Corrigé détaillé E3A Physique Chimie PC 2025

Pour une onde électromagnétique plane, progressive et harmonique se propageant dans le vide à la célérité c, la structure de l'onde issue de l'équation de Maxwell-Faraday impose :

En identifiant avec les expressions données \vec{E}_i(x,t) = E_0 \cos(\omega t - kx)\,\vec{e}_y et \vec{B}_i(x,t) = B_0 \cos(\omega t - kx)\,\vec{e}_z, on obtient la relation entre les amplitudes :

ou, de manière équivalente, B_0 = \dfrac{E_0}{c}.

Dans le demi-espace x < 0, le champ électromagnétique total est la superposition du champ incident et du champ réfléchi :

Pour le champ électrique :

En utilisant la formule trigonométrique :

avec a = \omega t - kx et b = \omega t + kx, il vient \frac{a+b}{2} = \omega t et \frac{a-b}{2} = -kx, d'où :

Ainsi :

Pour le champ magnétique :

En utilisant la formule trigonométrique :

il vient :

Ainsi :

L'équation locale de Maxwell-Ampère s'écrit de manière générale :

Dans le cadre de l'ARQS magnétique, le courant de déplacement \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} est négligeable devant le terme de conduction \mu_0 \vec{\jmath} (ceci est d'autant plus vérifié dans le conducteur où la partie électrique du champ est quasiment nulle). L'équation se simplifie en :

Le champ magnétique transmis est orienté selon \vec{e}_z et ne dépend que de x et t : \vec{B}_t(x,t) = B_t(x,t)\,\vec{e}_z. En coordonnées cartésiennes, son rotationnel s'écrit :

Comme B_{t,x} = 0, B_{t,y} = 0, et que B_{t,z} = B_t(x,t) ne dépend pas de y, il vient :

On en déduit la densité volumique de courant dans le conducteur :

Le courant infinitésimal di traversant la tranche de conducteur d'élément de surface orientée d\vec{S} = dx\,dz\,\vec{e}_y correspond au flux du vecteur densité volumique de courant \vec{\jmath} à travers cette surface :

On obtient bien l'expression demandée :

La force de Laplace élémentaire s'exerçant sur l'élément filiforme de longueur \mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}y\,\vec{e}_y, parcouru par le courant \mathrm{d}i et plongé dans le champ magnétique \vec{B}_t(x,t) = B_t(x,t)\,\vec{e}_z, s'écrit selon la loi de Laplace :

Comme \vec{e}_y \wedge \vec{e}_z = \vec{e}_x, le produit vectoriel devient :

En utilisant l'expression du courant élémentaire établie à la question Q3 :

on obtient la force de Laplace élémentaire subie par le volume infinitésimal \mathrm{d}\tau = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z :

que l'on peut également écrire sous la forme condensée :

D'après la question Q4, la force élémentaire s'exerçant sur un élément de volume \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z du conducteur s'écrit :

La force totale \mathrm{d}\vec{F}_{\text{pavé}} qui s'exerce sur le pavé de section droite \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z s'étendant de x = 0 à x \to +\infty s'obtient par sommation sur x :

En utilisant les conditions aux limites fournies par l'énoncé :

il vient :

On en déduit l'expression de la force instantanée :

Calculons à présent la moyenne temporelle de cette force. La valeur moyenne sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} de \cos^2(\omega t) vaut :

On obtient ainsi :

D'après l'énoncé, la force moyenne exercée sur un élément de surface \mathrm{d}S = \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z de la paroi s'écrit :

Or, d'après le résultat obtenu à la question Q5, la valeur moyenne temporelle de cette force vaut :

Par identification directe des deux expressions, on en déduit l'expression de la pression de radiation :

En utilisant la relation E_0 = c B_0 (question Q1) ainsi que l'expression de la vitesse de la lumière dans le vide c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}, cette pression peut également s'écrire sous la forme équivalente :

Dans le vide (x < 0), l'onde résultante est la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie. La densité volumique d'énergie électromagnétique s'écrit :

D'après les expressions établies à la question Q2 :

En injectant ces expressions dans u_{\text{em}}(x,t), il vient :

Prenons la moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega}. Comme \langle \sin^2(\omega t) \rangle = \langle \cos^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2} :

D'après la question Q1, E_0 = c B_0 avec c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}, d'où l'égalité des densités crêtes électrique et magnétique :

On en déduit :

En comparant avec l'expression de la pression de radiation obtenue à la question Q6, p_{\text{rad}} = \frac{B_0^2}{\mu_0}, on justifie parfaitement l'affirmation de Maxwell :

Un photon de fréquence \nu possède une énergie :

Sa masse propre étant nulle, la relation relativiste de dispersion E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 donne la norme de sa quantité de mouvement :

Vectoriellement, en notant \vec{u} le vecteur unitaire dans la direction de propagation de l'onde, la quantité de mouvement du photon s'écrit :

Considérons un photon se propageant selon les x croissants en incidence normale sur le conducteur situé en x = 0 :

• Avant réflexion, son vecteur quantité de mouvement incident est :

  \vec{p}_i = \frac{h\nu}{c}\,\vec{e}_x

• Après réflexion élastique sans perte d'énergie, la fréquence du photon reste \nu et sa direction est inversée selon les lois de Snell-Descartes :

  \vec{p}_r = -\frac{h\nu}{c}\,\vec{e}_x

La variation de la quantité de mouvement du photon au cours du choc s'en déduit :

1. Nombre de photons frappant la surface S :

Les photons se déplacent dans le vide à la célérité c dans le sens de \vec{e}_x. Les photons qui atteignent la surface plane S (située en x=0) pendant la durée \Delta t sont ceux initialement compris dans le cylindre droit de base S, d'axe (Ox) et de longueur c\Delta t en amont de la surface.

Le volume de ce cylindre vaut :

La densité volumique de photons incidents étant notée n, le nombre de photons frappant la surface pendant \Delta t est :

2. Force totale exercée par les photons sur la surface :

D'après la question Q8, chaque photon subit lors de la réflexion spéculaire une variation de quantité de mouvement :

Pour le système fermé constitué par les N photons qui entrent en collision avec la paroi pendant la durée \Delta t, la variation de quantité de mouvement totale s'écrit :

En appliquant la deuxième loi de Newton au système de ces photons pendant la durée \Delta t, la force moyenne exercée par la paroi sur les photons est :

D'après le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la force exercée par les photons sur la section S de la surface réfléchissante est :

3. Pression de radiation :

La force étant orthogonale à la surface S, la pression de radiation p_{\text{rad}} correspond au quotient de la norme de la force par l'aire S :

Chaque photon de fréquence \nu transporte un quantum d'énergie :

Dans le demi-espace x < 0 devant la surface parfaitement réfléchissante :

• les photons incidents forment un faisceau de densité volumique n, se propageant à la célérité c vers les x croissants ;
• les photons réfléchis repartent à la célérité c vers les x décroissants sans perte d'énergie. Par conservation du flux en régime permanent, leur densité volumique est également égale à n.

La densité volumique totale de photons présents dans le vide est donc :

La densité volumique moyenne d'énergie électromagnétique dans le vide s'en déduit :

En comparant cette grandeur à l'expression de la pression de radiation établie à la question Q9 (p_{\text{rad}} = 2nh\nu), on retrouve l'égalité énoncée par Maxwell :

Considérons une surface plane parfaitement réfléchissante située dans le plan x = 0, de normale sortante dirigée selon -\vec{e}_x. Les photons proviennent du demi-espace x < 0 sous un angle d'incidence \theta mesuré par rapport à la normale \vec{e}_x.

1. Variation de quantité de mouvement d'un photon

D'après les lois de Descartes de la réflexion, la composante tangentielle de la quantité de mouvement est conservée tandis que sa composante normale est inversée :

La variation de quantité de mouvement subie par un photon lors du choc élastique est donc :

D'après le principe des actions réciproques, la quantité de mouvement cédée à la paroi par ce photon vaut :

2. Nombre de photons frappant la surface S pendant \Delta t

Les photons se déplacent à la vitesse c dans la direction d'incidence. Pendant l'intervalle de temps \Delta t, les photons atteignant la surface S sont ceux contenus dans un prisme oblique de base S et d'arêtes parallèles au faisceau incident de longueur c\Delta t.

La hauteur de ce prisme, mesurée selon la normale \vec{e}_x, vaut :

Le volume correspondant est :

Le nombre de photons incidents frappant la surface S pendant \Delta t s'en déduit :

3. Force moyenne et pression de radiation

La quantité de mouvement totale cédée à la surface S pendant la durée \Delta t s'écrit :

En appliquant la deuxième loi de Newton, la force moyenne exercée par le faisceau sur la surface S est :

La pression de radiation correspond à la composante normale de cette force par unité de surface :

On obtient bien :

1. Consignes de sécurité et de prévention :

• Protection oculaire : ne jamais regarder directement dans l'axe du faisceau laser ni observer un faisceau réfléchi (risque de lésions rétiniennes irréversibles) ; porter des lunettes de protection adaptées à la longueur d'onde si la classe du laser l'exige.
• Disposition du faisceau : maintenir le faisceau horizontal, à une hauteur bien inférieure à celle des yeux (éviter impérativement de se baisser au niveau du plan de propagation).
• Gestion de l'environnement : retirer tout objet métallique ou réfléchissant (montre, bague, bracelet) pouvant engendrer des réflexions parasites spéculaires, et obturer le faisceau en bout de banc optique à l'aide d'un écran absorbant (ou piège à lumière).

2. Expression de la pression de radiation :

Soit S l'aire de la section droite du faisceau laser. Pendant une durée \Delta t, le volume occupé par les photons qui traversent cette section est V = S c \Delta t. Le nombre de photons incidents transportés pendant \Delta t est donc :

Chaque photon transportant l'énergie h\nu, l'énergie lumineuse traversant la section S pendant \Delta t s'écrit :

La puissance véhiculée par le faisceau incident est par conséquent :

D'après le résultat de la question Q9, pour une surface parfaitement réfléchissante sous incidence normale :

On obtient ainsi :

Remarque : pour une surface parfaitement absorbante, où les photons incidents ne sont pas réfléchis mais absorbés (\Delta \vec{p} = -\vec{p}), la pression de radiation s'écrirait :

D'après la figure 2, les profils transverses du faisceau montrent une intensité maximale au centre et s'étendent sur une largeur totale à la base d'environ 2\,000\;\mu\text{m}, ce qui correspond à un diamètre de faisceau de l'ordre de :

Retenons D \approx 1{,}5\;\text{mm}. Le cheveu, de diamètre d = 70\;\mu\text{m}, traverse le faisceau. La surface de faisceau interceptée par le cheveu est celle d'un rectangle de dimensions D \times d :

La section totale du faisceau étant S \approx \frac{\pi D^2}{4} \approx \frac{\pi (1{,}5 \cdot 10^{-3})^2}{4} \approx 1{,}8 \cdot 10^{-6}\;\text{m}^2, la fraction de puissance interceptée par le cheveu est :

La puissance lumineuse interceptée vaut donc :

En modélisant le cheveu comme un corps absorbant ou diffusant, la force exercée s'exprime selon les résultats de la question Q12 par :

Avec c = 3{,}0 \cdot 10^8\;\text{m}\cdot\text{s}^{-1} :

On obtient ainsi un ordre de grandeur de :

Conclusion : Cette force est extraordinairement faible (de l'ordre du dixième de piconewton). À titre de comparaison, un brin de cheveu de 1\;\text{cm} de long a une masse de l'ordre de 0{,}05\;\text{mg}, ce qui correspond à un poids P \sim 5 \cdot 10^{-7}\;\text{N}, supérieur de six ordres de grandeur. La pression de radiation n'a donc rigoureusement aucune influence mécanique sur la position ou la fixité du cheveu lors de la mesure optique.

L'anneau situé en x = 0 est soumis à deux forces de tension exercées respectivement par la partie droite (x > 0) et la partie gauche (x < 0) de la corde :

• Pour x > 0, la corde reste immobile le long de l'axe horizontal Ox en l'absence d'onde transmise, d'où :

  \vec{T}_1 = T\,\vec{e}_x

• Pour x < 0, la force \vec{T}_2 est tangentielle à la corde au point d'abscisse x = 0^-, dirigée vers les x décroissants. D'après la figure 3, l'angle positif non orienté \beta est repéré par rapport à la direction horizontale -\vec{e}_x, le vecteur \vec{T}_2 pointant vers le haut et vers la gauche :

  \vec{T}_2 = -T\cos\beta\,\vec{e}_x + T\sin\beta\,\vec{e}_y

La force totale \vec{F} = \vec{T}_1 + \vec{T}_2 exercée par la corde sur l'anneau s'écrit donc :

Dans l'approximation des petits mouvements, l'angle \beta est petit devant 1 rad. La pente de la corde en x = 0^- s'identifie à la dérivée spatiale partielle. Sur la figure 3, la corde arrive avec une pente négative (\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{x=0^-} < 0), de sorte que :

Au premier ordre en \beta, on a \beta \approx \tan\beta = -\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{x=0^-}.

Effectuons les développements limités au deuxième ordre :

On en déduit immédiatement les projections de la force \vec{F} au deuxième ordre :

Pour une onde progressive harmonique, la pulsation \omega, la norme du vecteur d'onde k et la célérité c de l'onde sont reliées par la relation de dispersion :

L'onde progressive incidente proposée par le sujet s'écrit y_i(x,t) = A \sin(\omega t - kx). Calculons ses dérivées partielles secondes :

En injectant ces dérivées dans l'équation d'onde (1) :

on obtient :

Sachant que c = \frac{\omega}{k} > 0, on en déduit l'expression de la célérité des ondes transversales le long de la corde :

L'équation de d'Alembert (1) étant linéaire, l'onde résultante dans le domaine x < 0 est obtenue par superposition de l'onde incidente y_i(x,t) et de l'onde réfléchie y_r(x,t) :

À l'aide de l'identité trigonométrique fournie dans les données de l'énoncé :

en posant a = \omega t - kx et b = \omega t + kx, il vient :

d'où :

Cette onde présente une séparation stricte des variables spatiale et temporelle sous la forme y(x,t) = f(x)g(t) : il s'agit d'une onde stationnaire.

D'après la question Q16, le déplacement transversal pour x < 0 s'écrit :

En dérivant par rapport à la variable d'espace x :

En x = 0^- (au niveau de l'anneau, avec \cos(0) = 1) :

D'après la relation établie à la question Q14, la projection de la force exercée par la corde sur l'anneau selon l'axe Ox vaut :

Soit :

La valeur moyenne temporelle sur une période T_{\text{onde}} = \dfrac{2\pi}{\omega} s'obtient en utilisant \langle \cos^2(\omega t) \rangle = \dfrac{1}{2} :

D'où l'expression de la force moyenne :

D'après la question Q16, l'onde résultante dans le domaine x < 0 est stationnaire et s'écrit :

Calculons les dérivées partielles de y(x,t) :

En injectant ces dérivées dans l'expression de la densité linéique d'énergie :

Or, d'après la relation établie à la question Q15, la pulsation et le vecteur d'onde vérifient \omega^2 = \frac{T}{\rho}k^2, soit \rho\omega^2 = Tk^2. On en déduit :

Calculons la moyenne spatiale de cette densité linéique sur une longueur d'onde \lambda = \frac{2\pi}{k} :

Sur une période spatiale, la valeur moyenne de \sin^2(kx) et celle de \cos^2(kx) valent toutes deux \frac{1}{2} :

Il vient ainsi :

La moyenne spatiale est indépendante du temps. En comparant cette valeur à la force moyenne longitudinale obtenue à la question Q17 (\langle \vec{F}\cdot\vec{e}_x \rangle = TA^2k^2), on obtient l'égalité remarquable :