Corrigé détaillé Banque PT Physique A PT 2020 (page 4/4 : Partie 3)

L'expression du champ électrique complexe de l'onde incidente est :

Cette onde présente les caractéristiques suivantes :

• Plane : la phase \omega t - kx et l'amplitude complexe sont uniformes dans tout plan x = \text{cte} perpendiculaire à la direction de propagation ;
• Progressive : l'argument est de la forme \omega t - kx, ce qui correspond à une onde se propageant dans le sens des x croissants à la célérité c = \omega/k ;
• Harmonique (ou monochromatique) : la dépendance temporelle est sinusoïdale, caractérisée par une pulsation unique \omega ;
• Polarisée rectilignement : la direction du champ électrique reste constamment parallèle à l'axe fixe porté par \vec{u}_z ;
• Transverse : le vecteur champ électrique \vec{E} est orthogonal à la direction de propagation \vec{u}_x (\vec{E} \cdot \vec{u}_x = 0).

Il s'agit donc d'une onde plane progressive harmonique (OPPH) transverse, polarisée rectilignement selon \vec{u}_z.

Dans le vide, la relation liant la célérité c de l'onde lumineuse, sa fréquence \nu (ou f) et sa longueur d'onde dans le vide \lambda est donnée par :

Avec les valeurs numériques fournies par l'énoncé :

• c = 3{,}0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
• \lambda = 600\text{ nm} = 6{,}0 \cdot 10^{-7}\text{ m}

On obtient :

Conformément à la consigne générale précisant que les calculs s'effectuent avec un chiffre significatif :

L'onde incidente se propageant dans le vide selon +\vec{u}_x possède le vecteur d'onde :

D'après l'équation de Maxwell-Faraday \vec{\operatorname{rot}}\underline{\vec{E}} = -j\omega\underline{\vec{B}}, le champ magnétique associé à cette OPPH s'écrit sous forme complexe :

Comme \vec{u}_x \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_y et \frac{k}{\omega} = \frac{1}{c}, on obtient :

Le champ magnétique réel s'écrit donc :

Le vecteur de Poynting instantané est défini par :

En injectant les champs réels avec \vec{u}_z \wedge (-\vec{u}_y) = \vec{u}_x :

La valeur moyenne temporelle de \cos^2(\omega t - kx) sur une période optique étant égale à \frac{1}{2}, le vecteur de Poynting moyen est :

La puissance moyenne \langle P \rangle du faisceau laser traversant une section droite transverse S orientée par \vec{u}_x est donnée par le flux du vecteur de Poynting moyen déterminé à la question précédente :

Le faisceau étant modélisé par une onde plane uniforme sur toute l'étendue de la section S, l'intensité lumineuse \langle \Pi \rangle = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c} est spatiale uniforme sur cette section. On a donc :

On en déduit l'expression littérale de l'amplitude E_0 du champ électrique :

La section circulaire de rayon R = 5{,}0\text{ cm} = 5{,}0 \times 10^{-2}\text{ m} a pour aire S = \pi R^2. En utilisant \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}, le facteur \pi se simplifie :

D'où :

Avec un chiffre significatif :

Dans le conducteur, la matière est modélisée par un conducteur ohmique neutre en volume, vérifiant la loi d'Ohm locale :

L'équation de Maxwell-Ampère s'écrit alors :

où \vec{j} est la densité volumique de courant de conduction et \vec{j}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} est la densité de courant de déplacement.

En régime sinusoïdal à la pulsation \omega = 2\pi \nu, les grandeurs varient comme \exp(j\omega t), ce qui conduit pour les amplitudes de ces deux termes à :

Le rapport des ordres de grandeur s'écrit ainsi :

Avec les valeurs numériques fournies :

• \gamma = 1{,}0 \cdot 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}
• \varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}
• \nu = 5\cdot 10^{14}\text{ Hz} (d'après la question 2) d'où \omega = 2\pi\nu \approx 3\cdot 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

Le calcul donne (avec un chiffre significatif) :

On a donc bien :

Le courant de conduction est très supérieur au courant de déplacement (d'un facteur d'environ 400).

Dans le conducteur ohmique, les équations de Maxwell s'écrivent :

• Maxwell-Faraday :

  \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

• Maxwell-Ampère, dans le cadre de l'approximation établie à la question Q5 (courant de déplacement négligeable devant le courant de conduction \vec{j} = \gamma\vec{E}) :

  \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} \approx \mu_0\gamma\vec{E}

• Maxwell-Gauss : \operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}. L'équation de conservation de la charge \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}\vec{j} = 0 associée à la loi d'Ohm locale donne :

  \frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\gamma}{\varepsilon_0}\rho = 0

  Le temps de relaxation des charges \tau_r = \frac{\varepsilon_0}{\gamma} \approx \frac{8{,}85\cdot 10^{-12}}{1{,}0\cdot 10^7} \approx 9\cdot 10^{-19}\text{ s} est extrêmement court devant la période optique (T \approx 2\cdot 10^{-15}\text{ s}) ; le milieu est donc neutre en volume en régime établi : \rho = 0, soit \operatorname{div}\vec{E} = 0.

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

En utilisant la formule vectorielle fournie dans le sujet, \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) - \vec{\Delta}\vec{E}, et en exploitant \operatorname{div}\vec{E} = 0, le membre de gauche devient :

En injectant l'équation de Maxwell-Ampère simplifiée dans le membre de droite :

On en déduit l'équation vérifiée par le champ électrique dans le conducteur :

Dans le conducteur (x > 0), on recherche le champ électrique sous la forme d'une onde plane progressive harmonique (OPPH) de pulsation \omega, polarisée rectilignement selon \vec{u}_z et se propageant suivant l'axe (Ox) :

où \underline{k} désigne la composante complexe du vecteur d'onde selon \vec{u}_x.

D'après la question précédente (Q6), le champ électrique vérifie l'équation de diffusion :

En dérivant l'expression de \underline{\vec{E}}(x,t), on obtient :

En réinjectant dans l'équation de propagation, il vient :

Comme le champ électrique n'est pas identiquement nul, on en déduit l'équation de dispersion complexe :

En introduisant la grandeur \delta = \sqrt{\dfrac{2}{\mu_0\gamma\omega}}, on a \mu_0\gamma\omega = \dfrac{2}{\delta^2}, d'où :

L'onde se propageant dans le sens des x>0, son amplitude doit décroître lorsque x \to +\infty (onde évanescente sans amplification à l'infini). Avec la convention de phase \mathrm{e}^{j(\omega t - \underline{k}x)} = \mathrm{e}^{j(\omega t - \mathrm{Re}(\underline{k})x)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{Im}(\underline{k})x}, il est nécessaire que \mathrm{Im}(\underline{k}) < 0. On retient donc la racine :

L'onde incidente étant polarisée selon \vec{u}_z et arrivant sous incidence normale, le champ électrique transmis dans le conducteur conserve la même polarisation :

D'après la relation de dispersion établie à la question 7, le vecteur d'onde complexe \underline{k} vérifie :

La solution générale sous forme d'onde plane harmonique s'écrit comme superposition d'ondes se propageant vers les x croissants et décroissants :

soit en explicitant les exponentielles :

Le milieu conducteur occupant le demi-espace x > 0 sans source à l'infini, l'amplitude du champ électromagnétique doit rester bornée lorsque x \to +\infty. On impose donc \underline{B} = 0.

En notant \underline{E}_{ot} = \underline{E}(0^+, 0) l'amplitude complexe en x=0^+, la solution s'écrit :

La grandeur \delta représente l'épaisseur de peau (ou profondeur de pénétration) de l'onde électromagnétique dans le conducteur.

D'après l'expression établie à la question 8.a :

\delta mesure la distance caractéristique d'atténuation sur laquelle l'amplitude du champ électromagnétique (ainsi que la densité volumique de courant associée \vec{j} = \gamma\vec{E}) est divisée par \mathrm{e} \approx 2{,}72 en pénétrant dans le conducteur (effet de peau ou effet pelliculaire).

Pour le calcul numérique, on utilise \omega = 2\pi\nu = \dfrac{2\pi c}{\lambda} :

Avec les données numériques de l'énoncé :

• \lambda = 600\text{ nm} = 6{,}0\cdot 10^{-7}\text{ m}
• \mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}
• \gamma = 1{,}0\cdot 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}
• c = 3{,}0\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

On a :

D'où, avec un seul chiffre significatif :

D'après la question 8.a, le champ électrique transmis dans le conducteur (x > 0) s'écrit :

La dépendance spatio-temporelle de la phase de l'onde se propageant selon les x croissants est de la forme :

Pour une surface d'onde définie par \phi(x,t) = \text{cte}, la différentiation donne :

En remplaçant \delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0\gamma\omega}}, on peut également exprimer cette vitesse sous la forme :

Application numérique : Avec \omega = 2\pi\nu = 2\pi \times 5{,}0\cdot 10^{14} \approx 3{,}1\cdot 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} et \delta \approx 7\cdot 10^{-9}\text{ m} (obtenu à la question 8.b) :

Avec un chiffre significatif :

D'après la loi d'Ohm locale, le vecteur densité de courant volumique dans le conducteur s'écrit :

La puissance volumique instantanée cédée par le champ électromagnétique à la matière par effet Joule est :

En utilisant la forme réelle du champ électrique transmise déterminée à la question 8.a :

la moyenne temporelle sur une période s'obtient immédiatement grâce à \langle \cos^2(\dots) \rangle = \frac{1}{2} (ou par la formule complexe \langle p_J \rangle = \frac{1}{2} \operatorname{Re}(\underline{\vec{j}} \cdot \underline{\vec{E}}^*) = \frac{1}{2}\gamma |\underline{\vec{E}}|^2) :

Sachant que |\underline{E}_{ot}| = |t| E_0, l'expression de la puissance volumique moyenne dissipée à l'abscisse x s'écrit :

Calculons numériquement le coefficient pré-exponentiel p_{J0} = \frac{1}{2} \gamma |t|^2 E_0^2 :

• \gamma = 1{,}0 \cdot 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} ;
• |t| = 10^{-4} ;
• D'après la question 4, E_0 \approx 2 \cdot 10^3\text{ V}\cdot\text{m}^{-1} (précisément E_0^2 = \frac{2\mu_0 c \langle P \rangle}{S} \approx \frac{2 \times 377 \times 40}{\pi \times (0{,}05)^2} \approx 3{,}8 \cdot 10^6\text{ V}^2\cdot\text{m}^{-2}).

On a ainsi :

On obtient finalement :

Dans une lame conductrice d'épaisseur finie L, l'onde transmise en x = 0 se propage selon les x croissants et rencontre la face arrière en x = L. Une onde réfléchie peut alors apparaître et modifier la structure du champ à l'intérieur du conducteur.

D'après la question 8.a, l'amplitude du champ électrique décroît en \mathrm{e}^{-x/\delta}, où \delta est l'épaisseur de peau. L'onde incidente sur la face arrière en x = L est donc atténuée d'un facteur :

L'approximation d'un milieu semi-infini (absence d'onde réfléchie en x = L) est donc fondée si l'épaisseur L du conducteur est très grande devant l'épaisseur de peau \delta :

Application numérique : avec L = 1{,}0\text{ mm} = 1{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m} et \delta \approx 7\cdot 10^{-9}\text{ m} (question 8.b), on a :

L'atténuation \mathrm{e}^{-L/\delta} \approx \mathrm{e}^{-10^5} est rigoureusement négligeable : l'onde est totalement absorbée bien avant d'atteindre la face arrière du miroir. L'approximation est donc parfaitement justifiée.

La puissance moyenne totale dissipée par effet Joule dans le conducteur s'obtient en intégrant la puissance volumique moyenne \langle p_J(x) \rangle sur le volume délimité par la section S du faisceau et l'épaisseur L du miroir :

D'après la question 8.d, la puissance volumique moyenne s'écrit :

Comme établi à la question 9, l'épaisseur du conducteur est très grande devant l'épaisseur de peau (L \gg \delta, avec L/\delta \sim 10^5), l'onde est totalement absorbée bien avant d'atteindre la face arrière x = L. On peut donc étendre la borne supérieure d'intégration à +\infty avec une excellente précision :

On obtient ainsi :

Soit un volume V de métal recevant la puissance dissipée par effet Joule P_J. En l'absence de transfert thermique vers l'extérieur pendant une durée \mathrm{d}t, le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce système fermé à pression constante s'écrit :

En introduisant la capacité thermique du volume considéré C = m c = \rho V c, où \rho est la masse volumique du métal et c sa capacité thermique massique, on a :

L'élévation de température par unité de temps s'exprime donc par :

Deux interprétations de « ce volume » sont envisageables selon l'échelle considérée :

1. Volume de pénétration de l'onde (effet de peau) : V_\delta = S \delta.
   L'énergie étant quasi intégralement dissipée dans l'épaisseur de peau \delta avant d'avoir le temps de diffuser (comme précisé en Q12.b et Q13), on a :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} &= \frac{P_J}{\rho c S \delta} = \frac{\frac{1}{4}\gamma |t|^2 E_0^2 \delta S}{\rho c S \delta} = \frac{\gamma |t|^2 E_0^2}{4\rho c} \end{aligned}

   Avec les valeurs numériques :

   • \gamma = 1{,}0\cdot 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}
   • |t| = 10^{-4} \implies |t|^2 = 10^{-8}
   • E_0 \approx 2\cdot 10^3\text{ V}\cdot\text{m}^{-1} \implies E_0^2 \approx 4\cdot 10^6\text{ V}^2\cdot\text{m}^{-2}
   • \rho = 8{,}0\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
   • c = 400\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}
   \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = \frac{1{,}0\cdot 10^7 \times 10^{-8} \times 4\cdot 10^6}{4 \times 8{,}0\cdot 10^3 \times 400} = \frac{4\cdot 10^5}{1{,}3\cdot 10^7} \approx 3\cdot 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{s}^{-1}
   \boxed{\left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\right)_\delta \approx 3\cdot 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{s}^{-1}}

2. Volume total éclairé du conducteur : V_L = S L.
   Si l'on considère le conducteur dans son ensemble d'épaisseur L = 1{,}0\text{ mm} (défini au préambule précédant la question Q9) :

   \left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\right)_L = \frac{P_J}{\rho c S L} = \frac{\delta}{L}\left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\right)_\delta

   Avec \delta \approx 7\cdot 10^{-9}\text{ m} et L = 1{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m} :

   \left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\right)_L \approx \frac{7\cdot 10^{-9}}{1{,}0\cdot 10^{-3}} \times 3\cdot 10^{-2} \approx 2\cdot 10^{-7}\text{ K}\cdot\text{s}^{-1}
   \boxed{\left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\right)_L \approx 2\cdot 10^{-7}\text{ K}\cdot\text{s}^{-1}}

Une dilatation d'épaisseur \mathrm{d}L du miroir modifie la position de sa surface réfléchissante, ce qui induit une variation de longueur de bras \Delta L_{\text{miroir}} = \mathrm{d}L et donc un déphasage parasite dans l'interféromètre :

Avec \lambda = 600\text{ nm}, la contrainte imposée s'écrit :

Or, l'interféromètre a pour vocation de détecter les infimes variations de longueur de bras induites par le passage d'une onde gravitationnelle, de l'ordre de :

valeur cohérente avec le déplacement minimal détectable de \pm 2\cdot 10^{-18}\text{ m} mentionné dans le préambule du sujet.

D'après la définition du coefficient de dilatation thermique linéique \lambda_d, la variation de longueur d'un élément d'épaisseur initiale \ell soumis à une variation uniforme de température \Delta T s'écrit :

L'énoncé précise que l'élévation de température ne se produit notablement que sur l'épaisseur de peau \delta. Le reste du miroir (x > \delta) ne s'étant pas encore échauffé, la dilatation totale de l'épaisseur du miroir est égale à la dilatation de cette seule couche superficielle :

Pendant une durée d'éclairement \Delta t, l'échauffement de la couche d'épaisseur \delta s'écrit, d'après la question 11 :

La dilatation thermique du miroir s'exprime donc par :

On remarque que l'épaisseur de peau \delta se simplifie lorsqu'on réinjecte l'expression du taux d'échauffement (\mathrm{d}T/\mathrm{d}t)_\delta = P_J / (\rho c_m S \delta).

Pour que cette dilatation n'excède pas la tolérance imposée \Delta L_{\max} = 10^{-15}\lambda, la durée d'éclairement doit vérifier \Delta L \le \Delta L_{\max}, soit :

Application numérique :

• \Delta L_{\max} = 10^{-15} \times 600 \cdot 10^{-9}\text{ m} = 6 \cdot 10^{-22}\text{ m} ;
• \lambda_d = 1{,}0 \cdot 10^{-5}\text{ K}^{-1} ;
• \delta \approx 7 \cdot 10^{-9}\text{ m} ;
• \left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\right)_{\!\delta} \approx 3 \cdot 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{s}^{-1}.

Le dénominateur vaut :

D'où la durée maximale d'éclairement :

La diffusion de la chaleur selon l'axe Ox est régie par l'équation de la chaleur sans terme source (hors de la zone de peau d'épaisseur \delta \ll L) :

où la diffusivité thermique du conducteur s'exprime par :

avec les données de l'énoncé :

• \lambda_{\text{th}} = 400\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• \rho = 8{,}0 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• c_m = 400\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

On obtient :

Par analyse dimensionnelle ou ordre de grandeur, la durée caractéristique nécessaire pour que la chaleur diffuse sur la distance L s'écrit (à un facteur de l'ordre de l'unité près) :

Avec L = 1{,}0\text{ mm} = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ m} :

Commentaire :

• Cette durée est très supérieure au temps de tolérance thermique local \Delta t_{\max} \approx 3 \cdot 10^{-7}\text{ s} calculé en Q12.b : pendant les premières fractions de microseconde, la chaleur reste confinée dans l'épaisseur de peau \delta, induisant une forte surchauffe superficielle avant que la diffusion n'ait le temps d'évacuer l'énergie vers le reste du miroir.
• À l'échelle macroscopique, \tau_{\text{diff}} \sim 8\text{ ms} reste un temps très court : au-delà de quelques dizaines de millisecondes, la chaleur est uniformément répartie dans toute l'épaisseur L, ce qui dilue l'échauffement volumique (comme vu en Q11, l'élévation de température moyenne devient alors extrêmement faible, de l'ordre de 10^{-7}\text{ K}\cdot\text{s}^{-1}).
• Néanmoins, ce temps est du même ordre de grandeur que la période de l'onde gravitationnelle T_g = 1/f_0 \approx 1\text{ ms} et supérieur au temps de mesure T = 10^{-4}\text{ s}, ce qui montre que des gradients thermiques dynamiques peuvent subsister et perturber les mesures interférométriques de haute précision.