Feuille d'entraînement : Corde vibrante et équation de d'Alembert

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique 1 PC 2025, Q22

   Pour une onde stationnaire unidimensionnelle de célérité c_a confinée dans une cavité de longueur d avec des conditions aux limites de type « extrémités fixes » (nœuds aux deux extrémités), la longueur de la cavité est un multiple entier de demi-longueurs d'onde :

   d = n \frac{\lambda_n}{2} = n \frac{c_a}{2f_n} \quad (n \in \mathbb{N}^*)

   La fréquence fondamentale (n = 1) est donc donnée par :

   \boxed{f_1 = \frac{c_a}{2d}}

   D'après le tableau 2, les diamètres moyens des grains de sable sont de l'ordre de d \sim 150\text{ à } 200\ \mu\text{m}. En prenant pour la célérité dans le solide la borne inférieure fournie par l'air, c_a > 350\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (dans la silice solide, c_a est même de l'ordre de plusieurs milliers de mètres par seconde), on obtient :

   f_1 > \frac{350}{2 \times 200 \cdot 10^{-6}} \simeq 8{,}8 \cdot 10^5\text{ Hz} \sim 1\text{ MHz}

   Ce modèle de résonance acoustique interne prédit ainsi une fréquence dans le domaine des ultrasons (de l'ordre du mégahertz), alors que les fréquences mesurées pour le chant des dunes sont situées dans le domaine audible, entre 60\text{ Hz} et 100\text{ Hz} selon le tableau 2 (et jusqu'à 1\text{ kHz} pour les plages).

   L'écart d'environ quatre ordres de grandeur (10^4) conduit à rejeter totalement ce premier modèle : le chant des dunes ne peut pas provenir d'une résonance acoustique à l'échelle individuelle des grains de sable.

   Résultat

   $$f_1=\frac{c_a}{2d}$$

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2. Exercice 2CentraleSupélec Physique 2 PC 2025, Q21

   Pour une corde idéale de longueur L fixée à ses deux extrémités (x = 0 et x = L), le déplacement transversal y(x,t) d'un mode propre s'écrit sous la forme stationnaire :

   y_i(x,t) = Y_{0,i} \sin\left(\frac{i\pi x}{L}\right) \cos(2\pi f_i t + \phi_i) \quad \text{avec } i \in \{1, 2, 3, 4\}

   Chaque mode i comporte i fuseaux (ou ventres de vibration) et i-1 nœuds internes de vibration :

   La fréquence propre du mode i s'écrit f_i = i\,\frac{c_s}{2L} = i f_1 (où c_s est la célérité des ondes transversales sur la corde).

   \boxed{\text{La suite des fréquences }(f_i)_{i \ge 1}\text{ est strictement croissante.}}

   Résultat

   $$\text{La suite des freˊquences }(f_i{)}_{i\ge 1}\text{ est strictement croissante.}$$

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3. Exercice 3Mines-Ponts Physique 2 PC 2022, Q10

   1. Expressions géométriques :

   Le déplacement du point du fil étant z(x,t)\,\widehat{e}_z, le vecteur déplacement élémentaire le long du fil s'écrit :

   \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}x\,\widehat{e}_x + \mathrm{d}z\,\widehat{e}_z = \mathrm{d}x\,\widehat{e}_x + \frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x\,\widehat{e}_z

   La longueur élémentaire de la portion de fil est la norme de \mathrm{d}\vec{r} :

   \boxed{\mathrm{d}s = \sqrt{\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}z^2} = \mathrm{d}x \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}}

   Par définition géométrique de l'angle \alpha(x,t) avec l'horizontale (voir figure 3) :

   \cos[\alpha(x,t)] = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}}

   \sin[\alpha(x,t)] = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} = \frac{\frac{\partial z}{\partial x}}{\sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}}

   Compte tenu de l'hypothèse de faibles déformations \left|\frac{\partial z}{\partial x}\right| \ll 1, ces grandeurs s'écrivent au premier ordre :

   \boxed{\cos[\alpha(x,t)] \simeq 1} \quad \text{et} \quad \boxed{\sin[\alpha(x,t)] \simeq \frac{\partial z}{\partial x}}

   2. Théorème de la résultante cinétique :

   On applique le théorème de la résultante cinétique au système constitué de la portion de fil comprise entre x et x+\mathrm{d}x, de masse \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}s \simeq \mu\,\mathrm{d}x, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

   Les actions extérieures s'exerçant sur ce tronçon sont :

   • la tension exercée en x par la partie gauche : -\vec{T}(x,t) ;
   • la tension exercée en x+\mathrm{d}x par la partie droite : \vec{T}(x+\mathrm{d}x,t) ;
   • le poids, négligé d'après l'énoncé.

   Les mouvements étant purement latéraux (selon \widehat{e}_z), l'accélération axiale est nulle : a_x = 0. La projection du théorème de la résultante cinétique sur \widehat{e}_x donne :

   \mathrm{d}m \cdot a_x = T_x(x+\mathrm{d}x,t) - T_x(x,t) = 0

   Au premier ordre en \mathrm{d}x, T_x(x+\mathrm{d}x,t) - T_x(x,t) = \frac{\partial T_x}{\partial x}\mathrm{d}x = 0, soit :

   \boxed{\frac{\partial T_x}{\partial x} = 0}

   Ainsi, T_x(x,t) ne dépend pas de x : la composante axiale de la tension est uniforme le long du fil (T_x = T_x(t)).

   3. Conclusion sur la norme T de la tension :

   Le fil étant parfaitement souple, la tension \vec{T} est colinéaire à la tangente locale :

   \vec{T}(x,t) = T(x,t)\cos\alpha\,\widehat{e}_x + T(x,t)\sin\alpha\,\widehat{e}_z

   D'où T_x(x,t) = T(x,t)\cos\alpha. À l'ordre 1 en \alpha, \cos\alpha \simeq 1, ce qui entraîne :

   T(x,t) \simeq T_x(x,t)

   Comme T_x est indépendant de x, la norme T de la tension est uniforme le long du fil.

   De plus, l'allongement total du fil par rapport à sa longueur au repos est d'ordre 2 :

   \Delta \ell = \int_0^\ell (\mathrm{d}s - \mathrm{d}x) \simeq \frac{1}{2}\int_0^\ell \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 \mathrm{d}x

   Au premier ordre de l'approximation des petits mouvements, la tension reste donc constante au cours du temps :

   \boxed{T(x,t) \simeq T = \text{cste}}

   Résultat

   $$\mathrm{d}s=\sqrt{\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{z}^2}=\mathrm{d}x\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2}$$

   $$\cos [\alpha (x,t)]\simeq 1$$

   $$\sin [\alpha (x,t)]\simeq \frac{\partial z}{\partial x}$$

   $$\frac{\partial T_x}{\partial x}=0$$

   $$T(x,t)\simeq T=\text{cste}$$

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4. Exercice 4Mines-Ponts Physique 2 PC 2022, Q11

   Considérons la portion de fil comprise entre les abscisses x et x+\mathrm{d}x à l'instant t.

   • Sa masse s'écrit \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}s \simeq \mu\,\mathrm{d}x au premier ordre en \frac{\partial z}{\partial x}.
   • Son accélération selon l'axe transverse vertical \widehat{e}_z est a_z(x,t) = \frac{\partial^2 z}{\partial t^2}(x,t).
   • Les forces appliquées sont les tensions exercées par les parties adjacentes du fil en x et x+\mathrm{d}x, les effets de la pesanteur étant négligés.

   D'après les résultats de la question 10, la composante verticale de la tension s'écrit :

   T_z(x,t) = T(x,t)\sin[\alpha(x,t)] \simeq T\,\frac{\partial z}{\partial x}(x,t)

   où T est la norme constante de la tension dans le fil.

   La résultante des forces projetée selon l'axe \widehat{e}_z vaut :

   \begin{aligned} \mathrm{d}F_z &= T_z(x+\mathrm{d}x, t) - T_z(x, t) \\ &= \frac{\partial T_z}{\partial x}(x,t)\,\mathrm{d}x \\ &= T\,\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}(x,t)\,\mathrm{d}x \end{aligned}

   L'application du théorème de la résultante cinétique à cette tranche de fil selon \widehat{e}_z conduit à :

   \mu\,\mathrm{d}x\,\frac{\partial^2 z}{\partial t^2} = T\,\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\,\mathrm{d}x

   En divisant par \mu\,\mathrm{d}x \neq 0, on obtient l'équation d'onde 1D (équation de d'Alembert) :

   \frac{\partial^{2}z}{\partial t^{2}} - \frac{T}{\mu}\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} = 0

   Il s'agit bien de la forme attendue :

   \boxed{\frac{\partial^{2}z}{\partial t^{2}} - c^{2}\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} = 0 \quad \text{avec} \quad c = \sqrt{\frac{T}{\mu}}}

   La grandeur c est la célérité (ou vitesse de propagation) des ondes mécaniques transversales le long de la corde.

   Résultat

   $$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}-c^2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=0\text{avec}c=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$$

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5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 2 PC 2022, Q13

   Le fil est fixé à ses deux extrémités en deux points immobiles, choisis en x = 0 et x = \ell. Les conditions aux limites s'écrivent donc, à tout instant t :

   \underline{z}(0,t) = 0 \quad \text{et} \quad \underline{z}(\ell,t) = 0

   En injectant la forme proposée \underline{z}(x,t) = \underline{A} e^{j(\omega t - kx)} + \underline{B} e^{j(\omega t + kx)} en x = 0 :

   \underline{z}(0,t) = (\underline{A} + \underline{B}) e^{j\omega t} = 0 \quad \forall t

   Cette égalité devant être satisfaite à tout instant, on en déduit la relation entre amplitudes complexes :

   \boxed{\underline{B} = -\underline{A}}

   Le déplacement complexe s'écrit alors :

   \begin{aligned} \underline{z}(x,t) &= \underline{A} \left( e^{-jkx} - e^{jkx} \right) e^{j\omega t} \\ &= -2j \underline{A} \sin(kx) e^{j\omega t} \end{aligned}

   L'application de la seconde condition aux limites en x = \ell impose :

   \underline{z}(\ell,t) = -2j \underline{A} \sin(k\ell) e^{j\omega t} = 0 \quad \forall t

   Pour obtenir une solution non triviale (\underline{A} \neq 0), il faut :

   \sin(k\ell) = 0 \iff k\ell = n\pi \quad \text{avec } n \in \mathbb{N}^*

   soit un ensemble discret de nombres d'onde k_n = \dfrac{n\pi}{\ell}.

   D'après l'équation de d'Alembert établie à la question Q11, la relation de dispersion des ondes non dispersives s'écrit \omega = ck (avec \omega > 0 et k > 0). Les valeurs permises de la pulsation sont donc discrétisées :

   \boxed{\omega_n = \frac{n\pi c}{\ell} = \frac{n\pi}{\ell}\sqrt{\frac{T}{\mu}} \quad (n \in \mathbb{N}^*)}

   Ce type d'onde est appelé une onde stationnaire. En effet :

   • les variables d'espace et de temps sont découplées (produit d'une fonction de x et d'une fonction de t) ;
   • il n'y a pas de propagation d'énergie le long de la corde : les zéros d'amplitude (nœ uds de vibration) et les maxima d'amplitude (ventres de vibration) occupent des positions spatiales fixes au cours du temps.

   Résultat

   $$\underline{B}=-\underline{A}$$

   $${\omega }_n=\frac{n\pi c}{\ell }=\frac{n\pi }{\ell }\sqrt{\frac{T}{\mu }}(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$$

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6. Exercice 6X-ENS Physique B PC 2021, Q22

   D'après la loi de Hooke unidirectionnelle rappelée dans l'énoncé, la contrainte \sigma et la déformation relative longitudinale \varepsilon_\parallel sont reliées par :

   \sigma = E \varepsilon_\parallel \iff E = \frac{\sigma}{\varepsilon_\parallel}

   Procédons à l'analyse dimensionnelle des grandeurs en jeu :

   • La déformation longitudinale \varepsilon_\parallel = \frac{\Delta L}{L_0} est le rapport de deux longueurs, il s'agit donc d'une grandeur sans dimension :

     [\varepsilon_\parallel] = 1

   • La contrainte \sigma = \frac{F}{S} est le rapport d'une force F par une surface S. D'après le principe fondamental de la dynamique, une force a la dimension d'une masse multipliée par une accélération :

     [F] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2} \quad \text{et} \quad [S] = \mathrm{L}^2

     La contrainte a donc la dimension d'une pression :

     [\sigma] = \frac{[F]}{[S]} = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-1}\cdot\mathrm{T}^{-2}

   On en déduit immédiatement la dimension du module de Young E :

   \boxed{[E] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-1}\cdot\mathrm{T}^{-2}}

   Dans le Système international d'unités, le module de Young s'exprime en pascals (\mathrm{Pa}), ou de manière équivalente en \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-2} ou \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{s}^{-2}.

   Résultat

   $$[E]=\mathrm{M}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}\cdot {\mathrm{T}}^{-2}$$

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7. Exercice 7X-ENS Physique B PC 2021, Q27

   Considérons un élément de surface \mathrm{d}S situé à la distance r de l'axe (Oz) dans le plan supérieur. Le vecteur position par rapport à O est \overrightarrow{OM} = r\,\vec{e}_r.

   D'après la question Q26, la force tangentielle de cisaillement s'exerçant sur \mathrm{d}S est dirigée selon \vec{e}_\theta :

   \overrightarrow{\mathrm{d}F} = \mathrm{d}F\,\vec{e}_\theta = \frac{G r \varphi}{L}\,\mathrm{d}S\,\vec{e}_\theta.

   Le moment élémentaire en O de cette force est donné par :

   \mathrm{d}\vec{\mathcal{M}}_O = \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{\mathrm{d}F} = (r\,\vec{e}_r) \wedge \left(\frac{G r \varphi}{L}\,\mathrm{d}S\,\vec{e}_\theta\right) = \frac{G r^2 \varphi}{L}\,\mathrm{d}S\,\vec{e}_z.

   Pour calculer le moment résultant \vec{\mathcal{M}}, on intègre sur la surface circulaire complète du plan supérieur de rayon R. En découpant la section en couronnes élémentaires concentriques de rayon r et d'épaisseur \mathrm{d}r, de surface \mathrm{d}S = 2\pi r\,\mathrm{d}r :

   \begin{aligned} \vec{\mathcal{M}} &= \left( \iint_{\text{disque}} \frac{G r^2 \varphi}{L}\,\mathrm{d}S \right) \vec{e}_z \\ &= \left( \frac{G \varphi}{L} \int_{0}^{R} r^2 \cdot 2\pi r\,\mathrm{d}r \right) \vec{e}_z \\ &= \frac{2\pi G \varphi}{L} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^R \vec{e}_z \\ &= \frac{\pi G R^4}{2L}\,\varphi\,\vec{e}_z. \end{aligned}

   On en déduit que le moment de torsion s'écrit bien sous la forme :

   \boxed{\vec{\mathcal{M}} = C\varphi\,\vec{e}_z}

   avec la constante de torsion C égale à :

   \boxed{C = \frac{\pi G R^4}{2L}}

   Résultat

   $$\vec{\mathcal{M}}=C\phi {\vec{e}}_z$$

   $$C=\frac{\pi G{R}^4}{2L}$$

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8. Exercice 8ENS Physique-Chimie L PC 2020, Q19

   L'angle \theta(z,t) que fait la tangente à la corde avec la verticale (axe Oz) vérifie :

   \tan\theta(z,t) = \frac{\partial h}{\partial z}(z,t)

   L'approximation des « faibles perturbations » signifie que la corde s'écarte très peu de sa position d'équilibre verticale, ce qui impose que l'angle \theta reste partout petit devant 1 radian :

   |\theta(z,t)| \ll 1 \quad \Longrightarrow \quad \left| \frac{\partial h}{\partial z} \right| \ll 1

   Or, l'ordre de grandeur de la dérivée spatiale d'une perturbation d'amplitude a et d'extension spatiale caractéristique \lambda est donné par :

   \left| \frac{\partial h}{\partial z} \right| \sim \frac{a}{\lambda}

   Cette hypothèse impose donc que l'amplitude transverse soit très petite devant l'extension spatiale de l'onde :

   \boxed{a \ll \lambda}

   On a également implicitement a \ll L (déplacement transverse très faible devant la longueur totale de la corde).

   Résultat

   $$a\ll \lambda$$

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9. Exercice 9ENS Physique-Chimie L PC 2020, Q21

   On étudie un élément de corde compris entre les cotes z et z+\mathrm{d}z, de masse \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}z, dans le référentiel du laboratoire \mathcal{R}(O,x,y,z) supposé galiléen.

   D'après la figure (6), le déplacement transverse est orienté selon l'axe (Oy), de sorte que la position d'un point de la corde s'écrit :

   \vec{OM}(z,t) = z\,\vec{u}_z + h(z,t)\,\vec{u}_y

   Le vecteur tangent unitaire \vec{\tau}(z,t) orienté dans le sens des z croissants s'exprime, au premier ordre en \partial h/\partial z (approximation des faibles perturbations établie à la question Q19) :

   \vec{\tau}(z,t) = \frac{\frac{\partial \vec{OM}}{\partial z}}{\left\|\frac{\partial \vec{OM}}{\partial z}\right\|} = \frac{\vec{u}_z + \frac{\partial h}{\partial z}\,\vec{u}_y}{\sqrt{1 + \left(\frac{\partial h}{\partial z}\right)^2}} \approx \vec{u}_z + \frac{\partial h}{\partial z}(z,t)\,\vec{u}_y

   L'élément de corde est soumis aux actions mécaniques suivantes :

   • la force exercée par la partie supérieure [z+\mathrm{d}z, L] en z+\mathrm{d}z : \vec{T}(z+\mathrm{d}z, t) = T(z+\mathrm{d}z)\,\vec{\tau}(z+\mathrm{d}z, t) ;
   • la force exercée par la partie inférieure [0, z] en z (par le principe des actions réciproques) : -\vec{T}(z, t) = -T(z)\,\vec{\tau}(z, t) ;
   • son poids : \mathrm{d}\vec{P} = -\mu g\,\mathrm{d}z\,\vec{u}_z.

   L'accélération du tronçon est purement transverse au premier ordre :

   \vec{a}(z,t) = \frac{\partial^2 h}{\partial t^2}(z,t)\,\vec{u}_y

   En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'élément de corde :

   \mathrm{d}m\,\vec{a} = \vec{T}(z+\mathrm{d}z, t) - \vec{T}(z, t) + \mathrm{d}\vec{P}

   En projection sur l'axe transverse (Oy) :

   \begin{aligned} \mu\,\mathrm{d}z\,\frac{\partial^2 h}{\partial t^2} &= T_y(z+\mathrm{d}z, t) - T_y(z, t) \\ &= T(z+\mathrm{d}z)\,\frac{\partial h}{\partial z}(z+\mathrm{d}z, t) - T(z)\,\frac{\partial h}{\partial z}(z, t) \\ &= \frac{\partial}{\partial z}\left( T(z)\,\frac{\partial h}{\partial z} \right) \mathrm{d}z \end{aligned}

   En simplifiant par \mathrm{d}z, on obtient l'équation différentielle vérifiée par h(z,t) :

   \boxed{\mu\,\frac{\partial^2 h}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial z}\left( T(z)\,\frac{\partial h}{\partial z} \right)}

   Résultat

   $$\mu \frac{{\partial }^{2}h}{\partial t^2}=\frac{\partial }{\partial z}\left(T(z)\frac{\partial h}{\partial z}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10E3A Physique-Chimie PC 2025, QPhysique-III-Q14

    L'anneau situé en x = 0 est soumis à deux forces de tension exercées respectivement par la partie droite (x > 0) et la partie gauche (x < 0) de la corde :

    • Pour x > 0, la corde reste immobile le long de l'axe horizontal Ox en l'absence d'onde transmise, d'où :

      \vec{T}_1 = T\,\vec{e}_x

    • Pour x < 0, la force \vec{T}_2 est tangentielle à la corde au point d'abscisse x = 0^-, dirigée vers les x décroissants. D'après la figure 3, l'angle positif non orienté \beta est repéré par rapport à la direction horizontale -\vec{e}_x, le vecteur \vec{T}_2 pointant vers le haut et vers la gauche :

      \vec{T}_2 = -T\cos\beta\,\vec{e}_x + T\sin\beta\,\vec{e}_y

    La force totale \vec{F} = \vec{T}_1 + \vec{T}_2 exercée par la corde sur l'anneau s'écrit donc :

    \boxed{\vec{F} = T(1 - \cos\beta)\,\vec{e}_x + T\sin\beta\,\vec{e}_y}

    Dans l'approximation des petits mouvements, l'angle \beta est petit devant 1 rad. La pente de la corde en x = 0^- s'identifie à la dérivée spatiale partielle. Sur la figure 3, la corde arrive avec une pente négative (\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{x=0^-} < 0), de sorte que :

    \tan\beta = -\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{x=0^-}

    Au premier ordre en \beta, on a \beta \approx \tan\beta = -\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{x=0^-}.

    Effectuons les développements limités au deuxième ordre :

    \begin{aligned} 1 - \cos\beta &= \frac{\beta^2}{2} + o(\beta^2) = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{x=0^-}\right)^2 + o\left(\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2\right) \\ \sin\beta &= \beta + o(\beta^2) = -\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{x=0^-} + o\left(\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2\right) \end{aligned}

    On en déduit immédiatement les projections de la force \vec{F} au deuxième ordre :

    \boxed{\vec{F}\cdot\vec{e}_x = \frac{T}{2}\left(\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{x=0^-}\right)^2} \quad\text{et}\quad \boxed{\vec{F}\cdot\vec{e}_y = -T\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{x=0^-}}

    Résultat

    $$\vec{F}=T(1-\cos \beta ){\vec{e}}_x+T\sin \beta {\vec{e}}_y$$

    $$\vec{F}\cdot {\vec{e}}_x=\frac{T}{2}{\left({\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}_{x=0^{-}}\right)}^2$$

    $$\vec{F}\cdot {\vec{e}}_y=-T{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}_{x=0^{-}}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question