Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 MP 2025

La source S_A est située dans le plan focal objet de la lentille convergente L_1. Par conséquent, les rayons issus de S_A émergent de L_1 parallèlement entre eux.

La direction de propagation du faisceau parallèle est donnée par le rayon passant par le centre optique O_1, qui n'est pas dévié. D'après la figure 1, la droite (S_A O_1) fait un angle \alpha/2 avec l'axe optique (Oz), orienté vers les x négatifs.

D'après le théorème de Malus, les surfaces d'onde en aval de la lentille sont des plans perpendiculaires aux rayons lumineux. Considérons le plan d'onde passant par le centre de la fente T_1. La fente T_2 est située plus en aval le long de la direction de propagation des rayons lumineux.

Le chemin optique de la source S_A jusqu'à ce plan d'onde est identique pour tous les rayons. La différence de marche \delta_{\text{source}} = (S_A T_2) - (S_A T_1) correspond donc à la distance supplémentaire parcourue dans l'air (d'indice n \approx 1) pour atteindre T_2 :

Comme \alpha \ll 1, on effectue un développement limité au premier ordre : \sin(\alpha/2) \approx \alpha/2. On obtient ainsi :

L'onde lumineuse se propageant dans le milieu (assimilé au vide ou à l'air d'indice n = 1) à la célérité c, le trajet optique (S_A T_j M) correspond à un retard temporel de propagation :

Comme la pulsation \omega et le nombre d'onde k sont reliés par la relation de dispersion k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda_0}, le déphasage introduit par la propagation s'écrit :

En négligeant la décroissance d'amplitude au cours de la propagation, le signal reçu en M s'obtient par évaluation du signal source à l'instant retardé t - \tau_j, soit s_j(t) = s(t - \tau_j) = s_0 \cos\left(\omega(t - \tau_j)\right) :

Les récepteurs optiques étant sensibles au flux d'énergie moyen sur une durée grande devant la période optique, l'intensité lumineuse I(M) au point M est proportionnelle à la moyenne temporelle du carré de l'amplitude totale s(t) = s_1(t) + s_2(t) :

où K est une constante dépendant des unités choisies et \langle \cdot \rangle désigne la moyenne temporelle.

En développant, on obtient :

D'après la question Q2, les signaux s'écrivent s_1(t) = s_0 \cos(\omega t - \varphi_1) et s_2(t) = s_0 \cos(\omega t - \varphi_2), avec \varphi_1 = k(S_A T_1 M) et \varphi_2 = k(S_A T_2 M).

L'intensité associée à chaque onde prise isolément est :

Le terme d'interférence s'évalue à l'aide de l'identité \cos p \cos q = \frac{1}{2}[\cos(p-q) + \cos(p+q)] :

Le terme oscillant à la pulsation 2\omega est de moyenne temporelle nulle, d'où :

Le déphasage entre les deux chemins optiques vaut :

Or, d'après l'énoncé et le résultat de la question Q1, la différence de marche totale se décompose selon :

On en déduit l'expression de l'intensité détectée :

Les sources S_A et S_B sont mutuellement incohérentes : le déphasage entre les ondes qu'elles émettent varie de manière aléatoire à une échelle de temps très inférieure au temps d'intégration du détecteur. Les signaux issus de S_A n'interfèrent donc pas avec ceux issus de S_B : le terme d'interférence croisé a une moyenne temporelle nulle, \langle s_A(t) s_B(t) \rangle = 0.

Par conséquent, l'intensité totale détectée au point M est la somme des intensités produites indépendamment par chaque source :

D'après la question Q3, l'intensité produite par la source S_A, située dans la direction angulaire +\alpha/2, s'écrit :

La source S_B est identique à S_A mais inclinée de l'angle symétrique -\alpha/2 par rapport à l'axe optique (figure 1). Par analogie :

En sommant ces deux contributions :

D'après la formule trigonométrique fournie dans le formulaire :

Il vient ainsi :

En posant I_{\mathrm{d},0} = 4I_0, l'intensité détectée se met bien sous la forme :

D'après le résultat de la question Q4, l'intensité détectée sur l'écran au point M s'écrit :

où k = \dfrac{2\pi}{\lambda_0}.

1. Cas où le facteur de cohérence vaut \Gamma = 1 : L'expression de l'intensité devient :

   I_{\mathrm{d}}(\delta) = I_{\mathrm{d},0}(1 + \cos(k\delta))

   L'intensité est strictement périodique de période spatiale en différence de marche \Delta \delta = \lambda_0.

   • L'intensité est maximale pour \delta = p\lambda_0 (p \in \mathbb{Z}), avec :

     I_{\max} = 2I_{\mathrm{d},0}

   • L'intensité s'annule pour \delta = \left(p + \frac{1}{2}\right)\lambda_0 (p \in \mathbb{Z}), avec :

     I_{\min} = 0

   Le contraste est alors maximal : C = \dfrac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = 1.

2. Cas où le facteur de cohérence est nul (\Gamma = 0) : L'expression de l'intensité se réduit à :

   I_{\mathrm{d}}(\delta) = I_{\mathrm{d},0} = \text{cste}

   L'éclairement est parfaitement uniforme sur l'écran : il n'y a plus de franges visibles (phénomène de brouillage complet), le contraste est nul (C = 0).

Par définition du vecteur d'onde k = \dfrac{2\pi}{\lambda_0}, la grandeur adimensionnée recherchée s'écrit :

Avec les valeurs numériques fournies par l'énoncé :

• a = 200\ \mu\text{m} = 200 \times 10^{-6}\ \text{m} ;
• \lambda_0 = 650\ \text{nm} = 650 \times 10^{-9}\ \text{m}.

On obtient numériquement :

D'après la question Q6, la grandeur s'écrit :

En considérant que la distance a entre les fentes est connue sans incertitude (ou d'incertitude négligeable devant celle sur \lambda_0), la formule de propagation des incertitudes donne :

Ce qui s'exprime plus simplement sous forme relative :

Avec \frac{ka}{2} \approx 967\text{ rad}, \lambda_0 = 650\text{ nm} et u(\lambda_0) = 30\text{ nm} :

D'après la figure 4 (profil d'intensité lumineuse), le quadrillage présente des graduations principales tous les 20\text{ u.a.} et secondaires tous les 10\text{ u.a.} :

• Le maximum central d'intensité lumineuse (situé au voisinage immédiat de \delta/\lambda_0 \approx 0) atteint :

  I_{\max} \approx 112\text{ u.a.} \quad (\text{compris entre } 110 \text{ et } 114\text{ u.a.})

• Les deux minimums qui encadrent ce pic central (situés respectivement à \delta/\lambda_0 \approx -0{,}3 et \delta/\lambda_0 \approx +0{,}6) ont pour intensité :

  I_{\min} \approx 50\text{ u.a.}

On en déduit la valeur du contraste :

(Une lecture donnant I_{\max} \in [110\,;\,115]\text{ u.a.} et I_{\min} \approx 50\text{ u.a.} conduit à C \in [0{,}37\,;\,0{,}39]).

D'après les questions précédentes :

• Abscisse :

  \frac{ka}{2} \approx 967\text{ rad} \approx 0{,}97 \times 10^3\text{ rad}

  avec une incertitude-type (question Q7) :

  u\!\left(\frac{ka}{2}\right) \approx 45\text{ rad} \approx 0{,}05 \times 10^3\text{ rad}

• Ordonnée :

  C \approx 0{,}38

  avec une incertitude-type :

  u(C) = 0{,}10 \times C = 0{,}10 \times 0{,}38 \approx 0{,}038 \approx 0{,}04

Sur le document réponse, les échelles sont les suivantes :

• En abscisse, l'intervalle entre deux graduations principales (1 \times 10^3\text{ rad}) est divisé en 5 sous-graduations, soit 0{,}2 \times 10^3 = 200\text{ rad} par sous-graduation. Le point se place donc juste avant la graduation 1 \times 10^3\text{ rad}, et la demi-largeur de la barre d'erreur horizontale (\approx 45\text{ rad}) correspond à environ un quart de sous-graduation.
• En ordonnée, une subdivision correspond à 0{,}02. Le point se place à 0{,}38 (soit une graduation en dessous de 0{,}40), et la demi-hauteur de la barre d'erreur verticale correspond à 2 sous-graduations (0{,}04).

Pour propager les incertitudes expérimentales sur les paramètres ajustés C_0 et \alpha, on met en œuvre l'une des démarches suivantes :

1. Méthode numérique de Monte-Carlo

• Génération de jeux de données synthétiques : on simule un grand nombre N (typiquement N \sim 10^3 à 10^5) de jeux de mesures. Pour chaque point expérimental \left(\left(\frac{ka}{2}\right)_i, C_i\right), on tire une valeur selon une loi de probabilité (souvent gaussienne) centrée sur la valeur mesurée, de largeur égale à son incertitude-type (u(ka/2) et u(C)).
• Ajustements répétés : pour chacun des N jeux de données ainsi simulés, on réalise l'ajustement non linéaire du modèle (par minimisation de la somme des carrés des écarts), ce qui conduit à un échantillon de N couples de paramètres estimés \{(C_{0,k}, \alpha_k)\}_{k=1\dots N}.

• Calcul des incertitudes-types : les incertitudes-types u(C_0) et u(\alpha) sont alors estimées par l'écart-type empirique de la distribution des N valeurs obtenues pour chaque paramètre :

  u(C_0) = \sigma(C_0) \quad \text{et} \quad u(\alpha) = \sigma(\alpha).

2. Méthode des moindres carrés pondérés (matrice de covariance) On peut également effectuer un ajustement en minimisant la somme pondérée par l'inverse du carré des incertitudes-types (critère du \chi^2) :

L'algorithme d'optimisation (tel que l'algorithme de Levenberg-Marquardt dans scipy.optimize.curve_fit) fournit la matrice de covariance des paramètres ajustés. Les incertitudes-types u(C_0) et u(\alpha) correspondent alors aux racines carrées des termes diagonaux de cette matrice.

Les sources ponctuelles S_A et S_B sont situées dans le plan focal objet de la lentille L_1, symétriquement de part et d'autre de l'axe optique, à la distance d = S_A S_B. Le rayon issu de S_A passant par le centre optique O_1 n'est pas dévié et fait un angle \frac{\alpha}{2} avec l'axe optique.

Dans l'approximation des petits angles (\alpha \ll 1), on a :

La distance focale f'_1 = 80\text{ cm} étant fournie sans incertitude, on néglige son incertitude-type devant celle de \alpha. La formule de propagation des incertitudes donne :

Application numérique :

• f'_1 = 0{,}80\text{ m}
• \alpha = 6{,}36 \times 10^{-4}\text{ rad}
• u(\alpha) = 1{,}1 \times 10^{-5}\text{ rad}

1. Relation entre d et l'écart \Delta x sur le capteur

Les sources S_A et S_B sont situées dans le plan focal objet de la lentille L_1 (O_1 S_A \approx O_1 S_B \approx f'_1). L'angle sous-tendu par les deux sources depuis le centre optique O_1 est :

Chaque source ponctuelle émerge de la lentille L_1 sous forme d'un faisceau de rayons parallèles incliné de l'angle \pm \frac{\alpha}{2} par rapport à l'axe optique.

En l'absence des fentes d'Young, ces faisceaux collimatés traversent l'objectif L_2 (de distance focale f'_2), réglé à l'infini. Ils convergent donc dans son plan focal image, où est situé le capteur CCD. L'écart géométrique \Delta x séparant les deux taches images est donné, dans les conditions de Gauss (petits angles), par :

On en déduit l'expression de la distance d :

2. Détermination graphique de \Delta x et calcul de d

Sur le profil d'intensité de la figure 5, on observe deux maxima symétriques par rapport à l'origine :

• pic de gauche : x_1 \approx -18\ \mu\mathrm{m} ;
• pic de droite : x_2 \approx +18\ \mu\mathrm{m}.

L'écartement mesuré entre les centres des deux pics est donc :

Avec f'_1 = 80\text{ cm} = 0{,}80\text{ m} et f'_2 = 5{,}6\text{ cm} = 5{,}6 \times 10^{-2}\text{ m} :

3. Estimation de l'incertitude-type associée

La largeur des pics à mi-hauteur rend la détermination du maximum incertaine. On peut estimer une demi-largeur de lecture sur chaque position de pic \Delta x_{\text{lecture}} \approx 1{,}5\ \mu\mathrm{m}, ce qui conduit pour la différence à une demi-étendue maximale d'environ \Delta(\Delta x) \approx 2\ \mu\mathrm{m}. En supposant une loi uniforme :

En considérant que l'incertitude sur la mesure de position est prépondérante devant celles sur les focales f'_1 et f'_2 :

On retient donc :

(Une lecture à \Delta x \approx 35{,}5\ \mu\mathrm{m} fournit de même d \approx 507\ \mu\mathrm{m}, parfaitement compatible).

4. Comparaison avec la valeur obtenue en Q11 et critère quantitatif

À la question Q11, la mesure par interférométrie donnait :

Pour évaluer quantitativement la cohérence entre la mesure directe d et la mesure interférométrique d_{\text{Q11}}, on calcule l'écart normalisé (ou z-score) :

Application numérique :

Comme E_n < 2, la différence entre les deux valeurs n'est pas significative au niveau de confiance de 95 % : l'accord entre les deux méthodes est excellent.

La source A_0 étant à l'infini, l'onde arrivant sur les télescopes est une onde plane dont la normale fait un angle \alpha/2 avec l'axe optique des télescopes.

Considérons le plan d'onde passant par l'entrée T_1 du premier télescope. Le rayon se propageant vers le télescope 2 doit parcourir une distance supplémentaire dans l'air avant d'atteindre l'entrée T_2. Dans l'approximation des petits angles (|\alpha| \ll 1) :

Entre l'entrée des télescopes et le détecteur, les chemins optiques valent respectivement :

La différence de marche introduite en aval est donc :

La différence de marche totale entre le rayon passant par le télescope 2 et celui passant par le télescope 1 s'écrit alors :

Comparaison et commentaire :

• À la question Q1, la différence de marche amont due à l'inclinaison \alpha/2 de la source par rapport à l'axe était également \delta_{\text{source}} = a \frac{\alpha}{2}, et la différence de marche totale s'écrivait \delta_{\text{tot}} = a \frac{\alpha}{2} + \delta, où \delta = (T_2 M) - (T_1 M) \approx \frac{a x}{f'_2} dépendait de la position du point d'observation sur l'écran.
• On constate une analogie formelle directe entre les deux situations, la ligne à retard \delta_{\mathrm{r}} jouant exactement le rôle de la différence de marche aval \delta.
• Dans un interféromètre astronomique, il n'y a pas d'écran étendu : un unique détecteur mesure l'intensité en faisant varier continûment la ligne à retard \delta_{\mathrm{r}}. Cela permet à la fois de compenser le retard géométrique (a \frac{\alpha}{2} + \delta_{\mathrm{r}} = 0) pour observer au centre de la frange blanche, et d'enregistrer le profil d'interférences ainsi que son contraste.

La relation donnant la résolution angulaire s'écrit, avec k = \dfrac{2\pi}{\lambda_0} :

On en déduit l'expression de la résolution angulaire :

Avec \lambda_0 = 5\,\mu\text{m} = 5 \times 10^{-6}\text{ m} et a = 1\text{ km} = 10^3\text{ m} :

Pour une exoplanète située à la distance D = 100\text{ al}, la résolution spatiale minimale d_{\text{res}} accessible au niveau de l'astre vaut :

D'après les données, 1{,}00\text{ al} = 9{,}46 \times 10^{15}\text{ m}, soit D = 100 \times 9{,}46 \times 10^{15} = 9{,}46 \times 10^{17}\text{ m}. Ainsi :

Commentaire :

• La résolution spatiale obtenue (2{,}4 \times 10^6\text{ km}) est très largement supérieure au diamètre d'une exoplanète tellurique (de l'ordre de 10^4\text{ km} pour la Terre) et même supérieure au diamètre du Soleil (2R_s \approx 1{,}4 \times 10^6\text{ km}). Ce dispositif interférométrique est donc totalement incapable de résoudre des détails à la surface de l'exoplanète, ni même d'en discerner le disque planétaire.
• En revanche, cette résolution reste nettement inférieure à la distance séparant une planète de son étoile hôte (par exemple 1\text{ au} = 1{,}5 \times 10^8\text{ km} \gg d_{\text{res}}). Cet interféromètre permet ainsi de séparer angulairement l'exoplanète de son étoile et d'en acquérir le spectre global sans être aveuglé par l'étoile.
• Pour cartographier la surface d'une exoplanète, une résolution spatiale bien plus fine est nécessaire : cela motive l'exploration d'autres techniques, comme la lentille gravitationnelle solaire étudiée en partie B.

D'après la figure 7, le rayon lumineux incident, parallèle à l'axe optique avec un paramètre d'impact b, subit une déviation d'angle \chi dans le plan passant par le centre S du Soleil. En modélisant la trajectoire par deux demi-droites, la géométrie du triangle rectangle en S donne :

L'angle de déviation étant très faible (\chi \ll 1), on a \tan\chi \approx \chi. Avec l'expression fournie \chi = \dfrac{2 r_{\mathrm{sch}}}{b}, il vient :

Pour un rayon rasant le Soleil, b = R_s, et le point d'intersection est le foyer image gravitationnel F_0. La distance focale gravitationnelle associée z_0 = S F_0 vaut :

Calculons préalablement le rayon de Schwarzschild du Soleil :

On en déduit :

En unités astronomiques (1{,}00\text{ au} = 1{,}50 \times 10^{11}\text{ m}) :

Comparaison avec l'orbite de Neptune (r_{\mathrm{N}} = 30\text{ au}) :

Le foyer gravitationnel du Soleil est situé à une distance environ 18 fois plus grande que le rayon de l'orbite de Neptune.

Le point source A_0, situé à l'infini sur l'axe optique, émet des rayons parallèles à l'axe avec une infinité de paramètres d'impact b'. D'après la question Q15, un rayon de paramètre d'impact b' coupe l'axe optique en un point à l'abscisse :

Pour qu'un rayon lumineux contourne le Soleil et parvienne jusqu'à l'axe, son paramètre d'impact doit nécessairement vérifier :

Le rayon rasant (b' = R_s) converge au foyer image gravitationnel F_0, situé à la distance minimale z_0 = SF_0 \approx 547\text{ au}.

On distingue donc deux zones pour un observateur situé sur l'axe entre S et F_b (0 < z \le SF_b) :

• Entre S et F_0 (z < z_0) : les rayons qui convergeraient en une telle abscisse devraient avoir un paramètre d'impact b' < R_s. Ces rayons rencontrent la surface du Soleil et sont absorbés ou diffusés par la matière solaire. Aucun rayon gravitationnellement dévié ne converge donc sur l'axe en avant de F_0 : il est impossible d'exploiter la lentille gravitationnelle entre S et F_0.
• Entre F_0 et F_b (z_0 \le z \le SF_b) : pour chaque position z, les rayons ayant pour paramètre d'impact b' = \sqrt{2 r_{\mathrm{sch}} z} \in [R_s, b] passent à l'extérieur du Soleil et convergent précisément sur l'axe. Par symétrie de révolution autour de l'axe optique, l'observateur voit alors le point A_0 amplifié sous la forme d'un anneau circulaire (anneau d'Einstein) : l'effet de lentille gravitationnelle est parfaitement exploitable entre F_0 et F_b.

1. Lentille mince convergente en verre (optique géométrique) Dans le cadre de l'approximation de Gauss, tout rayon incident parallèle à l'axe optique situé à une distance h de cet axe subit une déviation angulaire :

où f' est la distance focale image de la lentille, indépendante de h.

• La déviation angulaire est proportionnelle à la distance à l'axe.
• Par conséquent, tous les rayons émergents convergent rigoureusement en un point unique, le foyer image F' : la lentille mince présente un stigmatisme approché rigoureux pour les rayons paraxiaux.

2. Lentille gravitationnelle D'après l'énoncé et la question Q15, un rayon incident parallèle à l'axe avec un paramètre d'impact b \ge R_s est dévié d'un angle :

Le point d'intersection F_b avec l'axe optique se situe à une distance :

• La déviation angulaire est inversement proportionnelle au paramètre d'impact : plus un rayon passe loin du centre de l'astre, moins il est dévié.
• Par conséquent, les rayons émergents ne convergent pas en un point unique, mais coupent l'axe optique en une infinité de points F_b formant une demi-droite focale s'étendant de z_0 = SF_0 = \frac{R_s^2}{2 r_{\mathrm{sch}}} jusqu'à l'infini : la lentille gravitationnelle est fortement astigmatique (aberration de sphéricité intrinsèque maximale).

D'après la figure 8a, le point A_0 et son image A_1 sont situés sur l'axe optique passant par le centre S du Soleil. Les objets et images considérés étant dans des plans perpendiculaires à cet axe :

• la droite (A_0 B_0) est perpendiculaire à (S A_0) en A_0 ;
• la droite (A_1 B_1) est perpendiculaire à (S A_1) en A_1.

Comme indiqué dans le texte et sur la figure, les points B_0, S et B_1 sont alignés. Les angles opposés par le sommet vérifient donc :

En exprimant la tangente de cet angle dans les deux triangles rectangles S A_0 B_0 et S A_1 B_1 (ou directement d'après le théorème de Thalès en configuration papillon) :

On en déduit l'expression de la distance A_1 B_1 :

D'après la figure 8b, l'intensité lumineuse (ou facteur d'amplification) présente un pic central très marqué, centré en \rho = 0, qui atteint une valeur maximale d'environ 12 \times 10^{10}.

Ce lobe central s'annule (ou atteint son premier minimum d'intensité) pour une distance à l'axe optique :

Le rayon de la tache centrale d'intensité autour de l'image A_1 est donc R_{\text{tache}} = \rho_0 \approx 0{,}05\text{ m}, et son diamètre vaut D_{\text{tache}} = 2\rho_0 \approx 0{,}10\text{ m}.

La condition pour que les deux taches centrales centrées en A_1 et B_1 ne se superposent pas peut être interprétée de deux manières :

• Non-recouvrement strict : la distance entre les deux centres doit être au moins égale au diamètre de la tache centrale (A_1 B_1 \ge 2 R_{\text{tache}}) :

  \rho_{\min} = 2 \rho_0 \approx 0{,}10\text{ m}.

• Critère de séparation limite (type Rayleigh) : le maximum de la seconde tache coïncide avec le premier minimum de la première (A_1 B_1 \ge R_{\text{tache}}) :

  \rho_{\min} = \rho_0 \approx 0{,}05\text{ m}.

On retient typiquement la valeur correspondant au non-recouvrement spatial strict des deux disques :

D'après la relation établie à la question Q18 :

Pour A_1 B_1 = \rho_{\min}, la distance minimale discernable à la surface de l'exoplanète est donc :

D'après les données de l'énoncé :

Le rapport des distances vaut ainsi :

En utilisant la valeur \rho_{\min} \approx 0{,}10\text{ m} estimée à la question Q19 (diamètre de la tache centrale) :

Remarque : avec le critère plus serré \rho_{\min} \approx 0{,}05\text{ m} (demi-largeur de la tache), on trouve A_0 B_0 \approx 500\text{ m}. Dans les deux cas, la résolution spatiale est de l'ordre du kilomètre.

Commentaire :

• À la question Q14, l'interféromètre spatial LIFE fournissait une résolution spatiale de d_{\text{res}} \approx 2{,}4 \times 10^6\text{ km}, soit un ordre de grandeur supérieur au diamètre du Soleil et à peu près 200 fois le diamètre de la Terre (\approx 12\,700\text{ km}) : l'exoplanète y apparaissait comme un point non résolu.
• Grâce à la lentille gravitationnelle solaire, la résolution spatiale passe à environ 1\text{ km}, ce qui représente un gain de plus de six ordres de grandeur (10^6).
• Une résolution kilométrique à une distance de 100 années-lumière permettrait de cartographier directement la surface d'une exoplanète de taille terrestre et d'en distinguer les continents, calottes glaciaires, océans ou grands systèmes nuageux.

D'après le résultat de la question Q15, la distance z à laquelle convergent sur l'axe optique les rayons de paramètre d'impact b vérifie :

Lorsque la sonde s'éloigne du Soleil (z augmente) :

• Paramètre d'impact b : la lumière captée par le télescope provient de rayons passant à une distance de plus en plus grande du centre du Soleil (b \propto \sqrt{z}).

• Rayon angulaire apparent de l'anneau : vu depuis le télescope situé à la distance z, l'anneau est vu sous un demi-angle au sommet :

  \theta_{\mathrm{E}} \approx \frac{b(z)}{z} = \sqrt{\frac{2 r_{\mathrm{sch}}}{z}} = \chi(b)

  Ce rayon angulaire diminue lorsque z augmente (en 1/\sqrt{z}) : l'anneau d'Einstein rétrécit angulairement dans le champ du télescope.

• Position relative par rapport au Soleil : le demi-diamètre angulaire apparent du Soleil est \theta_{\mathrm{S}} = \frac{R_s}{z}. Il décroît en 1/z, c'est-à-dire plus rapidement que \theta_{\mathrm{E}}. Le rapport des tailles angulaires vaut :

  \frac{\theta_{\mathrm{E}}}{\theta_{\mathrm{S}}} = \frac{b(z)}{R_s} = \sqrt{\frac{z}{z_0}}

  Ce rapport augmente avec z.

Soit \mathcal{I} l'éclairement (puissance surfacique) de l'onde plane issue du point A_0 au niveau du plan d'entrée.

1. En l'absence de lentille gravitationnelle : Le télescope capte directement les rayons incidents sur sa pupille circulaire de diamètre D, soit de rayon R_{\text{t}} = D/2. La surface de collecte est :

La puissance collectée vaut donc :

2. En présence de la lentille gravitationnelle : D'après l'énoncé, le télescope capte tous les rayons dont le paramètre d'impact est compris entre b et b+D. Par invariance par rotation autour de l'axe optique (A_0 S), la région du plan d'onde amont dont les rayons sont déviés vers le télescope est une couronne circulaire de rayon intérieur b et de rayon extérieur b+D. L'aire de cette couronne est :

Comme le diamètre du télescope est infiniment petit devant les dimensions solaires (D \ll b), on néglige le terme D^2 devant 2 b D :

La puissance collectée correspondante s'écrit :

Le facteur d'amplification \mu est alors donné par le rapport de ces deux puissances :

3. Application numérique : Pour b = R_s = 6{,}96 \times 10^8\text{ m} et D = 1{,}0\text{ m} :

Commentaire : Ce facteur d'amplification est colossal (de l'ordre de 10^{10}, soit un gain de près de 24 magnitudes astronomiques). La lentille gravitationnelle agit comme un collecteur géant dont l'aire efficace équivaut à celle d'un anneau de circonférence 2\pi R_s \approx 4{,}4 \times 10^9\text{ m} et de largeur D = 1\text{ m}. Cette concentration de lumière permet à un télescope d'ouverture modeste (1\text{ m}) de détecter les flux lumineux extrêmement faibles émis par une exoplanète située à des dizaines d'années-lumière.

D'après la relation de Planck-Einstein, l'énergie E d'un photon associé à une onde monochromatique de fréquence \nu = \frac{c}{\lambda} dans le vide s'écrit :

Le photon ayant une masse propre nulle, la relation relativiste énergie-impulsion E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 se simplifie en E = p c. La norme p de sa quantité de mouvement (ou impulsion) est donc donnée par :

où h désigne la constante de Planck et c la célérité de la lumière dans le vide.

L'onde lumineuse transporte une puissance surfacique I_s définie à travers une surface orthogonale à la direction de propagation.

La voile plane, de surface S, est inclinée d'un angle \beta par rapport à cette onde : l'angle entre le vecteur normal \vec{u} à la voile et la direction incidente vaut \beta. La surface efficace (ou section efficace) interceptant le faisceau lumineux est donc :

La puissance lumineuse reçue par la voile s'écrit alors :

Pendant une durée élémentaire \delta t, l'énergie lumineuse totale reçue (et intégralement réfléchie, la voile étant supposée parfaitement réfléchissante) est :

D'après la question Q23, l'énergie d'un photon associé à cette onde lumineuse est :

Le nombre de photons \delta N frappant la voile pendant la durée \delta t est le quotient de l'énergie totale reçue par l'énergie d'un photon :

On obtient ainsi :

Considérons la collision élastique (réflexion spéculaire) d'un photon sur la voile parfaitement réfléchissante. Choisissons un repère orthonormé (O, \vec{e}_x, \vec{e}_y) où \vec{e}_x est le vecteur unitaire normal au plan de la voile, dirigé dans le sens du faisceau réfléchi (vers l'arrière de la voile par rapport au flux incident).

D'après la figure 10, le vecteur quantité de mouvement d'un photon incident s'écrit :

où p = \frac{h}{\lambda} d'après la question Q23.

La réflexion étant parfaitement spéculaire, la composante tangentielle de la quantité de mouvement est conservée tandis que la composante normale est inversée :

La variation de quantité de mouvement subie par un photon lors du choc est donc :

Par principe des actions réciproques (ou par conservation de la quantité de mouvement totale du système isolé \{\text{voile} + \text{photons}\}), la quantité de mouvement transmise à la voile par un photon vaut :

Pendant la durée \delta t, le nombre de photons se réfléchissant sur la voile est \delta N. La variation totale de quantité de mouvement de la voile s'écrit donc :

En utilisant les expressions obtenues aux questions Q23 et Q24 (p = \frac{h}{\lambda} et \delta N = \frac{I_s \lambda S \cos\beta\,\delta t}{h c}), on obtient :

La force moyenne exercée par les photons sur la voile est :

Cette force est proportionnelle à l'aire S de la surface et dirigée selon la normale \vec{e}_x. Elle s'identifie donc à une force de pression \vec{F} = p_r S \vec{e}_x, associée à la pression de radiation :

D'après la question précédente, pour une incidence normale (\beta = 0), la pression de radiation exercée sur une voile plane parfaitement réfléchissante vaut :

La force totale théorique exercée sur la voile de surface S s'écrit donc :

Avec les valeurs numériques fournies :

• I_s = 1{,}36 \times 10^3\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} ;
• S = 173\text{ m}^2 ;
• c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

On obtient :

L'expérience IKAROS a mesuré une force de F_{\exp} = 1{,}12\text{ mN}. L'écart relatif vaut :

Commentaires :

• Accord sur l'ordre de grandeur : La valeur théorique est du même ordre de grandeur que la mesure (1{,}57\text{ mN} contre 1{,}12\text{ mN}), ce qui valide l'origine physique de la force propulsive par pression de radiation solaire.

• Origine de la surestimation théorique : La force mesurée est inférieure à la force théorique (F_{\exp} < F_{\mathrm{th}}), ce qui s'explique par les limites du modèle idéal :

  • La voile n'est pas parfaitement réfléchissante : une partie du rayonnement incident est absorbée (ce qui ne transfère qu'une quantité de mouvement \delta p = p au lieu de 2p, divisant par deux la contribution de ces photons) ;
  • La réflexion n'est pas purement spéculaire (diffusion) et la voile subit une réémission thermique infrarouge sur ses deux faces ;
  • La membrane de la voile n'est pas rigoureusement plane (ondulations, plis, courbure sous tension centrifuge et radiative).

On étudie la sonde assimilée à un point matériel M de masse m dans le référentiel héliocentrique, supposé galiléen. Elle est repérée par ses coordonnées polaires (r, \theta) de centre O et de base locale (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta).

Avant le déploiement de la voile, la sonde est uniquement soumise à la force d'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil :

L'orbite étant circulaire de rayon r(t) = R_T, le vecteur position s'écrit \vec{OM} = R_T \vec{e}_r. Le vecteur accélération s'exprime par :

où \omega_T = \dot{\theta} désigne la vitesse angulaire (ou pulsation) du mouvement.

D'après le principe fondamental de la dynamique :

La projection selon \vec{e}_\theta donne \ddot{\theta} = 0, soit une pulsation \omega_T = \text{cste} (le mouvement est donc circulaire uniforme).

La projection selon le vecteur radial \vec{e}_r conduit à :

d'où, en simplifiant par m et en multipliant par R_T^2 :

Cette relation s'identifie à la troisième loi de Kepler (ou loi des périodes), que l'on retrouve sous sa forme usuelle en posant \omega_T = \frac{2\pi}{T} :

Le mouvement étant circulaire, la norme de la vitesse orbitale de la sonde s'écrit v_T = R_T \omega_T. En injectant \omega_T = \sqrt{\frac{G M_s}{R_T^3}}, on en déduit :

Dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen, la sonde assimilée à un point matériel M de masse m est soumise à deux forces :

• l'attraction gravitationnelle du Soleil : \vec{F}_g = - \dfrac{G M_s m}{r^2} \vec{e}_r ;
• la force de pression de radiation : \vec{F}_r = p_T \dfrac{R_T^2}{r^2} S \vec{e}_r.

La force totale résultante s'écrit :

Cette force est colinéaire à \vec{e}_r à chaque instant : il s'agit donc d'une force centrale de centre O.

Le moment de la force \vec{F} par rapport à l'axe (Oz) est donné par :

D'après le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à la sonde par rapport à l'axe (Oz) fixe dans le référentiel galiléen :

Le moment cinétique L_z de la sonde par rapport à l'axe (Oz) est donc une constante du mouvement.

En coordonnées polaires dans le plan (xOy), le vecteur position et le vecteur vitesse s'écrivent :

Le moment cinétique de la sonde par rapport à O vaut :

La composante selon l'axe (Oz) est donc :

On en déduit l'expression de la constante des aires C :

La sonde est soumise à deux forces centrales dirigées selon la direction radiale \vec{e}_r :

• la force d'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil :

  \vec{F}_g = -\frac{G M_s m}{r^2} \vec{e}_r

• la force répulsive issue de la pression de radiation sur la voile solaire :

  \vec{F}_r = p_T \frac{R_T^2}{r^2} S \vec{e}_r

La force totale s'écrit donc :

Ces forces dérivent d'une énergie potentielle E_p(r) telle que \vec{F}_{\text{tot}} = -\vec{\nabla} E_p = -\dfrac{\mathrm{d}E_p}{\mathrm{d}r}\vec{e}_r, ce qui conduit à :

En intégrant par rapport à r, on obtient :

La condition d'une énergie potentielle nulle à l'infini (E_p(r \to +\infty) = 0) impose une constante d'intégration nulle. Ainsi :

Dans le référentiel héliocentrique muni de la base polaire (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta), le vecteur vitesse du point matériel M s'écrit :

L'énergie cinétique de la sonde est donc :

D'après la question Q28, la constante des aires s'exprime par C = r^2 |\dot{\theta}|, ce qui permet d'écrire la composante orthoradiale de la vitesse sous la forme :

L'énergie mécanique de la sonde s'écrit comme la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle E_p(r) déterminée à la question Q29 :

On met ainsi en évidence la forme demandée :

où l'énergie potentielle effective a pour expression :

D'après la question Q30, l'énergie potentielle effective s'écrit :

Posons la constante K = G M_s m - p_T R_T^2 S. La dérivée de E_{p,\mathrm{eff}} par rapport à r vaut :

Un extremum existe pour une distance r_{\mathrm{ext}} > 0 si et seulement si l'équation K r_{\mathrm{ext}} - m C^2 = 0 admet une solution strictement positive. Comme m C^2 > 0, cela impose :

L'énergie potentielle effective admet donc un extremum si S < S_{\mathrm{lim}} avec :

Pour S < S_{\mathrm{lim}}, cet extremum est atteint en r_0 = \frac{m C^2}{K} > 0 et correspond à un minimum d'énergie :

Allure de E_{p,\mathrm{eff}}(r) pour S < S_{\mathrm{lim}} :

Nature de la trajectoire de la sonde selon E_m : Le mouvement n'est possible que dans les domaines où l'énergie cinétique radiale \frac{1}{2}m\dot{r}^2 = E_m - E_{p,\mathrm{eff}}(r) \ge 0 :

• Si E_m < E_{p,\mathrm{eff},\min} : mouvement impossible.
• Si E_m = E_{p,\mathrm{eff},\min} : le rayon est constant (r = r_0), la trajectoire est un cercle.
• Si E_{p,\mathrm{eff},\min} < E_m < 0 : état lié, le rayon oscille entre deux valeurs extrêmes (r_p \le r \le r_a), la trajectoire est une ellipse.
• Si E_m = 0 : état de diffusion limite, la sonde peut s'éloigner à l'infini avec une vitesse résiduelle nulle, la trajectoire est une parabole.
• Si E_m > 0 : état de diffusion, la sonde s'éloigne à l'infini avec une vitesse résiduelle non nulle, la trajectoire est une hyperbole.

À l'instant t = 0^+, juste après l'ouverture de la voile, la sonde se trouve toujours à la distance r(0^+) = R_T, avec une vitesse radiale nulle (\dot{r}(0^+) = 0) et une vitesse orthoradiale inchangée égale à la vitesse circulaire v_T.

L'énergie cinétique de la sonde vaut alors :

d'après l'expression de v_T établie à la question Q27.

D'après la question Q29, l'énergie potentielle au rayon R_T s'écrit :

L'énergie mécanique de la sonde juste après l'ouverture de la voile est donc :

Puisque l'énergie potentielle effective tend vers zéro à l'infini (E_{p,\mathrm{eff}}(r) \xrightarrow[r \to \infty]{} 0) et que l'énergie cinétique est nécessairement positive ou nulle, la condition pour que la sonde dispose de suffisamment d'énergie pour atteindre l'infini s'écrit :

On en déduit immédiatement la condition sur la surface de la voile :

La surface minimale requise est donc :

Application numérique :

On étudie le système constitué par la sonde de masse m, assimilée à un point matériel M, dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen.

La sonde est soumise à deux forces :

• la force d'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil :

  \vec{F}_g = -\frac{G M_s m}{r^2}\,\vec{e}_r

• la force de pression de radiation exercée sur la voile :

  \vec{F}_r = p_T \frac{R_T^2}{r^2} \cos^2\beta\, S\,\vec{u}

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

soit, en divisant par m :

Introduisons les variables adimensionnées \vec{\rho} = \frac{\vec{OM}}{R_T} (de norme \rho = \frac{r}{R_T}) et \tau = \omega_T t. Les dérivées temporelles s'écrivent :

Or, d'après la troisième loi de Kepler (question Q27), R_T^3 \omega_T^2 = G M_s, ce qui donne R_T \omega_T^2 = \frac{G M_s}{R_T^2}. L'équation du mouvement devient :

En divisant les deux membres par \frac{G M_s}{R_T^2}, on obtient :

Cette équation est bien de la forme attendue :

avec :

Signification physique de \eta : Considérons le cas où la voile est orthogonale au rayonnement solaire (\beta = 0). Les deux forces ont alors la même direction radiale et leurs normes valent respectivement :

Le rapport de ces deux forces est :

Ainsi, la constante sans dimension \eta représente le rapport entre la force de pression de radiation maximale (à incidence normale \beta = 0) et la force d'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil sur la sonde.

D'après la figure 11 de l'énoncé, l'angle orienté entre les vecteurs unitaires est (\vec{e}_r, \vec{u}) = \beta. Le vecteur unitaire \vec{u} se décompose donc dans la base polaire (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta) selon :

Le vecteur position adimensionné s'écrit \vec{\rho} = \rho\,\vec{e}_r. En dérivant successivement par rapport au temps adimensionné \tau, sachant que \frac{\mathrm{d}\vec{e}_r}{\mathrm{d}\tau} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\tau}\,\vec{e}_\theta et \frac{\mathrm{d}\vec{e}_\theta}{\mathrm{d}\tau} = -\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\tau}\,\vec{e}_r, on obtient la vitesse puis l'accélération adimensionnées :

L'équation différentielle du mouvement obtenue à la question Q33 s'écrit :

Par identification selon chaque composante de la base polaire, on en déduit les deux équations du second ordre :

En introduisant les grandeurs \rho, \theta, v_\rho = \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}\tau} et \omega_\theta = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\tau}, ces deux équations du second ordre se réécrivent sous la forme d'un système de quatre équations différentielles du premier ordre :

À l'instant t = 0 (\tau = \omega_T \times 0 = 0), les conditions initiales physiques données par l'énoncé sont :

D'après les relations d'adimensionnement \vec{OM} = R_T \vec{\rho} et \tau = \omega_T t, la distance au centre s'écrit r(t) = R_T \rho(\tau), et la dérivation par rapport au temps adimensionné s'exprime par \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau} = \frac{1}{\omega_T} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}. Il vient donc :

Les valeurs à \tau = 0 sont donc :

Le commentaire de la ligne 6 précise que l'ordre des composantes du vecteur d'état est \left[\rho, \theta, \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}\tau}, \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\tau}\right]. La ligne 7 du script Python s'écrit par conséquent :

(ou sous forme entière cond_init = [1, 0, 0, 1]).

D'après l'instruction d'appel fournie dans le script de la figure 12 :

la fonction dérivée appelée par le solveur doit admettre la signature :

où :

• y est le vecteur d'état à l'instant \tau, contenant respectivement \rho, \theta, \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}\tau} et \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\tau} ;
• tau est l'instant adimensionné \tau (non utilisé explicitement ici car le système est autonome) ;
• eta et beta sont les paramètres passés via le tuple args.

En appliquant les équations différentielles obtenues à la question Q34 :

def voile_solaire_beta(y, tau, eta, beta):
    rho, theta, drho, dtheta = y

    # Derivees secondes
    d2rho = rho * dtheta**2 - 1.0 / rho**2 + (eta / rho**2) * np.cos(beta)**3
    d2theta = -2.0 / rho * drho * dtheta + (eta / rho**3) * (np.cos(beta)**2) * np.sin(beta)

    return [drho, dtheta, d2rho, d2theta]

Lorsque \beta = \pm 90^\circ = \pm \frac{\pi}{2}, on a \cos\beta = 0.

L'expression de la force de pression de radiation établie dans l'énoncé,

s'annule donc identiquement :

Physiquement, le plan de la voile est alors parallèle aux rayons lumineux incidents (incidence rasante) ; la voile n'intercepte aucun flux lumineux.

La sonde n'est alors soumise qu'à la seule attraction gravitationnelle du Soleil. Or, d'après les conditions initiales déterminées à la question Q35 :

la sonde se trouve initialement sur l'orbite circulaire képlérienne de rayon R_T avec la vitesse orbitale adéquate.

En l'absence de force perturbatrice, la trajectoire reste cette orbite circulaire de rayon constant \rho(\tau) = 1 pour tout \tau \ge 0. On a donc en particulier à la fin des 5 mois de simulation :

D'après la figure 13, la distance adimensionnée finale \rho_f atteinte au bout de 5 mois dépend fortement de l'orientation \beta de la voile solaire :

• Éloignement maximal du Soleil : on cherche la valeur \beta_e qui maximise \rho_f. La courbe présente un maximum net situé entre 0^\circ et 30^\circ, précisément aux deux tiers de cet intervalle. On lit :

  \boxed{\beta_e \approx +20^\circ \quad (\text{soit entre } 18^\circ \text{ et } 22^\circ)}

  À cet optimum, la distance finale atteint \rho_f \approx 2{,}0 (soit r_f \approx 2{,}0\text{ au}).

• Rapprochement maximal du Soleil : on cherche la valeur \beta_a qui minimise \rho_f afin de faire plonger la sonde vers le Soleil (\rho_f < 1). La courbe présente un minimum dans le domaine des angles négatifs, situé entre -60^\circ et -50^\circ. On lit :

  \boxed{\beta_a \approx -55^\circ \quad (\text{soit entre } -60^\circ \text{ et } -50^\circ)}

  À cet optimum, la distance finale minimale descend aux alentours de \rho_f \approx 0{,}6 (soit r_f \approx 0{,}6\text{ au}).

Le gain spectaculaire sur le temps de trajet s'explique qualitativement par deux phénomènes physiques conjugués :

• Intensification considérable de la force de poussée : La pression de radiation solaire et le flux lumineux varient en 1/r^2. En s'approchant très près du Soleil (par exemple à r_{\min} \approx 0{,}05\text{ au} au lieu de 1\text{ au}), l'intensité du rayonnement est multipliée par un facteur (1/0{,}05)^2 = 400. La voile solaire subit alors une force répulsive gigantesque au voisinage du périhélie.
• Gain massif d'énergie mécanique et vitesse de fuite élevée : D'une part, la chute dans le puits de potentiel gravitationnel confère à la sonde une vitesse orbitale très élevée au périhélie. D'autre part, la force radiative motrice travaille sur cette sonde rapide, ce qui lui communique une très forte puissance mécanique (\mathcal{P} = \vec{F}_r \cdot \vec{v}). L'énergie mécanique totale acquise est bien plus grande que si la voile était simplement déployée depuis l'orbite terrestre, conférant à la sonde une vitesse asymptotique v_\infty considérablement accrue.

Bien que la phase de descente vers le Soleil prenne quelques mois, le trajet principal vers 500\text{ au} s'effectue à une vitesse moyenne bien plus élevée, permettant d'économiser plusieurs décennies de voyage (environ 35\text{ ans} au lieu de plus de 60\text{ ans}).

À l'équilibre thermique stationnaire, la puissance radiative absorbée par la voile compense exactement la puissance qu'elle réémet sous forme thermique :

D'après le texte, la puissance absorbée s'écrit :

Pour l'émission thermique, la voile solaire est une membrane d'épaisseur micrométrique, d'excellente conductivité thermique transversale : ses deux faces sont à la même température T. Elle rayonne donc par ses deux faces (avant et arrière), chacune de surface S, soit une surface émissive totale de 2S :

(Remarque : si l'on ne prenait en compte que l'émission par une seule face, on écrirait \mathcal{P}_{\text{ray}} = S \varepsilon \sigma T^4.)

En égalant les deux puissances :

La condition de non-dégradation du matériau, T \le T_{\max} = 700\text{ K}, impose une distance minimale au Soleil r_{\min} :

Discutons les choix possibles pour l'orientation \beta au périhélie :

• Cas conservatoire (le plus défavorable) : incidence normale au rayonnement, soit \beta = 0 (\cos\beta = 1).
  Avec \xi = 0{,}1, I_s = 1{,}4\text{ kW}\cdot\text{m}^{-2} = 1{,}4 \times 10^3\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}, \varepsilon = 0{,}8, \sigma = 5{,}67 \times 10^{-8}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4} et T_{\max} = 700\text{ K} :

  \begin{aligned} r_{\min} &= 1{,}0\text{ au} \times \sqrt{\frac{0{,}1 \times 1{,}4 \times 10^3}{2 \times 0{,}8 \times 5{,}67 \times 10^{-8} \times (700)^4}} \\ &= 1{,}0\text{ au} \times \sqrt{\frac{140}{2{,}18 \times 10^4}} \approx 0{,}080\text{ au} \end{aligned}
• En prenant en compte l'inclinaison de réorientation \beta_e \approx 20^\circ : avec \cos(20^\circ) \approx 0{,}94, on obtient r_{\min} \approx 0{,}080 \times \sqrt{0{,}94} \approx 0{,}078\text{ au} \approx 0{,}08\text{ au}.
• Si la sonde conserve l'angle d'approche \beta_a \approx -55^\circ : avec \cos(-55^\circ) \approx 0{,}57, on trouve r_{\min} \approx 0{,}080 \times \sqrt{0{,}57} \approx 0{,}061\text{ au} \approx 0{,}06\text{ au}.
• (Si l'on avait considéré une seule face émissive avec \beta = 0, on aurait obtenu r_{\min} \approx 0{,}080 \times \sqrt{2} \approx 0{,}11\text{ au}.)

Reportons la valeur r_{\min} \approx 0{,}08\text{ au} sur la courbe de droite de la figure 14 (temps en fonction de r_{\min}) :

• pour r_{\min} \approx 0{,}08\text{ au}, on lit une durée de vol d'environ 40\text{ à }42\text{ ans} ;
• avec l'hypothèse d'une inclinaison \beta_a = -55^\circ (r_{\min} \approx 0{,}06\text{ au}), le premier point simulé donne une durée minimale de l'ordre de 35\text{ ans}.

(ou environ 35\text{ ans} pour une approche inclinée à -55^\circ).