Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 TSI 2025

Le nombre d'électrons de valence de chaque élément est :

• Hydrogène \mathrm{H} (Z=1, 1s^1) : 1 électron de valence ;
• Carbone \mathrm{C} (Z=6, 1s^2\, 2s^2\, 2p^2) : 4 électrons de valence ;
• Azote \mathrm{N} (Z=7, 1s^2\, 2s^2\, 2p^3) : 5 électrons de valence ;
• Oxygène \mathrm{O} (Z=8, 1s^2\, 2s^2\, 2p^4) : 6 électrons de valence.

1. Molécule de méthane \mathrm{CH_4} :

• Nombre total d'électrons de valence : n_v = 4 + 4 \times 1 = 8 électrons, soit 4 doublets.
• Le carbone forme quatre liaisons de covalence simples avec les quatre atomes d'hydrogène.

2. Molécule de diazote \mathrm{N_2} :

• Nombre total d'électrons de valence : n_v = 2 \times 5 = 10 électrons, soit 5 doublets.
• Les deux atomes d'azote mettent en commun trois doublets liants (liaison triple) et possèdent chacun un doublet non liant.

3. Molécule de dioxyde de carbone \mathrm{CO_2} :

• Nombre total d'électrons de valence : n_v = 4 + 2 \times 6 = 16 électrons, soit 8 doublets.
• Le carbone central est engagé dans deux doubles liaisons avec les oxygènes, et chaque atome d'oxygène porte deux doublets non liants.

La combustion complète d'un hydrocarbure de formule \mathrm{C}_x\mathrm{H}_y dans le dioxygène produit du dioxyde de carbone \mathrm{CO}_2 et de l'eau \mathrm{H}_2\mathrm{O} selon le bilan général :

Pour le méthane \mathrm{CH}_4 (x = 1, y = 4), la conservation des éléments chimiques s'écrit :

• élément carbone : 1 molécule de \mathrm{CH}_4 fournit 1 molécule de \mathrm{CO}_2 ;
• élément hydrogène : les 4 atomes d'\mathrm{H} de \mathrm{CH}_4 forment 2 molécules de \mathrm{H}_2\mathrm{O} ;
• élément oxygène : les produits comportent 1 \times 2 + 2 \times 1 = 4 atomes d'oxygène, soit 2 molécules de \mathrm{O}_2 de réactif.

L'eau et le dioxyde de carbone étant précisés à l'état de vapeur dans l'énoncé, l'équation de la réaction s'écrit :

D'après la question Q2, l'équation de la réaction de combustion du méthane s'écrit :

D'après la loi de Hess, l'enthalpie standard de réaction à 298\text{ K} s'exprime par :

Application numérique avec les valeurs du tableau de données :

L'enthalpie standard de réaction est strictement négative (\Delta_r H^\circ < 0) : la réaction de combustion est donc fortement exothermique, ce qui est caractéristique d'une combustion qui libère de l'énergie thermique vers le milieu extérieur.

Le méthane étant assimilé à un gaz parfait, la quantité de matière contenue dans un volume V = 1{,}0\text{ m}^3 à la température T = 0~^{\circ}\text{C} = 273\text{ K} et sous la pression p = 1{,}013\text{ bar} = 1{,}013 \times 10^5\text{ Pa} est donnée par :

Application numérique :

La transformation s'effectuant à pression constante, le transfert thermique reçu par le système réactionnel vaut \Delta H = n(\mathrm{CH}_4)\,\Delta_r H^\circ. L'énergie thermique libérée vers l'extérieur (pouvoir calorifique inférieur) correspond à l'opposé de ce transfert :

D'après la question Q3, \Delta_r H^\circ = -802{,}5\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} (l'eau étant à l'état de vapeur). Ainsi :

D'après la définition fournie dans l'énoncé, 1\text{ kW}\cdot\text{h} = 10^3\text{ W} \times 3\,600\text{ s} = 3{,}60 \times 10^6\text{ J}. On en déduit la valeur du PCI en \text{kW}\cdot\text{h} pour ce mètre cube :

Soit une valeur volumique :

Comparaison : La valeur obtenue pour le méthane pur se situe bien dans l'intervalle tabulé pour le gaz naturel commercial, compris entre 9{,}2 et 10{,}2\text{ kW}\cdot\text{h}\cdot\text{m}^{-3}. Le méthane en étant le constituant très largement majoritaire (généralement plus de 90\,\%), cette excellente concordance valide l'approximation faite.

Le gaz naturel étant assimilé à du méthane pur dans les conditions de température et de pression de la question Q4 (T = 273\text{ K} et p = 1,013\text{ bar}), la quantité de matière totale de méthane consommée pour un volume V = 33,9\text{ milliards de m}^3 = 33,9 \times 10^9\text{ m}^3 vaut :

D'après l'équation de combustion établie à la question Q2, chaque mole de méthane consommé libère une mole de dioxyde de carbone :

La masse de \mathrm{CO}_2 directement rejetée dans l'atmosphère s'exprime alors par :

Avec M(\mathrm{CO}_2) = M(\mathrm{C}) + 2\,M(\mathrm{O}) = 12,0 + 2 \times 16,0 = 44,0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} :

La proportion \eta due à la combustion du gaz naturel dans l'empreinte carbone totale (m_{\text{tot}} = 644\text{ Mt équivalent }\mathrm{CO}_2) est donc :

1. Bilan de matière

D'après l'équation de combustion établie à la question Q2 :

Pour n_0 = 1\text{ mol} de méthane, la stœchiométrie impose d'introduire :

L'air étant composé à 20\,\% de dioxygène et 80\,\% de diazote, le rapport molaire vaut \frac{n(\mathrm{N}_2)}{n(\mathrm{O}_2)} = \frac{0{,}80}{0{,}20} = 4. La quantité de diazote (gaz inerte thermiquement) accompagnant le dioxygène est donc :

En fin de combustion complète, le mélange gazeux final contient :

2. Bilan enthalpique

La transformation est adiabatique (Q = 0) et modélisée à pression constante (l'énoncé fournissant uniquement les capacités à pression constante C_{p,n}), de sorte que :

L'enthalpie étant une fonction d'état, on décompose la transformation réelle entre l'état initial à T_i = 20\ ^\circ\text{C} = 293\text{ K} et l'état final à la température de flamme T_f selon le chemin fictif suivant :

• Étape 1 : échauffement des réactifs de T_i = 293\text{ K} à T_0 = 298\text{ K} :

  \begin{aligned} \Delta H_1 &= C_{p,\text{réactifs}}\,(T_0 - T_i) \\ \text{avec}\quad C_{p,\text{réactifs}} &= C_{p,n}(\mathrm{CH}_4) + 2\,C_{p,n}(\mathrm{O}_2) + 8\,C_{p,n}(\mathrm{N}_2) \end{aligned}

• Étape 2 : combustion complète isotherme et isobare à T_0 = 298\text{ K} :

  \Delta H_2 = \xi_{\max}\,\Delta_r H^\circ(T_0) = 1\text{ mol} \times \Delta_r H^\circ(T_0)

  où \Delta_r H^\circ(T_0) = -802{,}5\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} (d'après la question Q3).

• Étape 3 : échauffement des produits de T_0 = 298\text{ K} à T_f :

  \begin{aligned} \Delta H_3 &= C_{p,\text{produits}}\,(T_f - T_0) \\ \text{avec}\quad C_{p,\text{produits}} &= C_{p,n}(\mathrm{CO}_2) + 2\,C_{p,n}(\mathrm{H}_2\mathrm{O}) + 8\,C_{p,n}(\mathrm{N}_2) \end{aligned}

Comme \Delta H = \Delta H_1 + \Delta H_2 + \Delta H_3 = 0, on obtient :

3. Application numérique

Calculons les capacités thermiques globales des mélanges :

La contribution de l'étape 1 est :

Elle est négligeable devant -\Delta H_2 = 802{,}5\text{ kJ}. L'élévation de température s'écrit alors :

D'où la température de flamme :

En degrés Celsius :

Compte tenu des approximations adoptées (capacités moyennes, combustion complète sans pertes radiatives), on retiendra deux chiffres significatifs :

L'équation de la réaction de Sabatier s'écrit :

1. Enthalpie standard de réaction à 298\text{ K} :

D'après la loi de Hess :

À l'aide des données thermodynamiques fournies :

2. Entropie standard de réaction à 298\text{ K} :

Par définition de l'entropie standard de réaction :

À l'aide des données numériques :

D'après les données, la température absolue associée à T = 400~^{\circ}\text{C} vaut :

Sous l'hypothèse où \Delta_r H^\circ et \Delta_r S^\circ sont indépendantes de la température (approximation d'Ellingham), l'enthalpie libre standard de la réaction à cette température s'écrit :

À l'équilibre chimique, la relation fondamentale reliant l'enthalpie libre standard et la constante d'équilibre K^\circ(T) est :

D'où l'expression de la constante d'équilibre :

soit encore :

En reprenant les résultats établis à la question Q7 :

• \Delta_r H^\circ = -164{,}7\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} = -164{,}7 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• \Delta_r S^\circ = -172{,}7\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• R = 8{,}314\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• T = 673\text{ K}.

Calculons dans un premier temps l'enthalpie libre standard de réaction à 673\text{ K} :

On en déduit :

Puis :

Commentaire : La constante d'équilibre est nettement supérieure à 1 (K^\circ \gg 1), ce qui indique que la réaction de Sabatier reste très favorable thermodynamiquement dans le sens de la formation du méthane à 400~^{\circ}\text{C}, bien que la constante soit considérablement plus faible qu'à température ambiante (K^\circ(298\text{ K}) \approx 7 \times 10^{19}).

D'après les données, la loi de van 't Hoff s'écrit :

D'après la question Q7, l'enthalpie standard de la réaction de Sabatier est négative :

La réaction est exothermique, d'où :

La constante d'équilibre K^\circ(T) est donc une fonction strictement décroissante de la température T.

Une augmentation de la température entraîne une diminution de la constante d'équilibre K^\circ, ce qui déplace l'état d'équilibre dans le sens indirect (consommation des produits). L'avancement à l'équilibre diminue :

Le choix de la température opératoire résulte d'un compromis :

• Aspect thermodynamique : une température basse permet d'obtenir une constante d'équilibre élevée et maximise le rendement de conversion en méthane ;
• Aspect cinétique : une température trop basse conduit à une vitesse de réaction très faible (loi d'Arrhenius). Une température plus élevée est indispensable pour atteindre l'état d'équilibre en un temps raisonnable à l'échelle industrielle (en présence d'un catalyseur).

Pour la réaction de Sabatier :

Tous les constituants sont gazeux et assimilés à des gaz parfaits. L'activité de chaque espèce gazeuse i s'écrit :

où n_{\mathrm{tot,g}} = n_{\mathrm{CO}_2} + n_{\mathrm{H}_2} + n_{\mathrm{CH}_4} + n_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}} désigne la quantité de matière totale de gaz dans le réacteur.

Le quotient réactionnel s'exprime par :

La variation de la stœchiométrie gazeuse étant \Delta \nu_g = (1 + 2) - (1 + 4) = -2, il vient :

avec n_{\mathrm{tot,g}} = n_{\mathrm{CO}_2} + n_{\mathrm{H}_2} + n_{\mathrm{CH}_4} + n_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}}.

D'après la question Q10, le quotient réactionnel s'écrit :

Supposons le système initialement à l'équilibre à la température T, c'est-à-dire Q_r = K^\circ(T).

Si la pression p du milieu augmente à composition et température constantes, le facteur (p^\circ/p)^2 diminue, d'où immédiatement :

D'après le critère d'évolution spontanée, le système évolue dans le sens direct (sens 1) de façon à augmenter Q_r jusqu'à atteindre un nouvel état d'équilibre où Q_r = K^\circ(T).

L'avancement à l'équilibre augmente donc, ce qui signifie que :

Commentaire :

• Ce résultat est conforme au principe de modération de Le Chatelier : une augmentation de pression favorise l'évolution dans le sens d'une diminution du nombre de moles de gaz (\Delta \nu_g = 3 - 5 = -2 < 0).
• Il justifie le choix des conditions industrielles indiquées dans l'énoncé (p \in [20, 30]\text{ bars}) : travailler sous haute pression permet d'obtenir un excellent rendement en méthane tout en conservant une température suffisante (200\text{ à }400\ ^\circ\text{C}) pour assurer une vitesse de réaction acceptable.

Un amplificateur linéaire intégré (ALI) idéal de gain infini en régime statique est modélisé par les propriétés suivantes :

• Impédance d'entrée infinie : les courants entrant par les bornes inverseuse et non-inverseuse sont rigoureusement nuls :

  i_+ = i_- = 0
• Impédance de sortie nulle : la tension de sortie V_s est indépendante du courant débité I_s (dans la limite des caractéristiques physiques du composant) ;

• Gain différentiel infini (A_d \to \infty) : la relation entrée-sortie en l'absence de saturation s'écrit V_s = A_d (V_+ - V_-), ce qui impose la distinction fondamentale entre deux régimes :

  • Régime linéaire (obtenu pour -V_{\text{sat}} < V_s < +V_{\text{sat}}) :

    V_+ - V_- = 0 \iff V_+ = V_-

  • Régime saturé :

    \begin{cases} \text{si } V_+ - V_- > 0, & V_s = +V_{\text{sat}} \\ \text{si } V_+ - V_- < 0, & V_s = -V_{\text{sat}} \end{cases}
• Temps de réponse nul : la bande passante et la vitesse de balayage (slew-rate) sont considérées comme infinies.

Sous ces hypothèses, la zone linéaire est de largeur nulle sur l'axe des abscisses (\varepsilon = V_+ - V_- = 0). La caractéristique statique V_s = f(V_+ - V_-) présente une allure en marche d'escalier :

L'ALI étant modélisé comme idéal, les courants d'entrée sont nuls :

Après la fermeture de l'interrupteur K, le condensateur de capacité C est directement relié au nœud inverseur. Le courant i(t) traversant la résistance R depuis la sortie de potentiel V_s(t) s'écoule intégralement dans le condensateur :

La loi des mailles le long de cette branche impose :

En substituant l'expression du courant i(t), on obtient l'équation différentielle vérifiée par u_c(t) :

Juste après la fermeture de l'interrupteur (t > 0) et tant que la sortie ne bascule pas, la tension de sortie vaut V_s(t) = +V_{\mathrm{sat}}. L'équation différentielle s'écrit alors :

Pour t \in [0, t_1[, la sortie de l'ALI est saturée à V_s(t) = +V_{\text{sat}}. L'ALI étant idéal, le courant d'entrée i_+ est nul. Les résistances R_1 et R_2 forment donc un diviseur de tension non chargé alimenté par V_s :

L'entrée inverseuse est reliée au condensateur, d'où V_-(t) = u_c(t). D'après la question Q13, la tension u_c(t) vérifie pour t \ge 0 :

Le condensateur étant initialement déchargé (u_c(0) = 0), la solution générale de cette équation différentielle s'écrit :

Tant que u_c(t) < V_+, la tension différentielle d'entrée est positive :

Puisque 0 < \frac{R_2}{R_1 + R_2} < 1, la tension u_c(t), qui tend asymptotiquement vers +V_{\text{sat}}, atteint la valeur seuil V_+ à un instant t_1 défini par :

En simplifiant par V_{\text{sat}} \neq 0 :

Dès que t > t_1, la tension u_c(t) dépasse V_+, la différence \varepsilon(t) = V_+ - V_- devient négative et la sortie bascule instantanément à -V_{\text{sat}}. L'instant de basculement t_1 s'exprime donc par :

Pour t \in [t_1, t_2], la tension de sortie vaut V_s(t) = -V_{\text{sat}}. L'entrée non-inverseuse est donc au potentiel constant :

D'après la question Q13, l'évolution de la tension u_c(t) aux bornes du condensateur est régie par l'équation différentielle :

La solution générale s'écrit, pour t \ge t_1 :

Par continuité de la tension aux bornes du condensateur en t = t_1, et d'après la condition de basculement établie à la question Q14 :

On en déduit la constante d'intégration A :

L'expression de la tension pour t \in [t_1, t_2] est donc :

La sortie bascule à nouveau de -V_{\text{sat}} à +V_{\text{sat}} à l'instant t_2 dès que u_c(t_2) devient inférieure ou égale à V_+ :

En prenant le logarithme népérien, on obtient bien :

Les trois grandeurs évoluent comme suit :

• Tension de sortie V_s(t) :

  V_s(t) = \begin{cases} +V_{\text{sat}} & \text{pour } t \in [0, t_1[ \ \cup \ [t_2, t_3[ \\ -V_{\text{sat}} & \text{pour } t \in [t_1, t_2[ \end{cases}

• Potentiel non-inverseur V_+(t) : en posant V_H = \frac{R_2}{R_1+R_2} V_{\text{sat}} et V_B = -V_H,

  V_+(t) = \frac{R_2}{R_1+R_2} V_s(t) = \begin{cases} +V_H & \text{pour } t \in [0, t_1[ \ \cup \ [t_2, t_3[ \\ V_B = -V_H & \text{pour } t \in [t_1, t_2[ \end{cases}

• Tension aux bornes du condensateur u_c(t) :

  • sur [0, t_1] : u_c(0) = 0, charge vers +V_{\text{sat}} jusqu'à atteindre u_c(t_1) = V_H ;
  • sur [t_1, t_2] : décharge depuis V_H vers -V_{\text{sat}} jusqu'à atteindre u_c(t_2) = V_B ;
  • sur [t_2, t_3] : charge depuis V_B vers +V_{\text{sat}} jusqu'à atteindre u_c(t_3) = V_H.

D'après les résultats des questions Q15 et Q16, la durée d'une alternance en régime établi est donnée par :

La période T du signal en régime établi correspond à la somme des durées de ces deux alternances :

La fréquence f = \dfrac{1}{T} de l'oscillateur s'exprime donc par :

Effectuons l'application numérique avec les valeurs données :

• R = 470{,}0 \times 10^3\ \Omega ;
• C = 500{,}0 \times 10^{-9}\text{ F}, soit RC = 0{,}2350\text{ s} ;
• 1 + \dfrac{2R_2}{R_1} = 1 + \dfrac{2 \times 3{,}300}{1{,}000} = 7{,}600.

On en déduit la période puis la fréquence :

Avec 4 chiffres significatifs, la fréquence de l'oscillateur vaut :

La valeur de la capacité demandée à la question précédente est C = 500{,}0\text{ nF} = 0{,}5000\ \mu\text{F}.

Pour obtenir cette valeur à partir de composants disponibles de capacité C_0 = 1{,}000\ \mu\text{F}, il suffit d'associer deux condensateurs identiques de capacité C_0 en série.

En effet, pour deux condensateurs montés en série, la capacité équivalente C_{\text{eq}} vérifie la relation :

soit :

Numériquement :

Cette association en série permet donc de respecter rigoureusement la valeur de capacité requise.

1. Origine de la dispersion des mesures

Les différents expérimentateurs obtiennent des valeurs différentes principalement en raison de :

• la tolérance de fabrication des composants passifs réels utilisés (R, C, R_1, R_2), dont les valeurs effectives s'écartent des valeurs nominales (généralement de 1 % à 10 %) ;
• les imperfections de l'ALI réel (tensions de décalage résiduelles, courants de polarisation non nuls, saturation asymétrique, temps de basculement non nul dû au slew-rate) ;
• l'incertitude de mesure propre aux instruments utilisés (fréquencemètre, oscilloscope).

2. Incertitude-type sur la fréquence

Pour un échantillon de N = 15 mesures indépendantes de même précision, l'incertitude-type associée à l'estimation de la fréquence (moyenne empirique \bar{f}) par une évaluation de type A vaut :

Application numérique avec \sigma = 0{,}025\text{ Hz} et N = 15 :

3. Calcul de l'écart normalisé (Z-score) et commentaire

La valeur théorique obtenue à la question Q17 est f_{\text{th}} = 1{,}049\text{ Hz}. En considérant cette valeur théorique sans incertitude, le Z-score (ou écart normalisé E_n) s'écrit :

Application numérique :

Commentaire : L'écart normalisé vérifie Z < 2 (et même Z < 1). L'écart entre la valeur théorique et la valeur expérimentale n'est donc pas statistiquement significatif au niveau de confiance usuel de 95 % : le modèle théorique de l'oscillateur astable est en excellent accord avec les résultats expérimentaux.

Lorsque la sortie de l'oscillateur est à +V_{\text{sat}} = 14{,}0\text{ V}, la tension aux bornes de la LED est positive, ce qui correspond à son état allumé pendant la demi-période d'oscillation. Lorsqu'elle bascule à -V_{\text{sat}} = -14{,}0\text{ V}, la diode est polarisée en inverse et s'éteint. La fréquence d'environ 1\text{ Hz} est adaptée à un clignotement visuel.

Cependant, lorsque la lampe est allumée, elle absorbe une puissance électrique :

Sous la tension V_s = V_{\text{sat}} = 14{,}0\text{ V}, le courant nécessaire à son fonctionnement vaut :

Or, d'après les données du sujet, l'intensité maximale que la sortie de l'ALI peut fournir est :

Comme I_{\text{lampe}} \gg I_{s,\max} (la puissance maximale délivrable par l'ALI est seulement P_{\max} = V_{\text{sat}} I_{s,\max} = 0{,}35\text{ W} \ll 25\text{ W}), l'ALI saturera en courant et la tension de sortie s'effondrera.

En magnétostatique (régime stationnaire indépendant du temps), le champ magnétique \vec{B} vérifie deux équations fondamentales de Maxwell :

1. L'équation de Maxwell-Thomson (ou équation de conservation du flux magnétique) :

   \boxed{\mathrm{div}\,\vec{B} = 0}

   Sa forme intégrale, obtenue via le théorème de Green-Ostrogradsky pour toute surface fermée \mathcal{S} orientée vers l'extérieur, exprime la conservation du flux magnétique :

   \boxed{\oiint_{\mathcal{S}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 0}

2. L'équation de Maxwell-Ampère en régime indépendant du temps (le terme de courant de déplacement \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} étant nul) :

   \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath}}

   où \vec{\jmath} désigne le vecteur densité volumique de courant et \mu_0 la perméabilité magnétique du vide.

   Sa forme intégrale, obtenue à l'aide du théorème de Stokes pour un contour fermé \mathcal{C} orienté délimitant une surface ouverte \mathcal{S} orientée selon la règle de la main droite, constitue le théorème d'Ampère :

   \boxed{\oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enlacé}} = \mu_0 \iint_{\mathcal{S}} \vec{\jmath} \cdot \mathrm{d}\vec{S}}

   où I_{\text{enlacé}} est le courant électrique total algébrique enlacé par le contour \mathcal{C}.

Les deux spires sont circulaires, coaxiales d'axe (O_s y), et parcourues par des courants circulaires centrés sur cet axe.

Considérons deux plans perpendiculaires contenant l'axe (O_s y) :

• le plan \Pi_1 = (O_s, \vec{e}_y, \vec{e}_z) ;
• le plan \Pi_2 = (O_s, \vec{e}_x, \vec{e}_y).

Par réflexion par rapport à \Pi_1 (symétrie x \to -x), le sens de rotation orthoradial des courants autour de l'axe (O_s y) est inversé :

Le plan \Pi_1 est donc un plan d'antisymétrie (ou d'antimétrie) pour la distribution de courant. De même, par rotation d'un quart de tour autour de l'axe, le plan \Pi_2 est également un plan d'antisymétrie pour les courants.

Le champ magnétique \vec{B} étant un champ de pseudo-vecteurs (ou vecteurs axiaux) :

• en tout point d'un plan d'antisymétrie des courants, le champ magnétique appartient à ce plan.

Soit un point M quelconque situé sur l'axe commun (O_s y) :

• M \in \Pi_1 \implies \vec{B}(M) \in \Pi_1, ce qui impose B_x(M) = 0 ;
• M \in \Pi_2 \implies \vec{B}(M) \in \Pi_2, ce qui impose B_z(M) = 0.

Le champ magnétique \vec{B}(M) est donc nécessairement colinéaire à l'intersection de ces deux plans, c'est-à-dire l'axe (O_s y) :

1. Schéma et orientation des lignes de champ

D'après la figure 6 de l'énoncé, pour i > 0, les spires sont parcourues par un courant :

• sortant du plan de coupe en z > 0 (\odot, suivant +\vec{e}_x) ;
• entrant dans le plan de coupe en z < 0 (\otimes, suivant -\vec{e}_x).

D'après la règle de la main droite (ou du tire-bouchon) :

• autour des conducteurs supérieurs (z > 0), les lignes de champ tournent dans le sens trigonométrique (anti-horaire) ;
• autour des conducteurs inférieurs (z < 0), les lignes de champ tournent dans le sens horaire ;
• dans la région centrale entre les conducteurs (au voisinage du plan z = 0), les contributions s'additionnent constructivement et le champ magnétique est dirigé vers la droite, c'est-à-dire dans le sens de +\vec{e}_y.

2. Interprétation de l'écartement des lignes de champ

• Zones où les lignes se rapprochent (lignes denses) : le champ magnétique y est plus intense (B plus élevé). C'est le cas à proximité immédiate des conducteurs et dans la zone d'entrefer entre les spires le long de l'axe.
• Zones où les lignes s'éloignent (lignes évasées) : le champ magnétique y est plus faible (B plus faible), notamment à grande distance des spires.

Justification : d'après l'équation de Maxwell-Thomson \mathrm{div}\,\vec{B} = 0, le flux magnétique se conserve à travers toute section droite d'un tube de champ :

Ainsi, l'intensité du champ magnétique est inversement proportionnelle à la section \mathcal{S} du tube de champ :

Plus les lignes de champ se resserrent, plus la section \mathcal{S} diminue, et plus le champ magnétique \vec{B} est intense.

D'après le théorème d'Ampère établi à la question Q21, la circulation du champ magnétique le long du contour fermé orienté \mathcal{C} s'écrit :

où I_{\text{enlacé}} est la somme algébrique des courants traversant une surface ouverte \mathcal{S} s'appuyant sur \mathcal{C}.

Sur la figure 7, le contour \mathcal{C} est orienté dans le sens trigonométrique dans le plan (y, z) (la flèche pointe vers les z croissants du côté y > 0). La normale \vec{n} à la surface \mathcal{S} s'appuyant sur \mathcal{C}, orientée par la règle de la main droite, est donc portée par le vecteur unitaire :

Ainsi, un courant dirigé vers l'avant selon +\vec{e}_x (noté \odot) compte positivement (+i), tandis qu'un courant dirigé vers l'arrière selon -\vec{e}_x (noté \otimes) compte négativement (-i).

Examinons le tracé du contour en pointillés \mathcal{C} sur la figure 7 :

• En haut (z > 0), le contour passe entre les deux conducteurs : il enlace le conducteur supérieur droit (\odot i), alors que le conducteur supérieur gauche (\odot i) est situé à l'extérieur.
• En bas (z < 0), le contour passe sous les deux conducteurs : il enlace à la fois le conducteur inférieur droit (\otimes i) et le conducteur inférieur gauche (\otimes i).

Le courant algébrique total enlacé par le contour \mathcal{C} vaut donc :

On en déduit l'expression de la circulation :

Application numérique : Avec \mu_0 = 1,26 \times 10^{-6}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1} et i = 1,0 \times 10^3\text{ A} :

En ne conservant que deux chiffres significatifs conformément aux données :

Considérons l'interaction entre l'aimant permanent du train et les différentes paires de spires du stator :

• Moment magnétique de l'aimant : L'aimant permanent présente son pôle Nord (\mathrm{N}) vers le haut et son pôle Sud (\mathrm{S}) vers le bas. Son moment magnétique \vec{\mathcal{M}} est orienté du pôle Sud vers le pôle Nord, donc vers le haut de la figure.

• Situation en x = 0 :

  • La spire supérieure présente un pôle \mathrm{N} face à l'entrefer (vers le bas), en regard du pôle \mathrm{N} de l'aimant.
  • La spire inférieure présente un pôle \mathrm{S} face à l'entrefer (vers le haut), en regard du pôle \mathrm{S} de l'aimant.

  Des pôles magnétiques de même nom se repoussent : l'aimant subit une répulsion de la part des deux spires situées en x = 0. Cette configuration de répulsion mutuelle correspond à un état de haute énergie, donc à un maximum d'énergie potentielle.

  Remarque énergétique équivalente : Les lignes de champ créées par la paire de spires à x=0 vont du pôle Nord au pôle Sud, soit du haut vers le bas. Le champ extérieur \vec{B} est donc dirigé vers le bas, antiparallèle au moment magnétique \vec{\mathcal{M}} de l'aimant. L'énergie potentielle dipolaire :

  E_p = -\vec{\mathcal{M}}\cdot\vec{B} = + \mathcal{M} B > 0

  est maximale en x = 0.

• Situation au niveau des spires adjacentes (à gauche et à droite) : Les polarités sont inversées : la spire supérieure présente un pôle \mathrm{S} face à l'entrefer et la spire inférieure un pôle \mathrm{N}. Les pôles en vis-à-vis étant de noms opposés, l'interaction est attractive (\vec{\mathcal{M}} et \vec{B} parallèles), ce qui correspond à un minimum d'énergie potentielle (E_p = -\mathcal{M}B < 0).

Par conséquent, la courbe d'énergie potentielle E_p(x) présente un maximum en x = 0 et des minima au niveau des spires voisines : il s'agit du profil B.

Le mouvement de l'aimant étant unidimensionnel le long de l'axe (Ox), la force conservative associée à l'énergie potentielle E_p(x) s'écrit :

Pour que la force soit orientée vers la droite (\vec{e}_x), il faut que sa composante soit strictement positive :

L'aimant doit donc être situé sur une portion de courbe où l'énergie potentielle est décroissante, c'est-à-dire immédiatement à droite du pic en x = 0 (x > 0).

Pour obtenir une force maximale, l'intensité F_x doit atteindre son maximum, ce qui correspond à la pente descendante la plus raide, soit au point d'inflexion de la courbe E_p(x) situé entre le sommet (en x=0) et le creux (minimum d'énergie potentielle) :

L'aimant doit par conséquent être positionné entre la paire de spires en x=0 et la paire de spires suivante, au voisinage du point d'inflexion (sensiblement à mi-distance entre les deux paires de spires).

1. Principe du champ d'énergie potentielle glissant

Pour que l'aimant subisse en continu une force motrice dirigée vers la droite (\vec{F} = -\frac{\mathrm{d}E_p}{\mathrm{d}x}\vec{e}_x > 0), il doit en permanence se situer sur une pente descendante de l'énergie potentielle.

Le système de contrôle commande l'alimentation des spires successives du stator par l'intermédiaire d'un onduleur :

• en inversant le sens du courant ou en alimentant les spires par des courants déphasés dans le temps, la polarité magnétique des bobines alterne au cours du temps ;
• les pôles Nord et Sud créés par le stator se propagent ainsi le long de l'axe (Ox) vers la droite sous forme d'une onde magnétique progressive. Le profil d'énergie potentielle E_p(x,t) glisse donc vers la droite à une vitesse synchrone v_s(t) modulable.

2. Nécessité d'une rétroaction

Au cours de la phase de lancement, le train accélère : sa vitesse v(t) et sa position x(t) évoluent en permanence. De plus, la masse du train dépend du nombre de passagers et des frottements imprévisibles (résistance de l'air, frottements mécaniques) peuvent perturber le mouvement.

En boucle ouverte, le moindre écart entre la vitesse de l'onde glissante et celle du train entraînerait un décrochage synchrone : l'aimant se retrouverait alors sur une pente montante du profil d'énergie potentielle (\mathrm{d}E_p/\mathrm{d}x > 0), produisant une force de freinage brutale et une perte de propulsion.

Une boucle de rétroaction est donc indispensable pour adapter à chaque instant la fréquence et la phase d'alimentation des spires à la position réelle du train (autopilotage).

3. Réalisation pratique de la rétroaction

Cette rétroaction peut être réalisée en pratique par :

• des capteurs de position disposés le long de la voie (capteurs à effet Hall détectant le passage des aimants du train, barrières optiques ou capteurs inductifs) ;
• une unité de commande (calculateur temps réel) qui reçoit les signaux de position, évalue la vitesse instantanée du train et pilote les interrupteurs de puissance (onduleur) afin d'injecter le courant au moment précis où chaque aimant se situe dans la position motrice optimale identifiée à la question Q26.

La plaque présente une température uniforme T_{\text{plaque}}(t) et l'air ambiant est à la température T_{\text{air}}. Sur chaque élément de surface \mathrm{d}S en contact avec l'air, le flux thermique surfacique cédé par la plaque s'écrit selon la loi de Newton :

La puissance thermique totale (ou flux thermique total) évacuée vers l'air à travers la surface totale d'échange S_{\text{tot}} est :

Par définition de la résistance thermique R_{\mathrm{th}}, associée à la différence de potentiel thermique \Delta T = T_{\text{plaque}} - T_{\text{air}} :

(Ce résultat équivaut à l'association en parallèle des cinq résistances thermiques élémentaires R_{\mathrm{th},k} = \frac{1}{h\,S_k}).

La face inférieure de la plaque (d'aire a \times e) reposant sur son support, les transferts avec l'air s'effectuent par les cinq autres faces :

• 2 grandes faces latérales verticales (rectangles a \times b) : aire 2ab ;
• 1 face supérieure horizontale (rectangle a \times e) : aire ae ;
• 2 faces d'extrémité verticales (rectangles b \times e) : aire 2be.

La surface totale d'échange vaut donc :

On en déduit l'expression exacte de la résistance thermique :

Comparons numériquement les aires mises en jeu :

Comme l'épaisseur est très faible devant les autres dimensions (e \ll b < a), on a :

On peut donc légitimement négliger les pertes thermiques par les tranches devant celles par les deux faces principales : S_{\text{tot}} \approx 2ab. L'expression simplifiée de la résistance thermique est alors :

Considérons comme système la plaque d'acier de masse m = \rho_a V = \rho_a a b e. La pression extérieure étant constante et la température de la plaque étant supposée spatio-temporellement uniforme à chaque instant t, la variation d'enthalpie du système entre t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

Pendant cette durée \mathrm{d}t, les seuls échanges thermiques avec l'extérieur se font avec l'air ambiant. D'après le résultat simplifié de la question Q28 (R_{\mathrm{th}} \approx \frac{1}{2hab}), le transfert thermique reçu par la plaque s'exprime par :

En appliquant le premier principe de la thermodynamique \mathrm{d}H = \delta Q, on obtient :

Les facteurs géométriques a et b se simplifient, ce qui conduit à l'équation différentielle du premier ordre :

où le temps caractéristique \tau d'évolution thermique de la plaque est défini par :

Application numérique : Avec \rho_a = 7{,}8 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, c_{m,a} = 450\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}, e = 5 \times 10^{-3}\text{ m} et h = 30\text{ W}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{m}^{-2} :

D'après la question Q29, l'équation différentielle régissant l'évolution temporelle de la température de la plaque est :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire scalaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre constant.

La solution générale s'écrit comme la somme d'une solution particulière constante, T_{\text{part}} = T_{\text{air}}, et de la solution générale de l'équation homogène :

où A est une constante déterminée par la condition initiale. À t = 0, la plaque est à la température T_0 :

On en déduit l'expression de la température de la plaque au cours du temps :

avec \tau = \dfrac{\rho_a c_{m,a} e}{2h}.

D'après les données de l'énoncé, la durée séparant deux lancers successifs est :

D'après la loi de refroidissement obtenue à la question Q30, la température de la plaque juste avant le départ suivant s'écrit :

Avec T_0 = 50~^{\circ}\text{C}, T_{\text{air}} = 20~^{\circ}\text{C} et le temps caractéristique \tau \approx 292{,}5\text{ s} déterminé à la question Q29 :

Pendant la phase d'accélération du train de durée t_a = 2{,}5\text{ s} \ll \tau, les pertes conducto-convectives vers l'air ambiant sont négligeables. L'échauffement de la plaque de masse m_a = \rho_a V = \rho_a a b e sous l'effet de l'énergie thermique Q cédée par effet Joule par le système de propulsion se traduit, d'après le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce système indéformable, par :

La condition T_{\text{finale}} \le T_0 impose pour l'énergie thermique maximale admissible :

Application numérique :

• m_a = \rho_a a b e = 7{,}8 \times 10^3 \times 1{,}0 \times 0{,}2 \times 5 \times 10^{-3} = 7{,}8\text{ kg}
• C = m_a c_{m,a} = 7{,}8 \times 450 = 3{,}51 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}
• T_0 - T_1 = 50 - 37{,}96 = 12{,}04\text{ K}

1. Phase d'accélération sur la zone de lancement :

On modélise le train (et ses passagers) par un point matériel de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le train démarre au repos (v(0) = 0). En prenant l'accélération moyenne a = 1{,}15\,g constante pendant la durée t_a = 2{,}5\text{ s}, la vitesse atteinte à la fin de la zone de lancement est :

Application numérique :

2. Franchissement du « fer à cheval » :

Pour aborder la montée :

• Hypothèses : on néglige tous les frottements (frottements aérodynamiques et roulement sur les rails). L'action de contact des rails est donc purement normale au déplacement, de sorte que sa puissance est nulle : \mathcal{P}(\vec{R}) = \vec{R}\cdot\vec{v} = 0. Le poids \vec{P} = -m g \vec{e}_z est la seule force qui travaille ; il dérive de l'énergie potentielle de pesanteur E_p(z) = mgz (en fixant l'origine au niveau de la piste de lancement z = 0).
• Loi utilisée : Le système est conservatif, l'énergie mécanique E_m = E_c + E_p est donc conservée au cours du mouvement.

Entre le niveau de lancement (z = 0) et le sommet de la figure (z = h = 37\text{ m}), la conservation de l'énergie mécanique s'écrit :

où v_s désigne la vitesse du train au sommet de la figure. On en déduit :

La hauteur maximale h_{\max} que le train pourrait atteindre correspondrait à une vitesse nulle au sommet (v_s = 0) :

Applications numériques :

Comme h_{\max} > h = 37\text{ m} (ou de manière équivalente v_s > 0), l'énergie mécanique acquise lors du lancement est strictement suffisante :

Le mouvement du point matériel M est circulaire de rayon R constant, centré en O.

Dans la base polaire mobile (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta), le vecteur position s'écrit :

Le rayon R étant constant, les dérivées temporelles des vecteurs de base s'écrivent :

Le vecteur vitesse de M vaut alors :

avec v = \|\vec{v}\| = R\dot{\theta} \ge 0 au cours de la montée.

Le vecteur accélération s'obtient en dérivant le vecteur vitesse :

En utilisant la relation \dot{\theta} = \frac{v}{R}, on obtient finalement :

Le système étudié est le point matériel M, de masse m, en mouvement dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Les forces appliquées à M sont :

• son poids \vec{P} = m\vec{g} ;
• la réaction du rail \vec{R} = R_N (-\vec{e}_r) (réaction normale, les frottements étant négligés).

D'après le résultat de la question Q33, l'accélération de M s'écrit :

• La composante normale \vec{a}_N = -\frac{v^2}{R}\vec{e}_r = \frac{v^2}{R}\vec{u}_N est toujours centripète (orientée vers le centre de courbure O).

• La composante tangentielle \vec{a}_T = \dot{v}\,\vec{e}_\theta est donnée par la projection du principe fondamental de la dynamique (m\vec{a} = \vec{P} + \vec{R}) sur \vec{e}_\theta :

  m\dot{v} = \vec{P}\cdot\vec{e}_\theta + \vec{R}\cdot\vec{e}_\theta = -mg\sin\theta + 0 \implies \dot{v} = -g\sin\theta

Examinons alors la situation pour les trois angles demandés :

• Pour \boldsymbol{\theta = \frac{\pi}{2}} (position à mi-hauteur, phase ascendante) :

  \dot{v} = -g\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -g < 0

  Le train est en phase de décélération. La composante tangentielle \vec{a}_T = -g\,\vec{e}_\theta est dirigée vers le bas (sens opposé au mouvement). La composante normale \vec{a}_N est dirigée horizontalement vers le centre O (vers la droite). Le vecteur \vec{a} pointe donc vers l'intérieur du looping et vers le bas (vers le bas-droite).

• Pour \boldsymbol{\theta = \pi} (sommet du looping) :

  \dot{v} = -g\sin(\pi) = 0

  L'accélération tangentielle est nulle (\vec{a}_T = \vec{0}) : la vitesse passe par un extremum (minimum local). L'accélération est purement centripète, dirigée verticalement vers le bas, vers le centre O :

  \vec{a} = -\frac{v_{\text{sommet}}^2}{R}\,\vec{e}_r

• Pour \boldsymbol{\theta = \frac{3\pi}{2}} (position à mi-hauteur, phase descendante) :

  \dot{v} = -g\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = +g > 0

  Le train est en phase d'accélération. La composante tangentielle \vec{a}_T = +g\,\vec{e}_\theta est orientée vers le bas (dans le sens du mouvement). La composante normale \vec{a}_N est dirigée horizontalement vers le centre O (vers la gauche). Le vecteur \vec{a} pointe donc vers l'intérieur du looping et vers le bas (vers le bas-gauche).

On étudie le train modélisé par le point matériel M de masse m dans le référentiel terrestre, supposé galiléen.

Le système est soumis à deux forces :

• son poids \vec{P} = m\vec{g} = mg\cos\theta\,\vec{e}_r - mg\sin\theta\,\vec{e}_\theta ;
• l'action normale des rails \vec{R} = R_r\,\vec{e}_r, qui est purement radiale puisque les frottements sont négligés.

D'après le principe fondamental de la dynamique :

D'après le résultat de la question Q33, l'accélération orthoradiale s'écrit a_\theta = \dot{v}. Sachant que le rayon R est constant et que la vitesse scalaire vaut v = R\dot{\theta}, on a :

En projetant la relation fondamentale sur le vecteur orthoradial \vec{e}_\theta :

En divisant par mR, on obtient l'équation différentielle du mouvement :

Résolution analytique :

• Cette équation différentielle est non linéaire en raison de la présence du terme en \sin\theta.
• Lors du looping, le train réalise un tour complet : l'angle \theta varie de 0 à 2\pi, ce qui rend l'approximation des petits angles (\sin\theta \approx \theta) totalement invalide.
• La résolution exacte à la main n'est pas possible de manière simple car elle fait appel aux intégrales et fonctions elliptiques, qui ne sont pas des fonctions élémentaires usuelles.

Il n'est donc pas possible de déterminer \theta(t) analytiquement facilement à la main, ce qui motive l'utilisation d'une résolution numérique.

Le système d'équations différentielles du premier ordre associé au vecteur d'état X = \begin{bmatrix} \theta \\ \dot{\theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X[0] \\ X[1] \end{bmatrix} s'écrit :

À l'instant initial t = 0, la vitesse tangentielle est v_0 = R\,\dot{\theta}(0), d'où la pulsation angulaire initiale :

On complète les lignes du programme de la façon suivante :

def derivee(X, t):
    theta, dtheta = X
    d2theta = - (g / R) * np.sin(theta)
    return [dtheta, d2theta]

theta0 = 0 # Angle initial
dtheta0 = v0 / R # Vitesse angulaire initiale
res = odeint(derivee, [theta0, dtheta0], tabt)

Le train aborde le looping en \theta(0) = 0. La réalisation complète du looping correspond à une révolution angulaire complète, soit :

Sur la figure 12 :

• On repère la valeur \theta \approx 6{,}28\text{ rad} sur l'axe des ordonnées (légèrement au-dessus de la moitié de l'intervalle entre les graduations 6{,}0 et 6{,}5\text{ rad}) ;
• On trace l'horizontale correspondante jusqu'à son intersection avec la courbe \theta(t) ;
• On projette orthogonalement ce point sur l'axe des abscisses pour lire le temps associé.

On lit ainsi :

Les conditions optiques permettant d'obtenir un stigmatisme approché (ainsi qu'un aplanétisme approché) sont les conditions de Gauss. Elles sont au nombre de deux :

1. Rayons proches de l'axe optique : les rayons lumineux traversent le système optique au voisinage immédiat de l'axe optique (distance à l'axe très faible devant les rayons de courbure des dioptres).
2. Rayons peu inclinés par rapport à l'axe optique : les angles que font les rayons avec l'axe optique (et avec les normales aux dioptres) sont petits devant 1\text{ rad}, ce qui permet d'utiliser les approximations au premier ordre : \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta.

Ces rayons sont qualifiés de rayons paraxiaux. En pratique, ces conditions sont réalisées en diaphragmant l'instrument d'optique et en restreignant le champ d'observation.

Le train joue le rôle d'un objet réel situé à la distance D = 3\text{ m} en amont de la lentille. En orientant l'axe optique dans le sens de propagation de la lumière (de gauche à droite sur les figures 14 et 15), la position algébrique de l'objet est :

Pour que l'image formée sur le capteur soit nette, le capteur doit être situé dans le plan de l'image A', soit :

La formule de conjugaison de Descartes avec origine au centre optique s'écrit :

On en déduit l'expression littérale de la distance d :

Application numérique avec D = 3\text{ m} = 300\text{ cm} et f' = 5{,}00\text{ cm} = 0{,}0500\text{ m} :

En arrondissant à deux chiffres significatifs :