Corrigé détaillé Mines Physique 2 PC 2026

L'électron, assimilé à une charge ponctuelle -e, est situé à l'origine O du repère cartésien muni de la base orthonormée directe (\widehat{e}_{x}, \widehat{e}_{y}, \widehat{e}_{z}).

Le point M est repéré par ses coordonnées sphériques (r, \theta, \varphi) définies par :

• le rayon vecteur : r = OM = \|\overrightarrow{OM}\| > 0 ;
• la colatitude (ou angle zénithal) : \theta = (\widehat{e}_{z}, \overrightarrow{OM}) \in [0, \pi/2] ;
• la longitude (ou azimut) : \varphi = (\widehat{e}_{x}, \overrightarrow{OH}) \in [0, \pi/2[, où H désigne le projeté orthogonal de M dans le plan (xOy).

La base sphérique locale (\widehat{e}_{r}, \widehat{e}_{\theta}, \widehat{e}_{\varphi}) associée au point M est orthonormée directe :

• \widehat{e}_{r} = \dfrac{\overrightarrow{OM}}{r} est dirigé selon le rayon vecteur, dans le sens des r croissants ;
• \widehat{e}_{\theta} = \dfrac{\partial \widehat{e}_{r}}{\partial \theta} est orthogonal à \widehat{e}_{r}, contenu dans le demi-plan méridien défini par (Oz, M), et orienté dans le sens des \theta croissants ;
• \widehat{e}_{\varphi} = \dfrac{1}{\sin\theta}\dfrac{\partial \widehat{e}_{r}}{\partial \varphi} = \widehat{e}_{r} \wedge \widehat{e}_{\theta} est orthogonal au plan méridien, contenu dans un plan parallèle à (xOy) et orienté dans le sens des \varphi croissants.

Les relations de passage liant la base sphérique (\widehat{e}_{r}, \widehat{e}_{\theta}, \widehat{e}_{\varphi}) à la base cartésienne (\widehat{e}_{x}, \widehat{e}_{y}, \widehat{e}_{z}) s'écrivent :

L'électron est modélisé par une charge ponctuelle q = -e située à l'origine O du repère. D'après la loi de Coulomb, le champ électrostatique créé en tout point M repéré par son vecteur position \overrightarrow{OM} = r\,\widehat{e}_r (r > 0) s'écrit directement dans la base sphérique locale :

La densité volumique d'énergie électrique associée au champ électrostatique \vec{E} dans le vide s'écrit :

D'après le résultat de la question 2, le champ créé par l'électron ponctuel est \vec{E}(M) = -\dfrac{e}{4\pi\epsilon_0 r^2}\,\widehat{e}_r, d'où :

L'énergie électrostatique totale W_e contenue dans tout l'espace s'obtient par intégration volumique. En profitant de la symétrie sphérique, l'élément de volume d'une coquille sphérique d'épaisseur \mathrm{d}r est \mathrm{d}\tau = 4\pi r^{2}\mathrm{d}r, soit :

Cette intégrale se calcule directement :

L'énergie électrostatique totale associée à un électron ponctuel est donc infinie :

Conclusion : Ce résultat physiquement aberrant montre qu'attribuer une charge non nulle à un point géométrique conduit à une divergence ultraviolette de l'énergie propre. En physique classique, il est donc nécessaire d'attribuer une extension spatiale non nulle à l'électron (modèle d'électron étendu de taille finie).

1. Symétries et invariances :

• Symétries : Tout plan contenant l'origine O et le point M est un plan de symétrie de la distribution sphérique de charge. Le champ électrique en M appartient à l'intersection de tous ces plans, il est donc purement radial :

  \vec{E}(M) = E(r,\theta,\varphi)\,\widehat{e}_r

• Invariances : La distribution de charge est invariante par toute rotation autour de tout axe passant par O, donc indépendante des angles \theta et \varphi. Il en résulte que :

  \vec{E}(M) = E(r)\,\widehat{e}_r

2. Détermination du champ électrique par le théorème de Gauss :

On choisit comme surface de Gauss une sphère \Sigma de centre O et de rayon r, orientée vers l'extérieur. Le flux sortant s'écrit :

La charge totale de l'électron étant -e, sa densité volumique de charge uniforme vaut \rho = \frac{-e}{\frac{4}{3}\pi r_e^3}.

• Pour r \ge r_e, la sphère de Gauss englobe toute la charge de l'électron :

  Q_{\text{int}} = -e \implies 4\pi r^2 E(r) = \frac{-e}{\epsilon_0} \implies E(r) = -\frac{e}{4\pi\epsilon_0 r^2}

• Pour r < r_e, la charge intérieure s'écrit :

  Q_{\text{int}} = \rho \times \frac{4}{3}\pi r^3 = -e \frac{r^3}{r_e^3} \implies 4\pi r^2 E(r) = -\frac{e r^3}{\epsilon_0 r_e^3} \implies E(r) = -\frac{e r}{4\pi\epsilon_0 r_e^3}

On obtient ainsi le champ électrique dans tout l'espace :

3. Énergie électrostatique totale W_e :

L'énergie électrostatique totale s'obtient en intégrant la densité volumique d'énergie w = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 sur tout l'espace, avec l'élément de volume d'une coquille sphérique \mathrm{d}\tau = 4\pi r^2\,\mathrm{d}r :

D'où l'énergie électrostatique totale :

D'après la question Q4, l'énergie électrostatique totale de la boule de rayon r_e s'écrit :

En identifiant cette énergie à l'énergie de masse d'Einstein \mathcal{E}_{m,e} = m_e c^2, il vient :

On en déduit l'expression de la taille r_e de l'électron :

Application numérique : D'après les données de l'énoncé :

• e = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C} ;
• \chi \simeq 1{,}5 \times 10^{-9}\text{ SI} ;
• \mathcal{E}_{m,e} = 0{,}5\text{ MeV} = 0{,}5 \times 10^6 \times 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ J} = 8{,}0 \times 10^{-14}\text{ J}.

Le rapport \frac{e}{\mathcal{E}_{m,e}} se simplifie remarquablement :

D'où :

Commentaire :

• L'ordre de grandeur obtenu (r_e \sim 1\text{ fm} = 10^{-15}\text{ m}) est comparable à la dimension d'un noyau atomique (de l'ordre du femtomètre), et s'avère environ 10^5 fois plus petit que la taille typique d'un atome (\sim 10^{-10}\text{ m} = 1\text{ \AA}).
• Dans le cadre de la théorie quantique des champs et du modèle standard de la physique des particules, l'électron est considéré comme une particule élémentaire strictement ponctuelle (les limites expérimentales actuelles lui assignent un rayon inférieur à 10^{-18}\text{ m}). Ce modèle classique de boule chargée montre ainsi les limites de l'électrodynamique classique à l'échelle subatomique.

D'après le postulat de Max Born, la quantité réelle positive |\Psi(M,t)|^{2} représente la densité volumique de probabilité de présence de l'électron au point M à l'instant t.

La probabilité \mathrm{d}\mathcal{P} de détecter l'électron à l'instant t dans un volume élémentaire \mathrm{d}V centré autour de la position M s'écrit :

Par conséquent, l'électron étant nécessairement présent quelque part dans l'espace, la fonction d'onde vérifie la condition de normalisation :

D'après le modèle proposé par Feynman :

• la dispersion spatiale de l'électron autour du noyau fixe est de l'ordre de la taille caractéristique de l'atome : \Delta x \simeq a ;
• l'écart-type de l'impulsion (autour d'une impulsion moyenne nulle en raison du confinement) est estimé par sa dispersion \Delta p : \sqrt{\langle p^2 \rangle} \simeq \Delta p.

En utilisant la relation d'indétermination de Heisenberg \Delta x \Delta p \simeq \hbar, il vient :

L'énergie cinétique non relativiste s'écrit \mathcal{E}_{\mathrm{c}} = \frac{p^2}{2m_e}. En prenant la moyenne temporelle (ou statistique) :

On en déduit l'expression de l'énergie cinétique moyenne :

L'énergie mécanique moyenne de l'électron est la somme de son énergie cinétique moyenne et de son énergie potentielle moyenne d'interaction électrostatique avec le noyau :

Le noyau de charge +e étant considéré comme fixe à l'origine, l'énergie potentielle coulombienne d'un électron de charge -e situé à une distance caractéristique a de ce noyau s'écrit :

En utilisant l'expression de l'énergie cinétique moyenne obtenue à la question Q7, \langle\mathcal{E}_{\mathrm{c}}\rangle = \frac{\hbar^2}{2 m_e a^2}, il vient :

D'après la question Q8, l'énergie mécanique moyenne s'écrit en fonction de la taille a :

La taille a_0 de l'atome dans son état fondamental minimise cette énergie mécanique moyenne. La condition d'annulation de la dérivée première s'écrit :

On en déduit l'expression de a_0 :

On vérifie la nature du minimum par la dérivée seconde :

Il s'agit donc bien d'un minimum d'énergie.

Application numérique :
Avec les données de l'énoncé :

• \hbar \simeq 1{,}0 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} ;
• m_e = 9{,}1 \times 10^{-31}\text{ kg} ;
• e = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C} ;
• \chi \simeq 1{,}5 \times 10^{-9}\text{ SI}.

Le dénominateur vaut :

D'où :

Commentaires :

• On retrouve l'expression exacte du rayon de Bohr de l'atome d'hydrogène. La valeur numérique obtenue (environ 0{,}5\text{ \AA}) est en excellent accord avec la valeur tabulée (a_0 \simeq 53\text{ pm}, mentionnée plus loin à la question Q34).
• Ce résultat illustre de façon remarquable la stabilité de la matière : en physique classique, l'électron s'effondrerait sur le noyau (énergie potentielle non bornée inférieurement lorsque a \to 0). Ici, le principe d'indétermination de Heisenberg impose une énergie cinétique de confinement qui croît en 1/a^2, dominant l'attraction coulombienne en -1/a à courte distance et assurant ainsi l'existence d'un état fondamental stable.

D'après la question Q8, l'énergie mécanique moyenne s'écrit en fonction de la taille a :

D'après la question Q9, la condition de minimisation donne \frac{\hbar^2}{m_e a_0^2} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 a_0}, soit :

En remplaçant a_0 = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}, il vient :

En introduisant l'énergie de masse \mathcal{E}_{m,e} = m_e c^2 et la constante de structure fine \alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c}, on obtient :

L'énergie d'ionisation \mathcal{E}_i est l'énergie minimale à fournir pour amener l'électron de son état fondamental à l'infini au repos (\mathcal{E}_\infty = 0) :

Application numérique avec \mathcal{E}_{m,e} = 0{,}5\text{ MeV} = 5{,}0 \times 10^5\text{ eV} et \alpha \simeq \frac{1}{137} :

Avec deux chiffres significatifs :

Dans le vide, en l'absence de sources de charges (\rho = 0) et de courants (\vec{\jmath} = \vec{0}), les équations de Maxwell s'écrivent :

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

D'après la formule vectorielle donnée en fin d'énoncé :

Comme \operatorname{div}\vec{E} = 0 (d'après M-G), le terme de gradient s'annule. En injectant l'équation de Maxwell-Ampère pour exprimer \vec{\operatorname{rot}}\vec{B}, il vient :

En posant c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}, on obtient l'équation de propagation du champ électrique dans le vide :

Cette équation aux dérivées partielles est l'équation de d'Alembert (ou équation des ondes).

L'opérateur de dérivation temporelle n'intervient qu'au second ordre \frac{\partial^2}{\partial t^2}. Par conséquent, sous l'opération de renversement du temps t \mapsto -t, on a :

L'équation de d'Alembert est donc invariante par renversement du temps : elle est réversible dans le temps (absence de terme dissipatif du premier ordre en \frac{\partial}{\partial t}).

On rencontre également cette équation en acoustique des fluides (ou mécanique des ondes sonores) : la surpression acoustique p_1(M,t) par rapport à la pression d'équilibre P_0 vérifie, dans le cadre de l'approximation acoustique (faibles perturbations, fluide parfait non visqueux et adiabatique) :

où la constante c_s = \frac{1}{\sqrt{\chi_s \rho_0}} représente la célérité des ondes sonores, avec \rho_0 la masse volumique du fluide au repos et \chi_s son coefficient de compressibilité isentropique.

Le champ électrique s'écrit :

1. Direction de propagation : La phase de l'onde est \phi(z,t) = \omega t - kz. Les plans d'équiphase satisfont \phi(z,t) = \text{cste}, soit :

   z(t) = \frac{\omega}{k}t - \frac{\text{cste}}{k}

   Comme k > 0 et \omega > 0, la vitesse de phase v_\varphi = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{\omega}{k} > 0 est positive. L'onde se propage donc le long de la direction de l'axe (Oz), dans le sens des z croissants, c'est-à-dire suivant le vecteur unitaire +\widehat{e}_z.

2. État de polarisation : Le champ électrique \vec{E}(M,t) reste constamment colinéaire au vecteur unitaire \widehat{e}_x. Il s'agit donc d'une polarisation rectiligne selon la direction \widehat{e}_x (axe (Ox)).

3. Justification du terme O.P.P.H. :

   • Onde : la perturbation dépend à la fois de l'espace (z) et du temps (t).
   • Plane : les surfaces d'onde (surfaces d'équiphase \phi(z,t) = \text{cste}) à un instant fixé sont les plans d'équation z = \text{cste}, perpendiculaires à la direction de propagation \widehat{e}_z. Sur ces plans, le champ est spatialement uniforme.
   • Progressive : le champ ne dépend des variables d'espace et de temps que par la combinaison \omega t - kz = \omega\left(t - \frac{z}{v_\varphi}\right), ce qui caractérise une propagation sans déformation à la vitesse v_\varphi = \omega/k.
   • Harmonique : la dépendance temporelle est sinusoïdale (purement monochromatique de pulsation \omega).

4. Relation de dispersion : Le champ doit vérifier l'équation de d'Alembert dans le vide établie à la question Q11 :

   \Delta\vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}

   Puisque \vec{E} n'a de composante que selon \widehat{e}_x et ne dépend que de z et de t, le laplacien vectoriel se réduit à :

   \Delta\vec{E} = \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2}\,\widehat{e}_x = -k^2 E_0 \cos(\omega t - kz)\,\widehat{e}_x = -k^2 \vec{E}

   De même, la dérivée temporelle seconde vaut :

   \frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2} = -\omega^2 E_0 \cos(\omega t - kz)\,\widehat{e}_x = -\omega^2 \vec{E}

   En réinjectant dans l'équation de d'Alembert :

   \left(-k^2 + \frac{\omega^2}{c^2}\right)\vec{E}(M,t) = \vec{0}

   Cette équation est satisfaite à tout instant et en tout point non nodal si et seulement si les constantes k et \omega vérifient la relation de dispersion :

   \boxed{\omega = c k}

   (avec \omega > 0 et k > 0).

   Remarque : La condition de transversalité imposée par Maxwell-Gauss dans le vide, \operatorname{div}\vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} = 0, est également vérifiée de façon identique.

Le champ électrique s'écrit \vec{E}(M,t) = E_0 \cos(\omega t - kz)\,\widehat{e}_x. D'après l'équation de Maxwell-Faraday dans le vide :

Calculons le rotationnel du champ électrique en coordonnées cartésiennes :

On en déduit :

En intégrant par rapport au temps, et en omettant tout champ magnétique stationnaire indépendant de la propagation de l'onde, il vient :

Or, d'après la relation de dispersion établie à la question précédente, \frac{\omega}{k} = c. On obtient donc :

Principales caractéristiques de cette onde électromagnétique :

• Structure transverse (onde TEM) : le champ électrique \vec{E} et le champ magnétique \vec{B} sont tous deux orthogonaux à la direction de propagation \widehat{e}_z.

• Trièdre orthogonal direct : les vecteurs (\vec{E}, \vec{B}, \widehat{e}_z) forment une base orthogonale directe en tout point et à tout instant, avec la relation de structure :

  \vec{B} = \frac{\widehat{e}_z \wedge \vec{E}}{c}

• En phase et couplage d'amplitude : les champs \vec{E} et \vec{B} oscillent rigoureusement en phase, avec le rapport d'amplitude constant :

  E = c\,B
• Polarisation : l'onde présente une polarisation rectiligne suivant l'axe (Ox).
• Propagation non dispersive : la vitesse de phase v_{\varphi} = \frac{\omega}{k} = c est indépendante de la pulsation \omega.

Par définition, le vecteur de Poynting dans le vide s'écrit :

En utilisant les expressions des champs électrique et magnétique obtenues aux questions 12 et 13 :

avec \widehat{e}_x \wedge \widehat{e}_y = \widehat{e}_z et \mu_0 \epsilon_0 c^2 = 1 (soit \frac{1}{\mu_0} = \epsilon_0 c^2), on obtient :

La puissance instantanée traversant une surface plane \mathscr{S} orthogonale à la direction de propagation et orientée dans le sens de propagation (soit \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\widehat{e}_z) est le flux du vecteur de Poynting à travers cette surface :

En prenant la moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega}, sachant que \langle \cos^2(\omega t - kz) \rangle = \frac{1}{2}, la puissance moyenne s'écrit :

Dans le vide, la fréquence \nu et la longueur d'onde \lambda du champ électromagnétique sont reliées par :

L'énergie transportée par un photon est donc donnée par la relation de Planck-Einstein :

Pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t, un nombre moyen \mathrm{d}N_{\gamma} de photons traverse la section \mathscr{S}. L'énergie électromagnétique correspondante \mathrm{d}\mathcal{E} s'écrit :

La puissance moyenne traversant cette section s'exprime donc par :

On en déduit l'expression du flux de photons :

Pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t, les photons qui traversent la section \mathscr{S} sont ceux situés dans un cylindre de base \mathscr{S} et de hauteur c\,\mathrm{d}t, soit un volume élémentaire \mathrm{d}V = \mathscr{S} c\,\mathrm{d}t. Le nombre de photons traversant cette section est donc :

Chaque photon transportant l'énergie \mathcal{E}_\gamma = h\nu, l'énergie \delta\mathcal{E} traversant la section \mathscr{S} pendant \mathrm{d}t s'écrit :

Par définition du vecteur de Poynting \vec{\Pi}, la puissance instantanée traversant la surface \mathscr{S} (orientée selon \widehat{e}_z) est \mathcal{P} = \vec{\Pi} \cdot (\mathscr{S}\widehat{e}_z) = \Pi\,\mathscr{S}. L'énergie élémentaire traversant cette surface pendant \mathrm{d}t s'exprime donc par :

En identifiant les deux expressions de \delta\mathcal{E}, on obtient la relation entre l'intensité du vecteur de Poynting et les grandeurs photoniques :

Pour un photon de masse nulle m=0, la relation relativiste \mathcal{E} = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} se réduit à \mathcal{E}_\gamma = p_\gamma c, d'où une impulsion individuelle :

Puisque les photons se propagent dans le sens de \widehat{e}_z, le vecteur impulsion d'un photon est \vec{p}_\gamma = \frac{h\nu}{c}\widehat{e}_z.

La densité volumique d'impulsion \vec{p}_{\gamma,\mathrm{vol}} du faisceau s'en déduit :

En utilisant l'expression du vecteur de Poynting dans le vide, \vec{\Pi} = \frac{\vec{E} \wedge \vec{B}}{\mu_0}, et la relation c^2 = \frac{1}{\epsilon_0\mu_0}, on a :

On identifie donc la constante \xi :

Le moment magnétique \vec{s}(t) = s(t)\,\widehat{e}_z peut être modélisé par une petite spire circulaire plane centrée en O, contenue dans le plan (xOy), d'axe (Oz) et parcourue par un courant I(t) orienté selon \widehat{e}_\varphi.

Invariances : La distribution de courant est invariante par toute rotation d'angle \varphi quelconque autour de l'axe (Oz). En vertu du principe de Curie, les effets possèdent les mêmes invariances que les causes. Par conséquent, les composantes du champ électrique induit \vec{E}(M,t) en coordonnées sphériques ne dépendent pas de la variable azimutale \varphi :

Symétries et direction du champ électrique : Considérons un point M(r,\theta,\varphi) quelconque de l'espace. Le plan méridien \Pi_m(M) passant par M, défini par (O, \widehat{e}_r, \widehat{e}_\theta) (ou encore par l'axe (Oz) et le point M), contient l'axe de la spire. En tout point de la spire traversant ce plan, le vecteur densité de courant \vec{\jmath} est orthogonal au plan. La réflexion par rapport à \Pi_m(M) inverse donc le sens du courant : \Pi_m(M) est un plan d'anti-symétrie (noté \Pi^-) pour la distribution de courant.

D'après le principe de Curie, \Pi_m(M) est également un plan d'anti-symétrie pour les effets. Le champ électrique induit \vec{E}(M,t) étant un champ de vecteurs polaires (vrais vecteurs), un plan d'anti-symétrie pour les sources impose qu'en tout point M appartenant à ce plan, le vecteur champ électrique soit orthogonal au plan :

Comme la normale au plan méridien (O, \widehat{e}_r, \widehat{e}_\theta) est portée par le vecteur unitaire azimutal \widehat{e}_\varphi, le champ électrique induit ne possède qu'une composante selon \widehat{e}_\varphi :

La seule composante non nulle de \vec{E}(M,t) dans la base sphérique est portée par \widehat{e}_\varphi et est indépendante de \varphi.

1. Équation de Maxwell-Faraday et forme intégrale

L'équation locale de Maxwell-Faraday s'écrit :

En intégrant cette équation sur une surface ouverte fixe \mathscr{S} s'appuyant sur un contour fermé orienté \mathcal{C} selon la règle du tire-bouchon (normale \mathrm{d}\vec{\mathscr{S}} reliée au sens de parcours \mathrm{d}\vec{\ell}), et en appliquant le théorème de Stokes-Ampère, on obtient la forme intégrale :

où \Phi est le flux du champ magnétique à travers la surface \mathscr{S}.

2. Flux magnétique à travers la calotte sphérique

Le contour \Gamma est le cercle de rayon \rho = a\sin\theta situé à la colatitude \theta sur la coquille de rayon a, orienté selon +\widehat{e}_{\varphi}. Par la règle de la main droite, l'élément de surface de la calotte sphérique \mathscr{S} s'appuyant sur \Gamma est orienté vers l'extérieur :

avec \theta' \in [0, \theta] et \varphi' \in [0, 2\pi].

Le dipôle magnétique s'écrit \vec{s}(t) = s(t)\,\widehat{e}_{z}. En utilisant la relation fournie \widehat{e}_{z} = \cos\theta'\,\widehat{e}_{r} - \sin\theta'\,\widehat{e}_{\theta}, on a :

Sur la coquille (r=a), la composante radiale du champ magnétique dipolaire est :

Le flux magnétique \Phi à travers la calotte sphérique \mathscr{S} vaut donc :

On obtient bien la forme demandée avec :

Considérons le contour fermé circulaire \Gamma(r,\theta), d'axe (Oz), centré sur l'axe polaire à la cote z = r\cos\theta, de rayon \rho = r\sin\theta, orienté par \widehat{e}_\varphi.

L'élément de longueur le long de ce cercle est \mathrm{d}\vec{\ell} = \rho\,\mathrm{d}\varphi\,\widehat{e}_\varphi = r\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\widehat{e}_\varphi.

D'après les symétries et invariances établies à la question Q17, \vec{E}(M,t) = E_\varphi(r,\theta,t)\,\widehat{e}_\varphi. La circulation de \vec{E} le long de \Gamma s'écrit alors :

D'après la question Q18 (avec n=2), le flux de \vec{B} à travers la calotte sphérique de rayon r sous-tendue par le contour \Gamma vaut :

La forme intégrale de la loi de Maxwell-Faraday donne :

Soit :

Pour tout r > 0 et \sin\theta \neq 0, on en déduit l'expression du champ électrique induit dans tout l'espace :

Sur la coquille sphérique de rayon r = a (sur laquelle sont situées les charges étudiées par la suite), l'amplitude algébrique selon \widehat{e}_\varphi s'écrit :

Un élément de surface \mathrm{d}\mathscr{S} de la coquille sphérique, situé au point M(a,\theta,\varphi), porte la charge élémentaire :

D'après la question Q19, le champ électrique induit à la surface de la sphère (r=a) s'écrit :

La force électrique élémentaire s'exerçant sur cet élément de surface est donc :

Le moment élémentaire de cette force par rapport à l'axe orienté (O, \widehat{e}_z) est donné par :

Avec \overrightarrow{OM} = a\,\widehat{e}_r, et sachant que dans la base sphérique orthonormée directe (\widehat{e}_r, \widehat{e}_\theta, \widehat{e}_\varphi) on a \widehat{e}_r \wedge \widehat{e}_\varphi = -\widehat{e}_\theta :

En utilisant la relation \widehat{e}_z = \cos\theta\,\widehat{e}_r - \sin\theta\,\widehat{e}_\theta (rappelée à la question Q18), il vient \widehat{e}_\theta \cdot \widehat{e}_z = -\sin\theta. Par conséquent :

Ce résultat se retrouve directement en remarquant que la distance à l'axe de rotation est le rayon du parallèle \rho = a\sin\theta et que \mathrm{d}\vec{F}_e est purement orthoradial selon \widehat{e}_\varphi.

En remplaçant \mathrm{d}F_{e,\varphi} par son expression :

En exprimant l'élément de surface sphérique \mathrm{d}\mathscr{S} = a^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi, on peut également l'écrire sous la forme :

D'après la question Q20, le moment élémentaire par rapport à l'axe (O, \widehat{e}_z) de la force électrique induite s'écrit :

Le moment total \mathscr{M}_{e,z} s'exerçant sur la coquille est obtenu en intégrant sur toute la surface de la sphère, soit pour \theta \in [0, \pi] et \varphi \in [0, 2\pi[ :

L'intégration sur l'angle azimutal donne \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi = 2\pi. D'après les données utiles en fin de sujet :

On en déduit :

D'où l'expression finale du moment total :

1. Vitesse de rotation finale \omega_F de la coquille

La coquille sphérique est en rotation autour de l'axe fixe (O, \widehat{e}_z). En ne prenant en compte que le moment du champ électrique induit \mathscr{M}_{e,z} établi à la question Q21, le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à cet axe s'écrit :

En remplaçant J = \frac{2}{3} m a^2 et \mathscr{M}_{e,z} = -\frac{2}{3}\mu_0 \sigma a \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} :

Soit, en simplifiant par le facteur commun \frac{2}{3} a :

En intégrant entre l'instant initial où \omega(0) = 0 et s(0) = s_0, et l'instant final où la rotation est stabilisée à la pulsation \omega_F avec s(t_f) = 0 :

On en déduit l'expression de la vitesse de rotation finale :

2. Absence de contribution de la force magnétique

Lorsque la coquille tourne à la vitesse angulaire \omega \widehat{e}_z, un élément de surface \mathrm{d}\mathscr{S} portant la charge \mathrm{d}q = \sigma \mathrm{d}\mathscr{S} possède une vitesse purement orthoradiale :

Cet élément de charge est soumis à la force magnétique élémentaire de Lorentz :

Or le champ magnétique dipolaire \vec{B} créé par le dipôle \vec{s}(t) = s(t)\widehat{e}_z est entièrement contenu dans le plan méridien (\widehat{e}_r, \widehat{e}_\theta) :

Le produit vectoriel donne donc :

La force magnétique \mathrm{d}\vec{F}_{\mathrm{mag}} est ainsi strictement contenue dans le plan méridien : elle ne possède aucune composante azimutale selon \widehat{e}_{\varphi}.

Par conséquent, son moment par rapport au centre O vérifie :

Ce moment étant dirigé selon \widehat{e}_{\varphi}, sa projection sur l'axe (O, \widehat{e}_z) est rigoureusement nulle :

La force magnétique ne produit donc aucun moment par rapport à l'axe de rotation.

D'après la question Q16, le champ électromagnétique possède une densité volumique d'impulsion :

Par conséquent, il transporte également une densité volumique de moment cinétique par rapport à l'origine O :

1. Dans l'état initial (t = 0) : la coquille est immobile, donc son moment cinétique mécanique est nul (\vec{L}_{\text{méc}}(0) = \vec{0}). Cependant, la sphère chargée crée un champ électrostatique \vec{E}, tandis que la spire parcourue par un courant crée un champ magnétostatique \vec{B}. Bien que ces champs soient stationnaires, leur produit vectoriel \vec{E} \wedge \vec{B} est non nul et orthoradial : il existe ainsi un moment cinétique électromagnétique non nul stocké dans l'espace :

   \vec{L}_{\text{em}}(0) = \iiint_{\text{espace}} \epsilon_0 \, \vec{r} \wedge \left(\vec{E} \wedge \vec{B}\right) \mathrm{d}\tau \neq \vec{0}
2. Lors de l'extinction du dipôle : la variation temporelle du champ magnétique induit un champ électrique (loi de Faraday) qui exerce un couple mécanique sur les charges de la coquille et la met en rotation.
3. Dans l'état final : le courant s'est annulé, donc \vec{B} = \vec{0} et le moment cinétique du champ électromagnétique devient nul (\vec{L}_{\text{em}}(\infty) = \vec{0}).

Le système global isolé à considérer n'est pas simplement \{\text{spire} + \text{coquille}\}, mais \{\text{matière} + \text{champ électromagnétique}\}. Le théorème du moment cinétique appliqué à ce système global assure la conservation du moment cinétique total :

Le moment cinétique mécanique acquis par la coquille lors de sa mise en rotation provient donc intégralement du moment cinétique initialement contenu dans le champ électromagnétique :

Le paradoxe n'est qu'apparent : il disparaît dès lors que l'on attribue au champ électromagnétique une réalité physique lui permettant de stocker et d'échanger de l'énergie et de l'impulsion (ainsi que du moment cinétique) avec la matière.

Dans le modèle de Thomson, le noyau est une boule de centre O et de rayon a portant une charge totale +e uniformément répartie en volume. D'après le résultat obtenu à la question 4 pour une boule homogène, en remplaçant -e par +e et le rayon r_e par a, le champ électrique créé par cette distribution en tout point M intérieur à l'atome (r \le a) s'écrit :

L'électron, de charge q = -e et de masse m_e, est astreint à se déplacer le long de l'axe (O, \widehat{e}_x). Son vecteur position s'écrit donc \overrightarrow{OM} = x\,\widehat{e}_x (avec |x| \le a).

La force électrostatique exercée par le noyau sur l'électron est alors :

Cette force se met bien sous la forme d'une force de rappel élastique \vec{F}_{\text{noy}} = -m_e \omega_0^2 x\,\widehat{e}_x, où :

On étudie le mouvement de l'électron (assimilé à un point matériel de masse m_e) dans le référentiel lié au noyau supposé galiléen. L'électron est astreint à se déplacer selon l'axe (O, \widehat{e}_x) et n'est soumis, en l'absence de rayonnement, qu'à la force de rappel du noyau :

D'après la deuxième loi de Newton projetée sur (O, \widehat{e}_x) :

La solution générale s'écrit x(t) = A \cos(\omega_0 t) + B \sin(\omega_0 t). Compte tenu des conditions initiales x(0) = x_0 et \dot{x}(0) = 0, il vient immédiatement A = x_0 et B = 0, soit :

La force de rappel dérive d'une énergie potentielle \mathcal{E}_{\mathrm{p}}(x) définie par \vec{F}_{\text{noy}} = -\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d}x}\,\widehat{e}_x. En choisissant l'origine comme référence d'énergie potentielle (\mathcal{E}_{\mathrm{p}}(0) = 0) :

La vitesse de l'électron étant \dot{x}(t) = -\omega_0 x_0 \sin(\omega_0 t), l'énergie mécanique instantanée de l'oscillateur s'exprime par :

L'énergie mécanique étant rigoureusement conservée en l'absence d'amortissement, sa valeur moyenne sur une période d'oscillation T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} est égale à sa valeur instantanée :

D'après la question précédente, le mouvement non perturbé de l'électron s'écrit x(t) = x_0 \cos(\omega_0 t). Son accélération est :

En moyennant sur une période d'oscillation T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}, la valeur moyenne du terme en cosinus au carré vaut \langle \cos^2(\omega_0 t) \rangle = \frac{1}{2}, d'où :

La formule de Larmor donne, avec q^2 = (-e)^2 = e^2 :

Or, d'après le résultat de la question Q25, l'énergie mécanique moyenne de l'électron s'écrit :

On en déduit l'expression de la puissance rayonnée moyenne :

Dans le cadre de l'approximation du régime quasi-statique, l'électron perd à chaque instant son énergie mécanique sous forme de rayonnement :

L'équation différentielle vérifiée par \langle \mathcal{E} \rangle s'écrit donc :

Par intégration immédiate, avec la condition initiale \langle \mathcal{E} \rangle(0) = \mathcal{E}_0 :

Pour la raie d'émission de longueur d'onde dans le vide \lambda_0, la pulsation propre est \omega_0 = \frac{2\pi c}{\lambda_0}. Le taux de décroissance s'exprime donc sous la forme :

Application numérique :

• \omega_0 = \frac{2\pi \times 3{,}0 \times 10^8}{486{,}1 \times 10^{-9}} \simeq 3{,}88 \times 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, d'où \omega_0^2 \simeq 1{,}50 \times 10^{31}\text{ s}^{-2} ;
• Données fournies : \frac{e^2}{6\pi\epsilon_0 c^3} = 5{,}7 \times 10^{-54}\text{ SI} et m_e = 9{,}1 \times 10^{-31}\text{ kg}.

La durée caractéristique d'émission du train d'onde correspond au temps caractéristique d'amortissement de l'énergie radiative de l'oscillateur :

Pendant cette durée, l'onde électromagnétique se propage dans le vide à la célérité c. La longueur \mathcal{L} du train d'onde s'exprime donc par :

Application numérique : Avec \Gamma \simeq 9{,}4 \times 10^{7}\text{ s}^{-1} (calculé à la question Q26) et c = 3{,}0 \times 10^{8}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Commentaire : La longueur du train d'onde est de l'ordre de quelques mètres, ce qui est une dimension macroscopique très surprenante pour une émission issue d'un processus atomique dont l'échelle spatiale est subnanométrique. Cette longueur correspond également à la longueur de cohérence temporelle intrinsèque associée à la largeur naturelle de la raie.

Comparaison entre 1/\Gamma et T_0 et justification : La période d'oscillation de l'électron vaut :

La durée caractéristique d'amortissement vaut quant à elle :

On constate ainsi que :

Puisque le temps d'amortissement 1/\Gamma est près de sept ordres de grandeur supérieur à la période fondamentale d'oscillation T_0, la perte d'énergie au cours d'une seule période est totalement négligeable. Cela justifie rigoureusement l'hypothèse de découplage des échelles de temps et l'approche quasi-statique adoptée à la question Q26 (moyenne temporelle sur une pseudo-période T_0 à énergie quasi-constante).

D'après la formule de Larmor, avec une accélération \gamma = \ddot{x}, la puissance instantanée rayonnée par l'électron s'écrit :

La puissance moyenne rayonnée sur une période d'oscillation T_0 est donc :

Effectuons une intégration par parties sur l'intégrale en posant u(t) = \dot{x}(t) et v'(t) = \ddot{x}(t), d'où u'(t) = \ddot{x}(t) et v(t) = \dddot{x}(t) (ou en intégrant un facteur \ddot{x} et en dérivant l'autre) :

Le mouvement non perturbé étant strictement T_0-périodique, les grandeurs \dot{x}(t) et \ddot{x}(t) reprennent les mêmes valeurs en t = 0 et t = T_0. Le terme tout intégré est donc nul :

Il vient alors :

La puissance mécanique développée par la force \vec{F}_{\text{rad}} = m_e \tau \dddot{x}\,\widehat{e}_x sur l'électron de vitesse \vec{v} = \dot{x}\,\widehat{e}_x vaut :

En moyenne temporelle sur une période :

On en déduit que la puissance moyenne perdue par rayonnement \langle\mathcal{P}\rangle s'identifie à l'opposé de la puissance moyenne fournie par la force \vec{F}_{\text{rad}} :

à la condition d'avoir :

Or, d'après la question Q26, le taux de décroissance radiative s'écrit \Gamma = \frac{e^2 \omega_0^2}{6\pi\epsilon_0 m_e c^3}. On en déduit l'expression demandée de \tau :

1. Condition de perturbation sur \tau

D'après les questions précédentes, l'électron oscille à une pulsation voisine de \omega_0. Ses dérivées temporelles successives s'estiment par :

Les normes des forces en jeu valent donc :

La force de rayonnement agit comme une faible perturbation si et seulement si \|\vec{F}_{\text{rad}}\| \ll \|\vec{F}_{\text{noy}}\|, ce qui conduit à la condition :

Le temps caractéristique d'Abraham-Lorentz doit être très court devant la période propre T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}.

2. Équation différentielle à l'ordre 1 et facteur de qualité

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron dans le référentiel du laboratoire (supposé galiléen) projeté sur \widehat{e}_x s'écrit :

À l'ordre 0 en \tau (mouvement non perturbé), on a :

En dérivant cette relation par rapport au temps :

Puisque le terme \tau \dddot{x} est déjà un infiniment petit d'ordre 1, on peut substituer cette relation d'ordre 0 dans l'équation du mouvement pour obtenir l'équation fermée à l'ordre 1 :

Or d'après la question Q28, \tau \omega_0^2 = \Gamma. On reconnaît l'équation d'un oscillateur amorti de la forme classique \ddot{x} + \frac{\omega_0}{Q}\dot{x} + \omega_0^2 x = 0 avec :

3. Application numérique et commentaire

Pour la raie bleue (\lambda_0 = 486{,}1\text{ nm}), avec \omega_0 = \frac{2\pi c}{\lambda_0} \simeq 3{,}88 \times 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} et \Gamma \simeq 9{,}4 \times 10^7\text{ s}^{-1} (calculé à la question Q26) :

Commentaire : Le facteur de qualité est extrêmement grand (Q \gg 1), ce qui traduit un amortissement radiatif extrêmement faible à l'échelle d'une période d'oscillation. L'atome oscille pendant plusieurs dizaines de millions de périodes avant de perdre son énergie, ce qui justifie parfaitement le traitement perturbatif et explique la très grande finesse spectrale de la raie émise (haute monochromaticité).

La force conservative exercée par le noyau sur l'électron dérive de l'énergie potentielle centrale \mathcal{E}_{\mathrm{p}}(r) :

Dans la base polaire (\widehat{e}_{r}, \widehat{e}_{\theta}), la vitesse de l'électron s'écrit :

Identifions les composantes des vecteurs \vec{A} = \vec{v} et \vec{B} = \vec{F}_{\text{noy}} intervenant dans la relation du formulaire :

La composante B_{r} ne dépendant que de r, on a \dfrac{\partial B_{r}}{\partial \theta} = 0. En injectant ces composantes dans la formule fournie :

La force de freinage par rayonnement s'en déduit directement :

La résultante des forces subies par l'électron est donc :

Dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, appliquons le théorème du moment cinétique à l'électron (masse m_e) par rapport au point fixe O :

Le rayon-vecteur s'écrit \overrightarrow{OM} = r\,\widehat{e}_r. En utilisant l'expression de la force totale obtenue à la question Q30, \vec{F} = F_r\,\widehat{e}_r + F_\theta\,\widehat{e}_\theta, le moment en O vaut :

La composante radiale étant portée par \overrightarrow{OM}, son moment est nul. D'après la question Q30, la composante orthoradiale est uniquement due au terme de freinage radiatif :

Le moment cinétique orbital de l'électron dans le plan (Oxy) s'exprime quant à lui par :

On en déduit :

L'égalité demandée est donc établie avec :

La force exercée par le noyau sur l'électron s'écrit :

D'après le résultat de la question Q31, l'évolution temporelle du moment cinétique orbital vérifie :

avec f(r) = -\frac{\tau}{m_e r}. En substituant :

D'après la question Q28, on a \Gamma = \tau \omega_0^2. L'équation différentielle s'écrit donc simplement :

Par intégration immédiate avec la condition initiale \vec{L}_O(0), on obtient :

La durée caractéristique de décroissance du moment cinétique est :

Numériquement, avec \Gamma \simeq 9{,}4 \times 10^7\text{ s}^{-1} (calculé à la question Q26 pour la raie bleue), on trouve \tau_L \simeq 1{,}1 \times 10^{-8}\text{ s} = 11\text{ ns}.

Où « passe » le moment cinétique ?
Le moment cinétique perdu par l'atome est emporté par le champ électromagnétique rayonné. En effet, comme vu dans les parties II.A et II.B, le champ électromagnétique est porteur d'une impulsion volumique \vec{p}_{\text{em}} = \epsilon_0 \vec{E} \wedge \vec{B}, et donc d'un moment cinétique volumique \vec{\ell}_{\text{em}} = \vec{r} \wedge \vec{p}_{\text{em}}. Le moment cinétique global du système isolé \{\text{atome} + \text{rayonnement}\} est rigoureusement conservé.

Le noyau ponctuel de charge +Ze est fixe à l'origine O. L'électron, de charge -e et de masse m_e, est repéré par sa position \overrightarrow{OM} = r\,\widehat{e}_r.

1. Expression de la force coulombienne

La force électrostatique subie par l'électron s'écrit :

2. Caractère uniforme du mouvement

Sur une orbite circulaire de rayon r = \text{cte}, le vecteur vitesse de l'électron est purement orthoradial :

La force coulombienne étant purement radiale, elle est orthogonale à la trajectoire à chaque instant :

D'après le théorème de l'énergie cinétique appliqué à l'électron dans le référentiel d'étude galiléen :

La norme de la vitesse v = \|\vec{v}\| est constante : le mouvement de l'électron est uniforme.

3. Vitesse v et période T de l'orbite

L'accélération d'un mouvement circulaire uniforme de rayon r et de vitesse v est centripète :

Le principe fondamental de la dynamique projeté selon \widehat{e}_r donne :

On en déduit l'expression de la vitesse orbitale :

Le parcours d'une révolution complète correspond à un périmètre 2\pi r parcouru à la vitesse constante v. La période T vaut donc :

soit :

En élevant cette expression au carré, on obtient :

Cette relation est l'analogue coulombien de la troisième loi de Kepler (ou loi des périodes).

4. Énergie mécanique \mathcal{E} de l'électron

L'énergie cinétique vaut :

L'énergie potentielle électrostatique, choisie nulle à l'infini (\mathcal{E}_{\mathrm{p}}(\infty) = 0), dérive de \vec{F}_{\text{coul}} = -\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d}r}\widehat{e}_r :

L'énergie mécanique totale \mathcal{E} = \mathcal{E}_{\mathrm{c}} + \mathcal{E}_{\mathrm{p}} s'écrit alors :

d'où :

D'après la question Q33, l'énergie mécanique de l'électron sur une orbite circulaire de rayon r autour d'un noyau de charge Ze s'écrit, en introduisant \chi = \frac{e}{4\pi\epsilon_0} :

Sa dérivée temporelle est :

L'accélération du mouvement circulaire non perturbé est purement centripète :

La puissance électromagnétique rayonnée est donnée par la formule de Larmor :

Dans le cadre de l'approximation quasi-statique, la conservation de l'énergie s'écrit \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}}{\mathrm{d}t} = -\mathcal{P}, soit :

On en déduit l'équation différentielle vérifiée par r(t) :

En séparant les variables, il vient \frac{1}{3}\frac{\mathrm{d}(r^3)}{\mathrm{d}t} = -\frac{4 Z e^2 \chi^2}{3 m_e^2 c^3}, soit :

En intégrant avec la condition initiale r(0) = r_0 :

Le temps d'effondrement t_{\text{eff}} correspond à l'instant où le rayon s'annule, r(t_{\text{eff}}) = 0 :

Pour l'atome d'hydrogène (Z = 1) avec r_0 = 53\text{ pm} = 53 \times 10^{-12}\text{ m} :

D'où l'application numérique :

Le nombre élémentaire de tours effectués pendant \mathrm{d}t est \mathrm{d}N = \frac{\mathrm{d}t}{T(t)}, où T(t) est la période instantanée de révolution. D'après la question Q33 :

où T_0 = T(r_0) = 2\pi\sqrt{\frac{m_e r_0^3}{Z e \chi}} est la période orbitale initiale. Le nombre total de tours s'obtient par intégration :

En remplaçant t_{\text{eff}} et T_0 par leurs expressions :

Calculons numériquement la période orbitale initiale T_0 :

On obtient finalement :