Feuille d'entraînement : Interférences par division du front d'onde

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique MP 2026, Q49

   Notons S_1 la fente inférieure située en x_1 = -a/2 et S_2 la fente supérieure située en x_2 = +a/2. La différence de marche totale au point M(x,y,0) de l'écran s'écrit :

   \delta(M) = [S S_1 M] - [S S_2 M] = \left([S S_1] - [S S_2]\right) + \left([S_1 M] - [S_2 M]\right)

   1. En amont des fentes :

   • La source ponctuelle S est au foyer principal objet de la lentille (\mathcal{L}_1) (question Q48) : l'onde incidente sur les fentes est plane, à fronts d'onde perpendiculaires à l'axe optique (Oz), donc [S S_1]_{\text{lentille}} = [S S_2]_{\text{lentille}}.

   • Les deux cuves C_1 et C_2 sont géométriquement identiques et remplies initialement du même gaz à la même pression, donc elles introduisent le même chemin optique :

     [S S_1] - [S S_2] = 0

   2. En aval des fentes : L'écran est situé dans le plan focal image de la lentille (\mathcal{L}_2) de distance focale image f'_1. Par conséquent, les rayons qui interfèrent au point M(x,y,0) de l'écran correspondent à deux rayons parallèles en amont de (\mathcal{L}_2), inclinés d'un angle \theta par rapport à l'axe optique (Oz) tel que :

   \tan\theta = \frac{x}{f'_1}

   D'après le théorème de Malus, la lentille (\mathcal{L}_2) assure le stigmatisme entre une onde plane incidente inclinée d'angle \theta et le point image focal M : le chemin optique séparant un front d'onde plan \Sigma (orthogonal aux rayons émergents inclinés) du foyer M est constant pour tous les rayons.

   En projetant la fente S_2 orthogonalement sur le rayon issu de S_1 en un point noté H, la différence de marche géométrique s'écrit :

   [S_1 M] - [S_2 M] = S_1 H = a \sin\theta

   Dans l'approximation paraxiale de Gauss, l'angle \theta est petit (\theta \ll 1), de sorte que :

   \sin\theta \simeq \tan\theta \simeq \frac{x}{f'_1}

   On en déduit l'expression de la différence de marche au point M :

   \boxed{\delta(M) = \frac{a x}{f'_1}}

   Résultat

   $$\delta (M)=\frac{ax}{f_1^{\prime }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Mines-Ponts Physique 2 MP 2026, Q7

   1. Ordre d'interférence en M(x)

   Les deux ouvertures (1) et (2) constituent deux sources secondaires synchrones et en phase, situées aux positions x_1 = -b(\theta)/2 et x_2 = +b(\theta)/2, car l'onde issue de la source ponctuelle A sur l'axe optique arrive normale au plan des fentes et la différence de marche \delta_0(\theta) a été compensée.

   Pour construire les rayons interférant en M(x) dans le plan focal image :

   • Le rayon passant par le centre optique O de la lentille n'est pas dévié et émerge en faisant un angle \alpha \simeq \frac{x}{f'} avec l'axe optique.
   • Par le principe du retour inverse de la lumière, une source ponctuelle fictive placée en M produirait un faisceau de rayons parallèles inclinés de l'angle \alpha en amont de la lentille, dont les surfaces d'onde sont des plans orthogonaux à cette direction.

   La différence de marche géométrique entre les deux rayons issus de (1) et (2) et convergeant en M(x) s'écrit donc :

   \delta_A(x) = ((A \to (2) \to M)) - ((A \to (1) \to M)) = \frac{b(\theta)\,x}{f'}

   L'ordre d'interférence en M(x) est par conséquent :

   \boxed{p_A(x) = \frac{\delta_A(x)}{\lambda_0} = \frac{b(\theta)\,x}{\lambda_0 f'}}

   2. Intensité lumineuse dans le plan d'observation

   Les deux faisceaux sont issus de la même source ponctuelle monochromatique A, ont la même intensité I_0 et sont parfaitement cohérents. La formule de Fresnel donne l'intensité résultante :

   \begin{aligned} I_A(x) &= I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos(\Delta\varphi) \\ &= I_0 + I_0 + 2I_0\cos\left(2\pi p_A(x)\right) \end{aligned}

   soit :

   \boxed{I_A(x) = 2 I_0 \left[ 1 + \cos\left( \frac{2\pi b(\theta)\,x}{\lambda_0 f'} \right) \right]}

   3. Signification de I_0

   La grandeur I_0 représente l'intensité lumineuse produite au foyer par un télescope unique lorsqu'un seul faisceau (1 ou 2) est ouvert.

   4. Allure de la figure d'interférence

   • Forme des franges : l'intensité ne dépend que de la coordonnée x selon la ligne joignant les deux fentes. Les franges d'interférence sont donc des lignes droites équidistantes, rectilignes et parallèles entre elles (orthogonales à l'axe (Ox)).

   • Interfrange : la période spatiale de la fonction cosinus est :

     \boxed{i = \frac{\lambda_0 f'}{b(\theta)}}

   • Contraste : avec I_{\max} = 4I_0 et I_{\min} = 0, le contraste (ou visibilité) vaut :

     \boxed{C = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = 1}

   5. Dépendance en b(\theta)

   • Le contraste C = 1 est indépendant de la base équivalente b(\theta) : les franges restent toujours parfaitement contrastées pour une source ponctuelle monochromatique.
   • L'interfrange i est inversement proportionnel à b(\theta) : plus la distance entre les télescopes projetée sur l'onde incidente est grande, plus les franges sont fines et resserrées.

   Résultat

   $$p_A(x)=\frac{{\delta }_A(x)}{{\lambda }_0}=\frac{b(\theta )x}{{\lambda }_0{f}^{\prime }}$$

   $$I_A(x)=2I_0\left[1+\cos \left(\frac{2\pi b(\theta )x}{{\lambda }_0{f}^{\prime }}\right)\right]$$

   $$i=\frac{{\lambda }_0{f}^{\prime }}{b(\theta )}$$

   $$C=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}=1$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Mines-Ponts Physique 2 MP 2026, Q8

   1. Ordre d'interférence pour les rayons issus de B

   Les rayons issus du point source B à l'infini arrivent avec une inclinaison \epsilon/2 par rapport à l'axe optique. La différence de marche géométrique entre les deux rayons interférant en M(x) comporte :

   • une différence de marche en amont des fentes due à l'inclinaison du front d'onde incident :

     \delta_{\text{amont}} = b(\theta)\sin\left(\frac{\epsilon}{2}\right) \approx b(\theta)\,\frac{\epsilon}{2} \quad (\text{car } \epsilon \ll 1)

   • une différence de marche en aval des fentes, identique à celle obtenue pour A :

     \delta_{\text{aval}} = \frac{b(\theta)\,x}{f'}

   La différence de marche totale pour la source B s'écrit donc :

   \delta_B(x) = \delta_{\text{aval}} + \delta_{\text{amont}} = b(\theta)\left(\frac{x}{f'} + \frac{\epsilon}{2}\right)

   L'ordre d'interférence p_B(x) = \frac{\delta_B(x)}{\lambda_0} vaut ainsi :

   \boxed{p_B(x) = \frac{b(\theta)}{\lambda_0}\left(\frac{x}{f'} + \frac{\epsilon}{2}\right) = p_A(x) + \frac{b(\theta)\,\epsilon}{2\lambda_0}}

   2. Superposition des figures d'interférence

   Les points A et B sont deux régions distinctes de la galaxie (source primaire étendue). Les atomes qui y émettent de la lumière le font de manière indépendante, avec des trains d'ondes décorrélés et des déphasages aléatoires : les sources A et B sont mutuellement incohérentes.

   Le terme d'interférence croisée entre les ondes issues de A et celles issues de B a donc une moyenne temporelle nulle sur le temps d'intégration du détecteur. L'intensité totale résultante est la somme des intensités produites individuellement par chaque source :

   I(x) = I_A(x) + I_B(x)

   La figure observée est ainsi la superposition en intensité des deux figures d'interférence.

   3. Valeurs de b(\theta) correspondant au brouillage des franges

   L'intensité issue de la source B s'écrit :

   I_B(x) = 2I_0\left[1 + \cos\left(\frac{2\pi b(\theta)\,x}{\lambda_0 f'} + \frac{\pi b(\theta)\,\epsilon}{\lambda_0}\right)\right]

   La figure d'interférence due à B est décalée spatialement par rapport à celle de A d'une quantité :

   \Delta x = \frac{\epsilon}{2}\,f'

   Il y a brouillage des franges (annulation du contraste résultant) lorsque les maxima d'intensité du système de franges issu de A coïncident avec les minima d'intensité du système issu de B. Cela correspond à un décalage spatial égal à un demi-entier d'interfrange i = \frac{\lambda_0 f'}{b(\theta)} :

   \Delta x = \left(k + \frac{1}{2}\right)i \quad (k \in \mathbb{N})

   ce qui équivaut à :

   \begin{aligned} \frac{\epsilon}{2}\,f' &= \left(k + \frac{1}{2}\right)\frac{\lambda_0 f'}{b(\theta)} \\ b(\theta)\,\frac{\epsilon}{2} &= \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda_0 \end{aligned}

   On en déduit les valeurs de la base équivalente donnant lieu à un brouillage :

   \boxed{b(\theta) = (2k + 1)\,\frac{\lambda_0}{\epsilon} \quad (k \in \mathbb{N})}

   Résultat

   $$p_B(x)=\frac{b(\theta )}{{\lambda }_0}\left(\frac{x}{f^{\prime }}+\frac{ϵ}{2}\right)=p_A(x)+\frac{b(\theta )ϵ}{2{\lambda }_0}$$

   $$b(\theta )=(2k+1)\frac{{\lambda }_0}{ϵ}(k\in \mathbb{N})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2025, Q1

   La source S_A est située dans le plan focal objet de la lentille convergente L_1. Par conséquent, les rayons issus de S_A émergent de L_1 parallèlement entre eux.

   La direction de propagation du faisceau parallèle est donnée par le rayon passant par le centre optique O_1, qui n'est pas dévié. D'après la figure 1, la droite (S_A O_1) fait un angle \alpha/2 avec l'axe optique (Oz), orienté vers les x négatifs.

   D'après le théorème de Malus, les surfaces d'onde en aval de la lentille sont des plans perpendiculaires aux rayons lumineux. Considérons le plan d'onde passant par le centre de la fente T_1. La fente T_2 est située plus en aval le long de la direction de propagation des rayons lumineux.

   Le chemin optique de la source S_A jusqu'à ce plan d'onde est identique pour tous les rayons. La différence de marche \delta_{\text{source}} = (S_A T_2) - (S_A T_1) correspond donc à la distance supplémentaire parcourue dans l'air (d'indice n \approx 1) pour atteindre T_2 :

   \delta_{\text{source}} = a \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)

   Comme \alpha \ll 1, on effectue un développement limité au premier ordre : \sin(\alpha/2) \approx \alpha/2. On obtient ainsi :

   \boxed{\delta_{\text{source}} = a\,\frac{\alpha}{2}}

   Résultat

   $${\delta }_{\text{source}}=a\frac{\alpha }{2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2025, Q3

   Les récepteurs optiques étant sensibles au flux d'énergie moyen sur une durée grande devant la période optique, l'intensité lumineuse I(M) au point M est proportionnelle à la moyenne temporelle du carré de l'amplitude totale s(t) = s_1(t) + s_2(t) :

   I(M) = K \langle (s_1(t) + s_2(t))^2 \rangle

   où K est une constante dépendant des unités choisies et \langle \cdot \rangle désigne la moyenne temporelle.

   En développant, on obtient :

   I(M) = K \langle s_1(t)^2 \rangle + K \langle s_2(t)^2 \rangle + 2 K \langle s_1(t) s_2(t) \rangle.

   D'après la question Q2, les signaux s'écrivent s_1(t) = s_0 \cos(\omega t - \varphi_1) et s_2(t) = s_0 \cos(\omega t - \varphi_2), avec \varphi_1 = k(S_A T_1 M) et \varphi_2 = k(S_A T_2 M).

   L'intensité associée à chaque onde prise isolément est :

   I_0 = K \langle s_1(t)^2 \rangle = K \langle s_2(t)^2 \rangle = \frac{1}{2} K s_0^2.

   Le terme d'interférence s'évalue à l'aide de l'identité \cos p \cos q = \frac{1}{2}[\cos(p-q) + \cos(p+q)] :

   \begin{aligned} 2 K \langle s_1(t) s_2(t) \rangle &= 2 K s_0^2 \langle \cos(\omega t - \varphi_1) \cos(\omega t - \varphi_2) \rangle \\ &= K s_0^2 \left( \cos(\varphi_2 - \varphi_1) + \langle \cos(2\omega t - \varphi_1 - \varphi_2) \rangle \right). \end{aligned}

   Le terme oscillant à la pulsation 2\omega est de moyenne temporelle nulle, d'où :

   2 K \langle s_1(t) s_2(t) \rangle = 2 I_0 \cos(\varphi_2 - \varphi_1).

   Le déphasage entre les deux chemins optiques vaut :

   \Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = k \left[ (S_A T_2 M) - (S_A T_1 M) \right] = k \delta_{\mathrm{tot}}.

   Or, d'après l'énoncé et le résultat de la question Q1, la différence de marche totale se décompose selon :

   \delta_{\mathrm{tot}} = \delta_{\text{source}} + \delta = a \frac{\alpha}{2} + \delta.

   On en déduit l'expression de l'intensité détectée :

   \boxed{I(\delta) = 2I_0 \left( 1 + \cos \left[ k \left( a \frac{\alpha}{2} + \delta \right) \right] \right)}

   Résultat

   $$I(\delta )=2I_0\left(1+\cos \left[k\left(a\frac{\alpha }{2}+\delta \right)\right]\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2025, Q4

   Les sources S_A et S_B sont mutuellement incohérentes : le déphasage entre les ondes qu'elles émettent varie de manière aléatoire à une échelle de temps très inférieure au temps d'intégration du détecteur. Les signaux issus de S_A n'interfèrent donc pas avec ceux issus de S_B : le terme d'interférence croisé a une moyenne temporelle nulle, \langle s_A(t) s_B(t) \rangle = 0.

   Par conséquent, l'intensité totale détectée au point M est la somme des intensités produites indépendamment par chaque source :

   I_{\mathrm{d}}(\delta) = I_A(\delta) + I_B(\delta)

   D'après la question Q3, l'intensité produite par la source S_A, située dans la direction angulaire +\alpha/2, s'écrit :

   I_A(\delta) = 2I_0 \left(1 + \cos\left[k\left(a \frac{\alpha}{2} + \delta\right)\right]\right)

   La source S_B est identique à S_A mais inclinée de l'angle symétrique -\alpha/2 par rapport à l'axe optique (figure 1). Par analogie :

   I_B(\delta) = 2I_0 \left(1 + \cos\left[k\left(-a \frac{\alpha}{2} + \delta\right)\right]\right)

   En sommant ces deux contributions :

   \begin{aligned} I_{\mathrm{d}}(\delta) &= 4I_0 + 2I_0 \left( \cos\left(k\delta + \frac{k a \alpha}{2}\right) + \cos\left(k\delta - \frac{k a \alpha}{2}\right) \right) \end{aligned}

   D'après la formule trigonométrique fournie dans le formulaire :

   \cos\left(k\delta + \frac{k a \alpha}{2}\right) + \cos\left(k\delta - \frac{k a \alpha}{2}\right) = 2 \cos(k\delta) \cos\left(\alpha \frac{k a}{2}\right)

   Il vient ainsi :

   I_{\mathrm{d}}(\delta) = 4I_0 \left[ 1 + \cos\left(\alpha \frac{k a}{2}\right) \cos(k\delta) \right]

   En posant I_{\mathrm{d},0} = 4I_0, l'intensité détectée se met bien sous la forme :

   \boxed{I_{\mathrm{d}}(\delta) = I_{\mathrm{d}, 0} \left(1 + \Gamma(a,\alpha) \cos(k\delta) \right) \quad \text{avec} \quad \Gamma(a,\alpha) = \cos\left(\alpha \frac{ka}{2}\right)}

   Résultat

   $$I_{\mathrm{d}}(\delta )=I_{\mathrm{d},0}\left(1+\Gamma (a,\alpha )\cos (k\delta )\right)\text{avec}\Gamma (a,\alpha )=\cos \left(\alpha \frac{ka}{2}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique MP 2024, Q6

   a) Type d'interférences et localisation

   • Le faisceau incident éclaire simultanément deux ouvertures distinctes dans l'espace : il s'agit d'une interférence par division du front d'onde.
   • Les interférences sont non localisées : les deux ondes diffractées se superposent dans tout le demi-espace z > 0 situé après l'écran percé (champ d'interférences). On peut donc observer des franges sur un écran placé à n'importe quelle distance D.

   b) Différence de marche et intensité lumineuse

   L'onde incidente plane se propageant selon l'axe Oz sous incidence normale, la surface d'onde incidente coïncide avec le plan des trous z = 0. Les sources secondaires O_1 et O_2 vibrent donc en phase.

   En milieu d'indice n = 1, la différence de marche au point M(x,y,D) s'écrit :

   \delta(M) = [O_2 M] - [O_1 M] = O_2 M - O_1 M

   Les coordonnées des sources secondaires étant O_1(a/2, 0, 0) et O_2(-a/2, 0, 0), on a :

   \begin{aligned} O_1 M &= \sqrt{\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 + D^2} = D \left[1 + \frac{(x - a/2)^2 + y^2}{D^2}\right]^{1/2} \\ O_2 M &= \sqrt{\left(x + \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 + D^2} = D \left[1 + \frac{(x + a/2)^2 + y^2}{D^2}\right]^{1/2} \end{aligned}

   Dans le cadre de l'approximation paraxiale (D \gg a, |x|, |y|), on effectue un développement limité au premier ordre selon \sqrt{1 + u} \approx 1 + \frac{u}{2} :

   \begin{aligned} O_1 M &\approx D + \frac{(x - a/2)^2 + y^2}{2D} \\ O_2 M &\approx D + \frac{(x + a/2)^2 + y^2}{2D} \end{aligned}

   Par différence, les termes en D, x^2, a^2 et y^2 se simplifient :

   \delta(M) = \frac{(x + a/2)^2 - (x - a/2)^2}{2D} = \frac{2ax}{2D}

   \boxed{\delta(M) = \frac{ax}{D}}

   Le déphasage entre les deux ondes au point M vaut :

   \Delta\varphi(M) = \frac{2\pi}{\lambda}\delta(M) = \frac{2\pi ax}{\lambda D}

   Les trous étant identiques et éclairés de la même façon, les deux sources secondaires émettent des vibrations scalaires de même intensité unitaire. D'après la formule de Fresnel à deux ondes synchrones, cohérentes et de même intensité, l'intensité s'écrit :

   I(M) = \frac{I_{\text{max}}}{2} \left[1 + \cos(\Delta\varphi(M))\right] = I_{\text{max}} \cos^2\left(\frac{\Delta\varphi(M)}{2}\right)

   soit finalement :

   \boxed{I(M) = \frac{I_{\text{max}}}{2} \left[1 + \cos\left(\frac{2\pi ax}{\lambda D}\right)\right] = I_{\text{max}} \cos^2\left(\frac{\pi ax}{\lambda D}\right)}

   Résultat

   $$\delta (M)=\frac{ax}{D}$$

   $$I(M)=\frac{I_{\text{max}}}{2}\left[1+\cos \left(\frac{2\pi ax}{\lambda D}\right)\right]=I_{\text{max}}{\cos }^2\left(\frac{\pi ax}{\lambda D}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2021, Q18

   L'onde incidente étant plane et en incidence normale, les surfaces d'onde sont parallèles au plan des trous : les sources secondaires S_1 et S_2 sont en phase, soit \delta_{\text{amont}} = 0.

   La différence de marche au point M s'écrit donc :

   \delta(M) = [S_2 M] - [S_1 M]

   Plaçons-nous dans le cadre de l'approximation paraxiale de Gauss (x, y \ll f'). Le point M(x, y, f') étant situé dans le plan focal image de la lentille de centre O, les rayons issus de S_1 et S_2 qui convergent en M sont, en amont de la lentille, parallèles à la direction de la droite (OM).

   Le vecteur unitaire \vec{u} de cette direction s'écrit, au premier ordre en x/f' et y/f' :

   \vec{u} = \frac{\vec{OM}}{\|\vec{OM}\|} = \frac{x\,\vec{e}_x + y\,\vec{e}_y + f'\,\vec{e}_z}{\sqrt{x^2+y^2+f'^2}} \approx \frac{x}{f'}\,\vec{e}_x + \frac{y}{f'}\,\vec{e}_y + \vec{e}_z

   Par stigmatisme de la lentille entre l'infini et son plan focal, tous les rayons parallèles à la direction \vec{u} présentent le même chemin optique jusqu'à M à partir d'un plan d'onde d'amont \Sigma perpendiculaire à \vec{u}. En projetant la distance entre les deux sources sur la direction de propagation \vec{u} :

   [S_2 M] - [S_1 M] = (\vec{r}_1 - \vec{r}_2) \cdot \vec{u}

   avec \vec{r}_1 = \vec{OS}_1 = +\frac{a}{2}\vec{e}_x et \vec{r}_2 = \vec{OS}_2 = -\frac{a}{2}\vec{e}_x, soit \vec{r}_1 - \vec{r}_2 = a\,\vec{e}_x.

   On en déduit :

   \begin{aligned} \delta(M) &= a\,\vec{e}_x \cdot \left(\frac{x}{f'}\,\vec{e}_x + \frac{y}{f'}\,\vec{e}_y + \vec{e}_z\right) \\ &= \frac{a\,x}{f'} \end{aligned}

   \boxed{\delta(M) = \frac{a\,x}{f'}}

   Résultat

   $$\delta (M)=\frac{ax}{f^{\prime }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2021, Q19

   Les deux trous d'Young sont identiques et éclairés en incidence normale par la même onde plane monochromatique : ils constituent deux sources secondaires synchrones, cohérentes et de même intensité I_0.

   Le déphasage entre les ondes issues de S_2 et S_1 au point M(x,y) s'écrit, d'après l'expression de la différence de marche \delta(M) = \dfrac{ax}{f'} obtenue à la question Q18 :

   \Delta\phi(M) = \frac{2\pi}{\lambda}\,\delta(M) = \frac{2\pi a x}{\lambda f'}

   La superposition des deux ondes scalaires conduit, par la formule de Fresnel, à l'intensité lumineuse :

   \begin{aligned} I(M) &= I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos(\Delta\phi(M)) \\ &= 2I_0\left(1 + \cos\left(\frac{2\pi a x}{\lambda f'}\right)\right) \end{aligned}

   En utilisant l'identité 1 + \cos(2u) = 2\cos^2(u), on obtient :

   \boxed{I(M) = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi a x}{\lambda f'}\right)}

   Description de la figure observée sur l'écran :

   • L'intensité I(M) ne dépend que de la coordonnée x et est indépendante de y : les franges d'interférence sont des droites rectilignes parallèles à l'axe (Oy), perpendiculaires à l'axe de séparation des deux trous (Ox).
   • On observe une alternance périodique de franges brillantes (d'intensité maximale I_{\max} = 4I_0) et de franges sombres (d'intensité minimale I_{\min} = 0), avec un contraste maximal égal à 1.
   • En x = 0, la différence de marche est nulle : le centre de l'écran correspond à une frange brillante centrale.

   Résultat

   $$I(M)=4I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi ax}{\lambda f^{\prime }}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2020, Q25

    Par définition, l'ordre d'interférence en un point M éclairé par une onde lumineuse de longueur d'onde \lambda est le quotient de la différence de chemin optique \delta_S(M) par \lambda :

    p_S(M) = \frac{\delta_S(M)}{\lambda}

    La source S étant située à l'infini sur l'axe optique, l'onde incidente est plane et arrive en incidence normale sur le plan des trous d'Young T_1 et T_2, de sorte que :

    [S T_1] = [S T_2]

    D'après le résultat de la question Q24, les deux rayons émergent de la lentille avec un angle d'inclinaison \theta \simeq \frac{x}{f'_1} dans les conditions de Gauss et convergent au point M du plan focal image. La différence de marche géométrique entre ces deux rayons s'écrit :

    \delta_S(M) = [S T_2 M] - [S T_1 M] = [T_2 M] - [T_1 M] \simeq a \sin\theta \simeq a\,\frac{x}{f'_1}

    On en déduit l'expression de l'ordre d'interférence produit par la source S en tout point M d'abscisse x :

    \boxed{p_S(M) = \frac{a \, x}{\lambda \, f'_1}}

    Résultat

    $$p_S(M)=\frac{ax}{\lambda f_1^{\prime }}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question