Corrigé détaillé Mines Physique 2 PC 2022

Soit une araignée modélisée par une sphère de rayon R = \dfrac{d}{2} et de masse volumique \rho \approx \rho_{\mathrm{e}} = 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}. Sa masse s'exprime par :

D'après le texte, la taille d de ces araignées est comprise entre 2\text{ mm} et 7\text{ mm} :

• Pour les plus petites araignées (d \approx 2\text{ mm} = 2 \times 10^{-3}\text{ m}) :

  m_{\mathrm{g}} \approx \frac{3}{6} \times 1{,}0 \times 10^3 \times (2 \times 10^{-3})^3 \approx 4 \times 10^{-6}\text{ kg} = 4\text{ mg}

• Pour les plus grandes araignées (d \approx 7\text{ mm} = 7 \times 10^{-3}\text{ m}) :

  m_{\mathrm{g}} \approx \frac{\pi}{6} \times 1{,}0 \times 10^3 \times (7 \times 10^{-3})^3 \approx 2 \times 10^{-4}\text{ kg} = 200\text{ mg}

L'ordre de grandeur de la masse d'une araignée volante se situe donc entre le milligramme et quelques centaines de milligrammes :

Pour les plus petites araignées, on retiendra l'estimation m_{\mathrm{g}} \approx 4\text{ mg} \sim 10^{-5}\text{ kg}.

Le champ électrique au niveau du sol est orienté vers le centre de la Terre, soit selon la normale descendante : \vec{E}_0 = -E_0\,\widehat{e}_z avec \widehat{e}_z le vecteur unitaire vertical ascendant. D'après le théorème de Coulomb à la surface d'un conducteur à l'équilibre électrostatique (ou la condition de passage à l'interface sol/atmosphère) :

Avec \epsilon_0 \simeq 8{,}9 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} et E_0 = 120\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}, il vient avec un chiffre significatif :

Dans le modèle du condensateur plan d'épaisseur z_0 = 60\text{ km}, le champ électrique serait uniforme dans toute l'atmosphère, de sorte que la différence de potentiel entre l'ionosphère et le sol vaudrait :

Application numérique :

La mesure expérimentale donne U_{\text{exp}} = 360\text{ kV}, soit une valeur vingt fois plus faible que celle prévue par le modèle.

Conclusion : L'assimilation globale de l'atmosphère à un condensateur plan à champ uniforme n'est pas valide. En réalité, la conductivité de l'air augmente avec l'altitude (sous l'effet du rayonnement cosmique), ce qui entraîne une décroissance rapide du champ électrique E(z) lorsqu'on s'élève au-dessus du sol. En revanche, au voisinage immédiat du sol (à l'échelle de quelques mètres), l'approximation d'un champ local uniforme reste tout à fait pertinente.

Signification physique du nombre de Reynolds :

Le nombre de Reynolds \mathcal{R}_e compare l'ordre de grandeur des forces d'inertie à celui des forces de viscosité au sein de l'écoulement d'un fluide :

où \rho est la masse volumique du fluide, \eta sa viscosité dynamique, U une vitesse caractéristique et \mathcal{L} une longueur caractéristique de l'écoulement.

• Si \mathcal{R}_e \ll 1, les effets visqueux sont prépondérants devant les effets inertiels (régime de Stokes ou écoulement rampant).
• Si \mathcal{R}_e \gg 1, les effets inertiels dominent en dehors d'éventuelles couches limites.

Choix de la taille caractéristique :

Le fil de soie possède deux échelles spatiales très contrastées : sa longueur L = 1\text{ m} et son diamètre d = 2r = 2\,\mu\text{m} (avec r = 1\,\mu\text{m}).

En raison de la condition d'adhérence du fluide à la surface du fil (\vec{v} = \vec{0}) et du retour à la vitesse non perturbée U à l'écart du fil, le gradient de vitesse est essentiellement radial (perpendiculaire à l'axe du fil). L'échelle spatiale sur laquelle s'exercent ces variations transverses de vitesse et la dissipation visqueuse est le diamètre du fil d (ou son rayon r). Il convient donc de choisir :

Ordre de grandeur de \mathcal{R}_e :

On évalue la masse volumique de l'air \rho_a à l'aide de la loi des gaz parfaits, à température ambiante T \approx 300\text{ K} et à la pression atmosphérique P_0 \approx 10^5\text{ Pa} :

Avec U = 0{,}1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, \eta_a = 1{,}9 \times 10^{-5}\text{ Pa}\cdot\text{s} et d = 2\,\mu\text{m} :

À un chiffre significatif :

1. Paramètres physiques influençant la force

L'écoulement s'effectuant à faible nombre de Reynolds (\mathcal{R}_e \ll 1, régime de Stokes d'après la question Q3), la force aérodynamique \vec{F} exercée par l'air sur le fil de soie dépend :

• de la vitesse relative de l'écoulement d'air U ;
• des propriétés du fluide, au premier rang desquelles sa viscosité dynamique \eta_{\mathrm{a}} (et très faiblement de la masse volumique de l'air \rho_{\mathrm{a}} en raison de la correction logarithmique liée au paradoxe de Stokes pour un cylindre) ;
• des paramètres géométriques du fil : sa longueur L et son rayon r (ou son diamètre).

2. Nombre de fils nécessaires au décollage

D'après la question Q1, les plus petites araignées (d \approx 2\text{ mm}) ont une masse estimée à :

Leur poids vaut donc, avec g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Chaque fil apporte une force ascendante d'intensité F_1 \sim 1\ \mu\text{N} = 10^{-6}\text{ N}. La condition de sustentation N F_1 \ge P conduit à :

3. Commentaire

Ce résultat est en parfait accord avec les observations de Darwin rapportées dans le texte, qui mentionnent que « le nombre de fils fabriqués par celles-ci peut atteindre quelques dizaines ».

Néanmoins, pour les individus de plus grande taille (jusqu'à 7\text{ mm}, dont la masse varie comme le cube de la taille et est donc environ (7/2)^3 \approx 40 fois supérieure, soit P \sim 1{,}6\text{ mN}), il faudrait plus d'un millier de fils. La force aérodynamique seule devient alors insuffisante, ce qui justifie l'existence d'une contribution électrostatique complémentaire.

1. Potentiel électrique créé sur une charge

Les 2n fils de longueur L forment les génératrices d'un cône d'axe vertical et de demi-angle au sommet \alpha. Leurs extrémités libres sont situées dans un plan horizontal sur un cercle de centre O et de rayon :

Repérons la position angulaire de chaque charge A_m (m \in \{1, \dots, 2n\}) par son angle polaire \theta_m = \frac{2\pi m}{2n} = \frac{m\pi}{n}.

Par symétrie de révolution discrète, toutes les charges sont dans une situation identique. Choisissons comme référence la charge située en A_{2n} (\theta_{2n} = 2\pi \equiv 0).

La distance d_m entre la charge A_{2n} et la charge A_m vaut :

Regroupons les charges selon l'indication de l'énoncé :

• Pour k = n, la charge A_n est diamétralement opposée à A_{2n} :

  d_n = 2R \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2R

• Pour chaque entier k \in \{1, \dots, n-1\}, associons le point A_k et son point diamétralement opposé A_{k+n} :

  \begin{aligned} d_k &= 2R \sin\left(\frac{k\pi}{2n}\right) \\ d_{k+n} &= 2R \sin\left(\frac{(k+n)\pi}{2n}\right) = 2R \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{k\pi}{2n}\right) = 2R \cos\left(\frac{k\pi}{2n}\right) \end{aligned}

Le potentiel électrostatique V créé en A_{2n} par les 2n-1 autres charges s'écrit par superposition :

Par le changement d'indice k' = n-k, on a \cos\left(\frac{\pi k}{2n}\right) = \sin\left(\frac{\pi (n-k)}{2n}\right), d'où :

On en déduit :

Par identification avec l'expression proposée, on obtient :

2. Énergie d'interaction électrostatique du système

L'énergie potentielle électrostatique totale d'un ensemble discret de charges vaut :

Toutes les charges étant égales à q et soumises au même potentiel V par symétrie :

3. Forme de l'éventail à l'équilibre

En l'absence de toute autre force (pesanteur négligée, pas de champ extérieur), la position d'équilibre correspond au minimum de l'énergie potentielle électrostatique E_{\mathrm{pe}}(\alpha). Comme q^2 > 0 et G(n) > 0, E_{\mathrm{pe}}(\alpha) est minimal lorsque \sin\alpha est maximal.

Pour \alpha \in \,]0, \pi[, la fonction \sin\alpha admet un maximum unique égal à 1 en :

À l'équilibre, l'éventail s'ouvre totalement : les fils sont situés dans un plan horizontal passant par S et forment une étoile régulière à 2n branches (disque plan).

Le sommet S étant fixe, la position du centre de masse de chaque fil est située à la distance L/2 de S. La vitesse de chaque masse ponctuelle vaut donc :

L'énergie cinétique totale des 2n fils s'écrit alors :

En l'absence de pesanteur et d'élasticité, l'énergie potentielle totale se réduit à l'énergie électrostatique établie à la question Q5 :

Le système étant conservatif, l'énergie mécanique totale E_m = E_c + E_p est constante au cours du temps :

En dérivant cette relation par rapport au temps :

Pour un mouvement non trivial (\dot{\alpha} \neq 0), on simplifie par \frac{n}{2} m L^2 \dot{\alpha} :

Stabilité de l'équilibre et période des petites oscillations :

La position d'équilibre correspond à \ddot{\alpha} = 0, soit \cos\alpha_{\mathrm{eq}} = 0, d'où :

Posons \alpha(t) = \frac{\pi}{2} + \theta(t) avec |\theta| \ll 1. Au premier ordre en \theta :

L'équation différentielle linéarisée devient :

Comme q^2 > 0 et G(n) > 0, on a \omega_0^2 > 0 : la force de rappel électrostatique tend à ramener l'éventail vers sa position d'équilibre. L'énergie potentielle admet un minimum strict en \alpha_{\mathrm{eq}}, l'équilibre est donc stable.

Le mouvement au voisinage de \alpha_{\mathrm{eq}} est harmonique de période T = \frac{2\pi}{\omega_0} :

1. Énergie électrostatique totale et équation d'équilibre

On choisit un axe vertical (Oz) ascendant, le sommet S étant pris comme origine (z_S = 0). Le champ électrique atmosphérique est orienté vers le sol : \vec{E}_0 = -E_0\,\widehat{e}_z avec E_0 = 120\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}. Le potentiel associé s'écrit (en fixant V_{\text{ext}}(0) = 0) :

Chacune des 2n charges q se trouve à l'altitude z_k = L\cos\alpha. L'énergie potentielle d'interaction avec le champ extérieur vaut donc :

En ajoutant l'énergie d'interaction électrostatique mutuelle obtenue à la question Q5, l'énergie électrostatique totale du système s'écrit :

À l'équilibre, l'énergie potentielle est stationnaire par rapport à \alpha :

En simplifiant par n q (pour q \neq 0), on obtient l'équation régissant l'angle d'équilibre :

2. Dépendance qualitative de l'ouverture de l'éventail

Comme \alpha \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[, la fonction f(\alpha) = \frac{\sin^3\alpha}{\cos\alpha} = \sin^2\alpha \tan\alpha est strictement croissante de 0 à +\infty. Pour que l'équilibre existe, le membre de droite doit être strictement positif, ce qui impose que la charge soit négative : q = -|q| < 0. On a alors :

• En fonction de |q| : si |q| augmente, la répulsion entre charges (en q^2) croît plus vite que la force ascendante due au champ extérieur (en |q|), donc f(\alpha) augmente : l'éventail s'ouvre davantage (\alpha augmente).
• En fonction de n : si le nombre de soies augmente, G(n) augmente (la répulsion collective s'accroît), donc \alpha augmente (éventail plus ouvert).
• En fonction de L : si L augmente, f(\alpha) diminue : le couple exercé par le champ extérieur augmente par rapport aux forces d'interaction, donc \alpha diminue (l'éventail se referme vers la verticale).
• En fonction de E_0 : si le champ électrique terrestre s'intensifie, la force ascendante aligne plus fortement les fils le long de la verticale, donc \alpha diminue.

3. Application numérique pour la charge q

Pour 2n = 6 soies, on a n = 3, L = 1\text{ m}, \alpha = 30^\circ et G(3) \simeq \frac{38}{3\sqrt{3}}. Comme \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} et \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} :

L'expression de la charge s'écrit alors :

En utilisant les données de l'énoncé \epsilon_0 \simeq \frac{1}{36\pi}\times 10^{-9}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} et E_0 = 120\text{ V}\cdot\text{m}^{-1} :

La charge étant nécessairement négative pour permettre un équilibre à \alpha = 30^\circ avec une force ascendante :

Chaque fil porte à son extrémité libre une charge de valeur absolue |q| \sim 1\text{ nC} (d'après la question Q7). Placé dans le champ électrique atmosphérique au niveau du sol dont la norme est E_0 = 120\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}, le module de la force électrostatique subie par un fil s'écrit :

Application numérique avec un chiffre significatif :

Pour que la force électrique totale ascendante compense le poids P = m_{\mathrm{g}} g des plus petites araignées, en notant N_{\mathrm{e}} le nombre de fils nécessaires :

D'après la question Q1, la masse des plus petites araignées (d \approx 2\text{ mm}) est m_{\mathrm{g}} \approx 4\text{ mg} = 4 \times 10^{-6}\text{ kg}, d'où un poids P \approx 4 \times 10^{-5}\text{ N}. On obtient ainsi :

Commentaire : L'énoncé précise qu'une araignée produit au maximum quelques dizaines de fils. Un nombre de plusieurs centaines de fils est donc irréaliste. Par temps clair et en terrain plat (E_0 = 120\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}), la force électrostatique seule est nettement insuffisante pour permettre le décollage. Cela justifie la remarque introductive de la question Q9 : le décollage requiert soit l'assistance des courants d'air ascendants (la force aérodynamique par fil étant de l'ordre de 1\ \mu\text{N}, une quarantaine de fils suffit, comme établi en Q4), soit une forte amplification locale du champ électrique par effet de pointe au sommet des branches ou des mâts.

À l'équilibre électrostatique, un corps conducteur (ou relié au sol conducteur, comme un arbre, un mât de navire ou une brindille) constitue un volume équipotentiel, et sa surface libre est donc une surface équipotentielle.

Resserrement des équipotentielles et lignes de champ Au voisinage d'une zone convexe très effilée (une « pointe », caractérisée par un faible rayon de courbure R), les surfaces équipotentielles extérieures doivent s'adapter à la géométrie locale et se trouvent fortement resserrées. Comme le champ électrique dérive du potentiel (\vec{E} = -\vec{\operatorname{grad}} V), la norme du champ électrique, inversement proportionnelle à la distance séparant deux équipotentielles successives, prend une valeur très élevée au voisinage immédiat de la pointe.

Modèle simplifié des deux sphères conductrices On peut modéliser le phénomène en considérant deux sphères conductrices de rayons R_1 (la pointe) et R_2 (la base ou le sol), avec R_1 \ll R_2, reliées par un fil conducteur très fin maintenant l'ensemble au même potentiel V par rapport à l'infini :

Les densités surfaciques de charge respectives vérifient \sigma_i = \frac{Q_i}{4\pi R_i^2}, d'où :

D'après le théorème de Coulomb, le champ électrique à la surface du conducteur vaut E = \frac{|\sigma|}{\varepsilon_0}, soit :

Le champ électrique local est d'autant plus intense que le rayon de courbure est faible.

Application aux araignées En se perchant sur une pointe (sommet d'un brin d'herbe, feuille, mât du Beagle), l'araignée bénéficie d'une exaltation locale très importante du champ électrique atmosphérique (qui peut dépasser 10\text{ kV}\cdot\text{m}^{-1} contre 120\text{ V}\cdot\text{m}^{-1} en terrain plat). La force électrostatique subie par les fils de soie est alors démultipliée, permettant l'envol avec seulement quelques dizaines de fils.

1. Expressions géométriques :

Le déplacement du point du fil étant z(x,t)\,\widehat{e}_z, le vecteur déplacement élémentaire le long du fil s'écrit :

La longueur élémentaire de la portion de fil est la norme de \mathrm{d}\vec{r} :

Par définition géométrique de l'angle \alpha(x,t) avec l'horizontale (voir figure 3) :

Compte tenu de l'hypothèse de faibles déformations \left|\frac{\partial z}{\partial x}\right| \ll 1, ces grandeurs s'écrivent au premier ordre :

2. Théorème de la résultante cinétique :

On applique le théorème de la résultante cinétique au système constitué de la portion de fil comprise entre x et x+\mathrm{d}x, de masse \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}s \simeq \mu\,\mathrm{d}x, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Les actions extérieures s'exerçant sur ce tronçon sont :

• la tension exercée en x par la partie gauche : -\vec{T}(x,t) ;
• la tension exercée en x+\mathrm{d}x par la partie droite : \vec{T}(x+\mathrm{d}x,t) ;
• le poids, négligé d'après l'énoncé.

Les mouvements étant purement latéraux (selon \widehat{e}_z), l'accélération axiale est nulle : a_x = 0. La projection du théorème de la résultante cinétique sur \widehat{e}_x donne :

Au premier ordre en \mathrm{d}x, T_x(x+\mathrm{d}x,t) - T_x(x,t) = \frac{\partial T_x}{\partial x}\mathrm{d}x = 0, soit :

Ainsi, T_x(x,t) ne dépend pas de x : la composante axiale de la tension est uniforme le long du fil (T_x = T_x(t)).

3. Conclusion sur la norme T de la tension :

Le fil étant parfaitement souple, la tension \vec{T} est colinéaire à la tangente locale :

D'où T_x(x,t) = T(x,t)\cos\alpha. À l'ordre 1 en \alpha, \cos\alpha \simeq 1, ce qui entraîne :

Comme T_x est indépendant de x, la norme T de la tension est uniforme le long du fil.

De plus, l'allongement total du fil par rapport à sa longueur au repos est d'ordre 2 :

Au premier ordre de l'approximation des petits mouvements, la tension reste donc constante au cours du temps :

Considérons la portion de fil comprise entre les abscisses x et x+\mathrm{d}x à l'instant t.

• Sa masse s'écrit \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}s \simeq \mu\,\mathrm{d}x au premier ordre en \frac{\partial z}{\partial x}.
• Son accélération selon l'axe transverse vertical \widehat{e}_z est a_z(x,t) = \frac{\partial^2 z}{\partial t^2}(x,t).
• Les forces appliquées sont les tensions exercées par les parties adjacentes du fil en x et x+\mathrm{d}x, les effets de la pesanteur étant négligés.

D'après les résultats de la question 10, la composante verticale de la tension s'écrit :

où T est la norme constante de la tension dans le fil.

La résultante des forces projetée selon l'axe \widehat{e}_z vaut :

L'application du théorème de la résultante cinétique à cette tranche de fil selon \widehat{e}_z conduit à :

En divisant par \mu\,\mathrm{d}x \neq 0, on obtient l'équation d'onde 1D (équation de d'Alembert) :

Il s'agit bien de la forme attendue :

La grandeur c est la célérité (ou vitesse de propagation) des ondes mécaniques transversales le long de la corde.

Soient f et g deux fonctions de classe \mathcal{C}^2 sur \mathbb{R}. Posons :

La fonction s'écrit z(x,t) = f(u) + g(v). Les dérivées partielles spatiales s'expriment par :

De même, pour les dérivées temporelles :

On en déduit immédiatement :

Toute fonction de la forme z(x,t) = f(x - ct) + g(x + ct) est donc bien solution de l'équation de d'Alembert.

Interprétation physique :

• Pour la composante f(x - ct), une valeur donnée du profil correspond à une phase constante :

  u = x - ct = \text{cste} \implies x(t) = ct + \text{cste}.

  Le profil se translate donc à la célérité c = \sqrt{T/\mu} le long de l'axe (Ox) vers les abscisses croissantes (x augmente au cours du temps) sans déformation. La fonction f représente ainsi une onde progressive se propageant dans le sens positif de l'axe (Ox).

• De même, pour la composante g(x + ct) :

  v = x + ct = \text{cste} \implies x(t) = -ct + \text{cste}.

  Cette composante décrit une onde progressive se propageant dans le sens négatif de l'axe (Ox) à la même célérité c et sans déformation.

Le fil est fixé à ses deux extrémités en deux points immobiles, choisis en x = 0 et x = \ell. Les conditions aux limites s'écrivent donc, à tout instant t :

En injectant la forme proposée \underline{z}(x,t) = \underline{A} e^{j(\omega t - kx)} + \underline{B} e^{j(\omega t + kx)} en x = 0 :

Cette égalité devant être satisfaite à tout instant, on en déduit la relation entre amplitudes complexes :

Le déplacement complexe s'écrit alors :

L'application de la seconde condition aux limites en x = \ell impose :

Pour obtenir une solution non triviale (\underline{A} \neq 0), il faut :

soit un ensemble discret de nombres d'onde k_n = \dfrac{n\pi}{\ell}.

D'après l'équation de d'Alembert établie à la question Q11, la relation de dispersion des ondes non dispersives s'écrit \omega = ck (avec \omega > 0 et k > 0). Les valeurs permises de la pulsation sont donc discrétisées :

Ce type d'onde est appelé une onde stationnaire. En effet :

• les variables d'espace et de temps sont découplées (produit d'une fonction de x et d'une fonction de t) ;
• il n'y a pas de propagation d'énergie le long de la corde : les zéros d'amplitude (nœ uds de vibration) et les maxima d'amplitude (ventres de vibration) occupent des positions spatiales fixes au cours du temps.

D'après les résultats des questions Q11 et Q13, la fréquence du fondamental (n = 1) d'une corde de longueur \ell fixée à ses deux extrémités s'écrit :

On en déduit l'expression de la tension T nécessaire :

Avec \ell = \frac{1}{3}\text{ m}, f_1 = 300\text{ Hz} et \mu = 0{,}5\text{ mg}\cdot\text{m}^{-1} = 5 \times 10^{-7}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-1} :

La tension de fonctionnement T est très nettement inférieure à la tension limite d'élasticité T_{\mathrm{e}} \sim 10\text{ N} :

On en conclut que la corde travaille largement dans son domaine élastique réversible, ce qui valide pleinement les hypothèses de déformation élastique et écarte tout risque de déformation plastique ou de rupture en utilisation musicale.

On cherche une solution sous la forme d'une onde progressive harmonique \underline{z}(x,t) = \underline{z}_0\,e^{j(\omega t - kx)}. Les dérivées partielles successives s'écrivent :

En reportant dans l'équation de propagation :

Sachant que c^2 = \frac{T}{\mu}, on obtient la relation de dispersion :

Il s'agit d'une équation bicarrée en k :

dont l'unique racine positive en k^2 donne :

Dans l'hypothèse où la déformation spatiale est de même forme que précédemment (ondes stationnaires satisfaisant \underline{z}(0,t) = \underline{z}(\ell,t) = 0), les nombres d'onde permis restent quantifiés selon :

La pulsation propre associée au mode n est donc :

La fréquence propre f_n = \frac{\omega_n}{2\pi} s'écrit alors :

avec :

À tension T et longueur \ell fixées, le coefficient B est proportionnel à la quantité E a^4. Comparons les deux cordes :

• Corde en fil d'araignée :

  E_1 a_1^4 = 6{,}0 \times 10^9 \times (350 \times 10^{-6})^4 \simeq 6{,}0 \times 10^9 \times 1{,}50 \times 10^{-14} \simeq 9{,}0 \times 10^{-5}\text{ N}\cdot\text{m}^2.

• Corde classique :

  E_2 a_2^4 = 2{,}5 \times 10^9 \times (400 \times 10^{-6})^4 = 2{,}5 \times 10^9 \times 2{,}56 \times 10^{-14} \simeq 6{,}4 \times 10^{-5}\text{ N}\cdot\text{m}^2.

Le rapport des coefficients d'inharmonicité vaut :

Dans l'état initial, le film d'eau non perturbé forme une enveloppe cylindrique de rayon interne a et de rayon externe R_0 = a + h_0. Sur une longueur \lambda, son volume s'écrit :

Dans l'état modulé, le rayon local de l'interface eau/air à l'abscisse z et à l'instant t est :

En posant R_{\mathrm{m}}(t) = a + h_{\mathrm{m}}(t) le rayon moyen de l'interface, on a \rho(z,t) = R_{\mathrm{m}}(t) + \epsilon(t)\cos(kz).

L'aire de la section droite de liquide à la position z vaut S(z,t) = \pi\left[\rho(z,t)^2 - a^2\right]. Le volume d'eau sur une longueur d'onde \lambda = 2\pi/k est donc :

Sachant que sur une période spatiale \int_0^\lambda \cos(kz)\mathrm{d}z = 0 et \int_0^\lambda \cos^2(kz)\mathrm{d}z = \frac{\lambda}{2}, on obtient :

L'eau étant un fluide incompressible, la conservation du volume impose V_{\mathrm{mod}} = V, soit :

Comme la perturbation est de faible amplitude (\epsilon \ll h_0 < R_0, soit \epsilon/R_0 \ll 1), on effectue un développement limité au premier ordre non nul :

Sachant que h_{\mathrm{m}}(t) = R_{\mathrm{m}}(t) - a et h_0 = R_0 - a, on en déduit :

Par identification avec l'expression (1) de l'énoncé h_{\mathrm{m}}(t) = h_0 - \frac{\epsilon^2(t)}{\chi R_0}, il vient :

Dans l'état initial, la surface libre est un cylindre d'axe (Oz) de rayon R_0 = a + h_0 invariant par translation selon z. Sur une longueur \lambda, son aire vaut :

L'énergie de surface libre initiale associée s'écrit donc :

Dans l'état modulé, le rayon de l'interface eau/air à la cote z est donné par :

où, d'après la question Q16, le rayon moyen vaut au second ordre :

La dérivée spatiale de ce rayon est :

Dans le cadre de l'approximation des faibles modulations (k\epsilon \ll 1), un développement limité au second ordre donne :

L'aire de l'interface sur une période spatiale \lambda = 2\pi/k s'écrit alors :

Les intégrales trigonométriques sur une période valent :

À l'ordre 2 en \epsilon, en remplaçant R_{\mathrm{m}} par R_0 dans le terme d'ordre 2 en k^2\epsilon^2, il vient :

En introduisant l'expression de R_{\mathrm{m}}(t) = R_0 - \dfrac{\epsilon^2(t)}{4R_0} issue de la conservation du volume :

La variation d'énergie de surface \Delta E_\lambda(\epsilon) = \gamma \left[S(\epsilon) - S_0\right] est donc :

avec l'entier \chi = 4 identifié à la question Q16.

D'après le premier principe de la thermodynamique et le théorème de l'énergie mécanique, en l'absence d'effets gravitationnels et à volume de fluide fixé, l'état d'équilibre est stable vis-à-vis des petites perturbations si et seulement si l'énergie potentielle (ici l'énergie de surface libre) présente un minimum local, c'est-à-dire si :

D'après l'expression établie à la question précédente :

avec des paramètres strictement positifs (\gamma > 0, R_0 > 0, \lambda > 0 et \epsilon(t) \neq 0). Le signe de la variation d'énergie est donc fixé par le terme \left(k^2 R_0^2 - 1\right) :

• Si k R_0 > 1, soit \lambda < 2\pi R_0 : \Delta E_\lambda > 0, l'état cylindrique est stable vis-à-vis des perturbations de longueur d'onde \lambda.
• Si k R_0 < 1, soit \lambda > 2\pi R_0 : \Delta E_\lambda < 0, la déformation permet de diminuer l'énergie de surface, ce qui rend l'état cylindrique instable vis-à-vis de telles perturbations.

Le critère de stabilité du cylindre de liquide s'écrit donc :

1. Dépendance du champ de vitesse :

• Le fil et le film de liquide présentent une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz). Le champ de vitesse est donc invariant par rotation d'angle \theta autour de cet axe : v est indépendant de \theta.

• Le liquide étant incompressible, l'équation de conservation de la masse se réduit à la nullité de la divergence :

  \mathrm{div}\,\vec{v} = 0.

  En coordonnées cylindriques, avec un écoulement purement axial \vec{v} = v(r,z)\,\widehat{e}_z (v_r = 0, v_\theta = 0), il vient :

  \mathrm{div}\,\vec{v} = \frac{1}{r}\frac{\partial(r v_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial v_z}{\partial z} = \frac{\partial v}{\partial z} = 0.

La vitesse v ne dépend donc ni de \theta, ni de z : elle ne dépend que de la coordonnée radiale r.

2. Équation différentielle vérifiée par v(r) : Appliquons l'équation de Navier-Stokes pour un fluide newtonien incompressible de viscosité \eta :

• L'écoulement est stationnaire : \dfrac{\partial\vec{v}}{\partial t} = \vec{0}.

• Le terme convectif s'annule identiquement :

  (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} = v(r)\frac{\partial}{\partial z}\big(v(r)\widehat{e}_z\big) = \vec{0}.
• Les effets de la pesanteur sont négligés : \rho\vec{g} = \vec{0}.

• Le laplacien vectoriel de \vec{v} = v(r)\widehat{e}_z a pour composante axiale :

  (\vec{\Delta}\vec{v})_z = \Delta v(r) = \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left( r\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \right).

En projetant l'équation de Navier-Stokes selon le vecteur unitaire \widehat{e}_z, on obtient directement :

3. Gradient de pression constant : La projection de l'équation de Navier-Stokes selon \widehat{e}_r et \widehat{e}_\theta donne :

La pression P ne dépend donc que de z : \dfrac{\partial P}{\partial z} = \dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}.

L'équation axiale se réécrit alors sous la forme :

Le membre de gauche est une fonction exclusive de z tandis que le membre de droite est une fonction exclusive de r. Pour que cette égalité soit vérifiée en tout point (r,z) du film liquide, ces deux termes doivent être égaux à une même constante, notée \beta :

D'après la question Q19, le profil de vitesse v(r) satisfait :

Multiplions par r/\eta et intégrons une première fois par rapport à r :

où C_1 est une constante d'intégration. La condition d'absence de contrainte de cisaillement à la surface libre s'écrit \left.\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\right|_{r=R_0} = 0, ce qui impose :

On en déduit le gradient de vitesse pour r \in [a, R_0] :

Une seconde intégration donne :

où C_2 est une seconde constante d'intégration. La condition d'adhérence du fluide sur le fil solide en r = a impose v(a) = 0 :

En regroupant les termes, on obtient :

Cette expression correspond bien à la forme cherchée, en posant :

Le débit volumique Q à travers une section droite du film liquide s'écrit :

D'après le résultat de la question Q20, le profil de vitesse est :

En posant x = h_0/a, on a \frac{R_0}{a} = \frac{a+h_0}{a} = 1+x. Effectuons le changement de variable sans dimension u = r/a (soit r = a u et \mathrm{d}r = a\,\mathrm{d}u) :

Le préfacteur vaut :

Calculons les deux intégrales qui interviennent :

• En utilisant la primitive donnée \int u \ln u \, \mathrm{d}u = \frac{1}{2}u^2 \ln u - \frac{1}{4}u^2 :

  \begin{aligned} \int_{1}^{1+x} u \ln u \, \mathrm{d}u &= \left[ \frac{1}{2}u^2 \ln u - \frac{1}{4}u^2 \right]_{1}^{1+x} \\ &= \frac{1}{2}(1+x)^2 \ln(1+x) - \frac{1}{4}(1+x)^2 + \frac{1}{4}. \end{aligned}

• Pour le terme polynomial :

  \begin{aligned} \int_{1}^{1+x} \frac{1}{2}(u - u^3) \, \mathrm{d}u &= \frac{1}{2} \left[ \frac{u^2}{2} - \frac{u^4}{4} \right]_{1}^{1+x} \\ &= \frac{1}{4}(1+x)^2 - \frac{1}{8}(1+x)^4 - \frac{1}{8}. \end{aligned}

En sommant ces deux contributions :

En réinjectant dans l'expression de Q :

Exprimons Q sous la forme factorisée demandée :

Comme x = h_0/a, on a \frac{a^3}{h_0^3} = \frac{1}{x^3}, ce qui conduit directement à :

avec

L'épaisseur du film de liquide dans l'état modulé est donnée par :

Ses dérivées spatiales successives par rapport à z s'écrivent :

En injectant ces expressions dans la formule (5) régissant le gradient de pression capillaire :

il vient :

D'après la question Q21, le débit volumique associé à un gradient de pression axial uniforme \beta = \frac{\partial P}{\partial z} s'écrit :

Sous l'hypothèse de l'énoncé selon laquelle cette relation reste valable localement et instantanément en remplaçant \beta par \frac{\partial P}{\partial z}(z,t), le débit volumique local s'exprime par :

soit, en remplaçant \frac{\partial P}{\partial z}(z,t) par l'expression obtenue :

Considérons le système fermé constitué du fluide situé entre les sections droites d'abscisses z et z + \mathrm{d}z à l'instant t.

La section droite du manchon liquide au point d'abscisse z vaut :

Le volume élémentaire de cette tranche de fluide s'écrit donc :

Pendant la durée \mathrm{d}t, la variation de volume \mathrm{d}(\mathrm{d}V) de cette tranche résulte de la différence entre le volume entrant en z et le volume sortant en z + \mathrm{d}z (le fil central en r=a étant imperméable et indéformable) :

Par conséquent, le taux de variation volumique s'écrit :

Par ailleurs, en dérivant directement l'expression géométrique du volume par rapport au temps, sachant que le rayon a du fil de soie est constant :

En égalant les deux expressions obtenues pour \frac{\partial (\mathrm{d}V)}{\partial t}, on simplifie par \mathrm{d}z et on obtient la relation de conservation locale :

D'après la question Q22, le débit volumique s'écrit :

Dans la limite de film mince h_0 \ll a, soit x \to 0, l'énoncé indique que \displaystyle \lim_{x\to 0}\xi(x) = -1. Le débit devient alors :

En dérivant par rapport à z, le membre de gauche de la relation de conservation (équation 6 de la question Q23) vaut :

Pour le membre de droite, le rayon local s'écrit :

D'après la relation (1) établie en Q16, h_{\mathrm{m}}(t) = h_0 - \dfrac{\epsilon^2(t)}{4R_0}, de sorte que \dfrac{\mathrm{d}h_{\mathrm{m}}}{\mathrm{d}t} = \mathcal{O}\left(\epsilon \dfrac{\mathrm{d}\epsilon}{\mathrm{d}t}\right) est d'ordre 2 en \epsilon. Au premier ordre en \epsilon, on a donc :

Puisque \dfrac{\partial R}{\partial t} est déjà d'ordre 1 en \epsilon, on prend R(z,t) \simeq a + h_0 \simeq a dans le facteur multiplicatif (au premier ordre en \epsilon et à l'ordre 0 en h_0/a). Le membre de droite s'écrit ainsi :

L'égalité -\dfrac{\partial Q}{\partial z} = 2\pi R \dfrac{\partial R}{\partial t} donne donc, en simplifiant par 2\pi a\cos(kz) :

soit l'équation différentielle demandée :

Étude de la stabilité des modes :

La solution de cette équation différentielle est :

• Modes de courtes longueurs d'onde (ka > 1, soit \lambda < 2\pi a) : on a \sigma > 0. La perturbation décroît exponentiellement vers zéro au cours du temps : le film cylindrique est stable vis-à-vis de ces perturbations.
• Modes de grandes longueurs d'onde (ka < 1, soit \lambda > 2\pi a) : on a \sigma < 0. Le taux de croissance -\sigma > 0 entraîne une amplification exponentielle de la perturbation : le film est instable vis-à-vis de ces fluctuations, ce qui conduit à son éclatement en gouttelettes.
• Mode marginal (ka = 1, soit \lambda = 2\pi a) : \sigma = 0, l'amplitude reste constante au premier ordre.

Couleur de la radiation :

La longueur d'onde \lambda_0 = 633\text{ nm} appartient au domaine visible (400\text{ nm} \le \lambda \le 750\text{ nm}) et correspond à une radiation rouge (émission caractéristique du laser Hélium-Néon).

Estimation du rayon a du fil :

En vertu du théorème de Babinet, la figure de diffraction à l'infini (ou à grande distance D \gg d) par un fil opaque rectiligne de diamètre d = 2a présente la même intensité que celle diffractée par une fente de même largeur d.

L'écart angulaire entre le centre de la figure et le premier minimum de diffraction est :

Dans le cadre de l'approximation des petits angles, la largeur b de la tache centrale sur un écran placé à la distance D vaut :

On en déduit l'expression du rayon a du fil :

Application numérique avec les données : \lambda_0 = 633\text{ nm} = 6{,}33 \times 10^{-7}\text{ m}, D = 2\text{ m} et b = 9\text{ cm} = 9 \times 10^{-2}\text{ m} :

En ne retenant qu'un seul chiffre significatif :

(le diamètre correspondant vaut d = 2a \sim 30\ \mu\text{m}, en plein accord avec la plage de 1 à 70\ \mu\text{m} indiquée dans le préambule).

Taille minimale des gouttes :

D'après le critère de stabilité établi à la question Q18 (et confirmé à la question Q24 dans la limite h_0 \ll a), le film liquide ne devient instable que pour des perturbations de longueur d'onde supérieure à la longueur d'onde de coupure :

La longueur d'onde minimale susceptible de déstabiliser le film cylindrique et de conduire à la formation de gouttes disjointes est donc :

Chaque goutte issue de la fragmentation rassemble le volume de fluide contenu initialement sur une portion de longueur d'onde \lambda. La dimension longitudinale minimale (et l'espacement minimal entre gouttes) est par conséquent fixée par \lambda_{\min} :

En ordre de grandeur :