Feuille d'entraînement : Dispersion, paquets d'ondes et chaînes d'oscillateurs

Corrigés

1. Exercice 1X-ENS Physique MP 2026, Q6

   Pour une onde plane progressive harmonique (OPPH) écrite sous forme complexe \underline{u}(x, t) = \underline{U} \, \mathrm{e}^{\mathrm{j}(kx - \omega t)}, les dérivées partielles spatiale et temporelle se traduisent par les identifications opérationnelles :

   \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} &\longleftrightarrow -\mathrm{j}\omega \implies \frac{\partial^2}{\partial t^2} \longleftrightarrow -\omega^2 \\ \frac{\partial}{\partial x} &\longleftrightarrow \mathrm{j}k \implies \frac{\partial^2}{\partial x^2} \longleftrightarrow -k^2 \end{aligned}

   La relation de dispersion issue de la question Q5 s'écrit :

   -\omega^2 = - c^2 k^2 \iff (-\omega^2) - c^2 (-k^2) = 0

   Par linéarité et superposition spectrale de Fourier, cette relation se traduit pour une déformation quelconque u(x, t) par l'équation aux dérivées partielles :

   \boxed{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0}

   Commentaires sur cette équation d'onde :

   • Il s'agit de l'équation de d'Alembert unidimensionnelle, linéaire et homogène du second ordre.
   • La relation de dispersion étant strictement linéaire (\omega = c k), le milieu continu équivalent est non dispersif dans la limite des grandes longueurs d'onde (\lambda \gg a) : la vitesse de phase v_\varphi = \omega/k = c et la vitesse de groupe v_g = \mathrm{d}\omega/\mathrm{d}k = c sont égales et indépendantes de la fréquence.
   • Toute solution générale s'exprime selon la formule de d'Alembert sous la forme u(x, t) = f(x - ct) + g(x + ct), décrivant la propagation d'ondes sans distorsion ni amortissement à la célérité c.

   Résultat

   $$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique MP 2026, Q14

   La fibre neutre est repérée dans le plan (Oxz) par l'équation de sa ligne moyenne z = Z(x,t). La pente locale de la tangente à cette courbe par rapport à l'axe horizontal (Ox) est donnée par la dérivée spatiale :

   \tan \alpha(x,t) = \frac{\partial Z}{\partial x}(x,t)

   Dans le cadre de l'approximation des faibles déformations, l'angle d'inclinaison est très petit devant l'unité (|\alpha| \ll 1), ce qui permet d'effectuer un développement limité à l'ordre 1 : \tan \alpha \approx \alpha.

   On en déduit la relation liant l'inclinaison locale à la déformation transverse :

   \boxed{\alpha(x,t) = \frac{\partial Z}{\partial x}(x,t)}

   Pour l'onde progressive harmonique considérée, cette inclinaison s'écrit explicitement :

   \alpha(x,t) = k a_Z \cos(kx - \omega t)

   Résultat

   $$\alpha (x,t)=\frac{\partial Z}{\partial x}(x,t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique MP 2026, Q19

   D'après la relation de dispersion établie à la question Q17, pour une onde se propageant dans le sens des x croissants (k > 0, \omega > 0) :

   \omega(k) = \frac{e c}{2\sqrt{3}}\, k^2

   Par définition, les vitesses de phase v_\varphi et de groupe v_g s'écrivent :

   \begin{aligned} v_\varphi &= \frac{\omega}{k} = \frac{e c}{2\sqrt{3}}\, k \\ v_g &= \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = \frac{e c}{\sqrt{3}}\, k = 2\left(\frac{e c}{2\sqrt{3}}\, k\right) \end{aligned}

   On en déduit immédiatement :

   \boxed{v_g = 2\,v_\varphi}

   Variation avec la fréquence :
   En exprimant le nombre d'onde en fonction de la pulsation \omega = 2\pi f, il vient :

   k = \left(\frac{2\sqrt{3}\,\omega}{ec}\right)^{1/2} = \left(\frac{4\pi\sqrt{3}\,f}{ec}\right)^{1/2}

   On obtient ainsi l'expression des vitesses en fonction de la fréquence temporelle f :

   \begin{aligned} v_\varphi(f) &= \left(\frac{\pi e c}{\sqrt{3}}\right)^{1/2} \sqrt{f} \\ v_g(f) &= 2\left(\frac{\pi e c}{\sqrt{3}}\right)^{1/2} \sqrt{f} \end{aligned}

   Les vitesses de phase et de groupe sont proportionnelles à \sqrt{f} : elles sont des fonctions strictement croissantes de la fréquence (les composantes de haute fréquence se propagent plus vite que les composantes de basse fréquence).

   Conséquences sur la propagation d'un paquet d'ondes :

   • Étalement temporel et spatial (dispersion) : la vitesse de groupe dépendant de la fréquence, le milieu est dispersif. Les différentes composantes harmoniques constituant le paquet se décalent au cours de la propagation, ce qui induit un élargissement et une déformation de l'enveloppe.
   • Dérive en fréquence (chirp) : les composantes spectrales aiguës (hautes fréquences) se propageant plus vite que les composantes graves, elles arrivent en premier à destination (glissando descendant audible, comme sur la glace d'un lac gelé).
   • Défilement sous l'enveloppe : puisque v_g = 2 v_\varphi > v_\varphi, l'enveloppe se déplace deux fois plus vite que les oscillations internes. Dans le référentiel de l'enveloppe, les crêtes de phase reculent, semblant naître à l'avant du paquet pour disparaître à l'arrière.

   Résultat

   $$v_g=2v_{\phi }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique MP 2023, Q6

   On applique le principe fondamental de la dynamique à la n^{\text{ième}} masse de masse m, repérée par sa position x_n(t) le long de l'axe (Ox), dans le référentiel galiléen du laboratoire.

   La masse n est soumise aux forces de rappel exercées par :

   • le ressort de gauche, reliant la masse n-1 à la masse n, de longueur instantanée x_n - x_{n-1} et de longueur à vide \ell_0 = a :

     \vec{F}_{n-1 \to n} = -k\left[(x_n - x_{n-1}) - a\right]\vec{u}_x

   • le ressort de droite, reliant la masse n à la masse n+1, de longueur instantanée x_{n+1} - x_n et de longueur à vide \ell_0 = a :

     \vec{F}_{n+1 \to n} = +k\left[(x_{n+1} - x_n) - a\right]\vec{u}_x

   En sommant ces deux forces selon l'axe (Ox), les termes constants a s'annulent :

   \begin{aligned} F_{x} &= k\left[(x_{n+1} - x_n - a) - (x_n - x_{n-1} - a)\right] \\ &= k\left[x_{n+1} + x_{n-1} - 2x_n\right] \end{aligned}

   D'après la relation établie à la question Q5, la position s'écrit x_n(t) = na + u_n(t). Par dérivation temporelle, on a :

   \ddot{x}_n(t) = \ddot{u}_n(t)

   De plus, la combinaison des positions s'exprime directement en fonction des écarts u_n :

   \begin{aligned} x_{n+1} + x_{n-1} - 2x_n &= \left[(n+1)a + u_{n+1}\right] + \left[(n-1)a + u_{n-1}\right] - 2\left[na + u_n\right] \\ &= u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n \end{aligned}

   Le principe fondamental de la dynamique projeté sur (Ox) donne alors :

   m\ddot{u}_n = k\left[u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n\right]

   En introduisant la pulsation propre \omega_o = \sqrt{\frac{k}{m}} définie à la question Q3, il vient :

   \ddot{u}_n = \omega_o^2\left[u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n\right]

   Par identification avec la relation proposée, on en déduit :

   \boxed{\alpha = 2}

   Résultat

   $$\alpha =2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique MP 2023, Q9

   D'après la question Q6 (avec \alpha = 2), l'équation du mouvement de la n^{\text{ième}} masse s'écrit :

   \ddot{u}_n(t) = \omega_o^2 \left[ u_{n+1}(t) + u_{n-1}(t) - 2u_n(t) \right]

   En notation complexe, en posant \underline{u_n}(t) = U_o \exp(i(\omega t - qna)), les grandeurs nécessaires valent :

   \begin{aligned} \ddot{\underline{u}}_n(t) &= -\omega^2 \underline{u}_n(t) \\ \underline{u}_{n+1}(t) &= U_o \exp(i(\omega t - q(n+1)a)) = \underline{u}_n(t) \, \mathrm{e}^{-iqa} \\ \underline{u}_{n-1}(t) &= U_o \exp(i(\omega t - q(n-1)a)) = \underline{u}_n(t) \, \mathrm{e}^{iqa} \end{aligned}

   En injectant ces expressions dans l'équation du mouvement et en simplifiant par \underline{u}_n(t) \neq 0, on obtient :

   -\omega^2 = \omega_o^2 \left( \mathrm{e}^{-iqa} + \mathrm{e}^{iqa} - 2 \right) = \omega_o^2 \left( 2\cos(qa) - 2 \right)

   D'après la formule de duplication rappelée dans le formulaire (\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)), on a :

   2\cos(qa) - 2 = -4\sin^2\left(\frac{qa}{2}\right)

   On en déduit immédiatement la relation de dispersion demandée :

   \boxed{\omega^2 = 4\omega_o^2 \left(\sin\frac{qa}{2}\right)^2}

   Puisque \omega > 0 et \omega_o > 0, on a de manière générale \omega(q) = 2\omega_o \left| \sin\frac{qa}{2} \right|.
   Sur l'intervalle prescrit q \in \left[0, \frac{2\pi}{a}\right], on a \frac{qa}{2} \in [0, \pi], d'où \sin\left(\frac{qa}{2}\right) \ge 0. L'expression se simplifie donc en :

   \omega(q) = 2\omega_o \sin\left(\frac{qa}{2}\right)

   Cette fonction présente les caractéristiques suivantes :

   • pour q = 0 : \omega(0) = 0, avec une tangente de pente \left.\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}q}\right|_{q=0} = \omega_o a ;
   • pour q = \frac{\pi}{a} : \omega atteint un maximum égal à \omega_{\max} = 2\omega_o, avec une tangente horizontale ;
   • pour q = \frac{2\pi}{a} : \omega\left(\frac{2\pi}{a}\right) = 0, avec une tangente de pente -\omega_o a.

   Résultat

   $${\omega }^2=4{\omega }_o^2{\left(\sin \frac{qa}{2}\right)}^2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique MP 2023, Q10

   1. Vitesse de phase

   • Définition : Pour une composante harmonique de pulsation \omega et de nombre d'onde q, la vitesse de phase est définie par :

     \boxed{v_\varphi = \frac{\omega}{q}}
   • Signification physique : Elle correspond à la vitesse de déplacement des surfaces d'égale phase (ou fronts d'onde), c'est-à-dire à la vitesse apparente de translation des crêtes et des creux de la sinusoïde.
   • Lecture graphique : Sur le graphe \omega(q) établi à la question Q9, la vitesse de phase v_\varphi associée au point (q, \omega(q)) est égale à la pente de la droite sécante joignant l'origine (0,0) au point de fonctionnement (q, \omega(q)).

   2. Vitesse de groupe

   • Définition : Pour un groupe d'ondes ou un paquet d'ondes centré autour du nombre d'onde q, la vitesse de groupe est définie par :

     \boxed{v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}q}}
   • Signification physique : Elle représente la vitesse à laquelle se déplace l'enveloppe du paquet d'ondes. Dans un milieu transparent ou peu absorbant, elle correspond à la vitesse de propagation de l'énergie et de l'information (ou signal).
   • Lecture graphique : Sur le graphe \omega(q), la vitesse de groupe v_g est égale à la pente de la tangente à la courbe de dispersion au point d'abscisse q.

   Résultat

   $$v_{\phi }=\frac{\omega }{q}$$

   $$v_g=\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}q}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique MP 2026, Q15

   a) L'onde harmonique s'écrit sous forme complexe :

   \underline{s}(z, t) = S_{\mathrm{o}} e^{\iota(\omega t - kz)}

   La phase de cette onde est \phi(z,t) = \omega t - kz. Les surfaces d'onde correspondent à une phase constante (\phi = \text{cte}), ce qui donne par différentiation :

   \omega\,\mathrm{d}t - k\,\mathrm{d}z = 0 \implies \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{\omega}{k} > 0

   La vitesse de déplacement des surfaces d'onde étant positive le long de l'axe (Oz), la propagation a lieu :

   • selon la direction de l'axe (Oz) ;
   • dans le sens des z croissants (sens positif de l'axe).

   b) L'onde vérifie l'équation de d'Alembert :

   \frac{1}{c_{\mathrm{s}}^2} \frac{\partial^2 \underline{s}}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 \underline{s}}{\partial z^2}

   Calculons les dérivées partielles d'ordre deux de \underline{s}(z, t) :

   \begin{aligned} \frac{\partial^2 \underline{s}}{\partial t^2} &= (\iota \omega)^2 \underline{s} = -\omega^2 \underline{s} \\ \frac{\partial^2 \underline{s}}{\partial z^2} &= (-\iota k)^2 \underline{s} = -k^2 \underline{s} \end{aligned}

   En injectant ces expressions dans l'équation de propagation, il vient :

   -\frac{\omega^2}{c_{\mathrm{s}}^2}\underline{s} = -k^2 \underline{s}

   Comme l'amplitude n'est pas identiquement nulle et que les constantes \omega, k et c_{\mathrm{s}} sont réelles et positives, on aboutit à la relation de dispersion :

   \boxed{\omega = c_{\mathrm{s}} k}

   Résultat

   $$\omega =c_{\mathrm{s}}k$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique MP 2026, Q16

   a) En notation complexe, les dérivées partielles temporelles et spatiales appliquées à \underline{s}(z,t) = S_{\mathrm{o}}\mathrm{e}^{\iota(\omega t - kz)} s'écrivent :

   \begin{aligned} \frac{\partial \underline{s}}{\partial t} &= \iota \omega \underline{s}, \qquad \frac{\partial^2 \underline{s}}{\partial t^2} = -\omega^2 \underline{s}, \qquad \frac{\partial^2 \underline{s}}{\partial z^2} = (-\iota k)^2 \underline{s} = -k^2 \underline{s} \end{aligned}

   L'équation de propagation \dfrac{1}{c_{\mathrm{s}}^2} \dfrac{\partial^2 \underline{s}}{\partial t^2} + \eta \dfrac{\partial \underline{s}}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 \underline{s}}{\partial z^2} devient ainsi :

   \begin{aligned} -\frac{\omega^2}{c_{\mathrm{s}}^2} + \iota \eta \omega = -k^2 \end{aligned}

   \boxed{k^2 = \frac{\omega^2}{c_{\mathrm{s}}^2} - \iota \eta \omega}

   b) On factorise par \dfrac{\omega^2}{c_{\mathrm{s}}^2} dans l'expression de k^2 :

   \begin{aligned} k^2 = \frac{\omega^2}{c_{\mathrm{s}}^2}\left(1 - \iota \frac{\eta c_{\mathrm{s}}^2}{\omega}\right) \end{aligned}

   Comme \dfrac{\omega}{c_{\mathrm{s}}^2} \gg \eta, on a \varepsilon = \dfrac{\eta c_{\mathrm{s}}^2}{\omega} \ll 1. En prenant la racine avec une partie réelle positive (propagation vers les z croissants) :

   \begin{aligned} k = \frac{\omega}{c_{\mathrm{s}}} \left(1 - \iota \frac{\eta c_{\mathrm{s}}^2}{\omega}\right)^{1/2} \simeq \frac{\omega}{c_{\mathrm{s}}} \left(1 - \frac{\iota}{2}\frac{\eta c_{\mathrm{s}}^2}{\omega}\right) = \frac{\omega}{c_{\mathrm{s}}} - \iota \frac{\eta c_{\mathrm{s}}}{2} \end{aligned}

   Par identification avec k = k_r + \iota k_i :

   \boxed{k_r = \Re\mathrm{e}(k) = \frac{\omega}{c_{\mathrm{s}}} \quad \text{et} \quad k_i = \Im\mathrm{m}(k) = -\frac{\eta c_{\mathrm{s}}}{2}}

   c) En réinjectant k = k_r + \iota k_i dans l'expression de l'onde complexe :

   \begin{aligned} \underline{s}(z,t) &= S_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{\iota(\omega t - (k_r + \iota k_i)z)} = S_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{k_i z} \mathrm{e}^{\iota(\omega t - k_r z)} = S_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-\frac{\eta c_{\mathrm{s}}}{2} z} \mathrm{e}^{\iota\left(\omega t - \frac{\omega}{c_{\mathrm{s}}} z\right)} \end{aligned}

   L'onde réelle associée est donnée par la partie réelle :

   \begin{aligned} s(z,t) = \Re\mathrm{e}(\underline{s}(z,t)) = S_{\mathrm{o}} \cos\left(\omega t - \frac{\omega}{c_{\mathrm{s}}} z\right) \mathrm{e}^{-\frac{\eta c_{\mathrm{s}}}{2} z} \end{aligned}

   Par identification avec la forme s(z,t) = S_{\mathrm{o}} \cos(\omega t - az) \mathrm{e}^{-\frac{z}{b}}, on obtient :

   \boxed{a = \frac{\omega}{c_{\mathrm{s}}} \quad \text{et} \quad b = \frac{2}{\eta c_{\mathrm{s}}}}

   d) La constante b représente la longueur d'atténuation (ou profondeur de pénétration) de l'onde sismique : c'est la distance de propagation au bout de laquelle l'amplitude de l'onde est divisée par \mathrm{e} \simeq 2{,}72.

   À un instant t fixé (choisi ici tel que \cos(\omega t) = 1 pour fixer l'origine des phases spatiales à son maximum), le profil spatial est contenu dans l'enveloppe \pm S_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-z/b} avec une périodicité spatiale (longueur d'onde) \lambda = \dfrac{2\pi}{a} = \dfrac{2\pi c_{\mathrm{s}}}{\omega} :

   Résultat

   $$k^2=\frac{{\omega }^2}{c_{\mathrm{s}}^2}-\iota \eta \omega$$

   $$k_r=\Re \mathrm{e}(k)=\frac{\omega }{c_{\mathrm{s}}}\text{et}{k}_i=\Im \mathrm{m}(k)=-\frac{\eta c_{\mathrm{s}}}{2}$$

   $$a=\frac{\omega }{c_{\mathrm{s}}}\text{et}b=\frac{2}{\eta c_{\mathrm{s}}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2025, Q11

   Une onde plane progressive harmonique d'amplitude h_0, de pulsation spatiale k_v et de pulsation temporelle \omega_v s'écrit sous forme réelle :

   • Pour une propagation dans le sens de +\vec{u}_x (onde progressive dans le sens des x croissants, s'éloignant de l'origine) :

     \boxed{h_+(x,t) = h_0 \cos(k_v x - \omega_v t + \varphi_+)}

     (en choisissant l'origine des phases telle que \varphi_+ = 0 pour retrouver l'expression de la section II à t=0, on écrit simplement h(x,t) = h_0 \cos(k_v x - \omega_v t)) ;

   • Pour une propagation en sens inverse, selon -\vec{u}_x (vers les x décroissants, se rapprochant de l'origine) :

     \boxed{h_-(x,t) = h_0 \cos(k_v x + \omega_v t + \varphi_-)}

     (ou de même h(x,t) = h_0 \cos(k_v x + \omega_v t) en fixant \varphi_- = 0).

   La vitesse de propagation U (vitesse de phase de l'onde de gravité à la surface de l'eau) est reliée aux pulsations spatiale et temporelle par :

   \boxed{U = \frac{\omega_v}{k_v}} \quad \Longleftrightarrow \quad \omega_v = k_v U

   Résultat

   $$h_{+}(x,t)=h_0\cos (k_{v}x-{\omega }_{v}t+{\phi }_{+})$$

   $$h_{-}(x,t)=h_0\cos (k_{v}x+{\omega }_{v}t+{\phi }_{-})$$

   $$U=\frac{{\omega }_v}{k_v}$$

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10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2025, Q14

    D'après la question Q13, l'onde rétrodiffusée par les vagues subit un décalage en fréquence régi par la relation (6) :

    f_r - f = \pm \frac{2U}{\lambda}

    où le signe + correspond à des vagues se propageant vers le rivage et le signe - à des vagues s'en éloignant.

    La vitesse de propagation U des vagues dépend de leur longueur d'onde L selon la relation (7) :

    U = \sqrt{\frac{gL}{2\pi}}

    Dans le cadre de la rétrodiffusion monostatique en incidence rasante, la loi de Bragg sélectionne préférentiellement la longueur d'onde des vagues donnée par la relation (5) établie en Q9 :

    L = \frac{\lambda}{2}

    En injectant cette condition dans l'expression de la célérité des vagues, on obtient :

    U = \sqrt{\frac{g\lambda}{4\pi}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{g\lambda}{\pi}}

    Le décalage en fréquence s'écrit alors :

    f_r - f = \pm \frac{2}{\lambda} \times \frac{1}{2}\sqrt{\frac{g\lambda}{\pi}} = \pm \sqrt{\frac{g}{\pi\lambda}}

    On en déduit bien la relation demandée :

    \boxed{f_r - f = \pm f_B}

    avec la fréquence de Bragg définie par :

    \boxed{f_B = \sqrt{\frac{g}{\pi\lambda}}}

    Résultat

    $$f_r-f=\pm f_B$$

    $$f_B=\sqrt{\frac{g}{\pi \lambda }}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question