Corrigé détaillé Mines Physique 1 PC 2025 (page 2/2 : Parties II et III)

La paroi étant fixe (z_{\mathrm{p}} = 0), sa vitesse est nulle.

Lors d'une collision avec la paroi :

• Une proportion 1 - \sigma de molécules subit un choc spéculaire et conserve sa vitesse tangentielle incidente, soit u_i ;
• Une proportion \sigma subit un choc diffusif et est réémise à la vitesse tangentielle de la paroi, soit 0.

La vitesse moyenne après réflexion s'écrit donc :

Dans la couche de fluide d'épaisseur \ell adjacente à la paroi :

• Une fraction 1/2 des molécules n'entre pas en collision avec la paroi et conserve la vitesse d'entraînement u_i ;
• L'autre fraction 1/2 heurte la paroi et possède en moyenne la vitesse u_r.

La vitesse de glissement effective u_g est la moyenne des vitesses de l'ensemble de ces molécules :

La vitesse macroscopique tangentielle du fluide à la paroi fixe (z=0) est la vitesse de glissement u(0) = u_g.

Au premier ordre au voisinage de la paroi, le développement de Taylor de la vitesse s'écrit :

En évaluant cette vitesse à l'altitude z = \ell, on obtient pour la vitesse incidente u_i = u(\ell) :

D'après le résultat de la question Q12, la vitesse moyenne de glissement dans la couche s'exprime en fonction de u_i par :

En substituant l'expression de u_i obtenue ci-dessus :

En regroupant les termes en u_g :

La condition aux limites de Maxwell-Navier (relation (2) de l'énoncé) appliquée en z_{\mathrm{p}} = 0 avec v_t = u_g impose :

Par identification directe entre ces deux relations, on en déduit l'expression de la longueur de glissement b :

Le champ de vitesse imposé par la géométrie du problème est unidirectionnel et stationnaire :

Vérifions tout d'abord la condition d'incompressibilité :

Cette condition est bien respectée quelle que soit la fonction u(z).

Calculons les différents termes de l'équation de Navier-Stokes stationnaire :

• Le terme temporel est nul en régime permanent : \dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t} = \vec{0}.

• Le terme convectif (non linéaire) vaut :

  (\vec{v}\cdot\vec{\operatorname{grad}})\vec{v} = \left(u(z)\frac{\partial}{\partial x}\right)\big(u(z)\,\vec{e}_x\big) = u(z)\frac{\partial u}{\partial x}\,\vec{e}_x = \vec{0}

  L'accélération particulaire est donc strictement nulle.

• Le laplacien vectoriel s'écrit simplement en coordonnées cartésiennes :

  \vec{\Delta}\vec{v} = \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)\vec{e}_x = \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}z^2}\,\vec{e}_x

L'équation de Navier-Stokes (1) se réduit ainsi à :

Projetons cette relation vectorielle selon les trois directions de l'espace :

La pression ne dépend donc que de la variable x, et l'énoncé définit le gradient de pression constant par G = -\dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}. On en déduit immédiatement :

D'après la question Q14, le profil de vitesse vérifie l'équation différentielle :

Par intégration successive par rapport à z, il vient :

où C_1 et C_2 sont deux constantes réelles déterminées par les conditions de non-glissement aux parois fixes :

La différence entre ces deux conditions donne C_1 h = 0, soit C_1 = 0 (le profil de vitesse est pair par symétrie du problème). La condition en z = h/2 impose alors :

Le champ de vitesse dans le canal s'écrit donc :

Le débit volumique Q_{ng} traversant une section droite perpendiculaire à (Ox) de largeur w selon (Oy) et de hauteur h selon (Oz) vaut :

Par parité de la fonction u_{ng}(z) :

On obtient finalement l'expression du débit volumique :

D'après la question Q14, le profil de vitesse vérifie :

La solution générale s'écrit :

Par symétrie du problème par rapport au plan z = 0, la vitesse est une fonction paire de z, ce qui impose C_1 = 0.

Exprimons la condition aux limites de Maxwell-Navier à chaque paroi :

• À la paroi inférieure (z = -h/2), le vecteur unitaire orthogonal dirigé vers l'intérieur du fluide est +\vec{e}_z. La condition (2) s'écrit donc :

  u_g\left(-\frac{h}{2}\right) = \left. b\,\frac{\mathrm{d}u_g}{\mathrm{d}z}\right|_{z=-h/2} = b\left(-\frac{G}{\eta}\left(-\frac{h}{2}\right)\right) = \frac{Ghb}{2\eta}

• À la paroi supérieure (z = +h/2), la normale dirigée vers l'intérieur du fluide étant -\vec{e}_z, la condition s'écrit de même :

  u_g\left(\frac{h}{2}\right) = -\left. b\,\frac{\mathrm{d}u_g}{\mathrm{d}z}\right|_{z=h/2} = -b\left(-\frac{Gh}{2\eta}\right) = \frac{Ghb}{2\eta}

Les deux parois imposent la même vitesse de glissement positive u_{\text{gliss}} = \frac{Ghb}{2\eta}. On en déduit la constante d'intégration C_2 :

Le champ de vitesse dans le fluide s'écrit ainsi :

soit encore :

Calculons maintenant le débit volumique Q_g à travers la section droite du canal de largeur w selon (Oy) :

En rappelant l'expression de Q_{ng} = \frac{Gw h^3}{12\eta} obtenue à la question Q15, on remarque que :

On en déduit l'expression du débit volumique :

Commentaire :

• À l'échelle macroscopique (h \gg b, soit \xi \to 0), le glissement est négligeable et l'on retrouve le débit classique de Poiseuille (Q_g \simeq Q_{ng}).
• En régime confiné (microfluidique ou nanofluidique, où h devient comparable à b), le paramètre \xi n'est plus négligeable : le glissement aux parois réduit la traînée visqueuse et amplifie significativement le débit pour un même gradient de pression imposé (ou diminue la résistance hydraulique du canal).

L'énergie cinétique microscopique d'agitation thermique d'une particule de masse m associée au vecteur fluctuation \overrightarrow{\delta v} s'écrit :

Puisque le mouvement de translation dans l'espace possède trois degrés de liberté indépendants, le théorème d'équipartition de l'énergie (ou la définition de la température cinétique) impose :

La masse d'une molécule d'air est reliée à sa masse molaire M_{\mathrm{a}} par m = \dfrac{M_{\mathrm{a}}}{\mathcal{N}_{\mathrm{A}}}. On en déduit l'expression de la vitesse quadratique moyenne :

Application numérique : Dans les conditions usuelles de température (T \simeq 300\text{ K}, soit environ 27\text{ }^\circ\text{C} ou 293\text{ K} à 20\text{ }^\circ\text{C}), avec :

• k_{\mathrm{B}} = 1,4 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}
• \mathcal{N}_{\mathrm{A}} = 6,0 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}
• M_{\mathrm{a}} = 29\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 29 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}

Le produit molaire vaut k_{\mathrm{B}}\mathcal{N}_{\mathrm{A}} = 1,4 \times 6,0 = 8,4\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}. Il vient :

Avec la consigne d'arrondi à un seul chiffre significatif :

Pendant la durée \Delta t = \tau = \ell / \delta v, les particules se déplaçant à la vitesse d'agitation \delta v parcourent la distance \delta v \tau = \ell.

La surface S séparant les deux tranches se situe à la cote z :

• Particules quittant la tranche A vers la tranche B :
  Ce sont les molécules de la tranche A (comprise entre z-\ell et z) possédant la fluctuation \overrightarrow{\delta v} = +\delta v\,\vec{e}_z. La direction étant équirépartie sur les 6 directions cartésiennes, la proportion de ces particules est de 1/6. Comme toute la tranche A a une épaisseur \ell, toutes ces molécules traversent S vers le haut. Leur nombre vaut :

  N_{\mathrm{A}\to\mathrm{B}} = \frac{1}{6}\,n\,S\,\ell

  Chacune d'elles emporte la quantité de mouvement :

  \vec{p}_{\mathrm{sortant}} = m\left(\vec{u}_{\mathrm{A}} + \delta v\,\vec{e}_z\right) = m\left(u(z-\ell)\,\vec{e}_x + \delta v\,\vec{e}_z\right)

• Particules entrant dans la tranche A depuis la tranche B :
  Ce sont les molécules de la tranche B (comprise entre z et z+\ell) possédant la fluctuation \overrightarrow{\delta v} = -\delta v\,\vec{e}_z. Pour la même raison géométrique, leur nombre est :

  N_{\mathrm{B}\to\mathrm{A}} = \frac{1}{6}\,n\,S\,\ell

  Chacune d'elles apporte dans la tranche A la quantité de mouvement :

  \vec{p}_{\mathrm{entrant}} = m\left(\vec{u}_{\mathrm{B}} - \delta v\,\vec{e}_z\right) = m\left(u(z+\ell)\,\vec{e}_x - \delta v\,\vec{e}_z\right)

Le bilan de quantité de mouvement pour la tranche A à travers la surface S pendant \Delta t = \tau s'écrit :

D'où :

En utilisant la relation \ell = \delta v\,\tau, cette variation peut également s'écrire :

Pendant la durée \Delta t = \tau, le nombre de particules traversant la surface S est N = \frac{1}{6}nS\ell. Pour la tranche B :

• les particules entrantes proviennent de la couche A avec la vitesse \vec{v}_{\mathrm{entrant}} = u(z-\ell)\vec{e}_x + \delta v\,\vec{e}_z ;
• les particules sortantes rejoignent la couche A avec la vitesse \vec{v}_{\mathrm{sortant}} = u(z+\ell)\vec{e}_x - \delta v\,\vec{e}_z.

La variation de quantité de mouvement de la tranche B s'écrit donc :

soit immédiatement :

Ce résultat traduit la conservation de la quantité de mouvement totale du système isolé \{\text{tranche A} \cup \text{tranche B}\} vis-à-vis des transferts à travers la surface S.

Le transfert net de quantité de mouvement par unité de temps s'identifie à la force moyenne exercée à travers la surface de contact S. Avec \tau = \ell/\delta v :

D'après le principe des actions réciproques (ou par \vec{F}_{\mathrm{A}\to\mathrm{B}} = \frac{\mathrm{d}\vec{P}_{\mathrm{B}}}{\tau}) :

Interprétation physique des deux termes :

• Terme normal (selon \vec{e}_z) : La force normale exercée par B sur la face supérieure de A (orientée vers l'extérieur par +\vec{e}_z) est dirigée vers le bas (-\vec{e}_z). C'est une force de compression surfacique isotrope qui correspond à la pression cinétique du gaz :

  P = \frac{\|\vec{F}_{\mathrm{B}\to\mathrm{A},\perp}\|}{S} = \frac{1}{3}nm\delta v^2

  On retrouve ainsi la formule classique de la théorie cinétique des gaz parfaits (P = \frac{1}{3}n m \langle v^2 \rangle).

• Terme tangentiel (selon \vec{e}_x) : Pour un gradient de cisaillement positif (\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}z} > 0), la couche supérieure B se déplace plus vite que la couche A (u(z+\ell) > u(z-\ell)). Le terme selon \vec{e}_x dans \vec{F}_{\mathrm{B}\to\mathrm{A}} est donc positif : la couche la plus rapide accélère la couche la plus lente en l'entraînant vers l'avant. Réciproquement, la couche A freine la couche B (\vec{F}_{\mathrm{A}\to\mathrm{B},\parallel} selon -\vec{e}_x). Ce terme correspond à la force de cisaillement visqueux (ou force de frottement visqueux).

À l'ordre 1 en \ell, les vitesses moyennes des deux couches s'écrivent :

d'où :

D'après le résultat de la question 19, la composante tangentielle de la force exercée par la tranche B sur la tranche A à travers la surface de contact S s'exprime ainsi :

Par définition de la viscosité dynamique \eta d'un fluide newtonien (loi de Newton du cisaillement), la contrainte tangentielle exercée par la couche supérieure sur la couche inférieure à travers une surface S de normale +\vec{e}_z est :

Par identification avec l'expression microscopique, on obtient :

où \rho = n m est la masse volumique du gaz.

Application numérique :

Dans les conditions usuelles de température et de pression (T \simeq 300\text{ K}, P \simeq 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa}), la masse volumique de l'air assimilé à un gaz parfait vaut :

Avec \ell \simeq 60\text{ nm} = 6 \times 10^{-8}\text{ m} et \delta v \simeq 500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Avec un seul chiffre significatif :

La valeur tabulée de la viscosité de l'air dans ces conditions est de l'ordre de 1{,}8 \times 10^{-5}\text{ Pa}\cdot\text{s}. L'ordre de grandeur de 10^{-5}\text{ Pa}\cdot\text{s} obtenu par ce modèle cinétique simplifié est donc tout à fait satisfaisant et correct.

Le libre parcours moyen \ell des molécules modélisées par des sphères dures de diamètre d (de section efficace de collision \sigma = \pi d^2) est relié à la densité particulaire n par la relation classique :

D'après la question Q20, la viscosité dynamique s'écrit :

En remplaçant le produit n \ell par son expression issue de la relation précédente, il vient :

Pour un gaz parfait à la température T, la pression vaut P = n k_{\mathrm{B}} T. La vitesse quadratique moyenne \delta v = \sqrt{\frac{3 k_{\mathrm{B}} T}{m}} (question Q17) ne dépend que de la température T et des caractéristiques de la molécule (m). La masse m et le diamètre d étant constants :

Commentaire : Ce résultat, prédit théoriquement par Maxwell en 1860 puis vérifié expérimentalement, est a priori contre-intuitif. Lorsque la pression augmente à température fixée, la densité de porteurs de quantité de mouvement augmente (n \propto P), ce qui tend à accroître les transferts. En contrepartie, les molécules subissent des collisions plus fréquentes, de sorte que le libre parcours moyen diminue dans la même proportion (\ell \propto 1/P), réduisant l'écart de vitesse macroscopique transporté à chaque choc. Ces deux effets se compensent exactement, rendant le produit n\ell, et donc \eta, indépendant de la pression (dans le domaine de validité du gaz dilué, d \ll \ell \ll L).

Dépendance en température : Puisque le produit n\ell est indépendant de la température dans le modèle des sphères dures et que \delta v \propto \sqrt{T} d'après la question Q17, on en déduit que :

D'après la question Q21, le modèle microscopique prédit que la viscosité dynamique d'un gaz parfait de sphères dures varie selon :

En prenant le logarithme népérien, on obtient une relation affine :

Le modèle théorique prévoit donc une droite de pente théorique :

Déterminons graphiquement la pente expérimentale p_{\text{exp}} à l'aide de deux points représentatifs de la figure 5 :

• pour X_1 = \ln(T_1/280\text{ K}) = 1{,}20, on lit Y_1 = \ln(\eta_1 / 10^{-6}\text{ Pa}\cdot\text{s}) \simeq 3{,}71 ;
• pour X_2 = \ln(T_2/280\text{ K}) = 1{,}60, on lit Y_2 = \ln(\eta_2 / 10^{-6}\text{ Pa}\cdot\text{s}) \simeq 3{,}95.

La pente moyenne expérimentale vaut ainsi :

Conclusion quant à la conformité du modèle :

• Sur le plan qualitatif, le modèle est parfaitement conforme : la viscosité dynamique croît avec la température, propriété contre-intuitive propre aux gaz (pour un liquide, la viscosité diminue avec la température). L'ordre de grandeur de l'exposant (p_{\text{exp}} \simeq 0{,}6 à 0{,}7) est très proche de la prédiction théorique (0{,}5).
• Sur le plan quantitatif strict, le modèle n'est pas tout à fait conforme : la pente mesurée (\simeq 0{,}6) est significativement supérieure à 0{,}50, et les points expérimentaux présentent une légère concavité vers le haut plutôt qu'un alignement rectiligne rigoureux.