Feuille d'entraînement : Signaux et propagation

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique MP 2026, Q14

   1. Définitions et exemples :

      • Une onde longitudinale est une onde pour laquelle la direction de la perturbation (déplacement de matière, déformation) est parallèle à la direction de propagation de l'onde.

        \text{\textit{Exemples} : une onde sonore dans un fluide, une onde de compression le long d'un ressort, ou les ondes sismiques primaires (ondes P).}

      • Une onde transversale est une onde pour laquelle la direction de la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde.

        \text{\textit{Exemples} : la vibration d'une corde de Melde, une onde électromagnétique dans le vide, ou les ondes sismiques secondaires de cisaillement (ondes S).}

   2. Signification de c_{\mathrm{s}} :

      Dans l'équation de D'Alembert unidimensionnelle \dfrac{\partial^2 \underline{s}}{\partial z^2} - \dfrac{1}{c_{\mathrm{s}}^2} \dfrac{\partial^2 \underline{s}}{\partial t^2} = 0, la constante réelle positive c_{\mathrm{s}} représente la célérité (ou vitesse de propagation) de l'onde sismique dans le milieu considéré.

      \boxed{c_{\mathrm{s}} \text{ est la célérité de propagation de l'onde mécanique dans le sol (en }\mathrm{m\cdot s^{-1}}\text{).}}

   Résultat

   $$c_{\mathrm{s}}\text{ est la ceˊleˊriteˊ de propagation de l’onde meˊcanique dans le sol (en }\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}\text{).}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique MP 2026, Q41

   Soit un axe (Ox) colinéaire au faisceau incident et orienté vers la droite, dont l'origine O coïncide avec la position du miroir à l'instant t = 0, instant où le premier front d'onde l'atteint.

   • Le miroir se déplace à la vitesse constante v, sa position à tout instant t \ge 0 est donc :

     x_m(t) = v t

   • Le front d'onde suivant est situé à l'instant t = 0 à une longueur d'onde en amont, c'est-à-dire en x = -\lambda = -c_0 T. Il avance à la célérité c_0 dans le sens des x croissants, de sorte que sa position à l'instant t est :

     x_{\text{onde}}(t) = -c_0 T + c_0 t = c_0(t - T)

   Ce second front frappe le miroir à l'instant t = T', ce qui se traduit par la condition de coïncidence x_{\text{onde}}(T') = x_m(T') :

   \begin{aligned} c_0 (T' - T) &= v T' \\ (c_0 - v) T' &= c_0 T \end{aligned}

   On en déduit l'expression exacte de la période apparente T' reçue par le miroir :

   T' = \frac{T}{1 - \dfrac{v}{c_0}}

   Dans le cadre non relativiste où v \ll c_0, un développement limité au premier ordre donne :

   \boxed{T' \approx T \left(1 + \frac{v}{c_0}\right)}

   Résultat

   $$T^{\prime }\approx T\left(1+\frac{v}{c_0}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique MP 2026, Q42

   Considérons un axe (Ox) orienté dans le sens de déplacement du miroir (vers la droite sur la figure 8), la séparatrice (S_2) étant située du côté des x < 0 :

   • À l'instant initial t = 0, le miroir est en x = 0 et réémet un premier front d'onde en direction de (S_2) (vers les x décroissants).
   • À l'instant t = T', ce premier front a parcouru la distance c_0 T' vers (S_2) et se trouve donc à la position x_1 = -c_0 T'.
   • Pendant ce temps, le miroir s'est déplacé à la vitesse v vers les x croissants et se trouve à la position x_{\text{miroir}} = v T'.
   • À cet instant t = T', le miroir réémet le deuxième front d'onde à la position x_2 = v T'.

   La longueur d'onde \lambda'' correspond à la distance séparant ces deux fronts consécutifs :

   \lambda'' = x_2 - x_1 = v T' - (-c_0 T') = (c_0 + v) T'

   \boxed{\lambda'' = (c_0 + v) T'}

   L'onde réfléchie se propage dans le milieu (au repos) à la célérité c_0 en direction de la séparatrice (S_2) fixe. La période temporelle T'' entre le passage de deux fronts consécutifs pour un observateur fixe s'en déduit par T'' = \dfrac{\lambda''}{c_0} :

   T'' = \frac{(c_0 + v)T'}{c_0} = T'\left(1 + \frac{v}{c_0}\right)

   \boxed{T'' = T'\left(1 + \frac{v}{c_0}\right)}

   Résultat

   $${\lambda }^{\prime \prime }=(c_0+v)T^{\prime }$$

   $$T^{\prime \prime }=T^{\prime }\left(1+\frac{v}{c_0}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4X-ENS Physique MP 2026, Q43

   D'après les résultats des questions Q41 et Q42, la période T' perçue par le miroir et la période T'' du signal réfléchi perçu par un récepteur fixe vérifient :

   T' \approx T \left(1 + \frac{v}{c_0}\right) \quad \text{et} \quad T'' = T' \left(1 + \frac{v}{c_0}\right)

   En combinant ces deux relations, on obtient au premier ordre en v/c_0 \ll 1 :

   T'' \approx T \left(1 + \frac{v}{c_0}\right)^2 \approx T \left(1 + 2\frac{v}{c_0}\right)

   La fréquence du signal incident étant f_l = \dfrac{1}{T} et celle du signal réfléchi f'' = \dfrac{1}{T''}, on en déduit :

   f'' = \frac{1}{T''} \approx \frac{1}{T}\left(1 + 2\frac{v}{c_0}\right)^{-1} \approx f_l \left(1 - 2\frac{v}{c_0}\right)

   Le décalage en fréquence Doppler f_D, défini comme la différence entre la fréquence de l'onde réfléchie et celle de l'onde incidente, s'écrit donc :

   f_D = f'' - f_l \approx f_l\left(1 - 2\frac{v}{c_0}\right) - f_l

   Soit finalement :

   \boxed{f_D = -2 f_l \frac{v}{c_0}}

   Résultat

   $$f_D=-2f_l\frac{v}{c_0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique MP 2025, Q17

   Le temps d'aller-retour d'une onde se propageant à la vitesse c sur une distance d vaut :

   t_R = \frac{2d}{c}

   Pour deux surfaces réfléchissantes situées respectivement aux distances d et d', la différence de durée de trajet aller-retour s'écrit :

   \Delta t_R = t'_R - t_R = \frac{2(d' - d)}{c} = \frac{2\Delta d}{c}

   D'après l'énoncé, deux échos sont discernables si les maxima de leurs enveloppes sont séparés d'au moins la durée d'une impulsion, soit \Delta t_R \ge \tau. Le plus petit écart temporel détectable est donc :

   \Delta t_{R,\min} = \tau

   On en déduit l'expression du plus petit écart de distances discernable :

   \boxed{\Delta d_{\min} = \frac{c\,\tau}{2}}

   Avec les données de l'énoncé :

   • c = 3,0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
   • \tau \simeq 1,10 \cdot 10^{-4}\text{ s}.

   L'application numérique donne :

   \Delta d_{\min} = \frac{3,0 \cdot 10^8 \times 1,10 \cdot 10^{-4}}{2} = 1,65 \cdot 10^4\text{ m}

   Soit, en respectant la précision des données :

   \boxed{\Delta d_{\min} \simeq 1,7 \cdot 10^4\text{ m} = 17\text{ km} \quad (\text{ou } 2\cdot 10^4\text{ m})}

   Commentaire : Cette résolution spatiale de l'ordre d'une dizaine de kilomètres est extrêmement médiocre. Elle est totalement incompatible avec l'objectif des missions altimétriques océanographiques qui doivent mesurer des variations d'altitude de la surface marine de l'ordre du centimètre (voire du millimètre par an). Cela motive la technique de compression d'impulsion introduite dans la sous-partie suivante.

   Résultat

   $$\Delta d_{\min }=\frac{c\tau }{2}$$

   $$\Delta d_{\min }\simeq 1,7\cdot 10^4\text{ m}=17\text{ km}(\text{ou }2\cdot 10^4\text{ m})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique MP 2025, Q18

   D'après l'équation (4), le signal s'écrit pour t \in [-\tau/2, \, \tau/2] sous la forme :

   e(t) = A_0 \cos(\Psi(t)) \quad \text{avec} \quad \Psi(t) = 2\pi\left(f_0 t + \frac{K}{2}t^2\right)

   Par définition de la fréquence instantanée f_e(t), on dérive la phase par rapport au temps :

   f_e(t) = \frac{1}{2\pi}\frac{\mathrm{d}\Psi(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2\pi} \cdot 2\pi (f_0 + K t)

   soit :

   f_e(t) = f_0 + K t

   La fréquence instantanée f_e(t) est une fonction affine du temps de pente constante K = \frac{\mathrm{d}f_e}{\mathrm{d}t} : elle varie donc bien linéairement avec le temps sur l'intervalle [-\tau/2, \, \tau/2].

   • Fréquence centrale f_c : elle correspond à la valeur moyenne de la fréquence ou à sa valeur au centre temporel de l'impulsion (t = 0) :

     f_c = f_e(0) = \frac{f_e(-\tau/2) + f_e(\tau/2)}{2} = f_0
     \boxed{f_c = f_0}

   • Largeur de bande B : elle correspond à l'excursion totale en fréquence sur la durée \tau de l'impulsion (avec K > 0 d'après la figure 8) :

     \begin{aligned} B &= f_e\left(\frac{\tau}{2}\right) - f_e\left(-\frac{\tau}{2}\right) \\ &= \left(f_0 + K\frac{\tau}{2}\right) - \left(f_0 - K\frac{\tau}{2}\right) = K\tau \end{aligned}
     \boxed{B = K\tau}

   Résultat

   $$f_c=f_0$$

   $$B=K\tau$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique MP 2025, Q19

   L'enveloppe du signal en sortie du filtre adapté est proportionnelle à la fonction sinus cardinal :

   \operatorname{sinc}\bigl(\pi K\tau (t - t_R)\bigr) = \frac{\sin\bigl(\pi K\tau (t - t_R)\bigr)}{\pi K\tau (t - t_R)}

   Le maximum de cette enveloppe est atteint pour t = t_R (où \operatorname{sinc}(0) = 1). La première annulation se produit lorsque l'argument du sinus cardinal atteint \pi, soit :

   \pi K\tau \, |t - t_R| = \pi \implies \Delta t_{\text{ann}} = \frac{1}{K\tau}

   D'après la question Q18, la largeur de la bande de fréquences vaut B = K\tau, d'où :

   \Delta t_{\text{ann}} = \frac{1}{B}

   Le retard de réception entre deux échos associés à deux cibles séparées d'une distance \Delta d = d' - d correspond au temps d'aller-retour supplémentaire :

   \Delta t_R = t'_R - t_R = \frac{2\Delta d}{c}

   Selon le critère de discernabilité imposé, les deux échos sont séparables si le délai entre leurs maxima vérifie \Delta t_R \ge \Delta t_{\text{ann}}, ce qui conduit au plus petit écart de distances discernable :

   \frac{2\Delta d_{\min}}{c} = \frac{1}{B}

   \boxed{\Delta d_{\min} = \frac{c}{2B}}

   Application numérique : avec c = 3,0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et B = 320\text{ MHz} = 3,2 \cdot 10^8\text{ Hz} :

   \Delta d_{\min} = \frac{3,0 \cdot 10^8}{2 \times 3,2 \cdot 10^8} \simeq 0,47\text{ m} \simeq 0,5\text{ m}

   \boxed{\Delta d_{\min} \simeq 0,5\text{ m}}

   Commentaire :

   • La résolution spatiale passe de 17\text{ km} pour l'impulsion simple non modulée (Q17) à environ 0,5\text{ m} (soit 47\text{ cm}) grâce à la compression d'impulsion, ce qui représente un gain d'un facteur d'environ 3,5 \cdot 10^4.
   • La technique du « chirp » permet ainsi de concilier une grande énergie émise (longue durée d'impulsion \tau \simeq 110\,\mu\text{s}, assurant un bon rapport signal sur bruit) avec une résolution temporelle effective extrêmement fine (\tau_{\text{eff}} \sim 1/B \simeq 3\text{ ns}), indispensable pour l'altimétrie spatiale de précision.

   Résultat

   $$\Delta d_{\min }=\frac{c}{2B}$$

   $$\Delta d_{\min }\simeq 0,5\text{ m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2025, Q11

   Une onde plane progressive harmonique d'amplitude h_0, de pulsation spatiale k_v et de pulsation temporelle \omega_v s'écrit sous forme réelle :

   • Pour une propagation dans le sens de +\vec{u}_x (onde progressive dans le sens des x croissants, s'éloignant de l'origine) :

     \boxed{h_+(x,t) = h_0 \cos(k_v x - \omega_v t + \varphi_+)}

     (en choisissant l'origine des phases telle que \varphi_+ = 0 pour retrouver l'expression de la section II à t=0, on écrit simplement h(x,t) = h_0 \cos(k_v x - \omega_v t)) ;

   • Pour une propagation en sens inverse, selon -\vec{u}_x (vers les x décroissants, se rapprochant de l'origine) :

     \boxed{h_-(x,t) = h_0 \cos(k_v x + \omega_v t + \varphi_-)}

     (ou de même h(x,t) = h_0 \cos(k_v x + \omega_v t) en fixant \varphi_- = 0).

   La vitesse de propagation U (vitesse de phase de l'onde de gravité à la surface de l'eau) est reliée aux pulsations spatiale et temporelle par :

   \boxed{U = \frac{\omega_v}{k_v}} \quad \Longleftrightarrow \quad \omega_v = k_v U

   Résultat

   $$h_{+}(x,t)=h_0\cos (k_{v}x-{\omega }_{v}t+{\phi }_{+})$$

   $$h_{-}(x,t)=h_0\cos (k_{v}x+{\omega }_{v}t+{\phi }_{-})$$

   $$U=\frac{{\omega }_v}{k_v}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2025, Q15

   Dans le référentiel \mathcal{R}' lié au courant d'eau en translation à la vitesse \vec{v} = v_x \vec{u}_x par rapport au référentiel terrestre \mathcal{R} :

   • les vagues s'éloignant du rivage (sens de +\vec{u}_x) se propagent à la vitesse \vec{U}'_{\text{éloigne}} = U\vec{u}_x ;
   • les vagues s'approchant du rivage (sens de -\vec{u}_x) se propagent à la vitesse \vec{U}'_{\text{approche}} = -U\vec{u}_x.

   Par composition galiléenne des vitesses (\vec{v}_{\mathcal{R}} = \vec{v}_{\mathcal{R}'} + \vec{v}), la vitesse des vagues dans le référentiel terrestre \mathcal{R} vaut :

   \begin{aligned} \vec{v}_{\text{éloigne}} &= (U + v_x)\vec{u}_x \\ \vec{v}_{\text{approche}} &= (-U + v_x)\vec{u}_x \end{aligned}

   D'après la relation Doppler (6) justifiée en Q13, le décalage en fréquence induit par une cible animée d'une vitesse algébrique V_x selon \vec{u}_x s'écrit de manière générale :

   f_r - f = -\frac{2 V_x}{\lambda}

   (le signe négatif traduisant une diminution de fréquence lorsque la surface s'éloigne du radar).

   En appliquant ce résultat aux deux types de vagues :

   • Pour les vagues s'éloignant du rivage (V_x = U + v_x) :

     f_r - f = -\frac{2(U + v_x)}{\lambda} = -\frac{2U}{\lambda} - \frac{2v_x}{\lambda} = -f_B + f_D

   • Pour les vagues s'approchant du rivage (V_x = -U + v_x) :

     f_r - f = -\frac{2(-U + v_x)}{\lambda} = +\frac{2U}{\lambda} - \frac{2v_x}{\lambda} = +f_B + f_D

   On en déduit bien la relation globale demandée :

   \boxed{f_r - f = \pm f_B + f_D}

   où le signe + correspond aux vagues s'approchant de la côte et le signe - aux vagues s'en éloignant.

   Avec \lambda = c/f, le décalage Doppler f_D lié au courant de surface s'exprime en fonction de v_x, c et de la fréquence d'émission f par :

   \boxed{f_D = -\frac{2v_x}{\lambda} = -\frac{2f}{c}v_x}

   Résultat

   $$f_r-f=\pm f_B+f_D$$

   $$f_D=-\frac{2v_x}{\lambda }=-\frac{2f}{c}{v}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2025, Q16

    1. Détermination expérimentale de la fréquence de Bragg f_B

    D'après la relation (8) établie en Q15, les deux pics principaux correspondent aux fréquences :

    f_+ = f_B + f_D \quad \text{et} \quad f_- = -f_B + f_D

    La demi-différence entre les abscisses de ces deux pics s'affranchit du courant marin :

    f_B = \frac{f_+ - f_-}{2}

    Sur les deux spectres de la figure 3 :

    • Pour le radar de Pendeen : le pic négatif est situé à f_- \approx -0{,}43\text{ Hz} et le pic positif à f_+ \approx +0{,}29\text{ Hz}, soit un écart \Delta f = 0{,}72\text{ Hz}, d'où f_B \approx 0{,}36\text{ Hz}.
    • Pour le radar de Perranporth : le pic négatif est à f_- \approx -0{,}31\text{ Hz} et le pic positif à f_+ \approx +0{,}41\text{ Hz}, soit \Delta f = 0{,}72\text{ Hz}, d'où f_B \approx 0{,}36\text{ Hz}.

    Ces valeurs coïncident parfaitement avec la position des lignes en pointillés tracées à \pm f_B. On retient :

    \boxed{f_B^{\text{exp}} \approx 0{,}36\text{ Hz}}

    2. Comparaison avec la valeur théorique

    D'après la question Q14, la fréquence de Bragg théorique s'écrit :

    f_B^{\text{th}} = \sqrt{\frac{g}{\pi \lambda}} = \sqrt{\frac{g f}{\pi c}}

    Pour f = 12{,}3\text{ MHz}, la longueur d'onde radar vaut :

    \lambda = \frac{c}{f} = \frac{3{,}00 \times 10^8}{12{,}3 \times 10^6} \approx 24{,}4\text{ m}

    Avec g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, on obtient :

    f_B^{\text{th}} = \sqrt{\frac{9{,}81}{\pi \times 24{,}39}} \approx 0{,}358\text{ Hz}

    L'écart relatif entre théorie et expérience vaut :

    \frac{|f_B^{\text{exp}} - f_B^{\text{th}}|}{f_B^{\text{th}}} = \frac{|0{,}36 - 0{,}358|}{0{,}358} \approx 0{,}6\% < 1\%

    L'accord quantitatif est excellent, ce qui valide la modélisation.

    3. Vitesse et sens du courant de surface

    Le décalage Doppler moyen f_D correspond au milieu des deux pics :

    f_D = \frac{f_+ + f_-}{2}

    D'après la question Q15, f_D = -\frac{2v_x}{\lambda}, d'où :

    v_x = -\frac{\lambda}{2} f_D = -\frac{c}{2f} f_D

    • Radar de Pendeen (R_1) :

      \begin{aligned} f_{D1} &\approx \frac{-0{,}43 + 0{,}29}{2} = -0{,}07\text{ Hz} \\ v_{x1} &\approx -\frac{24{,}39}{2} \times (-0{,}07) \approx +0{,}85\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}

      Puisque v_{x1} > 0 (décalage vers les fréquences plus faibles, f_{D1} < 0), le courant circule dans le sens de \vec{u}_{x1} : le courant s'éloigne de la côte (du radar de Pendeen).

      \boxed{v_{x1} \approx +0{,}85\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \quad \text{(courant s'éloignant de la côte)}}

    • Radar de Perranporth (R_2) :

      \begin{aligned} f_{D2} &\approx \frac{-0{,}31 + 0{,}41}{2} = +0{,}05\text{ Hz} \\ v_{x2} &\approx -\frac{24{,}39}{2} \times (+0{,}05) \approx -0{,}61\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}

      Puisque v_{x2} < 0 (décalage vers les fréquences plus élevées, f_{D2} > 0), le courant circule en sens inverse de \vec{u}_{x2} : le courant s'approche de la côte (du radar de Perranporth).

      \boxed{v_{x2} \approx -0{,}61\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \quad \text{(courant s'approchant de la côte)}}

    Résultat

    $$f_B^{\text{exp}}\approx 0,36\text{ Hz}$$

    $$v_{x1}\approx +0,85\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}\text{(courant s’eˊloignant de la coˆte)}$$

    $$v_{x2}\approx -0,61\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}\text{(courant s’approchant de la coˆte)}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question