Corrigé détaillé Centrale Physique 1 PC 2021

1. Tracé des rayons dans l'interféromètre de Michelson

Notons d_1 = JM_1 et d_2 = JM_2 les longueurs des deux bras, avec ici d_2 > d_1. La séparatrice (L) est orientée à 45^\circ (droite d'équation y = x).

Le rayon incident arrive en J(0,0) avec un angle d'incidence \theta par rapport à l'axe optique (Jx). Son vecteur unitaire s'écrit :

• Rayon 1 (voie M_1) :

  • Réfléchi en J par (L) (symétrie par rapport à la première bissectrice y = x), son vecteur directeur devient \vec{u}_1 = \sin\theta\,\vec{e}_x + \cos\theta\,\vec{e}_y.
  • Il atteint le miroir horizontal M_1 (y = d_1) au point A_1(d_1\tan\theta,\, d_1).
  • La réflexion sur le miroir plan horizontal M_1 inverse la composante normale \vec{e}_y et conserve la composante tangentielle \vec{e}_x : le vecteur directeur devient \vec{u}'_1 = \sin\theta\,\vec{e}_x - \cos\theta\,\vec{e}_y. Le rayon redescend donc vers les y décroissants tout en continuant d'avancer vers les x croissants.
  • Il rencontre la séparatrice (L) en un point K_1 d'abscisse x_1 > 0, la traverse sans déviation et émerge dans l'espace d'observation selon le vecteur \vec{u}_{1,\text{obs}} = \sin\theta\,\vec{e}_x - \cos\theta\,\vec{e}_y.

• Rayon 2 (voie M_2) :

  • Transmis en J sans déviation, son vecteur directeur reste \vec{u}_2 = \vec{u}_i = \cos\theta\,\vec{e}_x + \sin\theta\,\vec{e}_y.
  • Il atteint le miroir vertical M_2 (x = d_2) au point A_2(d_2,\, d_2\tan\theta).
  • La réflexion sur le miroir plan vertical M_2 inverse la composante selon \vec{e}_x : le vecteur directeur devient \vec{u}'_2 = -\cos\theta\,\vec{e}_x + \sin\theta\,\vec{e}_y.
  • Il rencontre la séparatrice (L) au point K_2 d'abscisse x_2 > 0 où il subit une réflexion qui échange ses composantes cartésiennes : son vecteur directeur émergent est \vec{u}_{2,\text{obs}} = \sin\theta\,\vec{e}_x - \cos\theta\,\vec{e}_y.

Les deux rayons émergent donc rigoureusement parallèles dans l'espace d'observation, inclinés de l'angle \theta par rapport à l'axe vertical (Jy).

2. Représentation de la lame d'air équivalente

Le miroir M_2 est vu depuis l'espace d'observation à travers la réflexion sur (L). Son image par rapport au plan de la séparatrice (L) est un miroir virtuel M'_2 parallèle au miroir M_1, situé à la cote y = d_2.

L'ensemble des deux miroirs \{M_1, M'_2\} forme donc une lame d'air à faces parallèles d'épaisseur :

Le rayon incident arriving avec l'angle \theta par rapport à la normale aux faces subit une réflexion sur M_1 (donnant le rayon 1) et une réflexion sur M'_2 (donnant le rayon 2). Les deux rayons réfléchis émergent parallèles entre eux.

L'interféromètre de Michelson est équivalent à une lame d'air à faces parallèles d'épaisseur e et d'indice n = 1, délimitée par le miroir réel M_1 et le miroir virtuel M'_2 (image de M_2 par la séparatrice L).

Méthode des sources virtuelles :

Soit un point source S éclairant l'interféromètre. Les réflexions sur M_1 et M'_2 créent deux sources virtuelles secondaires notées respectivement S_1 et S'_2.

• Les miroirs M_1 et M'_2 étant parallèles et distants de e, l'image S'_2 est déduite de S_1 par une translation de vecteur :

  \vec{S_1 S'_2} = 2e\,\vec{u}_n

  où \vec{u}_n est le vecteur unitaire normal aux miroirs, orienté de M_1 vers M'_2.

• Pour deux rayons émergeant parallèlement sous l'angle \theta par rapport à la normale \vec{u}_n (vers l'infini), le front d'onde est orthogonal à la direction de propagation \vec{u}.

La différence de marche \delta entre l'onde issue de S'_2 et celle issue de S_1 s'obtient directement par projection :

Retrouvons ce résultat par le tracé des rayons :

Considérons un rayon incident sous l'angle \theta :

• Le rayon (1) se réfléchit sur M_1 en A.

• Le rayon (2) traverse le plan de M_1, se réfléchit sur M'_2 en B, puis retraverse le plan de M_1 en C. Le trajet géométrique dans la lame est :

  AB + BC = \frac{2e}{\cos\theta}

• Pendant ce temps, le rayon (1) s'est propagé dans l'air. Soit H le projeté orthogonal de C sur le rayon réfléchi en A. Le retard géométrique du rayon (1) avant le front d'onde commun passant par C et H vaut :

  AH = AC \sin\theta = (2e \tan\theta) \sin\theta = \frac{2e \sin^2\theta}{\cos\theta}

L'indice de l'air étant n=1, la différence de marche s'écrit :

Les deux réflexions sur les miroirs métalliques M_1 et M_2 étant identiques et la séparatrice étant compensée, aucun déphasage supplémentaire n'apparaît entre les deux voies.

On obtient donc :

Pour une source étendue et une lame à faces parallèles, la différence de marche \delta = 2e\cos\theta ne dépend que de l'inclinaison \theta des rayons et non de la position du point source sur la source primaire. Deux rayons issus d'un même rayon incident émergent parallèlement entre eux : ils n'interfèrent donc qu'à l'infini.

Pour observer cette figure dans de bonnes conditions :

• On place en sortie de l'interféromètre une lentille convergente (\mathcal{L}) de distance focale image f', et un écran (\mathcal{E}) placé dans son plan focal image.

• Le rayon d'un anneau associé à l'angle d'incidence \theta s'écrit dans l'approximation des petits angles :

  r = f' \tan\theta \approx f' \theta

  Pour que la figure soit suffisamment grande et détaillée sans dépasser la taille de l'écran ni les limites du banc d'optique usuel (1 à 2\text{ m}), une distance focale intermédiaire à grande est recommandée, typiquement :

  \boxed{f' \approx 50\text{ cm}\text{ à }1\text{ m}}

  (une focale de 20\text{ cm} donnerait des anneaux trop petits, tandis que f' = 1\text{ m} offre un très bon grandissement angulaire).

D'après la formule de Fresnel, deux ondes cohérentes de même éclairement I_0 produisent un éclairement résultant :

D'après le résultat de la question Q2, la différence de marche s'écrit \delta(\theta) = 2e\cos\theta, de sorte que l'ordre d'interférence est :

L'éclairement ne dépend donc de la direction que par l'intermédiaire de l'angle d'incidence \theta :

• Une frange d'interférence (d'éclairement donné, en particulier une frange brillante caractérisée par p \in \mathbb{N}) correspond à une valeur constante de l'angle d'incidence \theta des rayons sur la lame d'air équivalente. C'est ce qui justifie l'appellation de franges d'égale inclinaison.

• L'ensemble du dispositif présente une symétrie de révolution autour de l'axe optique, confondu avec la normale aux miroirs. Dans le plan focal image de la lentille d'observation, les rayons inclinés d'un angle \theta convergent en des points situés à la distance r du foyer image F' :

  r = f' \tan\theta \approx f'\theta

  À \theta = \text{cte} correspond ainsi une distance r = \text{cte} par rapport au centre F'. Les lieux d'égale intensité sont des cercles concentriques : la figure d'interférence est formée d'anneaux.

1. Nature du déplacement :

Le contact optique correspond à une épaisseur de la lame d'air équivalente nulle :

Pour annuler e tout en conservant le parallélisme rigoureux entre le miroir M_1 et l'image M'_2, il faut translater l'un des miroirs (généralement le miroir monté sur chariot micrométrique) parallèlement à la direction de son bras, sans toucher aux vis d'orientation.

2. Détermination du sens de translation :

D'après la question Q4, l'ordre d'interférence au centre (\theta = 0) vaut :

Pour un anneau brillant d'ordre p fixé (p < p_0), l'angle d'émergence \theta vérifie :

Lorsque l'épaisseur e diminue vers 0 :

• l'ordre au centre p_0 diminue ;
• pour un ordre p donné, le rayon angulaire \theta diminue jusqu'à s'annuler lorsque p_0 atteint p.

Par conséquent, lorsqu'on translate le miroir dans le sens réduisant l'épaisseur e, les anneaux rentrent vers le centre et y disparaissent successivement. Si au contraire de nouveaux anneaux naissent au centre et s'en éloignent, on translate dans le mauvais sens et il faut inverser la translation.

3. Évolution de la figure d'interférence :

Au fur et à mesure que e décroît :

• le nombre d'anneaux visibles sur le champ d'observation diminue ;
• les anneaux s'élargissent et deviennent de plus en plus espacés (l'interfrange angulaire varie comme 1/e).

4. Aspect de l'éclairement au contact optique :

Lorsque le réglage au contact optique est réalisé (e = 0) :

La différence de marche est rigoureusement nulle sur tout le champ d'observation, indépendamment de la direction d'incidence \theta. Le déphasage vaut \Delta\phi = 0, et l'éclairement est uniforme sur tout l'écran :

1. Localisation des franges d'interférence

Sous un éclairage par une source étendue, deux rayons issus d'un même point-source incident sous incidence quasi-normale ne peuvent interférer de manière cohérente et sans brouillage qu'au voisinage du point où ils se séparent et se recoupent.

Par conséquent, les franges d'interférence sont localisées au voisinage immédiat des miroirs (plus rigoureusement, sur le coin d'air virtuel formé par les surfaces de M_1 et de l'image M'_2).

2. Conditions d'observation

La figure étant localisée à distance finie au niveau des miroirs :

• Observation sur un écran : on utilise une lentille convergente de projection disposée de sorte que le plan du coin d'air (les miroirs) et l'écran soient dans des plans conjugués par la lentille (relation de conjugaison de Descartes : l'écran est le plan image des miroirs à travers la lentille).
• Observation à l'œil nu : l'œil de l'observateur doit accommoder directement sur les miroirs.
• Conditions sur la source et les faisceaux : l'éclairage doit être en incidence quasi-normale (\theta \approx 0) afin que la différence de marche ne dépende que de l'épaisseur locale e(x) = \alpha x et non de l'inclinaison des rayons, évitant ainsi le brouillage spatial dû à l'étendue de la source.

L'indice du milieu étant n = 1, la différence de marche s'écrit en valeur absolue :

L'ordre d'interférence en un point d'abscisse x est donné par :

L'interfrange i correspond à la distance séparant deux lignes consécutives de même intensité (par exemple deux franges brillantes successives, pour lesquelles l'ordre d'interférence varie d'une unité, soit \Delta p = 1) :

On en déduit l'expression de l'interfrange sur la surface de localisation :

Évolution de la figure d'interférence avec l'angle \alpha :

• Si l'angle \alpha augmente, l'interfrange i diminue : les franges rectilignes se resserrent.
• Si l'angle \alpha diminue, l'interfrange i augmente : les franges s'écartent.
• Dans la limite \alpha \to 0 (parallélisme des miroirs au contact optique), i \to \infty : les franges deviennent infiniment larges et l'on retrouve une teinte plate uniforme.

Considérons les deux rayons issus de la division d'amplitude du rayon incident qui interfèrent en P :

• Différence de marche géométrique : D'après la formule classique de la lame à faces parallèles, la différence de marche géométrique entre le rayon ayant traversé la lame (réfléchi sur la face arrière) et le rayon réfléchi sur la face avant est :

  \delta_{\text{géo}} = 2 n e \cos\theta_r

  En incidence quasi-normale, on a \theta \approx 0, d'où d'après la loi de Snell-Descartes \theta_r \approx 0 et \cos\theta_r \approx 1. Il vient ainsi :

  \delta_{\text{géo}} \approx 2 n e

• Déphasages à la réflexion :

  • Le premier rayon subit une réflexion sur la face avant, c'est-à-dire à l'interface air/eau savonneuse (1 \to n). La réflexion ayant lieu sur un milieu plus réfringent (n \approx 1{,}4 > 1), elle s'accompagne d'un déphasage de \pi.
  • Le second rayon subit une réflexion sur la face arrière, c'est-à-dire à l'interface eau savonneuse/air (n \to 1). La réflexion s'effectue sur un milieu moins réfringent, elle n'introduit donc aucun déphasage.
  • Les transmissions à travers l'interface ne modifient pas la phase.

Le déphasage total \Delta\phi entre les deux ondes réfléchies s'obtient en combinant le déphasage géométrique et la différence des déphasages à la réflexion :

En remarquant que \pi = \frac{2\pi}{\lambda_0} \frac{\lambda_0}{2}, on peut factoriser par \frac{2\pi}{\lambda_0} :

L'observation de la figure 6 (confirmée par les indications de la figure 5 et les données du tableau 1) permet de relever deux caractéristiques majeures :

• les franges d'interférence sont rectilignes et horizontales, ce qui montre que l'épaisseur e est invariante selon l'axe horizontal (Ox) et ne dépend que de l'altitude z à un instant donné : e = e(z) ;
• l'interfrange i(z) (distance verticale séparant deux franges consécutives de même nature) n'est pas constant : il est maximal en haut de la lame (z \approx H) et diminue progressivement vers le bas (z \to 0).

D'après la condition d'interférences constructives issue de la question Q8, la différence de marche effective varie de \lambda_0 entre deux franges brillantes consécutives, soit une variation d'épaisseur :

Au premier ordre, l'interfrange local i(z) = |\Delta z| est relié à la pente locale du profil (l'angle local du coin \alpha(z)) par :

Pour un coin d'angle constant \alpha, le profil d'épaisseur serait linéaire (e(z) = \alpha(H-z)) et conduirait à un interfrange rigoureusement uniforme i = \frac{\lambda_0}{2n\alpha}.

Ici, la décroissance de l'interfrange i(z) vers le bas (lorsque z décroît) impose que :

Le profil de la lame de savon n'est donc pas assimilable à une portion de coin d'angle constant : sous l'effet du drainage gravitaire, la lame présente une courbure, son épaisseur augmentant de plus en plus rapidement vers le bas.

L'expression issue du modèle simplifié donne l'épaisseur :

1. Aspects conformes aux observations :

• Invariance selon (Ox) : L'épaisseur e(z,t) ne dépend que de la cote verticale z, ce qui conduit à des lignes d'égale épaisseur horizontales. Cela est en accord avec les franges d'interférence horizontales et rectilignes observées sur la figure 6.
• Sens de variation de l'épaisseur : Lorsque la cote z diminue (vers le bas de la lame), la quantité (H-z) augmente, donc l'épaisseur e(z,t) augmente. Le liquide s'accumule bien en bas sous l'effet de la pesanteur, avec une épaisseur minimale (tendant vers zéro) au sommet (z=H).

2. Désaccord majeur sur la topographie des franges : Calculons la pente locale du profil d'épaisseur prédite par ce modèle :

D'après la relation établie à la question précédente, l'interfrange local s'exprime par :

Cette expression implique que :

• au sommet de la lame (z \to H, soit H-z \to 0), la pente divergerait et l'interfrange tendrait vers 0 (franges infiniment resserrées) ;
• vers le bas de la lame (z décroissant, H-z croissant), l'interfrange i(z) devrait augmenter (franges de plus en plus écartées).

Conclusion : Sur la figure 6, on constate exactement l'inverse :

D'après la question Q8, la différence de phase entre les deux ondes réfléchies en incidence quasi-normale s'écrit :

La condition d'interférence constructive (frange brillante) correspond à \Delta\phi = 2p\pi avec p \in \mathbb{N}^*, soit :

Au sommet du film (z \to H), l'épaisseur s'annule (e \to 0), ce qui correspond à une frange sombre (film noir de Newton). La première frange brillante sous le sommet (k = 1, pour la plus grande cote z) correspond donc à l'ordre p = 1, et plus généralement pour la k-ième frange brillante :

En appliquant le logarithme népérien à la loi semi-empirique e_k = K(H-z_k)^\beta, on obtient :

ce qui équivaut, en isolant le terme dépendant de k, à :

La loi semi-empirique est donc conforme aux observations si le graphe de \ln(2k-1) (ou de \ln e_k) en fonction de \ln(H-z) est une droite de pente \beta.

Calculons les grandeurs utiles à partir des données du tableau 1, avec H = 5{,}0\text{ cm} :

Les points expérimentaux sont remarquablement alignés sur une droite, ce qui confirme la validité de la loi de puissance semi-empirique.

La pente \beta de cette droite moyenne s'obtient par exemple à partir des deux points extrêmes :

La dérivée particulaire \dfrac{\mathrm{D}\vec{v}}{\mathrm{D}t} représente l'accélération d'une particule fluide suivie dans son mouvement (approche lagrangienne). Elle se décompose en deux contributions :

• Le terme d'accélération locale \dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t} : il quantifie la variation temporelle du champ des vitesses en un point géométrique fixe de l'espace (approche eulérienne). Ce terme traduit le caractère instationnaire de l'écoulement ; il est nul lorsque l'écoulement est stationnaire (permanent).
• Le terme d'accélération convective (\vec{v} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v} : il traduit la variation de vitesse qu'éprouve la particule fluide au cours de son déplacement en raison de l'inhomogénéité spatiale du champ des vitesses. Ce terme, non linéaire en \vec{v}, est présent dès lors que les lignes de courant convergent, divergent ou s'incurvent, même en régime strictement permanent.

L'équation de Navier-Stokes traduit la relation fondamentale de la dynamique appliquée à une particule fluide de masse \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}\tau :

Les trois termes du second membre représentent chacun une densité volumique de force (en \mathrm{N\cdot m^{-3}}) s'exerçant sur la particule de fluide :

1. Le terme \vec{f}_v : il s'agit de la densité volumique des forces à distance (ou forces extérieures de volume) appliquées au fluide. Dans la plupart des situations usuelles, il correspond à la pesanteur : \vec{f}_v = \rho \vec{g}.
2. Le terme -\vec{\operatorname{grad}} P : il représente la densité volumique des forces de pression. Il résulte de l'action de contact normale exercée par le fluide environnant sur la surface délimitant la particule fluide. Le signe négatif indique que cette force motrice est dirigée dans le sens des pressions décroissantes (le fluide est poussé des zones de haute pression vers les zones de basse pression).
3. Le terme \eta \vec{\Delta}(\vec{v}) : il s'agit de la densité volumique des forces de viscosité (ou de frottement visqueux). Il résulte des contraintes de cisaillement (actions de contact tangentielles) entre couches de fluide se déplaçant à des vitesses relatives différentes. Il traduit la diffusion de la quantité de mouvement et dissipe de l'énergie mécanique sous forme thermique.

Sous les hypothèses de l'énoncé (\eta = 0 et \vec{f}_v = \vec{0}), et pour un écoulement incompressible de masse volumique \rho uniforme, la forme alternative de l'équation de Navier-Stokes donnée dans le préambule devient l'équation d'Euler sous forme de Lamb :

où \vec{\Omega} = \overrightarrow{\operatorname{rot}}\vec{v}.

Prenons le rotationnel de chacun des membres de cette relation :

Analysons les différents termes :

• Les dérivées temporelle et spatiales commutent :

  \overrightarrow{\operatorname{rot}}\!\left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}\right) = \frac{\partial}{\partial t}(\overrightarrow{\operatorname{rot}}\vec{v}) = \frac{\partial \vec{\Omega}}{\partial t}.

• Le rotationnel d'un gradient étant identiquement nul :

  \overrightarrow{\operatorname{rot}}\!\left[\overrightarrow{\operatorname{grad}}\left(\frac{P}{\rho} + \frac{v^2}{2}\right)\right] = \vec{0}.

• D'après le formulaire, pour deux champs vectoriels \vec{A} et \vec{B} :

  \overrightarrow{\operatorname{rot}}(\vec{A} \wedge \vec{B}) = (\operatorname{div}\vec{B})\vec{A} - (\operatorname{div}\vec{A})\vec{B} + (\vec{B} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{A} - (\vec{A} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{B}.

  Appliquée à \vec{A} = \vec{\Omega} et \vec{B} = \vec{v}, cette formule s'écrit :

  \overrightarrow{\operatorname{rot}}(\vec{\Omega} \wedge \vec{v}) = (\operatorname{div}\vec{v})\vec{\Omega} - (\operatorname{div}\vec{\Omega})\vec{v} + (\vec{v} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{\Omega} - (\vec{\Omega} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v}.

  Or :

  • l'écoulement est incompressible, donc \operatorname{div}\vec{v} = 0 ;
  • la divergence d'un rotationnel est identiquement nulle, donc \operatorname{div}\vec{\Omega} = \operatorname{div}(\overrightarrow{\operatorname{rot}}\vec{v}) = 0.

  Il reste ainsi :

  \overrightarrow{\operatorname{rot}}(\vec{\Omega} \wedge \vec{v}) = (\vec{v} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{\Omega} - (\vec{\Omega} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v}.

En réinjectant ces résultats dans l'équation aux rotationnels, il vient :

En reconnaissant la dérivée particulaire de la vorticité \dfrac{\mathrm{D}\vec{\Omega}}{\mathrm{D}t} = \dfrac{\partial \vec{\Omega}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{\Omega}, on obtient l'équation d'évolution de Helmholtz :

1. Justification du caractère bidimensionnel de l'écoulement :

L'épaisseur de la lame de savon est de l'ordre de e \lesssim 1\ \mu\text{m}, tandis que ses dimensions transverses sont de l'ordre de H = 5{,}0\text{ cm}. Le rapport d'aspect est donc extrêmement faible :

Le fluide est confiné entre deux interfaces liquide-air très proches. La vitesse normale aux interfaces est donc négligeable devant les composantes tangentielles, et les grandeurs physiques peuvent être considérées comme uniformes sur l'épaisseur du film. L'écoulement se déroule ainsi quasi-exclusivement dans le plan (Oxz) de la lame.

2. Annulation du terme d'étirement de vortex :

Dans le repère de la lame où l'axe (Oy) est perpendiculaire au film et (Ox, Oz) est le plan du film, le champ de vitesse s'écrit :

Le champ de vorticité \vec{\Omega} = \overrightarrow{\operatorname{rot}}\vec{v} est orthogonal au plan de l'écoulement :

L'opérateur scalaire (\vec{\Omega} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}}) se réduit donc à :

Puisque le champ de vitesse est indépendant de la coordonnée transverse y (\partial\vec{v}/\partial y = \vec{0}), on en déduit immédiatement :

Le terme d'étirement de vortex est donc rigoureusement nul pour un écoulement bidimensionnel.

Dans le conducteur ohmique, homogène et isotrope de conductivité statique \sigma_0 \in \mathbb{R}, la loi d'Ohm locale s'écrit :

Le conducteur étant homogène et localement neutre, la densité volumique de charge en volume est nulle : \rho = 0. Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS), le courant de déplacement \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} est négligeable devant le courant de conduction \vec{\jmath}. Les quatre équations de Maxwell dans le conducteur s'écrivent ainsi :

Pour obtenir l'équation vérifiée par \vec{E}, prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

D'une part, d'après l'identité vectorielle rappelée dans l'énoncé et la nullité de la divergence de \vec{E} :

D'autre part, en injectant l'équation de Maxwell-Ampère dans l'ARQS :

En égalant les deux expressions, on obtient l'équation de diffusion du champ électrique :

Le champ électrique recherché sous la forme d'une onde plane progressive monochromatique s'écrit :

Les dérivées spatio-temporelles appliquées à cette onde donnent :

En injectant ces expressions dans l'équation de diffusion obtenue à la question Q16, \vec{\Delta}\vec{E} = \mu_0 \sigma_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}, on obtient :

On en déduit la relation de dispersion dans le conducteur :

Pour exprimer \underline{k}, remarquons que :

En introduisant l'épaisseur de peau \delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0 \sigma_0 \omega}}, on a \mu_0 \sigma_0 \omega = \frac{2}{\delta^2}, d'où :

Il existe deux racines opposées : \underline{k} = \pm \frac{1-\mathrm{i}}{\delta}. Le facteur de dépendance spatiale s'écrit alors :

Le milieu conducteur occupant le demi-espace z > 0, le champ électrique doit rester borné lorsque z \to +\infty. La solution physique implique nécessairement une atténuation spatiale en \mathrm{e}^{-z/\delta}, ce qui impose de choisir le signe supérieur :

D'après la question Q17, le vecteur d'onde complexe associé à la propagation dans le demi-espace z > 0 s'écrit :

En injectant cette expression dans la forme complexe du champ électrique \underline{\vec{E}}(z, t) = E_0 \exp(\mathrm{i}(\omega t - \underline{k}z))\,\vec{e}_x (en choisissant E_0 réel positif sans perte de généralité), on obtient :

En prenant la partie réelle de cette expression, le champ électrique réel s'écrit :

soit pour la composante scalaire :

À un instant t fixé (choisi arbitrairement à t=0 modulo 2\pi/\omega pour simplifier le tracé), le champ est une fonction sinusoïdale de pseudo-longueur d'onde spatiale \lambda = 2\pi\delta, modulée par une enveloppe exponentielle décroissante \pm E_0 \exp(-z/\delta) :

Interprétation physique de l'effet de peau :

• L'effet de peau désigne le phénomène d'extinction rapide du champ électromagnétique (et par suite des courants induits de Foucault) lors de sa pénétration dans un milieu conducteur. L'onde ne se propage pas librement mais est fortement amortie par conversion d'énergie sous forme de chaleur (pertes Joule).
• L'épaisseur de peau \delta représente la distance caractéristique de pénétration au bout de laquelle l'amplitude du champ électrique est divisée par \mathrm{e} \approx 2{,}72 (soit une atténuation de près de 63\,\%). À une profondeur de 3\delta à 5\delta, le champ est quasiment nul (inférieur à 1\,\% de sa valeur de surface) : le champ et les courants sont donc confinés dans une fine couche superficielle d'épaisseur \delta.

La densité volumique instantanée de puissance dissipée par effet Joule s'écrit :

En utilisant l'expression du champ électrique réel obtenue à la question Q18, E(z,t) = E_0\,\mathrm{e}^{-z/\delta}\cos(\omega t - z/\delta), et en prenant la moyenne temporelle (sachant que \langle \cos^2(\omega t - z/\delta) \rangle = \frac{1}{2}) :

La puissance moyenne dissipée dans le demi-cylindre de section droite S et d'extension infinie selon (Oz) s'obtient par intégration sur le volume, avec l'élément de volume \mathrm{d}\tau = S\,\mathrm{d}z :

On obtient ainsi :

puisque \sigma_0 \delta = \frac{2}{\mu_0 \omega \delta}.

À pulsation \omega fixée, lorsque la conductivité tend vers l'infini (\sigma_0 \to +\infty) :

Dans cette limite, le milieu se comporte comme un conducteur parfait :

• L'onde ne pénètre plus dans le conducteur : les champs électrique et magnétique sont rigoureusement nuls au sein du conducteur pour tout z > 0,

  \vec{E} = \vec{0} \quad \text{et} \quad \vec{B} = \vec{0} \quad (\text{pour } z > 0).
• Il n'y a donc ni charges ni courants volumiques à l'intérieur du métal (\rho_v = 0 et \vec{\jmath}_v = \vec{0} pour z > 0).
• Les discontinuités des champs à l'interface z = 0 imposent l'apparition exclusive d'une densité surfacique de charge \sigma_s et d'une densité surfacique de courant \vec{\jmath}_s localisées sur la surface du conducteur.

D'après l'énoncé, le fluide possède un champ de vitesse unidirectionnel orienté selon \vec{e}_x et ne dépendant spatialement que de la cote z :

Ses composantes cartésiennes sont ainsi v_x = v(z,t) et v_y = v_z = 0.

L'opérateur convectif scalaire s'exprime donc par :

En appliquant cet opérateur au vecteur vitesse \vec{v}(z, t), on obtient :

Le champ de vitesse étant indépendant de la variable spatiale x, sa dérivée partielle par rapport à x est identiquement nulle :

On en déduit que le terme convectif non linéaire est rigoureusement nul :

Dans le demi-espace z > 0, le fluide incompressible est soumis à l'équation de Navier-Stokes. En l'absence de forces volumiques à distance (\vec{f}_v = \vec{0}) et compte tenu de l'annulation du terme convectif (\vec{v}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v} = \vec{0} (question Q20), l'équation de Navier-Stokes se simplifie sous la forme :

Exprimons chacun des termes avec le champ de vitesse \vec{v}(z,t) = v(z,t)\,\vec{e}_x et la pression P = P(z) :

• Accélération locale :

  \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = \frac{\partial v}{\partial t}(z,t)\,\vec{e}_x

• Gradient de pression :

  \overrightarrow{\operatorname{grad}} P = \frac{\partial P}{\partial x}\vec{e}_x + \frac{\partial P}{\partial y}\vec{e}_y + \frac{\partial P}{\partial z}\vec{e}_z = \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}(z)\,\vec{e}_z

• Terme visqueux :

  \vec{\Delta}\vec{v} = \Delta(v)\,\vec{e}_x = \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}(z,t)\,\vec{e}_x

En projetant l'équation vectorielle selon les trois directions de l'espace :

• Suivant \vec{e}_y : 0 = 0.

• Suivant \vec{e}_z :

  0 = -\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} \implies \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} = 0

  La pression ne dépend d'aucune coordonnée spatiale : elle est donc rigoureusement constante dans tout le fluide.

  \boxed{P(z,t) = P_0 = \text{constante}}

• Suivant \vec{e}_x :

  \rho \frac{\partial v}{\partial t} = \eta \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}

  En divisant par la masse volumique \rho et en introduisant la viscosité cinématique \nu_c = \frac{\eta}{\rho}, on obtient directement :

  \boxed{\frac{\partial v}{\partial t} = \nu_c \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}}

D'après la question Q21, la composante de la vitesse suivant l'axe (Ox) vérifie l'équation de diffusion :

En adoptant la notation complexe \underline{v}(z,t) = \underline{f}(z)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, les dérivées partielles s'écrivent :

En injectant ces expressions dans l'équation de diffusion et après simplification par le terme temporel non nul \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, on obtient l'équation différentielle linéaire du second ordre satisfaite par \underline{f}(z) :

L'équation caractéristique associée s'écrit :

Or, en introduisant la quantité \delta = \sqrt{\dfrac{2\nu_c}{\omega}}, on remarque que :

En remarquant que (1+\mathrm{i})^2 = 1 + 2\mathrm{i} - 1 = 2\mathrm{i}, les deux racines de l'équation caractéristique sont :

La forme générale de la fonction \underline{f}(z) est donc une combinaison linéaire des deux modes propres associés :

où \underline{A} et \underline{B} sont deux constantes d'intégration complexes, à déterminer par les conditions aux limites.

Le fluide occupant le demi-espace z > 0, déterminons les deux constantes d'intégration \underline{A} et \underline{B} issues de l'expression de \underline{f}(z) établie à la question précédente à l'aide des conditions aux limites :

1. Comportement à l'infini (z \to +\infty) : la vitesse du fluide doit rester bornée lorsque l'on s'éloigne indéfiniment de la plaque oscillante. Le terme en \exp\left(+\frac{z}{\delta}\right) divergeant exponentiellement pour z \to +\infty, on doit nécessairement poser :

   \underline{B} = 0

2. Condition d'adhérence à la paroi (z = 0) : la viscosité du fluide impose la continuité de la vitesse à l'interface fluide-solide, soit :

   \vec{v}(0, t) = \vec{v}_{\text{plaque}}(t) = V_0 \cos(\omega t)\,\vec{e}_x

   En écriture complexe, cette condition se traduit par :

   \underline{v}(0, t) = \underline{f}(0)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} = V_0\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \implies \underline{A} = V_0

Le champ de vitesse complexe s'écrit donc :

En prenant la partie réelle, on obtient le champ de vitesse réel dans le demi-espace z \ge 0 :

L'équation satisfaite par le champ électrique dans le conducteur ohmique s'écrit (d'après la question Q16) :

avec une solution sous forme d'onde atténuée (question Q18) :

En mécanique des fluides, l'équation différentielle satisfaite par la composante de vitesse v(z,t) s'écrit (d'après la question Q21) :

et sa solution est (question Q23) :

Par identification terme à terme :

• Le champ de vitesse \vec{v} = v(z,t)\vec{e}_x est l'analogue direct du champ électrique \vec{E} = E(z,t)\vec{e}_x. Le coefficient de diffusion de la quantité de mouvement est la viscosité cinématique \nu_c = \eta/\rho, analogue au coefficient de diffusion magnétique D_m = 1/(\mu_0 \sigma_0).
• La profondeur de peau \delta est l'analogue de l'épaisseur de la couche limite oscillante (ou couche de Stokes). Elle varie également en 1/\sqrt{\omega}. Physiquement, elle mesure la distance sur laquelle le mouvement oscillatoire imposé par la plaque pénètre dans le fluide par diffusion visqueuse. Au-delà (z \gg \delta), le fluide reste immobile.

• Cas limite \delta \to 0 :

  • En électromagnétisme, la limite \delta \to 0 (pour \omega fixée) correspond à un conducteur parfait (\sigma_0 \to +\infty). Le champ électrique est strictement nul à l'intérieur du conducteur (z > 0) et les courants sont confinés sur la surface z=0 sous forme de nappe surfacique de courant \vec{j}_s.
  • En mécanique des fluides, la limite \delta \to 0 correspond soit à un fluide non visqueux (\nu_c \to 0 ou \eta \to 0, modèle du fluide parfait), soit au régime des hautes fréquences (\omega \to +\infty). Dès lors, l'épaisseur de la couche limite s'annule : le fluide reste au repos pour tout z > 0 (v = 0). La condition d'adhérence à la paroi n'est plus satisfaite au sens continu : il y a glissement du fluide à la surface de la plaque (z=0), ce qui correspond à une discontinuité de la vitesse tangentielle et donc à une nappe de tourbillon surfacique à l'interface, analogue direct de la nappe surfacique de courant.

Le tableau de la figure C est ainsi complété :

Dans la situation étudiée à la question Q21, en l'absence de gradient de pression et de terme convectif, l'équation de Navier-Stokes se réduit à :

où \nu_c = \frac{\eta}{\rho} est la viscosité cinématique.

On justifie la qualification de « terme diffusif » pour \eta\vec{\Delta}(\vec{v}) par plusieurs aspects complémentaires :

• Analogie formelle avec l'équation de diffusion : L'équation obtenue est formellement identique à l'équation de la chaleur de Fourier ou à l'équation de Fick, de la forme standard :

  \frac{\partial \psi}{\partial t} = D \Delta \psi

  Le coefficient \nu_c = \frac{\eta}{\rho} joue le rôle d'un coefficient de diffusion D, homogène à une diffusivité :

  [\nu_c] = \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}

• Sens physique (transport de quantité de mouvement) : En multipliant par \rho, l'équation traduit l'évolution temporelle de la densité volumique de quantité de mouvement \vec{p}_v = \rho \vec{v} :

  \frac{\partial (\rho\vec{v})}{\partial t} = \eta \vec{\Delta}\vec{v}

  Les frottements visqueux microscopiques entre couches fluides adjacentes assurent un transfert de quantité de mouvement des zones de grande vitesse vers les zones de plus faible vitesse. Le terme \eta\vec{\Delta}(\vec{v}) s'interprète comme l'opposé de la divergence d'un flux de diffusion de quantité de mouvement, selon une loi analogue à celle de Fourier ou de Fick.

• Caractère irréversible et dissipatif : Ce terme tend à homogénéiser le profil de vitesse, atténue les gradients spatiaux au cours du temps et dissipe l'énergie cinétique macroscopique en énergie thermique par frottement visqueux.

Le champ de vitesse dans le fluide est unidirectionnel et ne dépend que de la cote z : \vec{v}(z, t) = v(z, t)\,\vec{e}_x.

D'après le formulaire pour le rotationnel en coordonnées cartésiennes :

Sachant que v_x = v(z,t) et v_y = v_z = 0, il ne subsiste que la composante selon \vec{e}_y :

D'après la question Q23, la vitesse réelle s'écrit :

En dérivant par rapport à z :

On obtient ainsi l'expression du champ de vorticité :

Comportement en dehors de la couche limite (z \gg \delta) : En raison du facteur d'amortissement exponentiel \exp(-z/\delta), pour z \gg \delta, ce facteur tend très rapidement vers zéro.

Il en résulte que :

En dehors de la couche limite d'épaisseur caractéristique \delta, le fluide est irrotationnel : la vorticité est strictement confinée au sein de la couche limite oscillante.

D'après les résultats de la sous-partie III.A (notamment la question Q26), la vorticité \vec{\Omega} générée à la paroi par les frottements visqueux diffuse dans le fluide sur une épaisseur caractéristique égale à la couche limite oscillante :

Au-delà d'une distance de l'ordre de \delta, les effets visqueux s'estompent et l'écoulement devient irrotationnel (\vec{\Omega} \approx \vec{0}).

Or, l'observation de la figure 7 (aussi bien la photographie des franges que le schéma associé) ainsi que le texte introductif montrent que :

• les quatre cellules tourbillonnaires (régions où la vorticité est non nulle) occupent une étendue spatiale largement supérieure à la section du cylindre situé au centre ;
• la dimension caractéristique de diffusion de ces tourbillons est donc bien plus grande que le diamètre d du cylindre.

Puisque la portée spatiale de la viscosité et des tourbillons est gouvernée par \delta, cette observation impose directement :

D'après la question Q22, l'épaisseur de la couche limite visqueuse oscillante (couche de Stokes) s'écrit en fonction de la pulsation \omega et de la viscosité cinématique \nu_c = \frac{\eta}{\rho} :

La condition \delta \gg d correspond au régime où la zone de diffusion de la vorticité s'étend bien au-delà de la dimension du cylindre. Comme \delta est une fonction strictement décroissante de la pulsation \omega, cette condition cesse d'être vérifiée lorsque l'épaisseur de couche limite devient de l'ordre de grandeur du diamètre du cylindre, c'est-à-dire lorsque \delta \sim d.

À la limite \delta = d, on obtient :

ce qui conduit à l'expression de la pulsation limite :

Au-delà de cette pulsation (\omega > \omega_{\mathrm{lim}}), on a \delta < d : la couche limite visqueuse est plus étroite que le cylindre et le régime \delta \gg d n'est plus satisfait.

Le nombre de Reynolds associé à un écoulement de vitesse caractéristique v, de dimension spatiale caractéristique L, pour un fluide de masse volumique \rho et de viscosité dynamique \eta, s'écrit :

Évaluons l'ordre de grandeur de chaque terme intervenant dans l'équation de Navier-Stokes :

• Le terme d'accélération convective \rho(\vec{v} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v} représente la densité volumique de forces d'inertie convective. Avec une vitesse caractéristique v et une échelle spatiale de variation L, l'opérateur gradient se dimensionne en 1/L, d'où :

  \|\rho(\vec{v} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v}\| \sim \rho \, v \, \frac{v}{L} = \frac{\rho v^2}{L}

• Le terme de viscosité \eta\vec{\Delta}(\vec{v}) représente la densité volumique de forces de frottement visqueux. L'opérateur laplacien se dimensionne en 1/L^2, ce qui donne :

  \|\eta\vec{\Delta}(\vec{v})\| \sim \eta \, \frac{v}{L^2}

Le rapport de ces deux ordres de grandeur s'écrit alors directement :

On a donc bien l'identification demandée :

Interprétation physique :

Le nombre de Reynolds quantifie l'importance relative des effets d'inertie convective (liés au transport de quantité de mouvement par l'écoulement) devant les effets visqueux (liés à la diffusion de quantité de mouvement par frottement interne) :

• si R_e \ll 1, les forces visqueuses prédominent très largement devant les forces d'inertie : l'écoulement est dit rampant ou de Stokes, laminaire et réversible ;
• si R_e \gg 1, les forces d'inertie dominent les forces de viscosité au sein du fluide (la viscosité ne jouant alors un rôle direct que dans les couches limites ou pour dissiper l'énergie aux plus petites échelles turbulentes).

D'après la question Q29, le nombre de Reynolds associé à l'écoulement autour du cylindre de dimension caractéristique L = d (son diamètre) s'écrit :

où \nu_c = \frac{\eta}{\rho} est la viscosité cinématique du fluide.

La condition d'un écoulement à bas nombre de Reynolds (R_e \ll 1), dit régime de Stokes ou d'écoulement rampant, impose :

D'après les données de l'énoncé, le fluide savonneux a les mêmes propriétés que l'eau :

• \rho = 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},
• \eta \approx 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s}, soit \nu_c \approx 1{,}0 \times 10^{-6}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1}.

Le diamètre d du cylindre n'étant pas explicité numériquement dans cette sous-partie, on peut estimer qu'il s'agit d'un fil de diamètre millimétrique, soit d \sim 1\text{ mm} = 10^{-3}\text{ m} (valeur confirmée par la partie IV qui mentionne un fil de diamètre d = 2\text{ mm}).

La vitesse caractéristique seuil vaut donc :

Pour que le régime R_e \ll 1 soit rigoureusement satisfait, il faut donc une vitesse de fluide de l'ordre de grandeur de :

L'équation de Navier-Stokes pour un écoulement incompressible s'écrit de façon générale :

En l'absence de forces volumiques à distance significatives (\vec{f}_v = \vec{0}, la pesanteur étant négligée devant les forces motrices acoustiques), cette équation devient :

D'après la question Q29, le rapport des normes du terme d'accélération convective et du terme de diffusion visqueuse est mesuré par le nombre de Reynolds :

La condition d'écoulement à très bas nombre de Reynolds (R_e \ll 1) étant supposée vérifiée d'après la question Q30, le terme convectif non linéaire est négligeable devant le terme visqueux :

En négligeant le terme convectif dans le membre de gauche, l'équation de Navier-Stokes se linéarise et prend la forme approchée :

Le mouvement d'oscillation du cylindre est sinusoïdal d'amplitude a et de pulsation \omega. La position d'un point du cylindre selon l'axe d'oscillation s'écrit sous la forme :

La vitesse de déplacement du cylindre est donnée par sa dérivée temporelle :

L'amplitude de cette vitesse est donc :

Pour un fluide visqueux, la condition aux limites à la frontière solide-fluide impose l'adhérence du fluide à la surface du cylindre : la vitesse du fluide au contact de l'obstacle est rigoureusement égale à la vitesse du cylindre.

Par conséquent, la vitesse caractéristique v de l'écoulement induit dans le fluide au voisinage immédiat du cylindre est du même ordre de grandeur que l'amplitude de vitesse de la paroi :

D'après la question Q31, l'équation de Navier-Stokes pour un écoulement à faible nombre de Reynolds (R_e \ll 1) se réduit à :

Évaluons l'ordre de grandeur des deux termes vectoriels :

• Le mouvement étant harmonique de pulsation \omega, l'accélération locale est de l'ordre de grandeur de :

  \left\| \rho \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \right\| \sim \rho \omega v.

• L'écoulement étant induit par le cylindre de diamètre d, l'échelle spatiale caractéristique des variations transverses de vitesse au voisinage de l'obstacle est d. Le terme de diffusion visqueuse est donc d'ordre :

  \left\| \eta\vec{\Delta}(\vec{v}) \right\| \sim \eta \frac{v}{d^2}.

Le rapport de ces deux grandeurs s'écrit :

En rappelant l'expression de l'épaisseur de couche limite visqueuse \delta = \sqrt{\frac{2\nu_c}{\omega}}, on constate que :

Or, d'après les conclusions de la question Q27 (régime à basse fréquence), on se place dans le cas où \delta \gg d, c'est-à-dire :

Le terme d'accélération locale est donc tout à fait négligeable devant le terme visqueux :

L'équation de la dynamique se résume ainsi à un équilibre quasi-statique entre le gradient de pression et les forces visqueuses :

L'équation de Stokes quasi-statique obtenue à la question Q33 s'écrit :

Cette équation est linéaire en P et \vec{v}. Les opérateurs différentiels spatiaux (\overrightarrow{\operatorname{grad}} et \vec{\Delta}) étant indépendants du temps, ils commutent avec l'opération de moyenne temporelle \langle \cdot \rangle :

Or, le mouvement imposé au cylindre et la pression acoustique sont purement sinusoïdaux à la pulsation \omega. La fluctuation de pression acoustique est donc à valeur moyenne temporelle nulle, si bien que la pression moyenne \langle P \rangle est uniforme (égale à la pression ambiante), d'où :

Compte tenu des conditions aux limites :

• à la surface du cylindre, le mouvement oscillant sinusoïdal impose une vitesse moyenne nulle : \langle \vec{v}_{\text{paroi}} \rangle = \vec{0} ;
• à l'infini, le fluide est au repos : \langle \vec{v} \rangle \to \vec{0} ;

l'unique solution du problème de Dirichlet associé à l'équation de Laplace est la solution triviale :

1. Explication du caractère stationnaire : Le caractère stationnaire de l'écoulement induit (\langle \vec{v} \rangle \neq \vec{0}, correspondant aux tourbillons observés) n'est donc pas explicable à partir de cette équation linéaire.

2. Nécessité du terme convectif non linéaire : Il n'est pas possible de rendre compte des observations sans tenir compte du terme convectif non linéaire \rho (\vec{v}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v}. Bien que d'amplitude instantanée faible devant les termes dominants (car R_e \ll 1), ce terme est quadratique par rapport au champ de vitesse. Par conséquent, pour une vitesse oscillante \vec{v}(t) \propto \cos(\omega t), le produit de deux grandeurs en phase génère un terme continu non nul :

Ce terme moyen non nul joue le rôle d'une densité de force volumique stationnaire effective dans l'équation moyennée, responsable de l'apparition d'un écoulement permanent moyen \langle \vec{v} \rangle \neq \vec{0} (tourbillons stationnaires).

L'équation du mouvement considérée s'écrit :

Les variations spatiales de l'écoulement au voisinage du cylindre s'effectuant sur une échelle spatiale de l'ordre de sa dimension transverse d, on a les estimations d'opérateurs différentiels :

En décomposant la vitesse sous la forme \vec{v} = \vec{v}_p + \vec{v}_s, on explicite l'ordre de grandeur des différents termes :

1. Terme d'inertie convective : En développant le terme bilinéaire :

On distingue ainsi :

• le terme d'ordre 0 en v_s (dû à l'écoulement oscillant principal) :

  \|\rho(\vec{v}_p \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v}_p\| \sim \frac{\rho v_p^2}{d}

• les termes d'ordre 1 en v_s (termes de couplage croisés) :

  \|\rho(\vec{v}_p \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v}_s\| \sim \|\rho(\vec{v}_s \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v}_p\| \sim \frac{\rho v_p v_s}{d}

• le terme d'ordre 2 en v_s :

  \|\rho(\vec{v}_s \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v}_s\| \sim \frac{\rho v_s^2}{d}

2. Terme de diffusion visqueuse : Par linéarité de l'opérateur laplacien :

Ces deux contributions ont pour ordres de grandeur respectifs :

• pour l'écoulement principal :

  \|\eta\vec{\Delta}(\vec{v}_p)\| \sim \frac{\eta v_p}{d^2}

• pour la perturbation stationnaire :

  \|\eta\vec{\Delta}(\vec{v}_s)\| \sim \frac{\eta v_s}{d^2}

3. Terme de gradient de pression : En décomposant la pression en une composante oscillante P_p et une composante stationnaire P_s (P = P_p + P_s), les gradients de pression s'équilibrent avec les termes visqueux correspondants :

Considérons l'équation de Navier-Stokes en prenant en compte le terme convectif :

En introduisant la décomposition \vec{v} = \vec{v}_p + \vec{v}_s, le terme convectif se développe selon :

Prenons la moyenne temporelle de l'équation :

• L'écoulement principal \vec{v}_p est purement sinusoïdal de pulsation \omega, donc \langle \vec{v}_p \rangle = \vec{0}, ce qui entraîne \langle \eta\vec{\Delta}(\vec{v}_p) \rangle = \vec{0}.
• L'écoulement secondaire \vec{v}_s est stationnaire, donc \langle \vec{v}_s \rangle = \vec{v}_s et \langle \eta\vec{\Delta}(\vec{v}_s) \rangle = \eta\vec{\Delta}(\vec{v}_s).

• Les termes croisés sont le produit d'une grandeur purement alternative de pulsation \omega et d'une grandeur indépendante du temps ; leur moyenne temporelle est donc rigoureusement nulle :

  \langle (\vec{v}_p \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v}_s \rangle = \vec{0} \quad \text{et} \quad \langle (\vec{v}_s \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v}_p \rangle = \vec{0}
• Le terme (\vec{v}_s \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v}_s est d'ordre 2 en v_s, il est négligé en se limitant au premier ordre en v_s.

L'équation moyennée s'écrit donc au premier ordre en v_s :

Évaluons l'ordre de grandeur des termes non nuls à l'échelle spatiale caractéristique d du cylindre :

L'écoulement stationnaire \vec{v}_s étant entretenu par la force volumique convective moyenne (le terme de gradient de pression \overrightarrow{\operatorname{grad}}\langle P \rangle équilibrant la composante irrotationnelle de cette force sans modifier l'ordre de grandeur), ces deux grandeurs sont du même ordre :

On en déduit l'ordre de grandeur de la vitesse stationnaire :

D'après le résultat de la question Q36, la vitesse caractéristique stationnaire v_s vérifie l'ordre de grandeur :

où v_p désigne la vitesse caractéristique de l'écoulement principal oscillant.

Le rapport de l'amplitude de la perturbation à celle de l'écoulement principal s'écrit alors :

On reconnaît précisément l'expression du nombre de Reynolds R_e associé à l'écoulement autour du cylindre de diamètre d (défini à la question Q29) :

Or, d'après les hypothèses posées pour cette étude (énoncé avant Q31), l'écoulement est supposé à très bas nombre de Reynolds :

Ce résultat peut d'ailleurs être relié directement aux paramètres du système. En utilisant v_p \sim a\omega (question Q32) et l'épaisseur de couche limite \delta = \sqrt{2\nu_c/\omega}, on obtient :

Puisque le cylindre effectue de petites oscillations (a \ll d) à basse fréquence (\delta \gg d, question Q27), ce rapport est doublement très inférieur à 1.

On a donc :

Il est par conséquent parfaitement légitime de traiter \vec{v}_s comme une petite perturbation de l'écoulement principal \vec{v}_p.

1. Origine du caractère stationnaire de l'écoulement :

Le cylindre effectue des oscillations purement sinusoïdales à la pulsation \omega. L'écoulement principal oscillant \vec{v}_p(M, t) associé vérifie donc :

Cependant, l'équation de Navier-Stokes comporte le terme d'accélération convective non linéaire \rho(\vec{v}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v}, de nature quadratique en la vitesse. La moyenne temporelle de ce terme calculée sur l'écoulement principal n'est pas nulle :

puisque le produit de deux grandeurs sinusoïdales en phase ou présentant un déphasage partiel fait apparaître un terme proportionnel à \langle \cos^2(\omega t + \varphi) \rangle = \frac{1}{2}.

Cette force effective non nulle et permanente agit comme un forçage stationnaire dans l'équation de Stokes moyennée dans le temps :

Elle entretient ainsi un champ de vitesse moyen stationnaire \vec{v}_s(M) = \langle \vec{v}(M, t) \rangle \neq \vec{0}, responsable de la structure en quatre tourbillons permanents observée sur la figure 7.

2. Justification de la dénomination « écoulement redressé » :

L'analogie se fait avec le redressement en électronique :

• En électricité, l'application d'un signal alternatif (de pulsation \omega et de valeur moyenne nulle) aux bornes d'un composant non linéaire (comme une diode ou un multiplicateur quadratique) engendre une composante continue (valeur moyenne non nulle).
• Ici, l'excitation fluide est purement alternative (acoustique, à valeur moyenne nulle). La non-linéarité inertielle convective (\vec{v}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v} joue le rôle de l'élément non linéaire redresseur et extrait une composante continue stationnaire \vec{v}_s : l'écoulement oscillant est donc « redressé » en un écoulement moyen permanent (phénomène de streaming acoustique).

Le nombre de Strouhal est défini par :

où f est la fréquence du phénomène périodique, L la dimension caractéristique de l'obstacle et v_\infty la vitesse de l'écoulement amont non perturbé.

Cette expression se réécrit directement sous la forme d'un quotient :

en posant :

Le sens physique de ces deux durées caractéristiques est le suivant :

• \tau_1 = \dfrac{L}{v_\infty} représente le temps de transit (ou temps de convection) : c'est la durée mise par une particule fluide transportée à la vitesse v_\infty pour contourner l'obstacle de dimension caractéristique L ;
• \tau_2 = \dfrac{1}{f} = T représente la période temporelle du phénomène instationnaire : c'est la durée séparant l'émission de deux tourbillons successifs dans le sillage.