Feuille d'entraînement : Approche énergétique et oscillateurs mécaniques

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique MP 2026, Q7

   On étudie la masse quasi ponctuelle m dans le référentiel du laboratoire lié au sol, supposé galiléen.

   On repère la position de la masse le long d'un axe vertical (Ox) orienté vers le bas, dont l'origine O coïncide avec la position d'équilibre de la masse. La longueur instantanée du ressort s'écrit alors :

   \ell(t) = \ell_{\text{éq}} + x(t) = \ell_0 + h + x(t)

   Le système \{m\} est soumis à deux forces :

   • son poids : \vec{P} = m g \, \vec{u}_x ;
   • la force de rappel élastique exercée par le ressort : \vec{F} = -k(\ell(t) - \ell_0) \, \vec{u}_x = -k(h + x(t)) \, \vec{u}_x.

   D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse m en projection sur l'axe (Ox) :

   m \ddot{x}(t) = mg - k\bigl(h + x(t)\bigr)

   À l'équilibre, la masse vérifie mg - kh = 0 (d'après la question Q5). Il reste donc :

   m \ddot{x}(t) + k x(t) = 0

   Soit finalement :

   \boxed{\ddot{x}(t) + \frac{k}{m}x(t) = 0}

   Résultat

   $$\ddot{x}(t)+\frac{k}{m}x(t)=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique MP 2026, Q17

   On étudie le solide de masse M, assimilé à un point matériel, dans le référentiel \mathcal{R}_{\mathrm{b}} lié au bâti, muni de l'axe vertical (Ox) orienté vers le bas selon le vecteur unitaire \vec{e}_x.

   Le référentiel \mathcal{R}_{\mathrm{b}} est en translation par rapport au référentiel de la planète (supposé galiléen), avec une accélération d'entraînement :

   \vec{a}_e = \vec{A} = \ddot{X}(t)\,\vec{e}_x

   Puisqu'il n'y a pas de rotation propre du bâti, l'accélération de Coriolis est nulle (\vec{a}_c = \vec{0}).

   Le bilan des forces appliquées à la masse M dans \mathcal{R}_{\mathrm{b}} comprend :

   • le poids : \vec{P} = M g\,\vec{e}_x ;
   • la force de rappel du ressort : \vec{F}_r = -k(\ell(t) - \ell_{\mathrm{o}})\,\vec{e}_x ;
   • la force de frottement fluide : \vec{F}_f = -\alpha \vec{v}_r = -\alpha \dot{\ell}\,\vec{e}_x = -\alpha \dot{u}\,\vec{e}_x ;
   • la force d'inertie d'entraînement : \vec{F}_{ie} = -M\vec{a}_e = -M\ddot{X}(t)\,\vec{e}_x ;
   • la force d'inertie de Coriolis, identiquement nulle : \vec{F}_{ic} = \vec{0}.

   À l'équilibre relatif, en l'absence de vibration (\ddot{X} = 0, u = 0, \dot{u} = 0 et \ell = \ell_{eq}) :

   M g - k(\ell_{eq} - \ell_{\mathrm{o}}) = 0

   En exprimant la longueur du ressort par \ell(t) = \ell_{eq} + u(t), la force de rappel s'écrit :

   \vec{F}_r = -\big[k(\ell_{eq} - \ell_{\mathrm{o}}) + k u(t)\big]\vec{e}_x = -M g\,\vec{e}_x - k u(t)\,\vec{e}_x

   Le principe fondamental de la dynamique appliqué à M dans \mathcal{R}_{\mathrm{b}} donne :

   M \vec{a}_r = \vec{P} + \vec{F}_r + \vec{F}_f + \vec{F}_{ie}

   En projetant sur l'axe \vec{e}_x avec \vec{a}_r = \ddot{u}\,\vec{e}_x :

   \begin{aligned} M \ddot{u} &= M g - M g - k u - \alpha \dot{u} - M \ddot{X} \\ M \ddot{u} + \alpha \dot{u} + k u &= -M \ddot{X} \end{aligned}

   En divisant par M, on obtient l'équation différentielle canonique :

   \ddot{u} + \frac{\alpha}{M}\dot{u} + \frac{k}{M}u = -\ddot{X}

   Par identification avec la forme demandée \ddot{u} + \left(\frac{\Omega_{\mathrm{o}}}{Q}\right)\dot{u} + \Omega_{\mathrm{o}}^2 u = -\ddot{X}, on en déduit :

   \boxed{\Omega_{\mathrm{o}} = \sqrt{\frac{k}{M}}} \qquad\text{et}\qquad \boxed{Q = \frac{M\Omega_{\mathrm{o}}}{\alpha} = \frac{\sqrt{k M}}{\alpha}}

   Résultat

   $${\Omega }_{\mathrm{o}}=\sqrt{\frac{k}{M}}$$

   $$Q=\frac{M{\Omega }_{\mathrm{o}}}{\alpha }=\frac{\sqrt{kM}}{\alpha }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique MP 2026, Q32

   On applique la deuxième loi de Newton à l'électron dans le référentiel lié au noyau atomique fixe (Q24), supposé galiléen :

   • Système : électron de masse m, de charge q_e = -e, de vecteur position \vec{r}(t) = \overrightarrow{OM}.

   • Bilan des forces :

     • force de rappel élastique modélisant l'attraction du nuage de charges positives : \vec{f}_r = -\kappa \vec{r} ;
     • force d'amortissement fluide : \vec{f}_f = -\alpha \vec{v} = -\alpha \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} ;
     • force de Lorentz exercée par l'onde électromagnétique : \vec{f}_{em} = -e(\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B}) \simeq -e \vec{E}(t), où la composante magnétique est négligée (Q30) et où le champ électrique est uniforme à l'échelle de l'atome (approximation dipolaire électrique, Q31) ;
     • le poids est totalement négligeable devant les forces électrostatiques.

   Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

   m \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} = \vec{f}_r + \vec{f}_f + \vec{f}_{em} = -\kappa \vec{r} - \alpha \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} - e\vec{E}(t)

   En réorganisant les termes, on obtient l'équation différentielle du mouvement :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\alpha}{m}\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} + \frac{\kappa}{m}\vec{r} = -\frac{e}{m}\vec{E}(t)}

   Résultat

   $$\frac{{\mathrm{d}}^2\vec{r}}{\mathrm{d}{t}^2}+\frac{\alpha }{m}\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}+\frac{\kappa }{m}\vec{r}=-\frac{e}{m}\vec{E}(t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie MP 2026, Q22

   a) D'après le théorème de Gauss (ou le théorème de Newton), le champ gravitationnel extérieur et à la surface d'une sphère homogène de masse m et de rayon r est identique à celui d'une masse ponctuelle m concentrée en son centre O.

   D'après le résultat de la question Q7.a, avec la convention d'une énergie potentielle nulle à l'infini, l'énergie potentielle gravitationnelle d'une masse \mathrm{d}m située à la surface de la sphère (soit à une distance r de son centre) s'écrit :

   \boxed{\mathrm{d}E_{pG}(r) = -\frac{G\,m\,\mathrm{d}m}{r}}

   b) À un stade intermédiaire de la formation de la sphère où celle-ci a atteint le rayon r, sa masse est :

   m(r) = \mu \times \frac{4}{3}\pi r^3

   La masse de la coquille sphérique d'épaisseur \mathrm{d}r apportée depuis l'infini et déposée à la surface est :

   \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}\tau = 4\pi \mu r^2\,\mathrm{d}r

   L'apport de cette couche élémentaire contribue à l'énergie gravitationnelle à hauteur de :

   \mathrm{d}E_{pG}(r) = -\frac{G}{r}\left(\frac{4}{3}\pi \mu r^3\right)\left(4\pi \mu r^2\,\mathrm{d}r\right) = -\frac{16\pi^2 G \mu^2}{3}\,r^4\,\mathrm{d}r

   Pour former la sphère complète de rayon R, on intègre de r = 0 à r = R :

   \begin{aligned} E_{pG}(R) &= -\frac{16\pi^2 G \mu^2}{3} \int_0^R r^4\,\mathrm{d}r \\ &= -\frac{16\pi^2 G \mu^2}{3}\left[\frac{r^5}{5}\right]_0^R \\ &= -\frac{16\pi^2 G \mu^2 R^5}{15} \end{aligned}

   La masse totale de la sphère vaut M = \mu \times \frac{4}{3}\pi R^3, ce qui donne M^2 = \frac{16}{9}\pi^2 \mu^2 R^6, soit :

   16\pi^2 \mu^2 = \frac{9 M^2}{R^6}

   En reportant dans l'expression de E_{pG}(R) :

   E_{pG}(R) = -\frac{G R^5}{15} \times \frac{9M^2}{R^6}

   d'où :

   \boxed{E_{pG}(R) = -\frac{3\,G}{5}\frac{M^2}{R}}

   Commentaire du signe : L'énergie potentielle gravitationnelle est négative car l'interaction gravitationnelle est exclusivement attractive. L'assemblage constitue donc un état lié : le système gagne en stabilité lors de son effondrement gravitationnel. Pour dissocier la Terre et éloigner à nouveau tous ses constituants à l'infini (où l'énergie potentielle est conventionnellement nulle), il faudrait lui fournir l'énergie de liaison gravitationnelle -E_{pG}(R) > 0.

   Résultat

   $$\mathrm{d}{E}_{pG}(r)=-\frac{Gm\mathrm{d}m}{r}$$

   $$E_{pG}(R)=-\frac{3G}{5}\frac{M^2}{R}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2026, Q1

   L'équation différentielle du mouvement régissant l'évolution de la position x(t) d'un oscillateur harmonique à une dimension, de pulsation propre \omega_0 et sans amortissement, s'écrit :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}(t) + \omega_0^2 \, x(t) = 0}

   Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre, à coefficients constants et sans second membre. L'expression générale de ses solutions réelles peut s'écrire sous forme sinusoïdale d'amplitude et de phase à l'origine :

   \boxed{x(t) = X_{\mathrm{m}} \cos(\omega_0 t + \varphi)}

   où l'amplitude X_{\mathrm{m}} \geqslant 0 et la phase à l'origine \varphi \in [-\pi, \pi[ (ou de façon équivalente les deux constantes réelles A et B dans la forme x(t) = A \cos(\omega_0 t) + B \sin(\omega_0 t)) sont déterminées par les conditions initiales en position x(0) et en vitesse \dot{x}(0).

   Résultat

   $$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}(t)+{\omega }_0^{2}x(t)=0$$

   $$x(t)=X_{\mathrm{m}}\cos ({\omega }_{0}t+\phi )$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6X-ENS Physique MP 2026, Q1

   L'énergie potentielle élastique emmagasinée par un ressort idéal de raideur \kappa et d'élongation \delta_n (écart algébrique par rapport à sa longueur à vide a) s'écrit classiquement :

   \boxed{E_{p,n} = \frac{1}{2} \kappa \delta_n^2}

   en prenant conventionnellement pour référence une énergie potentielle nulle lorsque le ressort est au repos (\delta_n = 0).

   Résultat

   $$E_{p,n}=\frac{1}{2}\kappa {\delta }_n^2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique MP 2025, Q5

   Le mobile de masse m n'est soumis qu'à la force de gravitation \vec{F}_g, qui est une force conservative dérivant de l'énergie potentielle \mathcal{E}_p(r) = -\frac{G M_T m}{r} (d'après la question Q4). Aucune force non conservative ne s'exerce sur le point matériel : le théorème de l'énergie mécanique dans le référentiel géocentrique galiléen donne

   \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_m}{\mathrm{d}t} = \mathcal{P}(\vec{F}_{\text{nc}}) = 0,

   donc l'énergie mécanique \mathcal{E}_m est une constante du mouvement.

   En coordonnées polaires (r, \theta), le vecteur vitesse s'écrit :

   \vec{v} = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta.

   L'énergie cinétique du mobile est ainsi :

   \mathcal{E}_c = \frac{1}{2}m v^2 = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2.

   D'autre part, le moment cinétique en O s'exprime par :

   \overrightarrow{\mathcal{L}_O} = \overrightarrow{OM} \wedge m\vec{v} = (r\vec{e}_r) \wedge m(\dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta) = m r^2 \dot{\theta}\vec{e}_z.

   Par identification avec \overrightarrow{\mathcal{L}_O} = \mathcal{L}_0 \vec{e}_z, on a \mathcal{L}_0 = mr^2\dot{\theta}, d'où :

   \dot{\theta} = \frac{\mathcal{L}_0}{mr^2}.

   En injectant cette relation dans l'expression de l'énergie cinétique, il vient :

   \frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2 = \frac{1}{2}mr^2\left(\frac{\mathcal{L}_0}{mr^2}\right)^2 = \frac{\mathcal{L}_0^2}{2mr^2}.

   L'énergie mécanique totale s'écrit donc :

   \begin{aligned} \mathcal{E}_m &= \mathcal{E}_c + \mathcal{E}_p \\ &= \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{\mathcal{L}_0^2}{2mr^2} - \frac{GM_Tm}{r}. \end{aligned}

   Elle se met bien sous la forme demandée :

   \mathcal{E}_m = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \mathcal{E}_{p,\text{eff}}(r)

   avec

   \boxed{\mathcal{E}_{p,\text{eff}}(r) = \frac{\mathcal{L}_0^2}{2mr^2} - \frac{GM_Tm}{r}}

   Résultat

   $${\mathcal{E}}_{p,\text{eff}}(r)=\frac{{\mathcal{L}}_0^2}{2m{r}^2}-\frac{G{M}_{T}m}{r}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique MP 2025, Q51

   On étudie un corps matériel de masse m dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Il n'est soumis qu'à la force de gravitation exercée par la Terre, force conservative qui dérive de l'énergie potentielle (d'après la question Q4) :

   \mathcal{E}_p(r) = -\frac{G M_T m}{r}

   avec la convention \mathcal{E}_p(\infty) = 0.

   En l'absence de force non conservative, le théorème de l'énergie mécanique assure la conservation de l'énergie mécanique \mathcal{E}_m du corps au cours de son mouvement :

   \mathcal{E}_m = \mathcal{E}_c(r) + \mathcal{E}_p(r) = \frac{1}{2}m v^2 - \frac{G M_T m}{r} = \text{cte}

   Pour que le corps puisse s'éloigner indéfiniment du centre de la Terre (r \to +\infty), il faut que son énergie cinétique à l'infini reste positive ou nulle :

   \mathcal{E}_c(\infty) = \mathcal{E}_m - \mathcal{E}_p(\infty) = \mathcal{E}_m \ge 0

   La vitesse de libération v_{\text{lib}}(r) est la vitesse minimale à la distance r permettant d'atteindre l'infini, ce qui correspond au cas limite d'une vitesse résiduelle nulle à l'infini, soit une énergie mécanique nulle (\mathcal{E}_m = 0) :

   \frac{1}{2}m v_{\text{lib}}^2(r) - \frac{G M_T m}{r} = 0

   On en déduit l'expression de la vitesse de libération :

   \boxed{v_{\text{lib}}(r) = \sqrt{\frac{2 G M_T}{r}}}

   Résultat

   $$v_{\text{lib}}(r)=\sqrt{\frac{2G{M}_T}{r}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9X-ENS Physique MP 2025, Q2

   L'énergie potentielle électrostatique de la particule de charge q = -e dans le potentiel statique s'écrit, d'après les résultats de la question 1 :

   E_{\mathrm{p}}(\vec{r}) = q V_{\mathrm{el}}(\vec{r}) = -\frac{e \eta V}{l_0^2}\left(z^2 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}y^2\right).

   La force électrostatique subie par la particule est :

   \vec{F} = -\vec{\nabla}E_{\mathrm{p}} = \frac{e \eta V}{l_0^2}\left(-x\,\vec{u}_x - y\,\vec{u}_y + 2z\,\vec{u}_z\right).

   En \vec{r} = \vec{0}, la force s'annule : le centre O du piège est bien une position d'équilibre.

   Pour que cet équilibre soit stable, l'énergie potentielle E_{\mathrm{p}} doit présenter un minimum local strict en O, ce qui impose que toutes les dérivées secondes partielles soient strictement positives :

   \frac{\partial^2 E_{\mathrm{p}}}{\partial x^2} > 0, \quad \frac{\partial^2 E_{\mathrm{p}}}{\partial y^2} > 0 \quad \text{et} \quad \frac{\partial^2 E_{\mathrm{p}}}{\partial z^2} > 0.

   Or, d'après l'expression de E_{\mathrm{p}} :

   \frac{\partial^2 E_{\mathrm{p}}}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 E_{\mathrm{p}}}{\partial y^2} = \frac{e\eta V}{l_0^2} \quad \text{et} \quad \frac{\partial^2 E_{\mathrm{p}}}{\partial z^2} = -2\frac{e\eta V}{l_0^2}.

   Ces dérivées secondes sont de signes opposés :

   • si V > 0, le confinement est assuré dans le plan horizontal (x,y), mais l'équilibre est instable selon la direction verticale z ;
   • si V < 0, l'équilibre est stable selon z, mais instable dans le plan horizontal (x,y).

   \boxed{\text{La particule ne peut pas léviter de manière stable : le point $O$ est un point-selle pour l'énergie potentielle.}}

   Résultat

   $$\text{La particule ne peut pas leˊviter de manieˋre stable : le point O est un point-selle pour l’eˊnergie potentielle.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10X-ENS Physique-SI MP 2025, Q5

    D'après les questions Q1 et Q4, en introduisant le raccourcissement relatif \varepsilon = \Delta/L_0, les énergies potentielles élastiques associées respectivement aux modes de compression pure et de flexion s'écrivent :

    \begin{aligned} E_{\mathrm{C}}(\varepsilon) &= 2 K L_0^2 \, \varepsilon^2 \\ E_{\mathrm{F}}(\varepsilon) &= 48 K a^2 \, \varepsilon \end{aligned}

    E_{\mathrm{C}}(\varepsilon) présente une dépendance quadratique en \varepsilon (parabole de tangente horizontale en \varepsilon = 0), tandis que E_{\mathrm{F}}(\varepsilon) dépend linéairement de \varepsilon (droite de pente 48 K a^2 > 0 issue de l'origine).

    Les deux courbes se coupent à l'origine \varepsilon = 0, ainsi qu'en un point d'abscisse seuil non nulle \varepsilon_{\mathrm{s}} défini par E_{\mathrm{C}}(\varepsilon_{\mathrm{s}}) = E_{\mathrm{F}}(\varepsilon_{\mathrm{s}}) :

    2 K L_0^2 \, \varepsilon_{\mathrm{s}}^2 = 48 K a^2 \, \varepsilon_{\mathrm{s}} \implies \varepsilon_{\mathrm{s}} = 24 \left(\frac{a}{L_0}\right)^2

    Commentaire :

    • Pour 0 < \varepsilon < \varepsilon_{\mathrm{s}}, on a E_{\mathrm{C}}(\varepsilon) < E_{\mathrm{F}}(\varepsilon) : l'état de compression pure correspond à l'énergie potentielle minimale, la structure reste donc droite et se comprime simplement.
    • Pour \varepsilon > \varepsilon_{\mathrm{s}}, on a E_{\mathrm{F}}(\varepsilon) < E_{\mathrm{C}}(\varepsilon) : l'état fléchi devient énergétiquement plus favorable que l'état comprimé droit. La structure subit une bifurcation vers la configuration fléchie (phénomène d'instabilité par flambement).

    Indice, stratégie et pièges de cette question