Corrigé détaillé CCINP Physique PC 2021 (page 3/3 : Partie III)

Considérons une coupe verticale passant par l'axe de symétrie et le centre O de la bulle sphérique de rayon R.

• Le sommet de la bulle se trouve à la distance R du centre O.
• La hauteur de la bulle au-dessus du plan de l'ouverture du compte-gouttes valant b, la distance algébrique entre le centre O et le plan de l'ouverture vaut R - b.
• Le bord de l'ouverture du compte-gouttes, de rayon a, est situé sur la surface de la bulle, à une distance R du centre O.

Dans le triangle rectangle formé par le centre O, le centre du cercle d'ouverture du compte-gouttes et un point situé sur le bord de cette ouverture, le théorème de Pythagore s'écrit :

En développant le terme de droite :

Comme b > 0, on en déduit l'expression du rayon de la bulle :

Le manomètre en U contient de l'eau de masse volumique \rho_e.

• La branche reliée au compte-gouttes est au contact de l'air enfermé à l'intérieur de la bulle, à la pression P_{\text{int}}. En négligeant la masse volumique de l'air devant celle de l'eau, la pression au niveau du ménisque de cette branche (noté A sur la figure 5 (a)) est égale à la pression interne :

  P_A = P_{\text{int}}

• L'autre branche est ouverte sur l'air ambiant, à la pression atmosphérique P_{\text{ext}} = P_{\text{atm}}. Au niveau du ménisque libre (noté B), la pression vaut donc :

  P_B = P_{\text{atm}}

D'après la loi fondamentale de la statique des fluides appliquée dans l'eau au repos (en prenant l'axe vertical (Oz) orienté vers le haut) :

Par définition, la surpression dans la bulle est \Delta P = P_{\text{int}} - P_{\text{atm}} = P_A - P_B, d'où la relation :

D'après la loi de Laplace rappelée dans le préambule de la sous-partie III.1, la surpression dans la bulle d'eau savonneuse s'écrit :

En injectant l'expression du rayon de courbure R = \dfrac{a^2+b^2}{2b} obtenue en Q22 et celle de la surpression \Delta P = \rho_e g h issue de la relation fondamentale de la statique des fluides en Q23, il vient :

Application numérique : Avec b = 2{,}0\text{ mm} = 2{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m}, a = \dfrac{b}{2} = 1{,}0\text{ mm} = 1{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m}, h = 9{,}0\text{ mm} = 9{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m}, \rho_e = 1{,}00\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Comparaison et interprétation : On constate que la tension superficielle de l'eau savonneuse \gamma \approx 28\text{ mN}\cdot\text{m}^{-1} est très inférieure à celle de l'eau pure \gamma_e = 73\text{ mN}\cdot\text{m}^{-1} (d'un facteur d'environ 2,6).

Cette baisse s'explique par la nature des molécules de savon, qui sont des espèces tensioactives constituées d'une tête polaire hydrophile et d'une longue queue hydrophobe. Ces molécules s'adsorbent préférentiellement aux interfaces eau/air en orientant leur chaîne hydrophobe vers l'air, ce qui diminue considérablement l'énergie libre de surface et abaisse la tension superficielle, facilitant ainsi l'étalement du film et la stabilisation de la bulle.

Dénomination « franges d'égale épaisseur » :

L'intensité résultant de l'interférence de deux ondes dépend du déphasage entre ces ondes, donc de la différence de marche optique \delta. Dans le cas présent, l'éclairage s'effectuant sous incidence normale et sans déphasage aux réflexions, la différence de marche s'écrit :

où n_{\ell} est l'indice optique du liquide et e(r) l'épaisseur locale de la goutte.

Une frange d'interférence correspond à un lieu de déphasage constant, c'est-à-dire à une différence de marche \delta fixée. L'indice n_{\ell} étant uniforme, une telle ligne d'isovaleur de \delta correspond à une ligne d'épaisseur constante e(r) = \mathrm{cste} du liquide : c'est pourquoi on qualifie ces franges de franges d'égale épaisseur.

Forme circulaire des franges :

La goutte présente une forme de calotte sphérique posée sur un plan horizontal, ce qui lui confère une symétrie de révolution autour de l'axe vertical (O, \vec{u}_z) passant par son centre.

L'épaisseur e(r) ne dépend donc que de la distance radiale r à cet axe. L'ensemble des points vérifiant la condition d'égale épaisseur e(r) = \mathrm{cste} correspond donc à r = \mathrm{cste}, c'est-à-dire à des cercles centrés sur l'axe (O, \vec{u}_z).

Par conséquent, les franges d'interférences observées sont des anneaux circulaires concentriques.

Les franges d'égale épaisseur étant localisées au niveau de la goutte (au voisinage du plan du substrat), il convient de conjuguer optiquement cette zone avec le plan d'observation :

• Sur un écran ou une caméra : on interpose un système optique convergent (lentille convergente ou objectif de microscope) entre la goutte et le récepteur (écran dépoli ou capteur d'une caméra CCD/CMOS), de façon à ce que le plan du substrat et le récepteur soient conjugués par le système optique selon la relation de conjugaison de Descartes :

  \boxed{\text{Plan du substrat et plan du récepteur conjugués par une lentille ou un objectif}}
• À l'œil nu : un observateur peut les voir directement en accommodant sur la surface du substrat (le cristallin jouant le rôle de lentille projetant l'image nette sur la rétine).

En pratique, les dimensions de la goutte étant microscopiques (diamètre de l'ordre de 170\ \mu\text{m}), l'emploi d'un microscope optique muni d'une caméra numérique s'avère indispensable pour obtenir un grandissement suffisant.

On se place dans une coupe méridienne de la goutte passant par l'axe de symétrie (O, \vec{u}_z), rapportée à un repère d'origine le centre O de la sphère. L'axe vertical est orienté par le vecteur unitaire \vec{u}_z dirigé vers le haut, et l'axe radial horizontal est orienté par \vec{u}_r.

1. Cote du point P sur la calotte sphérique Le point P situé à la distance radiale r de l'axe (Oz) appartient au cercle de centre O et de rayon R. Ses coordonnées (r, z_P) vérifient donc :

Comme la goutte est située dans le demi-espace z > 0, la cote de P est :

2. Cote du substrat Considérons un point C situé sur la ligne de contact triple (à la périphérie de la goutte). Par définition, l'angle de contact \theta_E est l'angle entre le plan horizontal du substrat et le plan tangent à la calotte sphérique en C.

Le rayon vecteur \vec{OC} étant normal à la surface sphérique et le vecteur unitaire \vec{u}_z étant normal au substrat, l'angle entre les deux normales (\vec{u}_z, \vec{OC}) est égal à l'angle entre les deux plans, c'est-à-dire \theta_E. La projection de \vec{OC} sur l'axe vertical donne ainsi la cote du point C :

Le substrat étant un plan horizontal perpendiculaire à (Oz), tous ses points ont la même cote z_S = z_C = R \cos\theta_E.

3. Épaisseur locale de la goutte L'épaisseur e(r) de la goutte au point P correspond à la distance verticale entre le point P de la surface libre et le point I correspondant situé sur le substrat (z_I = z_S) :

Sur la ligne de contact triple entre le solide, le liquide et l'air (en r = d/2), l'épaisseur de la goutte est nulle : e(d/2) = 0. En utilisant l'expression issue de la question précédente :

Sachant que 1 - \cos^2\theta_E = \sin^2\theta_E, on obtient la relation géométrique exacte :

(Cette relation se lit également de manière directe dans le triangle rectangle reliant le centre O, le centre du disque de contact et la ligne triple).

À l'ordre 2 en \theta_E, le développement de la fonction sinus s'écrit \sin\theta_E = \theta_E + \mathcal{O}(\theta_E^3), le terme d'ordre 2 étant nul. On en déduit :

Développons à présent l'expression de l'épaisseur locale e(r) :

Puisque r \le d/2 \cong R\theta_E \ll R, on a \frac{r^2}{R^2} = \mathcal{O}(\theta_E^2). On peut donc développer la racine carrée et le cosinus au deuxième ordre en \theta_E :

Il vient ainsi :

En remplaçant R par \frac{d}{2\theta_E}, on obtient :

En factorisant par \frac{1}{4}d\theta_E, on parvient bien à l'expression attendue :

D'après l'énoncé, le faisceau laser arrive sous incidence normale au substrat et l'on néglige la déviation par réfraction sur le dioptre air/liquide. Le rayon réfracté effectue un aller-retour dans la goutte sur une épaisseur géométrique e(r) au sein d'un milieu d'indice de réfraction n_\ell. En admettant qu'aucun déphasage supplémentaire n'est introduit lors des réflexions en P et en I, la différence de marche optique \delta(r) entre les deux rayons réfléchis s'écrit :

Par définition, l'ordre d'interférences est donné par :

En utilisant l'expression approchée de l'épaisseur e(r) établie à la question Q28 :

on en déduit l'expression de l'ordre d'interférences :

D'après la question Q29, l'ordre d'interférences s'écrit :

où p_0 \in \mathbb{N} et 0 \le \varepsilon < 1.

La fonction p(r) est une fonction strictement décroissante de r sur [0, d/2], passant de p(0) = p_0 + \varepsilon au centre à p(d/2) = 0 sur la ligne de contact au bord de la goutte.

Un anneau brillant correspond à un ordre d'interférences entier. En s'éloignant du centre (r croissant), l'ordre décroît continûment depuis p_0 + \varepsilon. Le premier entier rencontré est p_0 (pour m=1), le deuxième est p_0 - 1 (pour m=2), et ainsi de suite :

Au bord de la goutte (r = d/2), l'épaisseur est nulle donc p(d/2) = 0. Les anneaux brillants observables à l'intérieur de la calotte sphérique (0 < r_m < d/2) correspondent à des entiers strictement positifs :

Soit, en remplaçant par l'expression de p(r_m) :

Le nombre maximal d'anneaux brillants observables est donc :

D'après la question Q29, l'ordre d'interférences au rayon r s'écrit :

avec p(0) = p_0 + \varepsilon (question Q30).

Au niveau du m-ième anneau brillant de rayon r_m, l'ordre d'interférences vaut p(r_m) = p_0 - m + 1 (d'après Q30). On a donc :

ce qui conduit à :

Le carré du rayon r_m^2 est donc une fonction affine de l'entier m, de la forme :

où la pente de la droite s'écrit :

Pour exploiter graphiquement les mesures :

• on calcule les valeurs de r_m^2 associées à chaque anneau ;
• on trace la droite d'ajustement r_m^2 = f(m) ;
• on détermine graphiquement (ou par régression linéaire) la pente s de cette droite ;
• on en déduit finalement l'angle de contact :

Calculons les valeurs de r_m^2 à partir des données du tableau 2 :

L'accroissement moyen de r_m^2 par ordre est :

(une régression linéaire sur les 6 points donne de même s \approx 1{,}19\cdot 10^{-9}\text{ m}^2).

En utilisant n_\ell = 1{,}4, d = 174\,\mu\text{m} = 174\cdot 10^{-6}\text{ m}, \lambda_0 = 658\text{ nm} = 658\cdot 10^{-9}\text{ m} et s = 1{,}20\cdot 10^{-9}\text{ m}^2 :

L'équation de Navier-Stokes sous sa forme réduite s'écrit :

Tous les termes ont la dimension d'une force par unité de volume (en \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-3}) :

• Terme convectif d'inertie \rho (\vec{v} \cdot \vec{\operatorname{grad}})\vec{v} :
  Il représente la densité volumique des forces d'inertie convectives (ou le transport convectif de quantité de mouvement par unité de volume). Il traduit l'accélération subie par une particule fluide en raison de l'hétérogénéité spatiale du champ de vitesse lors de son déplacement. Le terme d'accélération locale \rho \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} est absent car l'écoulement est supposé stationnaire.
• Terme de pression -\vec{\operatorname{grad}}(P) :
  Il correspond à la résultante des forces de pression s'exerçant sur le volume élémentaire de fluide par unité de volume. Le signe « moins » indique que cette force surfacique nette est dirigée des zones de plus haute pression vers les zones de plus basse pression.
• Terme de diffusion visqueuse \eta \Delta \vec{v} :
  Il représente la résultante des forces de frottement visqueux internes (contraintes de cisaillement) par unité de volume, associées aux échanges microscopiques de quantité de mouvement entre couches fluides en glissement relatif, pour un fluide newtonien incompressible de viscosité dynamique \eta.

Le nombre de Reynolds Re compare les effets inertiels aux effets visqueux. Il est défini par :

où :

• \rho_e = 1{,}00 \cdot 10^{3}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} est la masse volumique de l'eau ;
• v = 1\text{ mm}\cdot\text{s}^{-1} = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} est la vitesse caractéristique de l'écoulement ;
• h = 10\,\mu\text{m} = 1{,}0 \cdot 10^{-5}\text{ m} est la dimension transversale caractéristique du canal ;
• \eta_e = 1{,}00 \cdot 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s} est la viscosité dynamique de l'eau à 20\,^\circ\text{C}.

Application numérique :

Puisque Re \ll 1, le terme convectif d'inertie \rho(\vec{v}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v} est tout à fait négligeable devant le terme de diffusion visqueuse \eta \Delta\vec{v}. L'équation de Navier-Stokes se simplifie alors en l'équation de Stokes (régime d'écoulement rampant) :

soit encore :

Le champ des vitesses d'un écoulement unidirectionnel stationnaire s'écrit par hypothèse :

Calculons le terme d'accélération convective (\vec{v} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v} en coordonnées cartésiennes :

En appliquant cet opérateur au champ des vitesses :

Or, v_x ne dépend que de la variable d'espace z, si bien que sa dérivée partielle par rapport à x est identiquement nulle :

Le terme d'accélération convective s'annule donc de façon exacte du fait de la cinématique de l'écoulement. L'équation de Navier-Stokes se simplifie ainsi en :

Cette simplification est rigoureusement exacte, quelle que soit la valeur du nombre de Reynolds \mathrm{Re}.

D'après la question Q34, l'équation de Navier-Stokes stationnaire pour un tel écoulement parallèle se simplifie en :

Le champ des vitesses s'écrit \vec{v} = v_x(z)\vec{u}_x. Par définition du laplacien vectoriel en coordonnées cartésiennes donnée dans l'énoncé :

car v_x ne dépend que de la seule variable z, et les composantes v_y et v_z sont identiquement nulles.

En projetant l'équation de Stokes sur les trois axes cartésiens :

• Selon \vec{u}_y : -\dfrac{\partial P}{\partial y} = 0 \implies P est indépendante de y ;
• Selon \vec{u}_z : -\dfrac{\partial P}{\partial z} = 0 \implies P est indépendante de z ;
• Selon \vec{u}_x :

D'après la question Q35, l'équation régissant l'écoulement s'écrit :

Comme le gradient de pression horizontal est imposé constant : \frac{\partial P}{\partial x} = -K avec K > 0, la fonction v_x(z) ne dépend que de z et vérifie :

Une première intégration donne :

Une seconde intégration conduit à la forme générale :

où C_1 et C_2 sont deux constantes d'intégration réelles.

Évaluons la vitesse et son gradient aux deux parois z = \pm h/2 :

Les conditions aux limites proposées par Navier et Maxwell s'écrivent :

Par soustraction de ces deux relations, on obtient :

Or, l'expression générale de v_x(z) donne :

On en déduit :

Ce résultat traduit la parité du profil de vitesse par rapport au plan médian z=0, imposée par la symétrie du canal et des conditions aux limites.

Il vient alors :

En identifiant avec l'expression de v_x(+h/2) :

En réinjectant C_1 et C_2 dans le champ de vitesse :

On regroupe les termes pour faire apparaître le profil sous la forme demandée :

D'après la question Q36, le profil de vitesse s'écrit :

Les plans théoriques où la vitesse s'annulerait vérifient la condition v_x(z_0) = 0, soit :

On en déduit deux positions symétriques par rapport au plan médian :

Dans l'hypothèse où la longueur de glissement est très petite devant la hauteur du canal (L_g \ll h), le terme 4L_g / h \ll 1. On effectue un développement limité à l'ordre 1 :

La valeur absolue de la position z_0 devient donc :

ce qui conduit immédiatement à la relation attendue :

Les parois réelles du canal étant situées en z = \pm h/2, la cote théorique d'annulation |z_0| est strictement supérieure à h/2 : la vitesse du fluide ne s'annule pas à la paroi (il y a glissement), mais s'annulerait si l'on prolongeait fictivement le profil de vitesse parabolique à l'intérieur du solide sur une profondeur égale à L_g.

La grandeur L_g mesure donc la distance d'extrapolation fictive dans la paroi solide au bout de laquelle la vitesse s'annule, ce qui justifie son appellation de longueur de glissement.

Le débit volumique D_v à travers une section droite S normale à \vec{u}_x, de largeur \ell selon l'axe (Oy) et s'étendant de z = -h/2 à z = +h/2, s'écrit :

D'après le résultat de la question Q36, le profil de vitesse est :

Comme la fonction v_x(z) est paire, l'intégrale s'exprime sous la forme :

Calculons séparément chacune des contributions :

En combinant ces deux termes et en multipliant par 2\ell, on obtient :

On peut factoriser cette expression sous la forme usuelle :

D'après l'énoncé, le gradient de pression s'écrit :

où K est une constante positive. La pression P ne dépend que de la coordonnée axiale x. En intégrant cette relation différentielle entre l'entrée du canal (x = 0) et la sortie (x = L), on obtient :

La perte de charge entre l'entrée et la sortie étant définie positive par \Delta P = P(0) - P(L), il vient immédiatement :

On en déduit l'expression de la constante K :

D'après la relation obtenue à la question Q38, le débit volumique s'exprime par :

En injectant l'expression de K = \frac{\Delta P}{L} établie à la question Q39, il vient :

On en déduit immédiatement la relation linéaire entre la perte de charge \Delta P et le débit volumique D_v :

où la résistance hydraulique R_h s'exprime en fonction de la viscosité \eta, de la longueur de glissement L_g et des dimensions du canal (L, h, \ell) selon :

Cette relation présente une analogie directe avec la loi d'Ohm en régime continu, U = R I :

• la perte de charge (différence de pression) \Delta P = P(0) - P(L), force motrice de l'écoulement, joue le rôle de la tension électrique (différence de potentiel) U ;
• le débit volumique D_v (débit de matière liquide) joue le rôle de l'intensité du courant électrique I (débit de charges électriques) ;
• par identification, le facteur de proportionnalité R_h traduit l'opposition du conduit à l'écoulement sous l'effet des frottements visqueux, de même que la résistance électrique R traduit l'opposition d'un conducteur au passage du courant. C'est pourquoi on lui donne le nom de résistance hydraulique.

D'après la question Q40, la résistance hydraulique du canal avec glissement s'écrit :

En l'absence de glissement à la paroi (L_g = 0), cette résistance devient :

Le rapport des résistances hydrauliques s'en déduit directement :

Pour un rapport L_g / h = 0{,}5, l'application numérique donne :

Conclusion : La présence d'un glissement à la paroi divise par 4 la résistance hydraulique du microcanal (diminution de 75\,\%) :

• À perte de charge \Delta P fixée, le débit volumique D_v transporté est multiplié par un facteur 4 ;
• Réciproquement, pour assurer un débit volumique donné, la surpression à fournir par la pompe ainsi que la puissance dissipée par viscosité \mathcal{P}_{\text{diss}} = \Delta P \cdot D_v = R_h D_v^2 sont divisées par 4.

La texturation superhydrophobe des surfaces, inspirée des propriétés de la feuille de lotus, permet donc de s'affranchir considérablement de la forte résistance à l'écoulement inhérente à la miniaturisation des canaux (liée à la dépendance en h^{-3}).