Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 MP 2025

La source S_A est située dans le plan focal objet de la lentille convergente L_1. Par conséquent, les rayons issus de S_A émergent de L_1 parallèlement entre eux.

La direction de propagation du faisceau parallèle est donnée par le rayon passant par le centre optique O_1, qui n'est pas dévié. D'après la figure 1, la droite (S_A O_1) fait un angle \alpha/2 avec l'axe optique (Oz), orienté vers les x négatifs.

D'après le théorème de Malus, les surfaces d'onde en aval de la lentille sont des plans perpendiculaires aux rayons lumineux. Considérons le plan d'onde passant par le centre de la fente T_1. La fente T_2 est située plus en aval le long de la direction de propagation des rayons lumineux.

Le chemin optique de la source S_A jusqu'à ce plan d'onde est identique pour tous les rayons. La différence de marche \delta_{\text{source}} = (S_A T_2) - (S_A T_1) correspond donc à la distance supplémentaire parcourue dans l'air (d'indice n \approx 1) pour atteindre T_2 :

Comme \alpha \ll 1, on effectue un développement limité au premier ordre : \sin(\alpha/2) \approx \alpha/2. On obtient ainsi :

L'onde lumineuse se propageant dans le milieu (assimilé au vide ou à l'air d'indice n = 1) à la célérité c, le trajet optique (S_A T_j M) correspond à un retard temporel de propagation :

Comme la pulsation \omega et le nombre d'onde k sont reliés par la relation de dispersion k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda_0}, le déphasage introduit par la propagation s'écrit :

En négligeant la décroissance d'amplitude au cours de la propagation, le signal reçu en M s'obtient par évaluation du signal source à l'instant retardé t - \tau_j, soit s_j(t) = s(t - \tau_j) = s_0 \cos\left(\omega(t - \tau_j)\right) :

Les récepteurs optiques étant sensibles au flux d'énergie moyen sur une durée grande devant la période optique, l'intensité lumineuse I(M) au point M est proportionnelle à la moyenne temporelle du carré de l'amplitude totale s(t) = s_1(t) + s_2(t) :

où K est une constante dépendant des unités choisies et \langle \cdot \rangle désigne la moyenne temporelle.

En développant, on obtient :

D'après la question Q2, les signaux s'écrivent s_1(t) = s_0 \cos(\omega t - \varphi_1) et s_2(t) = s_0 \cos(\omega t - \varphi_2), avec \varphi_1 = k(S_A T_1 M) et \varphi_2 = k(S_A T_2 M).

L'intensité associée à chaque onde prise isolément est :

Le terme d'interférence s'évalue à l'aide de l'identité \cos p \cos q = \frac{1}{2}[\cos(p-q) + \cos(p+q)] :

Le terme oscillant à la pulsation 2\omega est de moyenne temporelle nulle, d'où :

Le déphasage entre les deux chemins optiques vaut :

Or, d'après l'énoncé et le résultat de la question Q1, la différence de marche totale se décompose selon :

On en déduit l'expression de l'intensité détectée :

Les sources S_A et S_B sont mutuellement incohérentes : le déphasage entre les ondes qu'elles émettent varie de manière aléatoire à une échelle de temps très inférieure au temps d'intégration du détecteur. Les signaux issus de S_A n'interfèrent donc pas avec ceux issus de S_B : le terme d'interférence croisé a une moyenne temporelle nulle, \langle s_A(t) s_B(t) \rangle = 0.

Par conséquent, l'intensité totale détectée au point M est la somme des intensités produites indépendamment par chaque source :

D'après la question Q3, l'intensité produite par la source S_A, située dans la direction angulaire +\alpha/2, s'écrit :

La source S_B est identique à S_A mais inclinée de l'angle symétrique -\alpha/2 par rapport à l'axe optique (figure 1). Par analogie :

En sommant ces deux contributions :

D'après la formule trigonométrique fournie dans le formulaire :

Il vient ainsi :

En posant I_{\mathrm{d},0} = 4I_0, l'intensité détectée se met bien sous la forme :

D'après le résultat de la question Q4, l'intensité détectée sur l'écran au point M s'écrit :

où k = \dfrac{2\pi}{\lambda_0}.

1. Cas où le facteur de cohérence vaut \Gamma = 1 : L'expression de l'intensité devient :

   I_{\mathrm{d}}(\delta) = I_{\mathrm{d},0}(1 + \cos(k\delta))

   L'intensité est strictement périodique de période spatiale en différence de marche \Delta \delta = \lambda_0.

   • L'intensité est maximale pour \delta = p\lambda_0 (p \in \mathbb{Z}), avec :

     I_{\max} = 2I_{\mathrm{d},0}

   • L'intensité s'annule pour \delta = \left(p + \frac{1}{2}\right)\lambda_0 (p \in \mathbb{Z}), avec :

     I_{\min} = 0

   Le contraste est alors maximal : C = \dfrac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = 1.

2. Cas où le facteur de cohérence est nul (\Gamma = 0) : L'expression de l'intensité se réduit à :

   I_{\mathrm{d}}(\delta) = I_{\mathrm{d},0} = \text{cste}

   L'éclairement est parfaitement uniforme sur l'écran : il n'y a plus de franges visibles (phénomène de brouillage complet), le contraste est nul (C = 0).

Par définition du vecteur d'onde k = \dfrac{2\pi}{\lambda_0}, la grandeur adimensionnée recherchée s'écrit :

Avec les valeurs numériques fournies par l'énoncé :

• a = 200\ \mu\text{m} = 200 \times 10^{-6}\ \text{m} ;
• \lambda_0 = 650\ \text{nm} = 650 \times 10^{-9}\ \text{m}.

On obtient numériquement :

D'après la question Q6, la grandeur s'écrit :

En considérant que la distance a entre les fentes est connue sans incertitude (ou d'incertitude négligeable devant celle sur \lambda_0), la formule de propagation des incertitudes donne :

Ce qui s'exprime plus simplement sous forme relative :

Avec \frac{ka}{2} \approx 967\text{ rad}, \lambda_0 = 650\text{ nm} et u(\lambda_0) = 30\text{ nm} :

D'après la figure 4 (profil d'intensité lumineuse), le quadrillage présente des graduations principales tous les 20\text{ u.a.} et secondaires tous les 10\text{ u.a.} :

• Le maximum central d'intensité lumineuse (situé au voisinage immédiat de \delta/\lambda_0 \approx 0) atteint :

  I_{\max} \approx 112\text{ u.a.} \quad (\text{compris entre } 110 \text{ et } 114\text{ u.a.})

• Les deux minimums qui encadrent ce pic central (situés respectivement à \delta/\lambda_0 \approx -0{,}3 et \delta/\lambda_0 \approx +0{,}6) ont pour intensité :

  I_{\min} \approx 50\text{ u.a.}

On en déduit la valeur du contraste :

(Une lecture donnant I_{\max} \in [110\,;\,115]\text{ u.a.} et I_{\min} \approx 50\text{ u.a.} conduit à C \in [0{,}37\,;\,0{,}39]).

D'après les questions précédentes :

• Abscisse :

  \frac{ka}{2} \approx 967\text{ rad} \approx 0{,}97 \times 10^3\text{ rad}

  avec une incertitude-type (question Q7) :

  u\!\left(\frac{ka}{2}\right) \approx 45\text{ rad} \approx 0{,}05 \times 10^3\text{ rad}

• Ordonnée :

  C \approx 0{,}38

  avec une incertitude-type :

  u(C) = 0{,}10 \times C = 0{,}10 \times 0{,}38 \approx 0{,}038 \approx 0{,}04

Sur le document réponse, les échelles sont les suivantes :

• En abscisse, l'intervalle entre deux graduations principales (1 \times 10^3\text{ rad}) est divisé en 5 sous-graduations, soit 0{,}2 \times 10^3 = 200\text{ rad} par sous-graduation. Le point se place donc juste avant la graduation 1 \times 10^3\text{ rad}, et la demi-largeur de la barre d'erreur horizontale (\approx 45\text{ rad}) correspond à environ un quart de sous-graduation.
• En ordonnée, une subdivision correspond à 0{,}02. Le point se place à 0{,}38 (soit une graduation en dessous de 0{,}40), et la demi-hauteur de la barre d'erreur verticale correspond à 2 sous-graduations (0{,}04).

Pour propager les incertitudes expérimentales sur les paramètres ajustés C_0 et \alpha, on met en œuvre l'une des démarches suivantes :

1. Méthode numérique de Monte-Carlo

• Génération de jeux de données synthétiques : on simule un grand nombre N (typiquement N \sim 10^3 à 10^5) de jeux de mesures. Pour chaque point expérimental \left(\left(\frac{ka}{2}\right)_i, C_i\right), on tire une valeur selon une loi de probabilité (souvent gaussienne) centrée sur la valeur mesurée, de largeur égale à son incertitude-type (u(ka/2) et u(C)).
• Ajustements répétés : pour chacun des N jeux de données ainsi simulés, on réalise l'ajustement non linéaire du modèle (par minimisation de la somme des carrés des écarts), ce qui conduit à un échantillon de N couples de paramètres estimés \{(C_{0,k}, \alpha_k)\}_{k=1\dots N}.

• Calcul des incertitudes-types : les incertitudes-types u(C_0) et u(\alpha) sont alors estimées par l'écart-type empirique de la distribution des N valeurs obtenues pour chaque paramètre :

  u(C_0) = \sigma(C_0) \quad \text{et} \quad u(\alpha) = \sigma(\alpha).

2. Méthode des moindres carrés pondérés (matrice de covariance) On peut également effectuer un ajustement en minimisant la somme pondérée par l'inverse du carré des incertitudes-types (critère du \chi^2) :

L'algorithme d'optimisation (tel que l'algorithme de Levenberg-Marquardt dans scipy.optimize.curve_fit) fournit la matrice de covariance des paramètres ajustés. Les incertitudes-types u(C_0) et u(\alpha) correspondent alors aux racines carrées des termes diagonaux de cette matrice.

Les sources ponctuelles S_A et S_B sont situées dans le plan focal objet de la lentille L_1, symétriquement de part et d'autre de l'axe optique, à la distance d = S_A S_B. Le rayon issu de S_A passant par le centre optique O_1 n'est pas dévié et fait un angle \frac{\alpha}{2} avec l'axe optique.

Dans l'approximation des petits angles (\alpha \ll 1), on a :

La distance focale f'_1 = 80\text{ cm} étant fournie sans incertitude, on néglige son incertitude-type devant celle de \alpha. La formule de propagation des incertitudes donne :

Application numérique :

• f'_1 = 0{,}80\text{ m}
• \alpha = 6{,}36 \times 10^{-4}\text{ rad}
• u(\alpha) = 1{,}1 \times 10^{-5}\text{ rad}

1. Relation entre d et l'écart \Delta x sur le capteur

Les sources S_A et S_B sont situées dans le plan focal objet de la lentille L_1 (O_1 S_A \approx O_1 S_B \approx f'_1). L'angle sous-tendu par les deux sources depuis le centre optique O_1 est :

Chaque source ponctuelle émerge de la lentille L_1 sous forme d'un faisceau de rayons parallèles incliné de l'angle \pm \frac{\alpha}{2} par rapport à l'axe optique.

En l'absence des fentes d'Young, ces faisceaux collimatés traversent l'objectif L_2 (de distance focale f'_2), réglé à l'infini. Ils convergent donc dans son plan focal image, où est situé le capteur CCD. L'écart géométrique \Delta x séparant les deux taches images est donné, dans les conditions de Gauss (petits angles), par :

On en déduit l'expression de la distance d :

2. Détermination graphique de \Delta x et calcul de d

Sur le profil d'intensité de la figure 5, on observe deux maxima symétriques par rapport à l'origine :

• pic de gauche : x_1 \approx -18\ \mu\mathrm{m} ;
• pic de droite : x_2 \approx +18\ \mu\mathrm{m}.

L'écartement mesuré entre les centres des deux pics est donc :

Avec f'_1 = 80\text{ cm} = 0{,}80\text{ m} et f'_2 = 5{,}6\text{ cm} = 5{,}6 \times 10^{-2}\text{ m} :

3. Estimation de l'incertitude-type associée

La largeur des pics à mi-hauteur rend la détermination du maximum incertaine. On peut estimer une demi-largeur de lecture sur chaque position de pic \Delta x_{\text{lecture}} \approx 1{,}5\ \mu\mathrm{m}, ce qui conduit pour la différence à une demi-étendue maximale d'environ \Delta(\Delta x) \approx 2\ \mu\mathrm{m}. En supposant une loi uniforme :

En considérant que l'incertitude sur la mesure de position est prépondérante devant celles sur les focales f'_1 et f'_2 :

On retient donc :

(Une lecture à \Delta x \approx 35{,}5\ \mu\mathrm{m} fournit de même d \approx 507\ \mu\mathrm{m}, parfaitement compatible).

4. Comparaison avec la valeur obtenue en Q11 et critère quantitatif

À la question Q11, la mesure par interférométrie donnait :

Pour évaluer quantitativement la cohérence entre la mesure directe d et la mesure interférométrique d_{\text{Q11}}, on calcule l'écart normalisé (ou z-score) :

Application numérique :

Comme E_n < 2, la différence entre les deux valeurs n'est pas significative au niveau de confiance de 95 % : l'accord entre les deux méthodes est excellent.

La source A_0 étant à l'infini, l'onde arrivant sur les télescopes est une onde plane dont la normale fait un angle \alpha/2 avec l'axe optique des télescopes.

Considérons le plan d'onde passant par l'entrée T_1 du premier télescope. Le rayon se propageant vers le télescope 2 doit parcourir une distance supplémentaire dans l'air avant d'atteindre l'entrée T_2. Dans l'approximation des petits angles (|\alpha| \ll 1) :

Entre l'entrée des télescopes et le détecteur, les chemins optiques valent respectivement :

La différence de marche introduite en aval est donc :

La différence de marche totale entre le rayon passant par le télescope 2 et celui passant par le télescope 1 s'écrit alors :

Comparaison et commentaire :

• À la question Q1, la différence de marche amont due à l'inclinaison \alpha/2 de la source par rapport à l'axe était également \delta_{\text{source}} = a \frac{\alpha}{2}, et la différence de marche totale s'écrivait \delta_{\text{tot}} = a \frac{\alpha}{2} + \delta, où \delta = (T_2 M) - (T_1 M) \approx \frac{a x}{f'_2} dépendait de la position du point d'observation sur l'écran.
• On constate une analogie formelle directe entre les deux situations, la ligne à retard \delta_{\mathrm{r}} jouant exactement le rôle de la différence de marche aval \delta.
• Dans un interféromètre astronomique, il n'y a pas d'écran étendu : un unique détecteur mesure l'intensité en faisant varier continûment la ligne à retard \delta_{\mathrm{r}}. Cela permet à la fois de compenser le retard géométrique (a \frac{\alpha}{2} + \delta_{\mathrm{r}} = 0) pour observer au centre de la frange blanche, et d'enregistrer le profil d'interférences ainsi que son contraste.

La relation donnant la résolution angulaire s'écrit, avec k = \dfrac{2\pi}{\lambda_0} :

On en déduit l'expression de la résolution angulaire :

Avec \lambda_0 = 5\,\mu\text{m} = 5 \times 10^{-6}\text{ m} et a = 1\text{ km} = 10^3\text{ m} :

Pour une exoplanète située à la distance D = 100\text{ al}, la résolution spatiale minimale d_{\text{res}} accessible au niveau de l'astre vaut :

D'après les données, 1{,}00\text{ al} = 9{,}46 \times 10^{15}\text{ m}, soit D = 100 \times 9{,}46 \times 10^{15} = 9{,}46 \times 10^{17}\text{ m}. Ainsi :

Commentaire :

• La résolution spatiale obtenue (2{,}4 \times 10^6\text{ km}) est très largement supérieure au diamètre d'une exoplanète tellurique (de l'ordre de 10^4\text{ km} pour la Terre) et même supérieure au diamètre du Soleil (2R_s \approx 1{,}4 \times 10^6\text{ km}). Ce dispositif interférométrique est donc totalement incapable de résoudre des détails à la surface de l'exoplanète, ni même d'en discerner le disque planétaire.
• En revanche, cette résolution reste nettement inférieure à la distance séparant une planète de son étoile hôte (par exemple 1\text{ au} = 1{,}5 \times 10^8\text{ km} \gg d_{\text{res}}). Cet interféromètre permet ainsi de séparer angulairement l'exoplanète de son étoile et d'en acquérir le spectre global sans être aveuglé par l'étoile.
• Pour cartographier la surface d'une exoplanète, une résolution spatiale bien plus fine est nécessaire : cela motive l'exploration d'autres techniques, comme la lentille gravitationnelle solaire étudiée en partie B.