étudie le train de masse totale m dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. Il est soumis à :

• son poids \vec{P} = m\vec{g} et la réaction normale des rails \vec{R}_N, qui se compensent sur la voie horizontale (\vec{P} + \vec{R}_N = \vec{0}) ;
• la force électromagnétique de freinage \vec{F}_{\text{spires}\to\text{train}}.

Les frottements mécaniques étant négligés à ce stade, la deuxième loi de Newton appliquée au train s'écrit :

En projetant sur le vecteur unitaire \vec{e}_x, avec \vec{v} = v \vec{e}_x, on obtient :

Ce qui conduit à l'équation différentielle linéaire du premier ordre :

où la constante de temps caractéristique \tau du freinage est définie par :

L'énergie cinétique perdue par le train est intégralement dissipée par effet Joule (sous forme d'énergie thermique) dans les spires conductrices en cuivre du stator.

Pour le justifier, établissons le bilan de puissance instantané :

• Puissance mécanique reçue par le train :
  Le théorème de la puissance cinétique appliqué au train dans le référentiel d'étude galiléen s'écrit :

  \frac{\mathrm{d}E_c}{\mathrm{d}t} = \vec{F}_{\text{spires}\to\text{train}} \cdot \vec{v}

  D'après la question Q46, la force de freinage totale vaut \vec{F}_{\text{spires}\to\text{train}} = - N \alpha v \vec{e}_x, d'où :

  \frac{\mathrm{d}E_c}{\mathrm{d}t} = - N \alpha v^2 = - N \frac{B^2 \ell^2}{R} v^2 < 0

• Puissance dissipée par effet Joule dans les spires :
  À chaque instant, N spires sont en interaction avec les N aimants. D'après les questions Q43 et Q44, chacune de ces spires est parcourue par un courant d'intensité i vérifiant i^2 = \left(\frac{B \ell v}{R}\right)^2. La puissance totale dissipée par effet Joule dans l'ensemble des N spires est donc :

  \mathcal{P}_J = \sum_{k=1}^N R\,i_k^2 = N R \left(\frac{B \ell v}{R}\right)^2 = N \frac{B^2 \ell^2}{R} v^2 = N \alpha v^2

En comparant ces deux expressions, on obtient la relation instantanée :

Par intégration entre l'instant initial t=0 et un instant t quelconque, la variation d'énergie cinétique \Delta E_c = E_c(t) - E_c(0) est directement reliée à l'énergie dissipée par effet Joule E_J :

La diminution d'énergie cinétique du train est donc rigoureusement égale à l'énergie thermique créée par effet Joule dans les spires du stator.

D'après la question Q46, la force de freinage par induction subie par le train s'écrit :

avec \alpha = \dfrac{B^2 \ell^2}{R}. La solution de l'équation différentielle associée est :

Ce mode de freinage présente deux limites fondamentales empêchant à lui seul l'immobilisation du train :

• Inefficacité à basse vitesse et arrêt asymptotique : la force de freinage est directement proportionnelle à la vitesse v. Au fur et à mesure que le train ralentit, cette force diminue pour tendre vers zéro. Théoriquement, la vitesse ne s'annule qu'asymptotiquement lorsque t \to +\infty ; le train mettrait un temps excessif à s'arrêter sur une distance finie.

• Absence de force de maintien à l'arrêt : à l'arrêt (v = 0), le flux magnétique ne varie plus (\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t = 0), de sorte qu'aucun courant n'est induit et la force de Laplace est rigoureusement nulle :

  \vec{F}_{\text{spires}\to\text{train}}(v=0) = \vec{0}

  Le freinage électromagnétique ne peut donc pas jouer le rôle de frein de stationnement pour maintenir le train immobile en gare lors de la descente et de la montée des passagers (notamment en présence d'une légère pente ou du vent).