Corrigé détaillé Mines Physique 2 PC 2022 (page 2/2 : Partie III)

Dans l'état initial, le film d'eau non perturbé forme une enveloppe cylindrique de rayon interne a et de rayon externe R_0 = a + h_0. Sur une longueur \lambda, son volume s'écrit :

Dans l'état modulé, le rayon local de l'interface eau/air à l'abscisse z et à l'instant t est :

En posant R_{\mathrm{m}}(t) = a + h_{\mathrm{m}}(t) le rayon moyen de l'interface, on a \rho(z,t) = R_{\mathrm{m}}(t) + \epsilon(t)\cos(kz).

L'aire de la section droite de liquide à la position z vaut S(z,t) = \pi\left[\rho(z,t)^2 - a^2\right]. Le volume d'eau sur une longueur d'onde \lambda = 2\pi/k est donc :

Sachant que sur une période spatiale \int_0^\lambda \cos(kz)\mathrm{d}z = 0 et \int_0^\lambda \cos^2(kz)\mathrm{d}z = \frac{\lambda}{2}, on obtient :

L'eau étant un fluide incompressible, la conservation du volume impose V_{\mathrm{mod}} = V, soit :

Comme la perturbation est de faible amplitude (\epsilon \ll h_0 < R_0, soit \epsilon/R_0 \ll 1), on effectue un développement limité au premier ordre non nul :

Sachant que h_{\mathrm{m}}(t) = R_{\mathrm{m}}(t) - a et h_0 = R_0 - a, on en déduit :

Par identification avec l'expression (1) de l'énoncé h_{\mathrm{m}}(t) = h_0 - \frac{\epsilon^2(t)}{\chi R_0}, il vient :

Dans l'état initial, la surface libre est un cylindre d'axe (Oz) de rayon R_0 = a + h_0 invariant par translation selon z. Sur une longueur \lambda, son aire vaut :

L'énergie de surface libre initiale associée s'écrit donc :

Dans l'état modulé, le rayon de l'interface eau/air à la cote z est donné par :

où, d'après la question Q16, le rayon moyen vaut au second ordre :

La dérivée spatiale de ce rayon est :

Dans le cadre de l'approximation des faibles modulations (k\epsilon \ll 1), un développement limité au second ordre donne :

L'aire de l'interface sur une période spatiale \lambda = 2\pi/k s'écrit alors :

Les intégrales trigonométriques sur une période valent :

À l'ordre 2 en \epsilon, en remplaçant R_{\mathrm{m}} par R_0 dans le terme d'ordre 2 en k^2\epsilon^2, il vient :

En introduisant l'expression de R_{\mathrm{m}}(t) = R_0 - \dfrac{\epsilon^2(t)}{4R_0} issue de la conservation du volume :

La variation d'énergie de surface \Delta E_\lambda(\epsilon) = \gamma \left[S(\epsilon) - S_0\right] est donc :

avec l'entier \chi = 4 identifié à la question Q16.

D'après le premier principe de la thermodynamique et le théorème de l'énergie mécanique, en l'absence d'effets gravitationnels et à volume de fluide fixé, l'état d'équilibre est stable vis-à-vis des petites perturbations si et seulement si l'énergie potentielle (ici l'énergie de surface libre) présente un minimum local, c'est-à-dire si :

D'après l'expression établie à la question précédente :

avec des paramètres strictement positifs (\gamma > 0, R_0 > 0, \lambda > 0 et \epsilon(t) \neq 0). Le signe de la variation d'énergie est donc fixé par le terme \left(k^2 R_0^2 - 1\right) :

• Si k R_0 > 1, soit \lambda < 2\pi R_0 : \Delta E_\lambda > 0, l'état cylindrique est stable vis-à-vis des perturbations de longueur d'onde \lambda.
• Si k R_0 < 1, soit \lambda > 2\pi R_0 : \Delta E_\lambda < 0, la déformation permet de diminuer l'énergie de surface, ce qui rend l'état cylindrique instable vis-à-vis de telles perturbations.

Le critère de stabilité du cylindre de liquide s'écrit donc :

1. Dépendance du champ de vitesse :

• Le fil et le film de liquide présentent une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz). Le champ de vitesse est donc invariant par rotation d'angle \theta autour de cet axe : v est indépendant de \theta.

• Le liquide étant incompressible, l'équation de conservation de la masse se réduit à la nullité de la divergence :

  \mathrm{div}\,\vec{v} = 0.

  En coordonnées cylindriques, avec un écoulement purement axial \vec{v} = v(r,z)\,\widehat{e}_z (v_r = 0, v_\theta = 0), il vient :

  \mathrm{div}\,\vec{v} = \frac{1}{r}\frac{\partial(r v_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial v_z}{\partial z} = \frac{\partial v}{\partial z} = 0.

La vitesse v ne dépend donc ni de \theta, ni de z : elle ne dépend que de la coordonnée radiale r.

2. Équation différentielle vérifiée par v(r) : Appliquons l'équation de Navier-Stokes pour un fluide newtonien incompressible de viscosité \eta :

• L'écoulement est stationnaire : \dfrac{\partial\vec{v}}{\partial t} = \vec{0}.

• Le terme convectif s'annule identiquement :

  (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} = v(r)\frac{\partial}{\partial z}\big(v(r)\widehat{e}_z\big) = \vec{0}.
• Les effets de la pesanteur sont négligés : \rho\vec{g} = \vec{0}.

• Le laplacien vectoriel de \vec{v} = v(r)\widehat{e}_z a pour composante axiale :

  (\vec{\Delta}\vec{v})_z = \Delta v(r) = \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left( r\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \right).

En projetant l'équation de Navier-Stokes selon le vecteur unitaire \widehat{e}_z, on obtient directement :

3. Gradient de pression constant : La projection de l'équation de Navier-Stokes selon \widehat{e}_r et \widehat{e}_\theta donne :

La pression P ne dépend donc que de z : \dfrac{\partial P}{\partial z} = \dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}.

L'équation axiale se réécrit alors sous la forme :

Le membre de gauche est une fonction exclusive de z tandis que le membre de droite est une fonction exclusive de r. Pour que cette égalité soit vérifiée en tout point (r,z) du film liquide, ces deux termes doivent être égaux à une même constante, notée \beta :

D'après la question Q19, le profil de vitesse v(r) satisfait :

Multiplions par r/\eta et intégrons une première fois par rapport à r :

où C_1 est une constante d'intégration. La condition d'absence de contrainte de cisaillement à la surface libre s'écrit \left.\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\right|_{r=R_0} = 0, ce qui impose :

On en déduit le gradient de vitesse pour r \in [a, R_0] :

Une seconde intégration donne :

où C_2 est une seconde constante d'intégration. La condition d'adhérence du fluide sur le fil solide en r = a impose v(a) = 0 :

En regroupant les termes, on obtient :

Cette expression correspond bien à la forme cherchée, en posant :

Le débit volumique Q à travers une section droite du film liquide s'écrit :

D'après le résultat de la question Q20, le profil de vitesse est :

En posant x = h_0/a, on a \frac{R_0}{a} = \frac{a+h_0}{a} = 1+x. Effectuons le changement de variable sans dimension u = r/a (soit r = a u et \mathrm{d}r = a\,\mathrm{d}u) :

Le préfacteur vaut :

Calculons les deux intégrales qui interviennent :

• En utilisant la primitive donnée \int u \ln u \, \mathrm{d}u = \frac{1}{2}u^2 \ln u - \frac{1}{4}u^2 :

  \begin{aligned} \int_{1}^{1+x} u \ln u \, \mathrm{d}u &= \left[ \frac{1}{2}u^2 \ln u - \frac{1}{4}u^2 \right]_{1}^{1+x} \\ &= \frac{1}{2}(1+x)^2 \ln(1+x) - \frac{1}{4}(1+x)^2 + \frac{1}{4}. \end{aligned}

• Pour le terme polynomial :

  \begin{aligned} \int_{1}^{1+x} \frac{1}{2}(u - u^3) \, \mathrm{d}u &= \frac{1}{2} \left[ \frac{u^2}{2} - \frac{u^4}{4} \right]_{1}^{1+x} \\ &= \frac{1}{4}(1+x)^2 - \frac{1}{8}(1+x)^4 - \frac{1}{8}. \end{aligned}

En sommant ces deux contributions :

En réinjectant dans l'expression de Q :

Exprimons Q sous la forme factorisée demandée :

Comme x = h_0/a, on a \frac{a^3}{h_0^3} = \frac{1}{x^3}, ce qui conduit directement à :

avec

L'épaisseur du film de liquide dans l'état modulé est donnée par :

Ses dérivées spatiales successives par rapport à z s'écrivent :

En injectant ces expressions dans la formule (5) régissant le gradient de pression capillaire :

il vient :

D'après la question Q21, le débit volumique associé à un gradient de pression axial uniforme \beta = \frac{\partial P}{\partial z} s'écrit :

Sous l'hypothèse de l'énoncé selon laquelle cette relation reste valable localement et instantanément en remplaçant \beta par \frac{\partial P}{\partial z}(z,t), le débit volumique local s'exprime par :

soit, en remplaçant \frac{\partial P}{\partial z}(z,t) par l'expression obtenue :

Considérons le système fermé constitué du fluide situé entre les sections droites d'abscisses z et z + \mathrm{d}z à l'instant t.

La section droite du manchon liquide au point d'abscisse z vaut :

Le volume élémentaire de cette tranche de fluide s'écrit donc :

Pendant la durée \mathrm{d}t, la variation de volume \mathrm{d}(\mathrm{d}V) de cette tranche résulte de la différence entre le volume entrant en z et le volume sortant en z + \mathrm{d}z (le fil central en r=a étant imperméable et indéformable) :

Par conséquent, le taux de variation volumique s'écrit :

Par ailleurs, en dérivant directement l'expression géométrique du volume par rapport au temps, sachant que le rayon a du fil de soie est constant :

En égalant les deux expressions obtenues pour \frac{\partial (\mathrm{d}V)}{\partial t}, on simplifie par \mathrm{d}z et on obtient la relation de conservation locale :

D'après la question Q22, le débit volumique s'écrit :

Dans la limite de film mince h_0 \ll a, soit x \to 0, l'énoncé indique que \displaystyle \lim_{x\to 0}\xi(x) = -1. Le débit devient alors :

En dérivant par rapport à z, le membre de gauche de la relation de conservation (équation 6 de la question Q23) vaut :

Pour le membre de droite, le rayon local s'écrit :

D'après la relation (1) établie en Q16, h_{\mathrm{m}}(t) = h_0 - \dfrac{\epsilon^2(t)}{4R_0}, de sorte que \dfrac{\mathrm{d}h_{\mathrm{m}}}{\mathrm{d}t} = \mathcal{O}\left(\epsilon \dfrac{\mathrm{d}\epsilon}{\mathrm{d}t}\right) est d'ordre 2 en \epsilon. Au premier ordre en \epsilon, on a donc :

Puisque \dfrac{\partial R}{\partial t} est déjà d'ordre 1 en \epsilon, on prend R(z,t) \simeq a + h_0 \simeq a dans le facteur multiplicatif (au premier ordre en \epsilon et à l'ordre 0 en h_0/a). Le membre de droite s'écrit ainsi :

L'égalité -\dfrac{\partial Q}{\partial z} = 2\pi R \dfrac{\partial R}{\partial t} donne donc, en simplifiant par 2\pi a\cos(kz) :

soit l'équation différentielle demandée :

Étude de la stabilité des modes :

La solution de cette équation différentielle est :

• Modes de courtes longueurs d'onde (ka > 1, soit \lambda < 2\pi a) : on a \sigma > 0. La perturbation décroît exponentiellement vers zéro au cours du temps : le film cylindrique est stable vis-à-vis de ces perturbations.
• Modes de grandes longueurs d'onde (ka < 1, soit \lambda > 2\pi a) : on a \sigma < 0. Le taux de croissance -\sigma > 0 entraîne une amplification exponentielle de la perturbation : le film est instable vis-à-vis de ces fluctuations, ce qui conduit à son éclatement en gouttelettes.
• Mode marginal (ka = 1, soit \lambda = 2\pi a) : \sigma = 0, l'amplitude reste constante au premier ordre.

Couleur de la radiation :

La longueur d'onde \lambda_0 = 633\text{ nm} appartient au domaine visible (400\text{ nm} \le \lambda \le 750\text{ nm}) et correspond à une radiation rouge (émission caractéristique du laser Hélium-Néon).

Estimation du rayon a du fil :

En vertu du théorème de Babinet, la figure de diffraction à l'infini (ou à grande distance D \gg d) par un fil opaque rectiligne de diamètre d = 2a présente la même intensité que celle diffractée par une fente de même largeur d.

L'écart angulaire entre le centre de la figure et le premier minimum de diffraction est :

Dans le cadre de l'approximation des petits angles, la largeur b de la tache centrale sur un écran placé à la distance D vaut :

On en déduit l'expression du rayon a du fil :

Application numérique avec les données : \lambda_0 = 633\text{ nm} = 6{,}33 \times 10^{-7}\text{ m}, D = 2\text{ m} et b = 9\text{ cm} = 9 \times 10^{-2}\text{ m} :

En ne retenant qu'un seul chiffre significatif :

(le diamètre correspondant vaut d = 2a \sim 30\ \mu\text{m}, en plein accord avec la plage de 1 à 70\ \mu\text{m} indiquée dans le préambule).

Taille minimale des gouttes :

D'après le critère de stabilité établi à la question Q18 (et confirmé à la question Q24 dans la limite h_0 \ll a), le film liquide ne devient instable que pour des perturbations de longueur d'onde supérieure à la longueur d'onde de coupure :

La longueur d'onde minimale susceptible de déstabiliser le film cylindrique et de conduire à la formation de gouttes disjointes est donc :

Chaque goutte issue de la fragmentation rassemble le volume de fluide contenu initialement sur une portion de longueur d'onde \lambda. La dimension longitudinale minimale (et l'espacement minimal entre gouttes) est par conséquent fixée par \lambda_{\min} :

En ordre de grandeur :