Corrigé détaillé X ENS Physique MP 2026

L'énergie potentielle élastique emmagasinée par un ressort idéal de raideur \kappa et d'élongation \delta_n (écart algébrique par rapport à sa longueur à vide a) s'écrit classiquement :

en prenant conventionnellement pour référence une énergie potentielle nulle lorsque le ressort est au repos (\delta_n = 0).

Au repos, les molécules sont régulièrement espacées de la distance interatomique a. Le nombre de mailles (et donc de ressorts) contenues sur une tranche de longueur égale à la longueur d'onde \lambda est :

L'énergie potentielle totale emmagasinée par l'ensemble des ressorts situés sur cette longueur d'onde s'obtient en sommant les contributions individuelles E_{p,n} = \frac{1}{2} \kappa \delta_n^2 établies à la question précédente :

D'après la relation fournie par l'énoncé, l'élongation du n-ième ressort situé à la position x_n = n a s'écrit :

En injectant cette relation dans l'expression discrète de l'énergie potentielle élastique établie à la question Q2, on obtient :

Dans l'approximation des milieux continus, la maille du réseau est très petite devant la longueur d'onde (a \ll \lambda). La somme discrète de pas spatial \Delta x = a tend vers une intégrale de Riemann de variable spatiale x, avec l'élément différentiel \mathrm{d}x = a :

On en déduit bien l'expression continue de l'énergie potentielle élastique :

Dans le cadre de l'approximation des milieux continus (a \ll \lambda), la vitesse de déplacement d'un élément de matière situé en x à l'instant t est donnée par la dérivée temporelle partielle du déplacement :

Une molécule isolée de masse m possède l'énergie cinétique :

Sur un intervalle infinitésimal \mathrm{d}x, le nombre de molécules est \frac{\mathrm{d}x}{a}, ce qui correspond à une masse élémentaire :

L'énergie cinétique élémentaire contenue dans cette tranche \mathrm{d}x s'écrit donc :

En sommant ces contributions sur une longueur d'onde (de x=0 à x=\lambda), on obtient :

Pour l'onde plane progressive harmonique u(x,t) = U\sin(kx - \omega t), les dérivées partielles spatiale et temporelle s'écrivent :

Puisque k = \dfrac{2\pi}{\lambda}, l'intégration de la fonction \cos^2(kx - \omega t) sur une période spatiale \lambda donne :

En injectant ces dérivées dans les expressions de E_p^\lambda (question 3) et E_c^\lambda (question 4), on obtient :

L'égalité admise des composantes cinétique et potentielle, E_c^\lambda = E_p^\lambda, conduit à :

On en déduit la relation de dispersion demandée :

avec :

La constante c a la dimension d'une vitesse ([a]\sqrt{[\kappa]/[m]} = \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}) et représente la célérité de propagation (ou vitesse de phase) de l'onde de compression acoustique le long de la chaîne.

Pour une onde plane progressive harmonique (OPPH) écrite sous forme complexe \underline{u}(x, t) = \underline{U} \, \mathrm{e}^{\mathrm{j}(kx - \omega t)}, les dérivées partielles spatiale et temporelle se traduisent par les identifications opérationnelles :

La relation de dispersion issue de la question Q5 s'écrit :

Par linéarité et superposition spectrale de Fourier, cette relation se traduit pour une déformation quelconque u(x, t) par l'équation aux dérivées partielles :

Commentaires sur cette équation d'onde :

• Il s'agit de l'équation de d'Alembert unidimensionnelle, linéaire et homogène du second ordre.
• La relation de dispersion étant strictement linéaire (\omega = c k), le milieu continu équivalent est non dispersif dans la limite des grandes longueurs d'onde (\lambda \gg a) : la vitesse de phase v_\varphi = \omega/k = c et la vitesse de groupe v_g = \mathrm{d}\omega/\mathrm{d}k = c sont égales et indépendantes de la fréquence.
• Toute solution générale s'exprime selon la formule de d'Alembert sous la forme u(x, t) = f(x - ct) + g(x + ct), décrivant la propagation d'ondes sans distorsion ni amortissement à la célérité c.

D'après la relation établie à la question 3, l'allongement relatif d'un élément de matière à la limite continue s'exprime par le gradient du déplacement :

Chaque ressort individuel subissant une même compression \delta, son élongation algébrique vaut \delta_n = -\delta < 0. La déformation est donc spatialement uniforme le long de la plaque :

Par intégration, le déplacement u(x) est une fonction affine de x.

En choisissant par convention l'extrémité gauche x = 0 comme référence fixe (u(0) = 0), on obtient :

où \Delta L = u(0) - u(L) > 0 est la contraction totale de la plaque, avec u(L) = -\Delta L.

D'après l'énoncé, seuls les ressorts orientés parallèlement à l'axe (Ox) subissent la compression.

Dans cette direction (Ox), une file ou chaîne de longueur L comporte un nombre de ressorts individuels égal à :

Dans le plan transverse (Oyz), les molécules forment un maillage carré de pas a. La section droite de la plaque, de dimensions l suivant (Oy) et e suivant (Oz), contient donc un nombre de files parallèles de ressorts valant :

Puisque chaque file contient N_x ressorts comprimés, le nombre total N de ressorts individuels comprimés dans toute la plaque est :

La plaque comprend selon la direction (Ox) un nombre de mailles :

La compression étant homogène (question Q7), la contraction macroscopique \Delta L se répartit équitablement sur l'ensemble de ces ressorts consécutifs :

Chaque ressort individuel orienté selon (Ox) stocke ainsi une énergie potentielle élastique (d'après la question Q1) :

Puisque seuls les ressorts parallèles à (Ox) sont sollicités et qu'ils sont au nombre de N = \frac{e l L}{a^3} (question Q8), l'énergie potentielle élastique totale de la plaque s'écrit :

En introduisant la grandeur K = \kappa/a, on obtient bien l'expression demandée :

La grandeur R_C représente le rayon de courbure de la fibre neutre de la tranche en flexion, mesuré par rapport au centre de courbure noté C.

Par définition de la fibre neutre, sa longueur demeure inchangée au cours de la flexion et reste égale à la longueur au repos L. Comme cette fibre épouse la forme d'un arc de cercle de rayon R_C sous-tendu par un angle au centre \theta (exprimé en radians), la formule de la longueur d'un arc de cercle donne immédiatement :

soit encore :

La fibre neutre est située à la distance R_C du centre de courbure C. Par définition de la distance algébrique r, une fibre élémentaire d'épaisseur \mathrm{d}r est située à une distance du centre C égale à :

Cette fibre forme un arc de cercle sous-tendant le même angle \theta que la fibre neutre. Sa longueur après déformation s'écrit donc :

Au repos, toutes les fibres ont la même longueur initiale L, qui est également la longueur conservée de la fibre neutre. D'après le résultat de la question 10, on a L = R_C \theta, soit \theta = \frac{L}{R_C}.

L'élongation de la fibre, notée \Delta L(r), est la variation de sa longueur par rapport à son état au repos :

En remplaçant \theta par son expression en fonction de L et R_C, on obtient finalement :

D'après le résultat de la question Q9, l'énergie potentielle emmagasinée par une plaque homogène de dimensions e \times l \times L subissant une variation de longueur \Delta L s'écrit :

L'élément considéré est une sous-plaque infinitésimale de longueur au repos L, de largeur l et d'épaisseur \mathrm{d}r. Son énergie potentielle élastique élémentaire \mathrm{d}E_p s'obtient en remplaçant l'épaisseur macroscopique e par l'épaisseur infinitésimale \mathrm{d}r :

En injectant l'expression de l'élongation \Delta L(r) = \dfrac{r L}{R_C} obtenue à la question Q11, il vient :

L'énergie potentielle élémentaire emmagasinée par cette tranche d'épaisseur \mathrm{d}r s'écrit donc :

D'après la question Q12, l'énergie potentielle élastique emmagasinée par une tranche infinitésimale d'épaisseur \mathrm{d}r s'écrit :

La plaque a pour épaisseur totale e et la fibre neutre est située en son milieu. La variable r s'étend donc de -e/2 à +e/2. L'énergie totale de la plaque s'obtient par intégration :

L'intégrale se calcule directement :

On en déduit l'expression de l'énergie potentielle élastique :

Par identification avec l'expression proposée E_p^L = A K \dfrac{L l e^3}{R_c^2}, on identifie le préfacteur numérique :

La fibre neutre est repérée dans le plan (Oxz) par l'équation de sa ligne moyenne z = Z(x,t). La pente locale de la tangente à cette courbe par rapport à l'axe horizontal (Ox) est donnée par la dérivée spatiale :

Dans le cadre de l'approximation des faibles déformations, l'angle d'inclinaison est très petit devant l'unité (|\alpha| \ll 1), ce qui permet d'effectuer un développement limité à l'ordre 1 : \tan \alpha \approx \alpha.

On en déduit la relation liant l'inclinaison locale à la déformation transverse :

Pour l'onde progressive harmonique considérée, cette inclinaison s'écrit explicitement :

D'après la question Q13, l'énergie potentielle élastique d'une tranche de longueur L, de largeur l et d'épaisseur e courbée avec un rayon R_c s'écrit :

Dans le cadre de l'approximation des faibles déformations, un élément de plaque de longueur infinitésimale \mathrm{d}x le long de la direction de propagation (Ox) possède une énergie potentielle élastique :

D'après l'énoncé, la courbure locale est reliée à la flèche Z(x,t) par :

Sachant que Z(x,t) = a_Z \sin(kx - \omega t), la dérivée seconde spatiale vaut :

Par conséquent :

L'énergie potentielle élastique intégrée sur une longueur d'onde \lambda = \frac{2\pi}{k} s'obtient par sommation continue :

En remplaçant A = \frac{1}{24}, on obtient finalement :

Considérons une tranche élémentaire de plaque comprise entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x, de largeur l et d'épaisseur e. Son volume est \mathrm{d}\tau = e \, l \, \mathrm{d}x et sa masse s'écrit :

où \rho = m/a^3 désigne la masse volumique du solide élastique.

Le déplacement de la plaque s'effectuant uniquement selon la direction transverse (Oz) au passage de l'onde de flexion :

la vitesse d'un élément de matière est donnée par la dérivée temporelle :

L'énergie cinétique élémentaire contenue dans cette tranche est donc :

L'énergie cinétique totale sur une longueur d'onde \lambda s'obtient par intégration spatiale :

En linéarisant le cosinus :

puisque l'intégrale d'une fonction sinusoïdale sur un nombre entier de périodes spatiales (k\lambda = 2\pi) est nulle.

On en déduit l'expression de l'énergie cinétique totale sur une longueur d'onde :

D'après les questions Q15 et Q16, les énergies élastique et cinétique calculées sur une longueur d'onde valent respectivement :

Ces grandeurs intégrées sur une période spatiale \lambda sont indépendantes du temps, de sorte qu'elles sont égales à leurs moyennes temporelles respectives : \langle E_p^\lambda \rangle = E_p^\lambda et \langle E_c^\lambda \rangle = E_c^\lambda.

En utilisant l'égalité des moyennes temporelles, \langle E_c^\lambda \rangle = \langle E_p^\lambda \rangle, il vient :

En simplifiant par la quantité non nulle \frac{1}{4} e l a_Z^2 \lambda, on obtient :

Rappelons la définition de la célérité c établie à la question Q5 le long d'une file d'atomes :

Or, d'après les définitions de la raideur linéique K = \kappa/a (question Q9) et de la masse volumique du solide dans le modèle cubique \rho = m/a^3 (question Q16), le rapport s'écrit :

On en déduit immédiatement la relation de dispersion :

D'après la question Q5, la célérité de l'onde longitudinale s'écrit :

En utilisant la raideur par unité de longueur K = \kappa/a (introduite en question Q9) et la masse volumique du solide \rho = m/a^3 (question Q16), le rapport s'écrit :

On en déduit l'expression de la célérité c :

Application numérique : Avec K = 70\text{ GPa} = 70 \times 10^9\text{ Pa} et \rho = 2500\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} :

Commentaire : La constante c correspond à la célérité des ondes élastiques longitudinales (ondes de compression) dans le matériau massif. L'ordre de grandeur obtenu (quelques \text{km}\cdot\text{s}^{-1}) est tout à fait typique de la vitesse du son dans les solides durs, nettement supérieure à celle observée dans les liquides (\sim 1{,}5\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} dans l'eau) et les gaz (\sim 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} dans l'air), en raison d'une très grande raideur (module d'Young K) par rapport à la masse volumique \rho.

D'après la relation de dispersion établie à la question Q17, pour une onde se propageant dans le sens des x croissants (k > 0, \omega > 0) :

Par définition, les vitesses de phase v_\varphi et de groupe v_g s'écrivent :

On en déduit immédiatement :

Variation avec la fréquence :
En exprimant le nombre d'onde en fonction de la pulsation \omega = 2\pi f, il vient :

On obtient ainsi l'expression des vitesses en fonction de la fréquence temporelle f :

Les vitesses de phase et de groupe sont proportionnelles à \sqrt{f} : elles sont des fonctions strictement croissantes de la fréquence (les composantes de haute fréquence se propagent plus vite que les composantes de basse fréquence).

Conséquences sur la propagation d'un paquet d'ondes :

• Étalement temporel et spatial (dispersion) : la vitesse de groupe dépendant de la fréquence, le milieu est dispersif. Les différentes composantes harmoniques constituant le paquet se décalent au cours de la propagation, ce qui induit un élargissement et une déformation de l'enveloppe.
• Dérive en fréquence (chirp) : les composantes spectrales aiguës (hautes fréquences) se propageant plus vite que les composantes graves, elles arrivent en premier à destination (glissando descendant audible, comme sur la glace d'un lac gelé).
• Défilement sous l'enveloppe : puisque v_g = 2 v_\varphi > v_\varphi, l'enveloppe se déplace deux fois plus vite que les oscillations internes. Dans le référentiel de l'enveloppe, les crêtes de phase reculent, semblant naître à l'avant du paquet pour disparaître à l'arrière.

Pour une onde plane progressive harmonique (OPPH) sous forme complexe, de la forme \underline{Z}(x, t) = \underline{a}_Z \mathrm{e}^{\mathrm{j}(kx - \omega t)}, les dérivations spatiales et temporelles agissent comme des multiplications :

La relation de dispersion établie à la question Q17 s'écrit :

En multipliant par -\underline{Z}(x, t), on obtient :

Par identification avec les opérateurs différentiels, on en déduit l'équation de propagation linéaire régissant les déformations transverses Z(x, t) :

Commentaire des termes de l'équation :

• \displaystyle \frac{\partial^2 Z}{\partial t^2} est le terme d'inertie (ou accélération locale) de la plaque. Multiplié par la masse par unité de longueur \rho e l, il correspond à la quantité \mathrm{d}m \frac{\partial^2 Z}{\partial t^2} issue de la relation fondamentale de la dynamique appliquée à une tranche de plaque.
• \displaystyle \frac{e^2 c^2}{12} \frac{\partial^4 Z}{\partial x^4} est le terme élastique de rappel en flexion. Il traduit les forces internes de cisaillement (efforts tranchants) issues des variations spatiales du moment fléchissant, lui-même proportionnel à la courbure \frac{\partial^2 Z}{\partial x^2}.

Une condition aux limites périodique (ou cyclique) impose que l'onde prenne la même valeur après un tour complet le long d'une trajectoire fermée de périmètre L, conduisant à la quantification de la longueur d'onde et du nombre d'onde :

On retrouve cette condition de quantification dans plusieurs autres domaines de la physique :

• En physique quantique (mécanique ondulatoire) : dans le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, l'onde de matière de de Broglie associée à un électron sur une orbite circulaire fermée de rayon r doit se raccorder continûment sur elle-même (interférence constructive après un tour), ce qui impose 2\pi r = n \lambda_{\text{dB}} et quantifie le moment cinétique orbital ;
• En optique ondulatoire : dans une cavité laser en anneau (ou un microrésonateur annulaire), l'onde lumineuse se propageant en boucle fermée doit présenter un déphasage multiple de 2\pi sur un tour complet, ce qui sélectionne des modes discrets de résonance ;
• En physique du solide : l'application des conditions aux limites périodiques de Born-von Karman aux électrons de conduction ou aux phonons d'un réseau cristallin permet de discrétiser les vecteurs d'onde autorisés.

L'anneau constituant le bord de la flûte est un cercle de rayon R_0, donc de périmètre 2\pi R_0. La coordonnée curviligne s repère la position le long de l'anneau, et faire un tour complet ramène au même point physique : les points d'abscisses curvilignes s et s + 2\pi R_0 sont confondus.

La déformation Z(s,t) doit donc impérativement être périodique de période spatiale 2\pi R_0 :

D'après l'expression donnée pour le mode propre :

La dépendance spatiale est portée par le terme \sin(ks). La condition de périodicité impose ainsi :

ce qui implique que la phase accumulée sur un tour complet soit un multiple entier de 2\pi :

On en déduit la condition de quantification sur le nombre d'onde :

Pour le premier mode propre (n = 1), le nombre d'onde vaut k_1 = 1/R_0. L'onde stationnaire s'écrit alors, avec l'abscisse curviligne s = R_0 \theta comptée depuis une origine angulaire arbitraire :

où Z(\theta, t) représente le déplacement purement radial par rapport au cercle de repos de rayon R_0.

Mouvement du verre Examinons le champ de déplacement associé :

• En \theta = 0, la paroi se déplace vers l'extérieur : Z = +Z_{\max} \cos(\omega_1 t) ;
• En \theta = \pi, la paroi se déplace vers l'intérieur : Z = -Z_{\max} \cos(\omega_1 t), ce qui correspond à un déplacement spatial dans la même direction (vers les x > 0) ;
• En \theta = \pm \pi/2, le déplacement radial est nul (Z = 0).

Au premier ordre en Z_{\max}/R_0, un déplacement radial de la forme u_r = Z_{\max} \cos\theta est équivalent à un déplacement global de corps rigide selon l'axe horizontal :

Le premier mode propre ne déforme donc pas la section circulaire de l'anneau au premier ordre : il correspond à une oscillation de translation d'ensemble (mouvement de va-et-vient horizontal de la section). À l'échelle de la flûte complète sur son pied, ce mode correspond à un balancement global en flexion de la flûte (comportement de type poutre oscillant d'avant en arrière).

Représentation schématique (vue du dessus)

D'après la relation de dispersion établie à la question Q17 :

avec c = \sqrt{\dfrac{K}{\rho}} la célérité des ondes longitudinales introduite à la question Q18.

Pour le second mode propre (n=2), la condition de quantification trouvée à la question Q22 donne :

La pulsation temporelle propre associée s'écrit donc :

On en déduit la fréquence temporelle f_2 = \dfrac{\omega_2}{2\pi} de ce mode :

D'après la question Q24, la fréquence du second mode propre s'écrit :

Les données de l'énoncé sont :

• e = 0{,}5\text{ mm} = 5 \cdot 10^{-4}\text{ m} ;
• R_0 = 2\text{ cm} = 2 \cdot 10^{-2}\text{ m} ;
• K = 70\text{ GPa} = 70 \cdot 10^9\text{ Pa} ;
• \rho = 2500\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}.

La célérité c déterminée à la question Q18 vaut :

On en déduit l'expression numérique de la fréquence :

Discussion du résultat :

• Cette fréquence se situe bien dans le domaine des fréquences audibles par l'oreille humaine (20\text{ Hz} - 20\text{ kHz}) et correspond à un son aigu (voisin d'un ré_6 à 1175\text{ Hz}).
• L'ordre de grandeur est parfaitement réaliste : une flûte ou un verre en cristal frotté par un doigt mouillé émet un son musical pur dont la fréquence se situe typiquement entre 500\text{ Hz} et 1{,}5\text{ kHz}.
• Le modèle simplifié d'anneau cylindrique homogène bidimensionnel (négligeant le pied, la tige et la courbure verticale du calice) s'avère donc très satisfaisant pour prédire la hauteur du son fondamental d'une flûte à champagne.

D'après la question Q18, la célérité des ondes de compression longitudinales dans le milieu élastique s'exprime en fonction de la raideur K et de la masse volumique \rho par :

En appliquant cette relation aux paramètres donnés pour la croûte terrestre :

• K = 100\text{ GPa} = 1{,}0 \times 10^{11}\text{ Pa} ;
• \rho = 2800\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} = 2{,}8 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}.

On calcule la célérité théorique des ondes longitudinales (ondes P) :

Cette valeur coïncide parfaitement avec la vitesse de propagation de 6\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} mentionnée dans l'énoncé. Le modèle unidimensionnel de compression élastique est donc tout à fait cohérent avec les observations sismiques pour les ondes P.

Un séisme est une secousse d'extension temporelle et spatiale finie. Les ondes sismiques générées constituent ainsi un train d'ondes (ou paquet d'ondes) se propageant depuis le foyer jusqu'aux stations de mesure.

D'après les questions précédentes (Q17 et Q19), les ondes de flexion modélisées sont fortement dispersives, si bien que la vitesse de phase v_\varphi et la vitesse de groupe v_g sont différentes (v_g = 2 v_\varphi).

Or :

• la vitesse de phase v_\varphi ne décrit que le déplacement des surfaces d'égale phase pour une onde monochromatique infinie, qui ne transporte aucun signal net ;
• la vitesse de groupe v_g est la vitesse de déplacement de l'enveloppe du paquet d'ondes, c'est-à-dire la vitesse de propagation de l'énergie et de l'information (front d'arrivée détecté sur les sismogrammes).

Pour que la mesure expérimentale de la célérité d'arrivée de l'onde ait un sens physique, il s'agit donc nécessairement de la vitesse de groupe :

D'après la relation de dispersion établie à la question Q17 :

La vitesse de groupe s'écrit (question Q19) :

En introduisant la longueur d'onde \lambda = \dfrac{2\pi}{k}, il vient :

On en déduit l'expression de la longueur d'onde des ondes S :

Avec les valeurs numériques de l'énoncé :

• e = 30\text{ km} ;
• c \approx 6{,}0\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} (célérité des ondes P, question Q26) ;
• v_g = 4{,}0\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} (vitesse de groupe des ondes S, question Q27).

Le calcul donne :

Remarque : Si l'on avait considéré que la vitesse fournie correspondait à la vitesse de phase v_\varphi = 4{,}0\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}, on aurait obtenu \lambda = \dfrac{\pi e c}{\sqrt{3} v_\varphi} = 15\sqrt{3}\pi\text{ km} \approx 82\text{ km}.

L'observation du sonogramme (diagramme temps-fréquence) de la figure 6 permet de dégager les caractéristiques suivantes :

• Deux impacts distincts : On observe deux structures spectrales très similaires, décalées d'environ \Delta t \approx 0{,}7\text{ à }0{,}8\text{ s}, qui correspondent aux deux jets de pierres successifs mentionnés dans le préambule.
• Caractère dispersif et chronologie des fréquences : Pour chaque impact, la fréquence détectée est une fonction strictement décroissante du temps. Les composantes de haute fréquence (autour de 2{,}5\text{ à }3\text{ kHz}) sont détectées en premier, puis la fréquence décroît de manière continue au cours du temps pour atteindre des fréquences plus basses (autour de quelques centaines de hertz).

• Cohérence avec la vitesse de groupe : D'après le résultat de la question Q19, la vitesse de groupe des ondes de flexion s'écrit :

  v_g(f) \propto \sqrt{f}

  Les hautes fréquences se propagent donc à une vitesse de groupe plus élevée que les basses fréquences. Si l'impact a lieu à une distance D du récepteur à l'instant t_0, le temps d'arrivée de la composante fréquentielle f est :

  t(f) = t_0 + \frac{D}{v_g(f)} = t_0 + \frac{\mathrm{cte}}{\sqrt{f}}

  L'instant d'arrivée décroît bien lorsque la fréquence augmente, ce qui confère à la courbe f(t) une allure convexe décroissante, conforme au tracé observé.

Ce phénomène correspond à un « gazouillis descendant » (down-chirp), caractéristique du son aigu puis grave (souvent comparé à un tir de pistolet laser) perçu lors de chocs sur un lac gelé.

D'après la relation de dispersion établie à la question Q17 et l'expression de la vitesse de groupe obtenue à la question Q19 :

où c = \sqrt{K/\rho} est la célérité des ondes de compression dans la glace (qui dépend des paramètres élastiques K et \rho du matériau).

Une composante harmonique de fréquence f, émise lors de l'impact à un instant t_{\text{impact}} et détectée à une distance D, se propage à la vitesse de groupe v_g(f). Son temps d'arrivée au microphone s'écrit donc :

Puisque l'origine des temps de l'enregistrement est arbitraire et que t_{\text{impact}} n'est pas a priori connu, on considère la différence des temps d'arrivée \Delta t = t(f_2) - t(f_1) entre deux fréquences f_1 et f_2 identifiées sur le diagramme temps-fréquence :

Sur le principe, la méthode de mesure consiste à :

1. Relever sur le spectrogramme (figure 6) plusieurs couples (t, f) le long de la trace d'un impact et tracer la droite t en fonction de 1/\sqrt{f}.

2. Mesurer la pente p de cette droite, qui s'identifie à :

   p = \frac{D}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{\pi e c}}
3. Connaissant la distance de propagation D entre l'impact et le capteur ainsi que la célérité c = \sqrt{K/\rho} dans la glace, en déduire l'épaisseur e de la couche de glace :

Le temps de propagation d'une composante de fréquence f sur une distance D s'écrit, d'après les questions précédentes :

Pour une bande de fréquences émise [f_{\min}, f_{\max}], la durée totale \Delta t du signal reçu s'obtient par la différence des temps d'arrivée des fréquences extrêmes :

L'étalement temporel \Delta t du paquet d'ondes est ainsi strictement proportionnel à la distance de propagation D :

• À courte distance (D_1 = 50\text{ m}) : L'étalement temporel est très faible (dix fois inférieur à celui à 500\text{ m}). Les différentes composantes fréquentielles arrivent de manière quasi simultanée sur une durée de quelques dizaines de millisecondes. L'oreille humaine ne résout pas la séparation spectrale : l'observateur perçoit un son bref, sec et percussif (proche d'un claquement ou d'un choc net).
• À grande distance (D_2 = 500\text{ m}) : L'étalement temporel est dix fois plus long (durée de l'ordre d'une demi-seconde à une seconde, comme observé sur la figure 6). La dispersion a largement séparé les composantes : les fréquences aiguës (f \sim \text{kHz}) arrivent nettement avant les fréquences graves (f \sim \text{dizaines de Hz}). L'auditeur perçoit distinctement une modulation de hauteur caractéristique, à savoir un sifflement à fréquence glissante descendante (chirp ou son de type « pistolet laser »).

Deux autres phénomènes accentuent cette différence de perception :

• L'amplitude globale : en raison de la décroissance de l'amplitude par divergence bidimensionnelle (ondes cylindriques de surface où l'énergie se dilue en 1/D), le son est beaucoup plus faible à 500\text{ m} qu'à 50\text{ m}.
• L'absorption acoustique : les pertes viscoélastiques dans la glace croissent rapidement avec la fréquence, atténuant davantage les composantes aiguës à 500\text{ m}.

1. Expression des amplitudes a_1 et a_2

Une lame séparatrice idéale transmet la moitié de la puissance et réfléchit l'autre moitié : R = T = 1/2. Les coefficients de transmission et de réflexion en amplitude valent donc chacun :

Les miroirs M_1 et M_2 sont supposés parfaitement réfléchissants (facteur d'amplitude égal à 1).

• Rayon de référence (OS_0S_1M_1S_1S_3P) : il subit :

  • une réflexion sur (S_0) ;
  • une transmission à travers (S_1) à l'aller ;
  • une réflexion sur (M_1) ;
  • une réflexion sur (S_1) au retour ;
  • une transmission à travers (S_3).

  Il subit donc au total 4 interactions avec des lames séparatrices, d'où :

  a_1 = a_0 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^4 = \frac{a_0}{4}

• Rayon sonde (OS_0S_2M_2S_2S_3P) : il subit :

  • une transmission à travers (S_0) ;
  • une transmission à travers (S_2) à l'aller ;
  • une réflexion sur (M_2) ;
  • une réflexion sur (S_2) au retour ;
  • une réflexion sur (S_3).

  Il subit également 4 interactions avec des lames séparatrices, d'où :

  a_2 = a_0 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^4 = \frac{a_0}{4}

On obtient donc des amplitudes égales pour les deux voies :

2. Rôle de la séparatrice (S_1) par rapport à un miroir orienté

Placer un simple miroir à 45^\circ en S_1 pour renvoyer directement le faisceau vers S_3 poserait plusieurs problèmes majeurs :

• Perte de contraste : Le rayon de référence ne subirait alors que 2 séparations (S_0 et S_3), conduisant à une amplitude a_1 = a_0/2. Comme a_1 \neq a_2, les franges d'interférence auraient un contraste strictement inférieur à 1, dégradant la sensibilité de la détection.
• Égalisation des chemins optiques : L'aller-retour entre S_1 et M_1 confère au bras de référence une longueur totale de 4d, qui compense l'aller-retour entre S_2 et M_2 du bras sonde (2d + 2D). Lorsque la plaque est positionnée à D \approx d, la différence de marche est proche de zéro, ce qui permet d'interférer dans la limite de la longueur de cohérence du laser.
• Réglage fin de la phase : Le miroir M_1 à incidence normale peut être translaté via une vis micrométrique selon sa normale sans dévier la direction de propagation du faisceau, ce qui serait impossible avec un miroir replié à 45^\circ.

Le milieu de propagation étant l'air assimilé au vide (n = 1), les chemins optiques se confondent avec les distances géométriques. D'après l'énoncé, tous les déphasages additionnels à la traversée et à la réflexion sur les lames et miroirs sont compensés ou négligés.

En fixant l'origine des phases à la source O de pulsation \omega_l = 2\pi f_l = \frac{2\pi c_0}{\lambda_l}, l'onde émise est de la forme s_0(t) = a_0 \cos(\omega_l t). À l'arrivée sur la photodiode P, le déphasage accumulé après un parcours de distance optique L s'écrit conventionnellement :

1. Trajet du rayon de référence 1 : Le trajet optique est O \to S_0 \to S_1 \to M_1 \to S_1 \to S_3 \to P. La distance totale parcourue vaut :

Le déphasage du rayon de référence est donc :

2. Trajet du rayon sonde 2 : Le trajet optique est O \to S_0 \to S_2 \to M_2 \to S_2 \to S_3 \to P. La distance S_2M_2 instantanée vaut D + z(t). La distance totale parcourue s'écrit donc :

Le déphasage du rayon sonde est par conséquent :

D'après la question Q33, la différence de chemin optique entre le rayon sonde et le rayon de référence s'écrit :

Les grandeurs z(t) et \epsilon sont de l'ordre du micromètre, ce qui est tout à fait négligeable devant les dimensions millimétriques à centimétriques du dispositif. La différence de marche géométrique s'écrit donc au repos :

Pour que deux ondes issues d'une même source puissent interférer avec un contraste non nul, la différence de marche doit rester inférieure à la longueur de cohérence L_c du train d'ondes émis par le laser :

La condition sur la distance D s'énonce donc :

où L_c = c_0 \tau_c = \dfrac{c_0}{\Delta \nu} est la longueur de cohérence temporelle de la source.

Ordre de grandeur : Pour une source laser usuelle, le spectre d'émission est très étroit (la largeur de raie \Delta \nu est comprise typiquement entre 1\text{ MHz} et 1\text{ GHz}). La longueur de cohérence correspondante vaut :

(elle peut même dépasser plusieurs centaines de mètres pour des lasers stabilisés en fréquence).

Par conséquent, la condition requise est simplement que :

Le choix D \approx d = 1\text{ cm} assure une différence de marche quasi nulle (\delta \approx 0 \ll L_c), garantissant des interférences avec un contraste maximal.

D'après la question Q32, les deux ondes lumineuses arrivant sur la photodiode ont la même amplitude scalaire a_1 = a_2 = a = a_0/4. Le signal total incident sur la photodiode s'écrit :

L'intensité lumineuse instantanée est proportionnelle au carré de ce signal :

En linéarisant à l'aide de l'identité \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} et de la formule rappelée par l'énoncé :

il vient :

La photodiode effectue une moyenne temporelle sur son temps de réaction \tau_{\text{det}} = 5\text{ ns}. Comparons les échelles de temps en jeu :

• La période de l'onde optique vaut T_l = \frac{\lambda_l}{c_0} \approx \frac{315\cdot 10^{-9}}{3\cdot 10^8} \approx 1\text{ fs} \ll \tau_{\text{det}}. Les termes à fréquences optiques rapides (2\phi_1, 2\phi_2, \phi_1 + \phi_2 \sim 2\omega_l t) oscillent des millions de fois pendant la mesure : leur moyenne temporelle est rigoureusement nulle :

  \langle \cos(2\phi_1) \rangle = \langle \cos(2\phi_2) \rangle = \langle \cos(\phi_1 + \phi_2) \rangle = 0

• La période des vibrations mécaniques de la plaque (typiquement de fréquence f \sim 1\text{ kHz}) est T_{\text{vib}} \sim 1\text{ ms} \gg \tau_{\text{det}}. Le terme dépendant de la différence de phase \phi_1 - \phi_2 est donc quasi-statique à l'échelle de temps de réaction de la photodiode, qui le suit instantanément :

  \langle \cos(\phi_1 - \phi_2) \rangle = \cos(\phi_1 - \phi_2)

L'intensité lumineuse détectée à l'instant t est donc proportionnelle à :

D'après les expressions établies à la question Q33 et sous la condition D = d :

Le déphasage entre les deux faisceaux s'écrit alors :

Par parité de la fonction cosinus, \cos(\phi_2 - \phi_1) = \cos\left(4\pi \frac{z(t) - \epsilon}{\lambda_l}\right).

La tension U(t) délivrée par la photodiode étant directement proportionnelle à l'intensité lumineuse moyenne détectée, on obtient :

où U_0 est une constante proportionnelle à a^2 et à la sensibilité de la photodiode.

D'après la question Q35, avec \epsilon = 0 et z(t) = a_z \sin(\omega t), la tension délivrée par la photodiode s'écrit :

Puisque a_z \ll \lambda_l, la phase optique X(t) = \dfrac{4\pi a_z}{\lambda_l} \sin(\omega t) vérifie |X(t)| \ll 1 à tout instant. Un développement limité de la fonction cosinus au voisinage de 0 à l'ordre 2 donne :

d'où :

En utilisant l'identité trigonométrique \sin^2(\omega t) = \dfrac{1 - \cos(2\omega t)}{2}, on obtient :

Sur une période mécanique T = \dfrac{2\pi}{\omega} :

• La tension reste toujours très proche de sa valeur maximale U_{\max} = 2U_0 atteinte en t = 0, \, T/2, \, T ;
• Elle présente deux creux d'amplitude \delta U = 8\pi^2 U_0 \left(\dfrac{a_z}{\lambda_l}\right)^2 aux instants t = T/4 et t = 3T/4 où |z(t)| = a_z ;
• Le signal électrique oscille donc à la pulsation 2\omega (fréquence double 2f).

Commentaires :

1. Doublement de fréquence : Le signal électrique varie à la fréquence 2f au lieu de f. La parité du cosinus au voisinage d'un extremum empêche de distinguer le signe du déplacement (z > 0 ou z < 0).
2. Réponse quadratique et très faible sensibilité : La variation utile du signal est proportionnelle à (a_z/\lambda_l)^2 \ll 1. Comme \left.\dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}z}\right|_{z=0} = 0, le système est situé sur un extremum d'interférence (frange brillante), où la sensibilité différentielle est nulle à l'ordre 1.

La tension délivrée par la photodiode s'écrit (question Q35) :

La sensibilité différentielle de la mesure au voisinage de la position de repos (z = 0) est donnée par :

Cette sensibilité est maximale lorsque le terme trigonométrique vaut 1, c'est-à-dire :

ce qui conduit à ajuster la vis micrométrique de manière à choisir :

En particulier, la plus petite valeur positive non nulle est \epsilon = \frac{\lambda_l}{8}.

Ce réglage place l'interféromètre au point de quadrature (à mi-hauteur d'une frange d'interférence, sur la zone de pente maximale). Au premier ordre en z/\lambda_l \ll 1, la tension varie alors linéairement avec le déplacement :

ce qui assure à la fois une sensibilité maximale et une mesure directement proportionnelle à z(t) (sans le doublement de fréquence observé pour \epsilon = 0).

Précision requise : Pour rester au voisinage immédiat du point d'inflexion dans le domaine de linéarité maximale, l'erreur sur le déplacement \delta \epsilon doit être très petite devant le quart de frange optique :

Il faut donc effectuer ce réglage avec une précision nanométrique :

D'après la question Q37, le réglage optimal de la vis micrométrique correspond à un flanc d'interférence, par exemple pour \epsilon = \dfrac{\lambda_l}{8}, ce qui donne :

L'expression de la tension délivrée par la photodiode (établie à la question Q35) devient :

Dans le régime des très faibles déformations (a_z \ll \lambda_l), l'argument du sinus est très petit devant 1 à tout instant (|4\pi z(t)/\lambda_l| \le 4\pi a_z/\lambda_l \ll 1). Au premier ordre, \sin X \approx X, d'où :

avec une amplitude de modulation :

Le signal électrique oscille donc sinusoïdalement à la pulsation de vibration \omega (période T = \dfrac{2\pi}{\omega}) autour de la valeur moyenne U_0, entre U_0 - \Delta U et U_0 + \Delta U.

D'après la question Q35, la tension s'écrit :

Comme a_z \gg \lambda_l, l'excursion de phase totale sur une demi-période vaut :

La fonction cosinus balaie donc un très grand nombre de fois l'intervalle [-1, 1] : la tension U(t) oscille de façon répétée entre 0 et 2U_0.

La pulsation instantanée des oscillations de U(t) est donnée par la valeur absolue de la dérivée temporelle de la phase :

On en déduit les caractéristiques temporelles de U(t) sur une période T = 2\pi/\omega :

• L'amplitude crête-à-crête reste constante, comprise entre U_{\min} = 0 et U_{\max} = 2U_0.
• Aux passages par la position d'équilibre (t = 0, T/2, T), la vitesse |\dot{z}| est maximale, donc la fréquence des oscillations est maximale : f_{\text{inst, max}} = \frac{2 a_z \omega}{\lambda_l}.
• Aux extrémums d'élongation (t = T/4 et t = 3T/4), la vitesse s'annule, la phase passe par un extremum (\omega_{\text{inst}} = 0) : les franges temporelles s'élargissent considérablement autour de ces points de rebroussement.

Dans le régime où a_z \gg \lambda_l, la tension U(t) présente une modulation de fréquence spectaculaire dont la structure est périodique de période T_{\text{m}} = \frac{2\pi}{\omega}.

Pour en déduire l'amplitude a_z à l'aide de l'oscilloscope, on procède par comptage de franges :

1. Repérage des extrémums mécaniques : Les instants où la plaque atteint ses élongations extrêmes (z = \pm a_z) correspondent à une vitesse nulle \dot{z}(t) = 0. À ces instants, la pulsation instantanée de U(t),

   \omega_{\text{inst}}(t) = \left|\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}\right| = \frac{4\pi}{\lambda_l} |\dot{z}(t)|

   s'annule. Sur l'écran de l'oscilloscope, ces points se repèrent immédiatement comme les zones où les oscillations de U(t) s'espacent fortement (fréquence tendant vers zéro) avant de repartir. Deux zones d'annulation consécutives sont distantes d'une demi-période mécanique \frac{T_{\text{m}}}{2}.

2. Dénombrement des franges : Entre un minimum (z = -a_z) et le maximum consécutif (z = +a_z), la plaque effectue une excursion spatiale totale :

   \Delta z = 2a_z

   Le déphasage optique varie alors de :

   \Delta \Phi = \frac{4\pi}{\lambda_l} \Delta z = \frac{8\pi a_z}{\lambda_l}

   Une période complète d'oscillation de U(t) (passage d'un pic à un autre, c'est-à-dire le défilement d'une frange) correspond à une variation de phase \delta \Phi = 2\pi, soit un déplacement élémentaire de la plaque de \frac{\lambda_l}{2}. En comptant le nombre N d'oscillations (ou crêtes) de U(t) observées sur cet intervalle d'une demi-période mécanique, on a :

   \Delta \Phi = 2\pi N \iff \frac{8\pi a_z}{\lambda_l} = 2\pi N

3. Déduction de l'amplitude : On en déduit directement l'amplitude des vibrations :

   \boxed{a_z = N \frac{\lambda_l}{4}}

   (ou a_z = N_{\text{tot}} \frac{\lambda_l}{8} si l'on compte le nombre total N_{\text{tot}} = 2N d'oscillations sur une période mécanique complète T_{\text{m}}).

Soit un axe (Ox) colinéaire au faisceau incident et orienté vers la droite, dont l'origine O coïncide avec la position du miroir à l'instant t = 0, instant où le premier front d'onde l'atteint.

• Le miroir se déplace à la vitesse constante v, sa position à tout instant t \ge 0 est donc :

  x_m(t) = v t

• Le front d'onde suivant est situé à l'instant t = 0 à une longueur d'onde en amont, c'est-à-dire en x = -\lambda = -c_0 T. Il avance à la célérité c_0 dans le sens des x croissants, de sorte que sa position à l'instant t est :

  x_{\text{onde}}(t) = -c_0 T + c_0 t = c_0(t - T)

Ce second front frappe le miroir à l'instant t = T', ce qui se traduit par la condition de coïncidence x_{\text{onde}}(T') = x_m(T') :

On en déduit l'expression exacte de la période apparente T' reçue par le miroir :

Dans le cadre non relativiste où v \ll c_0, un développement limité au premier ordre donne :

Considérons un axe (Ox) orienté dans le sens de déplacement du miroir (vers la droite sur la figure 8), la séparatrice (S_2) étant située du côté des x < 0 :

• À l'instant initial t = 0, le miroir est en x = 0 et réémet un premier front d'onde en direction de (S_2) (vers les x décroissants).
• À l'instant t = T', ce premier front a parcouru la distance c_0 T' vers (S_2) et se trouve donc à la position x_1 = -c_0 T'.
• Pendant ce temps, le miroir s'est déplacé à la vitesse v vers les x croissants et se trouve à la position x_{\text{miroir}} = v T'.
• À cet instant t = T', le miroir réémet le deuxième front d'onde à la position x_2 = v T'.

La longueur d'onde \lambda'' correspond à la distance séparant ces deux fronts consécutifs :

L'onde réfléchie se propage dans le milieu (au repos) à la célérité c_0 en direction de la séparatrice (S_2) fixe. La période temporelle T'' entre le passage de deux fronts consécutifs pour un observateur fixe s'en déduit par T'' = \dfrac{\lambda''}{c_0} :

D'après les résultats des questions Q41 et Q42, la période T' perçue par le miroir et la période T'' du signal réfléchi perçu par un récepteur fixe vérifient :

En combinant ces deux relations, on obtient au premier ordre en v/c_0 \ll 1 :

La fréquence du signal incident étant f_l = \dfrac{1}{T} et celle du signal réfléchi f'' = \dfrac{1}{T''}, on en déduit :

Le décalage en fréquence Doppler f_D, défini comme la différence entre la fréquence de l'onde réfléchie et celle de l'onde incidente, s'écrit donc :

Soit finalement :

La fréquence du faisceau laser à sa source est reliée à sa longueur d'onde dans le vide par :

Avec c_0 = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \lambda_l = 315\text{ nm} = 3{,}15 \times 10^{-7}\text{ m} :

D'après le préambule de la partie VI, la vibration de la plaque (table d'harmonie du violon) est sinusoïdale de flèche :

où a_z = 100\ \mu\text{m} = 1{,}0 \times 10^{-4}\text{ m} et f_{\text{vib}} = 1\text{ kHz}. La vitesse de déplacement de la surface est donc :

L'amplitude maximale de la vitesse vaut :

D'après la question Q43, le décalage Doppler instantané s'écrit :

où l'amplitude des variations de ce décalage Doppler est donnée par :

En remarquant que \lambda_l = 315\text{ nm} \approx 100\pi\text{ nm} (soit \frac{\pi}{\lambda_l} \approx 10^7\text{ m}^{-1}) :