Corrigé détaillé Centrale Physique 1 PC 2021 (page 2/3 : Partie III (questions 16 à 26))

Dans le conducteur ohmique, homogène et isotrope de conductivité statique \sigma_0 \in \mathbb{R}, la loi d'Ohm locale s'écrit :

Le conducteur étant homogène et localement neutre, la densité volumique de charge en volume est nulle : \rho = 0. Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS), le courant de déplacement \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} est négligeable devant le courant de conduction \vec{\jmath}. Les quatre équations de Maxwell dans le conducteur s'écrivent ainsi :

Pour obtenir l'équation vérifiée par \vec{E}, prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

D'une part, d'après l'identité vectorielle rappelée dans l'énoncé et la nullité de la divergence de \vec{E} :

D'autre part, en injectant l'équation de Maxwell-Ampère dans l'ARQS :

En égalant les deux expressions, on obtient l'équation de diffusion du champ électrique :

Le champ électrique recherché sous la forme d'une onde plane progressive monochromatique s'écrit :

Les dérivées spatio-temporelles appliquées à cette onde donnent :

En injectant ces expressions dans l'équation de diffusion obtenue à la question Q16, \vec{\Delta}\vec{E} = \mu_0 \sigma_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}, on obtient :

On en déduit la relation de dispersion dans le conducteur :

Pour exprimer \underline{k}, remarquons que :

En introduisant l'épaisseur de peau \delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0 \sigma_0 \omega}}, on a \mu_0 \sigma_0 \omega = \frac{2}{\delta^2}, d'où :

Il existe deux racines opposées : \underline{k} = \pm \frac{1-\mathrm{i}}{\delta}. Le facteur de dépendance spatiale s'écrit alors :

Le milieu conducteur occupant le demi-espace z > 0, le champ électrique doit rester borné lorsque z \to +\infty. La solution physique implique nécessairement une atténuation spatiale en \mathrm{e}^{-z/\delta}, ce qui impose de choisir le signe supérieur :

D'après la question Q17, le vecteur d'onde complexe associé à la propagation dans le demi-espace z > 0 s'écrit :

En injectant cette expression dans la forme complexe du champ électrique \underline{\vec{E}}(z, t) = E_0 \exp(\mathrm{i}(\omega t - \underline{k}z))\,\vec{e}_x (en choisissant E_0 réel positif sans perte de généralité), on obtient :

En prenant la partie réelle de cette expression, le champ électrique réel s'écrit :

soit pour la composante scalaire :

À un instant t fixé (choisi arbitrairement à t=0 modulo 2\pi/\omega pour simplifier le tracé), le champ est une fonction sinusoïdale de pseudo-longueur d'onde spatiale \lambda = 2\pi\delta, modulée par une enveloppe exponentielle décroissante \pm E_0 \exp(-z/\delta) :

Interprétation physique de l'effet de peau :

• L'effet de peau désigne le phénomène d'extinction rapide du champ électromagnétique (et par suite des courants induits de Foucault) lors de sa pénétration dans un milieu conducteur. L'onde ne se propage pas librement mais est fortement amortie par conversion d'énergie sous forme de chaleur (pertes Joule).
• L'épaisseur de peau \delta représente la distance caractéristique de pénétration au bout de laquelle l'amplitude du champ électrique est divisée par \mathrm{e} \approx 2{,}72 (soit une atténuation de près de 63\,\%). À une profondeur de 3\delta à 5\delta, le champ est quasiment nul (inférieur à 1\,\% de sa valeur de surface) : le champ et les courants sont donc confinés dans une fine couche superficielle d'épaisseur \delta.

La densité volumique instantanée de puissance dissipée par effet Joule s'écrit :

En utilisant l'expression du champ électrique réel obtenue à la question Q18, E(z,t) = E_0\,\mathrm{e}^{-z/\delta}\cos(\omega t - z/\delta), et en prenant la moyenne temporelle (sachant que \langle \cos^2(\omega t - z/\delta) \rangle = \frac{1}{2}) :

La puissance moyenne dissipée dans le demi-cylindre de section droite S et d'extension infinie selon (Oz) s'obtient par intégration sur le volume, avec l'élément de volume \mathrm{d}\tau = S\,\mathrm{d}z :

On obtient ainsi :

puisque \sigma_0 \delta = \frac{2}{\mu_0 \omega \delta}.

À pulsation \omega fixée, lorsque la conductivité tend vers l'infini (\sigma_0 \to +\infty) :

Dans cette limite, le milieu se comporte comme un conducteur parfait :

• L'onde ne pénètre plus dans le conducteur : les champs électrique et magnétique sont rigoureusement nuls au sein du conducteur pour tout z > 0,

  \vec{E} = \vec{0} \quad \text{et} \quad \vec{B} = \vec{0} \quad (\text{pour } z > 0).
• Il n'y a donc ni charges ni courants volumiques à l'intérieur du métal (\rho_v = 0 et \vec{\jmath}_v = \vec{0} pour z > 0).
• Les discontinuités des champs à l'interface z = 0 imposent l'apparition exclusive d'une densité surfacique de charge \sigma_s et d'une densité surfacique de courant \vec{\jmath}_s localisées sur la surface du conducteur.

D'après l'énoncé, le fluide possède un champ de vitesse unidirectionnel orienté selon \vec{e}_x et ne dépendant spatialement que de la cote z :

Ses composantes cartésiennes sont ainsi v_x = v(z,t) et v_y = v_z = 0.

L'opérateur convectif scalaire s'exprime donc par :

En appliquant cet opérateur au vecteur vitesse \vec{v}(z, t), on obtient :

Le champ de vitesse étant indépendant de la variable spatiale x, sa dérivée partielle par rapport à x est identiquement nulle :

On en déduit que le terme convectif non linéaire est rigoureusement nul :

Dans le demi-espace z > 0, le fluide incompressible est soumis à l'équation de Navier-Stokes. En l'absence de forces volumiques à distance (\vec{f}_v = \vec{0}) et compte tenu de l'annulation du terme convectif (\vec{v}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v} = \vec{0} (question Q20), l'équation de Navier-Stokes se simplifie sous la forme :

Exprimons chacun des termes avec le champ de vitesse \vec{v}(z,t) = v(z,t)\,\vec{e}_x et la pression P = P(z) :

• Accélération locale :

  \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = \frac{\partial v}{\partial t}(z,t)\,\vec{e}_x

• Gradient de pression :

  \overrightarrow{\operatorname{grad}} P = \frac{\partial P}{\partial x}\vec{e}_x + \frac{\partial P}{\partial y}\vec{e}_y + \frac{\partial P}{\partial z}\vec{e}_z = \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}(z)\,\vec{e}_z

• Terme visqueux :

  \vec{\Delta}\vec{v} = \Delta(v)\,\vec{e}_x = \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}(z,t)\,\vec{e}_x

En projetant l'équation vectorielle selon les trois directions de l'espace :

• Suivant \vec{e}_y : 0 = 0.

• Suivant \vec{e}_z :

  0 = -\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} \implies \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} = 0

  La pression ne dépend d'aucune coordonnée spatiale : elle est donc rigoureusement constante dans tout le fluide.

  \boxed{P(z,t) = P_0 = \text{constante}}

• Suivant \vec{e}_x :

  \rho \frac{\partial v}{\partial t} = \eta \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}

  En divisant par la masse volumique \rho et en introduisant la viscosité cinématique \nu_c = \frac{\eta}{\rho}, on obtient directement :

  \boxed{\frac{\partial v}{\partial t} = \nu_c \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}}

D'après la question Q21, la composante de la vitesse suivant l'axe (Ox) vérifie l'équation de diffusion :

En adoptant la notation complexe \underline{v}(z,t) = \underline{f}(z)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, les dérivées partielles s'écrivent :

En injectant ces expressions dans l'équation de diffusion et après simplification par le terme temporel non nul \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, on obtient l'équation différentielle linéaire du second ordre satisfaite par \underline{f}(z) :

L'équation caractéristique associée s'écrit :

Or, en introduisant la quantité \delta = \sqrt{\dfrac{2\nu_c}{\omega}}, on remarque que :

En remarquant que (1+\mathrm{i})^2 = 1 + 2\mathrm{i} - 1 = 2\mathrm{i}, les deux racines de l'équation caractéristique sont :

La forme générale de la fonction \underline{f}(z) est donc une combinaison linéaire des deux modes propres associés :

où \underline{A} et \underline{B} sont deux constantes d'intégration complexes, à déterminer par les conditions aux limites.

Le fluide occupant le demi-espace z > 0, déterminons les deux constantes d'intégration \underline{A} et \underline{B} issues de l'expression de \underline{f}(z) établie à la question précédente à l'aide des conditions aux limites :

1. Comportement à l'infini (z \to +\infty) : la vitesse du fluide doit rester bornée lorsque l'on s'éloigne indéfiniment de la plaque oscillante. Le terme en \exp\left(+\frac{z}{\delta}\right) divergeant exponentiellement pour z \to +\infty, on doit nécessairement poser :

   \underline{B} = 0

2. Condition d'adhérence à la paroi (z = 0) : la viscosité du fluide impose la continuité de la vitesse à l'interface fluide-solide, soit :

   \vec{v}(0, t) = \vec{v}_{\text{plaque}}(t) = V_0 \cos(\omega t)\,\vec{e}_x

   En écriture complexe, cette condition se traduit par :

   \underline{v}(0, t) = \underline{f}(0)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} = V_0\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \implies \underline{A} = V_0

Le champ de vitesse complexe s'écrit donc :

En prenant la partie réelle, on obtient le champ de vitesse réel dans le demi-espace z \ge 0 :

L'équation satisfaite par le champ électrique dans le conducteur ohmique s'écrit (d'après la question Q16) :

avec une solution sous forme d'onde atténuée (question Q18) :

En mécanique des fluides, l'équation différentielle satisfaite par la composante de vitesse v(z,t) s'écrit (d'après la question Q21) :

et sa solution est (question Q23) :

Par identification terme à terme :

• Le champ de vitesse \vec{v} = v(z,t)\vec{e}_x est l'analogue direct du champ électrique \vec{E} = E(z,t)\vec{e}_x. Le coefficient de diffusion de la quantité de mouvement est la viscosité cinématique \nu_c = \eta/\rho, analogue au coefficient de diffusion magnétique D_m = 1/(\mu_0 \sigma_0).
• La profondeur de peau \delta est l'analogue de l'épaisseur de la couche limite oscillante (ou couche de Stokes). Elle varie également en 1/\sqrt{\omega}. Physiquement, elle mesure la distance sur laquelle le mouvement oscillatoire imposé par la plaque pénètre dans le fluide par diffusion visqueuse. Au-delà (z \gg \delta), le fluide reste immobile.

• Cas limite \delta \to 0 :

  • En électromagnétisme, la limite \delta \to 0 (pour \omega fixée) correspond à un conducteur parfait (\sigma_0 \to +\infty). Le champ électrique est strictement nul à l'intérieur du conducteur (z > 0) et les courants sont confinés sur la surface z=0 sous forme de nappe surfacique de courant \vec{j}_s.
  • En mécanique des fluides, la limite \delta \to 0 correspond soit à un fluide non visqueux (\nu_c \to 0 ou \eta \to 0, modèle du fluide parfait), soit au régime des hautes fréquences (\omega \to +\infty). Dès lors, l'épaisseur de la couche limite s'annule : le fluide reste au repos pour tout z > 0 (v = 0). La condition d'adhérence à la paroi n'est plus satisfaite au sens continu : il y a glissement du fluide à la surface de la plaque (z=0), ce qui correspond à une discontinuité de la vitesse tangentielle et donc à une nappe de tourbillon surfacique à l'interface, analogue direct de la nappe surfacique de courant.

Le tableau de la figure C est ainsi complété :

Dans la situation étudiée à la question Q21, en l'absence de gradient de pression et de terme convectif, l'équation de Navier-Stokes se réduit à :

où \nu_c = \frac{\eta}{\rho} est la viscosité cinématique.

On justifie la qualification de « terme diffusif » pour \eta\vec{\Delta}(\vec{v}) par plusieurs aspects complémentaires :

• Analogie formelle avec l'équation de diffusion : L'équation obtenue est formellement identique à l'équation de la chaleur de Fourier ou à l'équation de Fick, de la forme standard :

  \frac{\partial \psi}{\partial t} = D \Delta \psi

  Le coefficient \nu_c = \frac{\eta}{\rho} joue le rôle d'un coefficient de diffusion D, homogène à une diffusivité :

  [\nu_c] = \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}

• Sens physique (transport de quantité de mouvement) : En multipliant par \rho, l'équation traduit l'évolution temporelle de la densité volumique de quantité de mouvement \vec{p}_v = \rho \vec{v} :

  \frac{\partial (\rho\vec{v})}{\partial t} = \eta \vec{\Delta}\vec{v}

  Les frottements visqueux microscopiques entre couches fluides adjacentes assurent un transfert de quantité de mouvement des zones de grande vitesse vers les zones de plus faible vitesse. Le terme \eta\vec{\Delta}(\vec{v}) s'interprète comme l'opposé de la divergence d'un flux de diffusion de quantité de mouvement, selon une loi analogue à celle de Fourier ou de Fick.

• Caractère irréversible et dissipatif : Ce terme tend à homogénéiser le profil de vitesse, atténue les gradients spatiaux au cours du temps et dissipe l'énergie cinétique macroscopique en énergie thermique par frottement visqueux.

Le champ de vitesse dans le fluide est unidirectionnel et ne dépend que de la cote z : \vec{v}(z, t) = v(z, t)\,\vec{e}_x.

D'après le formulaire pour le rotationnel en coordonnées cartésiennes :

Sachant que v_x = v(z,t) et v_y = v_z = 0, il ne subsiste que la composante selon \vec{e}_y :

D'après la question Q23, la vitesse réelle s'écrit :

En dérivant par rapport à z :

On obtient ainsi l'expression du champ de vorticité :

Comportement en dehors de la couche limite (z \gg \delta) : En raison du facteur d'amortissement exponentiel \exp(-z/\delta), pour z \gg \delta, ce facteur tend très rapidement vers zéro.

Il en résulte que :

En dehors de la couche limite d'épaisseur caractéristique \delta, le fluide est irrotationnel : la vorticité est strictement confinée au sein de la couche limite oscillante.