Corde vibrante et équation de d'Alembert : 99 questions de concours corrigées

On définit l'inclinaison locale de la plaque par rapport à la position au repos horizontale, notée α(x, t). Pour rappel, on se place dans le régime des faibles déformations. Donner alors la relation…

Rappeler la relation liant la fréquence fondamentale f₁ d'oscillation d'une corde vibrante fixée aux deux extrémités d'une cavité de longueur d en fonction de la célérité cₐ de l'onde. Sachant que…

Afin de mieux comprendre ces résultats, on étudie, uniquement dans cette question, une corde vibrante de longueur L, fixée à ses deux extrémités. Sans justification, représenter l'allure de la corde…

Déterminer la dimension du module de Young E.

Justifier que, structurellement, l'équation (5) impose qu'à une pulsation ω soient associés deux nombres d'onde k₊ et k₋. Donner leur expression.

Nous nous placerons toujours dans l'approximation des "faibles perturbations". Préciser comment cette hypothèse contraint les caractéristiques (a, λ) de l'onde représentée sur la figure (6).

Cette relation de dispersion (établie par une approche énergétique) peut permettre de remonter à l'équation d'onde qui régit les déformations du milieu. En effet, la dérivée temporelle d'une OPPH…

Préciser les conditions aux limites vérifiées par s(x, t). En déduire les pulsations ω_p possibles des vibrations en fonction de L, c et d'un entier p. Sous quelle forme générale pourra-t-on écrire…

Exprimer la variation relative de longueur d'une tranche de solide située entre x et x+dx en fonction du champ de déplacement u(x, t).

Montrer que 1/S (∂ F)/(∂ x) = E (∂² u)/(∂ x²).

Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la tranche [x, x+dx] de solide et établir l'expression de l'équation d'onde, ∂²/(∂ x²) u(x, t) - 1/c_p² ∂²/(∂ t²) u(x, t) = 0 , où c_p est une…

Montrer que l'équation de propagation précédente (2) est compatible avec la conservation de l'énergie mécanique volumique, décrite par l'équation suivante, ∂/(∂ t) ( 1/2 ρ ( (∂ u)/(∂ t) )² + 1/2 E (…

Montrer que le déplacement du fil z(x,t) vérifie alors l'équation aux dérivées partielles : (∂² z)/(∂ t²) - c² (∂² z)/(∂ x²) = 0 On exprimera c en fonction de T et µ. Que représente cette grandeur…

Traduire les conditions aux limites imposées au fil en des contraintes sur z(x,t). En déduire la relation entre A et B ainsi que les valeurs de ω permises. Comment appelle-t-on ce type d'onde et…

On considère la portion de fil comprise entre les plans d'abscisses x et x+dx. Exprimer la longueur de portion de fil ds, cos [α(x,t)] et sin [α(x,t)] en fonction de dx et (∂ z)/(∂ x). En appliquant…

Montrer que le déplacement du fil z(x,t) vérifie alors l'équation aux dérivées partielles : ∂²z/(∂ t²) - c²∂²z/(∂ x²) = 0. On exprimera c en fonction de T et µ. Que représente cette grandeur…

Traduire les conditions aux limites imposées au fil en des contraintes sur z(x,t). En déduire la relation entre A et B ainsi que les valeurs de ω permises. Comment appelle-t-on ce type d'onde et…

Pour cette question uniquement, nous nous plaçons dans l'approximation des milieux continus. Cette approximation consiste à considérer que les atomes sont très rapprochés vis-à-vis de la distance…

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à une tranche élémentaire S × [x, x + dx] du milieu, établir que l'équation aux dérivées partielles vérifiée par la fonction u prend la forme…

Établir que les solutions de l'équation aux dérivées partielles (5) prennent alors la forme : u_q(x, t) = A_q cos (ω_q t) f_q(x) où f_q(x) = sin (k_q x) (q N⁾ Donner l'expression du nombre d'onde…

Exprimer le moment de torsion M dû aux forces de cisaillement et montrer qu'il se met sous la forme M = C_z où la raideur du fil de torsion C est une constante (appelée constante de torsion) qu'on…

Nous supposons que la longueur Lₒ de l'objet, selon l'axe (Ox), vérifie kLₒ ≪ 1. Traduire la condition limite en x = L. Préciser en quoi l'hypothèse adoptée ici conditionne son écriture.

Établir que le nombre d'onde k est alors solution de l'équation : (θ) = µ θ où θ = kL Donner l'expression de la constante positive µ en fonction de Mₒ, ρ, S et L. En proposer une interprétation…

Établir l'équation différentielle vérifiée par la fonction h. Vérifier qu'elle prend la forme : µ (∂² h)/(∂ t²) = ∂/(∂ z) ( T (∂ h)/(∂ z) ) où T = T(z) (9)

Déterminer la dimension de c et préciser son unité dans le système international.

Exprimer k en fonction de ω et c.

Comment varie la fréquence fondamentale du fil si, dans la zone du capteur, le béton est soumis respectivement à une contrainte en compression ou à une contrainte en traction ?

Rappeler la relation entre les grandeurs suivantes: célérité de l'onde c, pulsation de l'onde ω et la norme du vecteur d'onde k. Déterminer l'expression de la célérité des ondes dans la corde en…

Donner l'expression de l'onde résultante pour les x<0. Préciser alors le type d'onde qui en résulte.

La comparaison de la longueur d'onde au paramètre a permet d'écrire uₙ(t) = u(x, t) (figure 2) et d'obtenir une équation de D'Alembert de la forme (∂² u)/(∂ t²) = k/m a² (∂² u)/(∂ x²). Calculer la…

Par analyse dimensionnelle, déterminer l'unité du module de Young.

Dans la limite d'un matériau idéal très rigide, proposer une valeur de E.

Évaluer numériquement la célérité c_p pour le granite (√(7/25) ≃ 0,53).

Montrer que des fonctions de la forme z(x,t) = f(x - ct) + g(x + ct) sont des solutions de cette équation. Interpréter le sens physique des fonctions f et g.

Sachant que la fréquence de vibration de la note jouée (correspondant à la fréquence de la note fondamentale) vaut 300 Hz, que la longueur du fil est ℓ = 1/3 m et que sa masse linéique est µ = 0,5…

Montrer que des fonctions de la forme z(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct) sont des solutions de cette équation. Interpréter le sens physique des fonctions f et g.

Sachant que la fréquence de vibration de la note jouée (correspondant à la fréquence de la note fondamentale) vaut 300 Hz, que la longueur du fil est ℓ = 1/3 m et que sa masse linéique est µ = 0,5…

Nous étudions la réponse du solide de Hooke dans une expérience de fluage. On considère un échelon de contrainte, qui a pour expression σ(t) = σ₀ = Cte pour toute date t > 0. Déterminer l'expression…

Dans le cas où ω R (supposée alors positive, voire nulle), justifier que les solutions prennent la forme : u(x, t) = u exp (jω t) sin (kx) L'amplitude complexe u n'est, a priori, plus celle…

Représenter graphiquement la dépendance des fonctions f₁ et f₂ avec la variable x/L.

Vérifier que les expressions trouvées conduisent bien à la pulsation ω₁ du premier mode (se reporter aux questions (12) et (16)).

Que représentent les lignes noires sur les figures ?

Nous notons T = T(z)u_z la force que fait subir la partie [z, L] de corde à la partie [0, z], au point M(z). Exprimer la tension T = T(z) lorsque la corde est au repos. Sous l'hypothèse adoptée des…

Nous nommons la constante c₀ "simili célérité" des ondes, dans le nouvel espace (Z,t). Calculer sa valeur dans le cas où L = 1 m et g = 10 m⁻².

Commenter la forme de i(x,t) en dressant une analogie avec un autre système. Combien de nœud(s) et ventre(s) de courant comporte le mode proposé ?

Calculer numériquement c ainsi que la tension T imposée au fil.

Évaluer l'allongement relatif initial ε₀ du fil lors de sa mise en place. En déduire la variation absolue Δ L = (L - L₀) de la longueur du fil au moment de la mise en place du capteur en fonction de…

Évaluer de même la variation absolue Δ d = (d - d₀) du diamètre du fil en fonction de ε₀ et d à l'ordre 1 en ε₀. Commenter.

Calculer f'₁ pour une contrainte maximale du béton en traction. La variation de fréquence est-elle mesurable ?

Déterminer la projection de la force sur l'axe Ox dans le cas d'une telle onde. Déterminer alors l'expression de sa valeur moyenne · eₓ.

Réaliser un bilan des forces exercées sur une tranche de solide située entre x et x+dx.

Interpréter ce rapport sans dimension comme le rapport de deux forces s'exerçant sur le système au passage de la perturbation. On précisera leur nature.

On considère la portion de fil comprise entre les plans d'abscisses x et x + dx. Exprimer la longueur de portion de fil ds, cos [α(x,t)] et sin [α(x,t)] en fonction de dx et (∂ z)/(∂ x). En…

On suppose que le matériau constituant le cylindre est incompressible et donc que le volume du cylindre est conservé. En supposant les déformations petites devant les dimensions du cylindre (|Δ L| ≪…

Pour une petite déformation (|Δ x| ≪ L), montrer que le module de cisaillement s'écrit G = F/Sθ, où θ est l'angle d'inclinaison du solide par rapport à la verticale, défini sur la figure 6 (b).

Montrer qu'un élément de surface dS du plan supérieur du cylindre situé à la distance r de l'axe du cylindre subit une déformation ε(r) = r/Lφ selon la direction orthoradiale.

À partir de la loi de Hooke pour le cisaillement et de la définition de la contrainte, déduire l'expression de la norme dF de la force tangentielle dF qui s'exerce sur l'élément de surface dS en…

Déterminer l'expression de G pour un solide de Hooke d'une part, puis pour un fluide newtonien d'autre part. En déduire G', G'', G₀ et le déphasage φ pour un solide de Hooke puis pour un fluide…

Indiquer comment construire une longueur caractéristique L_u^ de variation de la fonction u et en proposer une expression. Préciser comment doivent être hiérarchisées l'échelle de longueur…

Justifier que la pulsation ω est, dans ce cas, réelle (que nous choisirons positive).

Justifier que, dans ce cas encore, ω R (que nous choisirons positive).

Montrer que cela revient à écrire, avec α et β deux constantes : d²X/dx² ± α² X = 0 et d²Y/dy² ± β² Y = 0.

Montrer que les solutions de d²X/dx² - α² X = 0 et d²Y/dy² - β² Y = 0 ne satisfont pas aux conditions aux limites, à moins d'avoir identiquement X(x) = 0 et Y(y) = 0, ce qui ne correspond à aucune…

En prenant en compte les conditions aux limites, donner alors les solutions physiquement possibles pour X(x) et Y(y) en fonction de deux entiers strictement positifs m et n, des paramètres…

Montrer que l'équation en T est de la forme d²T/dt² + [(α² + β²)c²] T = 0 et que les pulsations propres du système sont de la forme ωₘₙ = π c √((m/a)² + (n/b)²), où m et n sont les entiers positifs…

Représenter les figures de Chladni obtenues respectivement pour : - m = 1 et n = 2 ; - m = 2 et n = 1 ; - m = n = 2.

Exprimer, en fonction de c₀, L et τ, l'extension spatiale caractéristique λ de cette perturbation (dans l'espace (z,t)). Vérifier que λ ≪ L.

La figure (7) présente, dans l'espace (z,t), l'évolution temporelle expérimentale de la position zₘ = zₘ(t) de chacun des maxima de déplacement d'une corde soumise à une perturbation proche de celle…

La figure (8) présente les résultats de la figure (7), transposés dans l'espace (Z,t). Analyser ces nouvelles évolutions.

Déduire de cette figure la valeur expérimentale de la simili célérité c'₀ définie à la question (25). La comparer à la valeur théorique précédemment calculée.

Établir l'expression de la nouvelle fréquence fondamentale f'₁ du fil lorsque le béton est sous contrainte en fonction de ε₀, Δε, L et des caractéristiques de l'acier.

Quelle déformation maximale en compression pourrait-on mesurer avec cette jauge de contrainte ?

Faut-il tenir compte de la dilatation thermique de l'acier lors de la mesure de la déformation du béton par une jauge de contrainte à corde vibrante ? Quelle solution pourrait-on proposer pour ne…

Dans le cas où Aₙ ≠ 0, déterminer la valeur de φₙ et caractériser l'ensemble des nombres d'onde kₙ possibles. Dans ces conditions, représenter la forme prise par quelques couches réparties sur…

Exprimer la force F exercée par la corde sur l'anneau en fonction de la tension de la corde T et de l'angle β entre T₂ et l'horizontale ( β est un angle non orienté et positif). Justifier alors que…

Relier la moyenne spatiale de l'énergie linéique de l'onde résultante à l'expression de la valeur moyenne de la projection sur l'axe Ox de la force exercée par la corde sur l'anneau.

Justifier que la largeur de la tranche à l'instant t reste approximativement égale à dx, puis déterminer la résultante des forces exercées sur la tranche considérée de la part des tranches adjacentes.

Établir l'expression mathématique de Kₓ et K_y et montrer que ces grandeurs sont quantifiées par des entiers naturels, notés respectivement m et n. En déduire les pulsations propres ωₘₙ en fonction…

Pour une onde stationnaire harmonique (monochromatique) solution de l'équation de D'ALEMBERT, rappeler l'expression de la distance entre deux nœuds de vibration consécutifs en fonction de la…

Appliquer le principe fondamental de la dynamique à cette même tranche et en déduire que la dynamique du champ de déplacement u(x, t) est donnée par l'équation suivante : (∂² u)/(∂ x²) - 1/c_p² (∂²…

Montrer que l'équation adimensionnée se met sous la forme ℓ²/(T² c_p²) (∂² u)/(∂ t²) = (∂² u(x, t))/(∂ x²) + (τ₀ ℓ²)/(u₀ E h) (τ_c(x, t) - τ_f(x, t)) . On suppose que ℓ/T ≪ c_p. Simplifier…

Déterminer l'expression du champ de déformation u(x), en régime quasi-statique, le long de l'interface, c'est-à-dire à l'intérieur de la zone en glissement, et à l'extérieur de cette zone.

En supposant que la déformation z(x,t) de la corde est de la même forme que précédemment, établir la relation de dispersion donnant k en fonction de ω et des paramètres du problème. Montrer que les…

En supposant que la déformation z(x,t) de la corde est de la même forme que précédemment, établir la relation de dispersion donnant k en fonction de ω et des paramètres du problème. Montrer que les…

On considère un cylindre élastique, linéaire et compressible, de coefficient de Poisson ν soumis à la même contrainte d'extension verticale. On suppose toujours que les déformations sont petites…

On effectue une expérience d'indentation jusqu'à 1 environ puis on retire la pointe (voir figure 10, graphe de droite). Proposer une explication permettant de comprendre le comportement…

En linéarisant l'expression de F(δ) aux petites amplitudes d'oscillations, exprimer F(δ) - F₀ en fonction de δ - δ₀, C, E* et δ₀.

En utilisant l'expression du module de cisaillement G = E/(2(1+ν)), vue au paragraphe III.A, et en exprimant E* en fonction de G, déduire de la question précédente l'expression du module de…

Nous envisageons le cas où Mₒ = 3m. La figure (4) représente graphiquement la fonction θ (θ) sur l'intervalle [0, 3π]. Donner, à l'aide de cette figure, l'expression approchée du nombre d'onde k_q…

Analyser successivement les situations telles que µ ≪ 1 et µ ≫ 1. Donner une interprétation du cas particulier correspondant au mode q = 1.

Établir à quelle condition il devient acceptable d'écrire cette équation sous la forme approximative : µ (∂² h)/(∂ t²) = T (∂² h)/(∂ z²) (10) Nous adoptons dès lors cette forme approchée, sur toute…

Établir l'équation aux dérivées partielles verifiée par la fonction H = H(Z,t).

En considérant une perturbation d'éléments caractéristiques (a, λ) (se reporter à la figure (6)), définir à quelle condition cette équation peut s'écrire approximativement sous la forme : (∂² H)/(∂…

Donner les expressions h⁽⁺⁾(z,t) et h⁽⁻⁾(z,t) des fonctions décrivant respectivement les ondes progressive (propagation selon z croissant) et régressive (propagation selon z décroissant), se…

L'équation différentielle (10) nous invite à introduire (sous certaines conditions que nous n'étudierons pas) une célérité locale c = c(z) des ondes, dont le carré s'exprime : c(z)² = T_M/µ (14) où…

Tracer, le plus précisément possible, l'allure du spectre de la tension e(t) enregistrée par un micro placé à 4 cm de point d'attache, pour corde excitée de la même manière. Quel est l'influence de…

La figure 10 (graphe de gauche) représente les courbes d'indentation F(δ) pour deux cellules différentes correspondant aux courbes 1 et 2 respectivement. Déterminer en exploitant la figure quelle…

Exprimer, dans le cadre du modèle choisi, la somme T_B + T_C. Établir ensuite l'égalité T_B = T_C. En déduire enfin l'expression de la tension T_B, dans le cas où v² ≫ Rg (cas dans lequel nous nous…

Analyser et interpréter ce résultat expérimental.