Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MPI 2023

On applique le principe fondamental de la dynamique à un électron de conduction (de masse m et de charge -e), dans le référentiel du conducteur supposé galiléen.

L'électron est soumis à :

• la force électrique due au champ appliqué : \vec{F}_e = -e\vec{E}(t) ;
• la force de frottement fluide phénoménologique modélisant les collisions avec le réseau cristallin : \vec{F}_f = -\dfrac{m}{\tau}\vec{v}(t) ;
• son poids, négligé d'après l'énoncé, de même que la force magnétique liée à l'onde car la vitesse d'ensemble vérifie v \ll c.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

En divisant par la masse m, on obtient l'équation différentielle vérifiée par \vec{v}(t) :

Compte tenu de l'orientation du champ électrique \vec{E}(t) = E_0\cos(\omega t)\vec{e}_x, le mouvement d'ensemble s'effectue selon la direction \vec{e}_x.

Le champ électrique excitateur est sinusoïdal de pulsation \omega :

On lui associe la grandeur complexe \underline{\vec{E}}(t) = E_0 \exp(\mathrm{i}\omega t)\vec{e}_x. En régime sinusoïdal forcé, la vitesse s'écrit sous la forme proposée :

La dérivation temporelle se traduit par une multiplication par \mathrm{i}\omega :

En injectant ces expressions dans l'équation différentielle du mouvement obtenue à la question Q1, il vient :

On en déduit l'amplitude vectorielle complexe \vec{v}_0 :

L'expression de la vitesse complexe en régime forcé est donc :

Par définition, le vecteur densité de courant volumique associé à un ensemble de porteurs de charge de densité volumique n^*, de charge q = -e et de vitesse d'ensemble \vec{v}(t) s'écrit :

En notation complexe, cette relation locale reste linéaire et se traduit directement par :

En injectant l'expression de la vitesse complexe \underline{\vec{v}}(t) obtenue à la question Q2, il vient :

En introduisant le champ électrique sous sa forme complexe \underline{\vec{E}}(t) = E_0 \exp(\mathrm{i}\omega t)\,\vec{e}_x, on obtient :

D'après la question Q3, l'expression du vecteur densité volumique de courant en régime forcé s'écrit :

La loi d'Ohm locale en notation complexe s'énonce sous la forme :

où \underline{\gamma} désigne la conductivité électrique complexe du milieu conducteur. Par identification avec l'expression précédente, on obtient :

avec :

D'après la question Q4, la loi d'Ohm locale en notation complexe s'écrit :

Pour pouvoir écrire la loi d'Ohm locale en régime sinusoïdal sous la forme réelle instantanée \vec{\jmath}(t) = \gamma_0 \vec{E}(t), la conductivité complexe doit être assimilable à sa valeur statique réelle \gamma_0, ce qui implique :

On définit conventionnellement la fréquence caractéristique limite associée au temps de relaxation \tau par :

Avec la valeur fournie par l'énoncé \tau = 1{,}0 \times 10^{-14}\text{ s} :

D'après l'introduction de la partie I, les ondes associées aux communications NFC-RFID ont une fréquence typique :

D'après la question Q5, la fréquence limite en dessous de laquelle la conductivité peut être assimilée à sa valeur statique \gamma_0 vaut f_{\mathrm{lim}} \approx 1{,}6 \times 10^{13}\text{ Hz}.

On constate donc que :

Le terme imaginaire \mathrm{i}\omega\tau dans l'expression de la conductivité complexe \underline{\gamma} = \frac{\gamma_0}{1+\mathrm{i}\omega\tau} est tout à fait négligeable devant 1, ce qui implique \underline{\gamma} \approx \gamma_0.

L'équation de Maxwell-Ampère dans un conducteur non magnétique (\mu_r = 1, \varepsilon_r = 1) s'écrit :

où \vec{\jmath}_D = \varepsilon_0 \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} est le vecteur densité de courant de déplacement.

D'après la question Q6, pour les ondes de fréquence f \approx 14\text{ MHz}, la loi d'Ohm locale s'écrit sous sa forme statique :

Pour un champ électrique sinusoïdal de pulsation \omega = 2\pi f, les amplitudes (ou les normes en notation complexe) vérifient :

Le rapport entre les normes des deux densités de courant s'exprime ainsi :

Application numérique avec les données de l'énoncé (\gamma_0 = 38 \times 10^6\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}, \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} et f = 14\text{ MHz} = 14 \times 10^6\text{ Hz}) :

D'après la question Q7, le rapport entre la norme du vecteur densité de courant volumique \vec{\jmath} et celle du courant de déplacement \vec{\jmath}_D est de l'ordre de 5 \times 10^{10} \gg 1.

Le courant de déplacement est donc totalement négligeable devant le courant de conduction au sein du conducteur :

L'équation de Maxwell-Ampère générale, rappelée à la question Q7 :

se simplifie alors sous la forme :

Cette simplification correspond à l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS), plus précisément dans son volet magnétique.

L'équation locale de conservation de la charge s'écrit :

Le conducteur étant homogène, sa conductivité \gamma_0 est uniforme. La loi d'Ohm locale donne alors :

D'après l'équation de Maxwell-Gauss dans l'aluminium (\varepsilon_r = 1) :

En combinant ces relations, on obtient l'équation différentielle vérifiée par \rho(M, t) :

Cette équation différentielle linéaire du premier ordre s'intègre immédiatement :

en introduisant le temps caractéristique :

Application numérique avec \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} et \gamma_0 = 38 \times 10^6\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} :

Ce temps de relaxation étant quasi-instantané à l'échelle des temps macroscopiques et des périodes d'oscillation envisagées, toute charge volumique initiale s'évacue vers la surface et la densité volumique de charge \rho(M, t) est considérée comme rigoureusement nulle au bout de quelques \tau'.

D'après la question Q9, toute charge volumique éventuelle relaxe vers la surface selon une loi exponentielle de temps caractéristique :

Pour les ondes électromagnétiques considérées (notamment en NFC à f \approx 14\text{ MHz}, soit une période T = 1/f \approx 7 \times 10^{-8}\text{ s}), la période temporelle T est considérablement plus grande que ce temps de relaxation :

Au bout d'un temps de quelques \tau' (quasi instantané à l'échelle de l'onde), le régime transitoire s'éteint et l'on a rigoureusement \rho(M, t) = 0. Le conducteur est donc électriquement neutre en volume.

L'équation de Maxwell-Gauss s'écrit de manière générale :

Compte tenu de la neutralité électrique locale du milieu en volume (\rho = 0), elle devient :

Dans le conducteur ohmique, les équations de Maxwell s'écrivent, compte tenu de la neutralité volumique (question Q10) et de l'approximation des régimes quasi stationnaires magnétiques (question Q8) associée à la loi d'Ohm locale \vec{\jmath} = \gamma_0 \vec{E}_c :

D'après la formule d'analyse vectorielle fournie :

En utilisant l'équation de Maxwell-Faraday et en permutant les dérivées spatiale et temporelle :

En égalant les deux expressions obtenues, il vient :

Par identification avec l'équation proposée \Delta \vec{E}_c(z, t) - \frac{1}{D}\frac{\partial \vec{E}_c(z, t)}{\partial t} = \vec{0}, on obtient :

Par analyse dimensionnelle de l'équation de diffusion :

La grandeur D s'exprime donc en :

L'onde se propageant dans le conducteur ohmique est décrite, en notation complexe, par :

Calculons les dérivées intervenant dans l'équation différentielle :

En injectant ces expressions dans l'équation établie à la question Q11, il vient :

Le champ électrique n'étant pas identiquement nul, on en déduit :

En utilisant l'expression du coefficient de diffusion D = \frac{1}{\mu_0\gamma_0} trouvée à la question Q11, on obtient la relation de dispersion demandée :

Le vecteur d'onde complexe s'écrit \underline{k}_t = \alpha + \mathrm{i}\beta avec (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2. On a donc :

D'après la relation de dispersion obtenue à la question Q12, \underline{k}_t^2 = -\mathrm{i}\omega\mu_0\gamma_0. L'identification des parties réelle et imaginaire conduit au système :

La première équation donne |\alpha| = |\beta|. Comme \omega > 0, \mu_0 > 0 et \gamma_0 > 0, le produit \alpha\beta = -\frac{\omega\mu_0\gamma_0}{2} est strictement négatif. Les grandeurs \alpha et \beta sont donc de signes opposés.

L'énoncé imposant \alpha > 0 (sens de propagation vers les z croissants), on a nécessairement \beta < 0, soit :

En reportant dans la seconde relation :

Comme \alpha > 0, on obtient finalement :

D'après l'énoncé de la partie I.B, le champ électrique complexe dans le conducteur s'écrit :

En introduisant la décomposition \underline{k}_t = \alpha + \mathrm{i}\beta, il vient :

D'après les résultats de la question Q13, on a :

En posant la longueur caractéristique :

le terme d'onde complexe devient :

En prenant la partie réelle de cette grandeur (l'origine des phases étant choisie telle que E_{0,c} soit réel), on obtient bien l'expression en notation réelle :

D'après la question Q14, la composante selon \vec{e}_x du champ électrique réel dans le conducteur (z \ge 0) s'écrit :

À une date t fixée, prise égale à t = 0 sans perte de généralité (quitte à redéfinir l'origine des temps), la dépendance spatiale est donnée par :

Cette courbe présente les propriétés suivantes :

• elle est confinée entre deux enveloppes exponentielles \pm E_{0,c} \exp(-z/\delta) ;
• pour z = \delta, l'amplitude de l'enveloppe décroît jusqu'à E_{0,c}/\mathrm{e} \approx 0{,}37\,E_{0,c} ;
• elle oscille avec une pseudo-longueur d'onde \lambda = 2\pi\delta, s'annulant en z = \frac{\pi}{2}\delta \approx 1{,}57\,\delta.

La grandeur \delta est appelée épaisseur de peau (ou profondeur de pénétration).

Signification physique : D'après la question Q14, l'amplitude de l'onde décroît exponentiellement selon \exp(-z/\delta) dans le conducteur. La grandeur \delta représente la distance caractéristique au bout de laquelle l'amplitude du champ électrique (ainsi que celle du champ magnétique et de la densité de courant) est atténuée d'un facteur \mathrm{e} par rapport à sa valeur en surface (z = 0), soit une diminution d'environ 63\,\%. Le champ électromagnétique et les courants induits sont ainsi confinés au voisinage immédiat de la surface du métal (effet de peau).

Application numérique pour les signaux NFC-RFID : La fréquence de l'onde est f \approx 14\text{ MHz}, soit une pulsation \omega = 2\pi f. L'expression de l'épaisseur de peau établie à la question Q14 s'écrit :

Avec les données fournies :

• f = 14 \times 10^6\text{ Hz} ;
• \mu_0 = 1{,}26 \times 10^{-6}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1} ;
• \gamma_0 = 38 \times 10^6\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}.

L'onde réfléchie se propage dans le vide occupant le demi-espace z < 0 :

• elle présente la même pulsation \omega et la même célérité c que l'onde incidente, donc la même norme de vecteur d'onde k = \frac{\omega}{c} ;
• elle se propage dans le sens des z décroissants, soit selon le vecteur d'onde \vec{k}_r = -k\,\vec{e}_z ;
• en incidence normale sur une interface plane, la polarisation rectiligne selon \vec{e}_x est conservée.

Le champ électrique réfléchi s'écrit donc en notation complexe :

Dans le demi-espace z < 0 (le vide), le champ électrique total \underline{\vec{E}}_1(z, t) résulte de la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie :

Dans le demi-espace z \ge 0 (le conducteur), le champ électrique est le champ transmis :

L'interface dioptrique est le plan z = 0, dont le vecteur normal unitaire est \vec{n}_{1\to 2} = \vec{e}_z. Les champs électriques incident, réfléchi et transmis sont tous dirigés selon \vec{e}_x, qui appartient au plan de l'interface : ils sont donc purement tangentiels.

D'après les relations de passage rappelées dans le formulaire, la composante tangentielle du champ électrique est continue à la traversée d'une interface, y compris en présence d'éventuelles charges surfaciques :

En évaluant cette condition en z = 0 :

Cette relation étant vraie à tout instant t, on simplifie par \exp(\mathrm{i}\omega t) :

En divisant cette égalité par l'amplitude incidente \underline{E}_{0,i}, il vient directement :

L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit :

Pour une onde plane de vecteur d'onde (éventuellement complexe) \underline{\vec{k}}, l'opérateur rotationnel complexe s'exprime par \vec{\mathrm{rot}} = -\mathrm{i}\underline{\vec{k}}\times, ce qui donne directement la relation de structure :

1. Onde incidente (z < 0) :
L'onde se propage selon +z avec \vec{k}_i = k\vec{e}_z et k = \frac{\omega}{c}. Comme \vec{e}_z \times \vec{e}_x = \vec{e}_y, il vient :

2. Onde réfléchie (z < 0) :
D'après la question Q17, le vecteur d'onde s'écrit \vec{k}_r = -k\vec{e}_z. Par suite :

3. Onde transmise (z \geqslant 0) :
L'onde transmise se propage selon +z dans le conducteur avec \underline{\vec{k}}_t = \underline{k}_t\vec{e}_z où \underline{k}_t = \alpha + \mathrm{i}\beta = \frac{1-\mathrm{i}}{\delta} d'après les questions Q13 et Q14. On a donc :

Le dioptre séparant le vide (milieu 1, pour z < 0) du conducteur ohmique (milieu 2, pour z > 0) est le plan z = 0, dont le vecteur normal unitaire orienté de 1 vers 2 est \vec{n}_{1 \to 2} = \vec{e}_z.

Les champs magnétiques établis à la question Q19 sont tous portés par le vecteur \vec{e}_y. Comme \vec{e}_y \cdot \vec{e}_z = 0, le champ magnétique est purement tangentiel au dioptre : \vec{B}_t = B_y \vec{e}_y et B_n = 0.

D'après le formulaire, la relation de continuité de la composante tangentielle du champ magnétique s'écrit :

Le conducteur ayant une conductivité finie \gamma_0, les courants sont volumiques et répartis sur l'épaisseur de peau \delta ; il n'y a donc pas de courant surfacique (\vec{\jmath}_s = \vec{0}). Il en résulte la continuité de la composante tangentielle du champ magnétique en z = 0 :

Dans le vide (z < 0), le champ total est la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie :

Dans le conducteur (z > 0), le champ transmis s'écrit en z = 0^+ :

L'égalité des champs en z = 0 fournit :

En utilisant k = \dfrac{\omega}{c} et en divisant par \underline{E}_{0,i}, on obtient :

Comme \underline{k}_t = \alpha + \mathrm{i}\beta = \dfrac{1 - \mathrm{i}}{\delta} d'après les questions Q13 et Q14, cette relation s'écrit sous la forme :

ou de manière équivalente :

D'après les questions Q18 et Q20, les coefficients complexes de réflexion \underline{r} et de transmission \underline{t} vérifient le système linéaire suivant :

En substituant l'expression de \underline{t} issue de l'équation (1) dans l'équation (2), il vient :

En regroupant les termes en \underline{r} :

On en déduit l'expression du coefficient de réflexion en amplitude :

En utilisant ensuite la relation (1), on obtient le coefficient de transmission en amplitude :

Soit finalement :

Un conducteur parfait est modélisé par une conductivité électrique infinie : \gamma_0 \to +\infty. D'après l'expression de l'épaisseur de peau établie à la question Q14,

On en déduit que le terme sans dimension k\delta tend vers 0. En passant à la limite dans les expressions de \underline{r} et \underline{t} obtenues à la question Q21 :

On obtient donc :

Efficacité de la protection de données :

• Puisque |\underline{r}| = 1 et \underline{t} = 0, l'onde électromagnétique incidente subit une réflexion totale sur la surface (R = |\underline{r}|^2 = 1) avec une opposition de phase sur le champ électrique (\underline{r} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}).
• Le champ électromagnétique transmis à l'intérieur du conducteur est strictement nul : aucun rayonnement ne pénètre dans le demi-espace z > 0.

Par conséquent, une puce NFC-RFID placée derrière une feuille de conducteur parfait ne reçoit aucun signal émis par un lecteur distant : la protection contre le piratage est parfaite et absolue.

D'après la question Q21, le coefficient de réflexion en amplitude s'écrit :

Le carré de son module vaut :

Le coefficient de transmission en énergie à l'interface s'en déduit :

Pour les ondes NFC-RFID de fréquence f \approx 14\text{ MHz} :

On a donc k\delta \approx 0{,}293 \times 2{,}18 \times 10^{-5} \approx 6{,}4 \times 10^{-6} \ll 1. À l'ordre 1 en k\delta, l'expression de T se simplifie en :

L'application numérique donne :

Conclusion :

• À l'interface z = 0, la réflexion est quasi-totale : une proportion R = |\underline{r}|^2 \approx 1 - 1{,}3 \times 10^{-5} = 99{,}9987\,\% de la puissance incidente est réfléchie.

• La faible fraction transmise (T \approx 1{,}3 \times 10^{-5}) pénètre dans l'aluminium et subit une atténuation exponentielle de sa puissance selon \exp(-2z/\delta). Pour une épaisseur a = 0{,}020\text{ mm} = 20\ \mu\text{m} \approx \delta, ce facteur d'atténuation supplémentaire vaut :

  \exp\left(-\frac{2a}{\delta}\right) \approx \exp\left(-\frac{2 \times 20}{22}\right) \approx \mathrm{e}^{-1{,}8} \approx 0{,}16
• La fraction de puissance traversant la feuille est donc de l'ordre de T \times \exp(-2a/\delta) \approx 2 \times 10^{-6}. Le signal résiduel est bien trop faible pour activer la puce NFC-RFID. Une simple feuille d'aluminium de cuisine assure donc une protection très efficace contre le piratage à distance.

Le signal s(t) est composé :

• d'une composante continue S_0 = 1{,}5\text{ V} ;
• d'une composante sinusoïdale d'amplitude crête-à-crête de 3\text{ V}, soit une amplitude A = 1{,}5\text{ V} ;

• d'une fréquence f = 100\text{ Hz}, correspondant à une période temporelle :

  T = \frac{1}{f} = \frac{1}{100} = 10\text{ ms}.

En choisissant conventionnellement une phase à l'origine nulle, le signal s'écrit :

Ce signal oscille donc entre s_{\min} = 0\text{ V} et s_{\max} = 3\text{ V}.

Principe de l'échantillonnage :
L'échantillonnage consiste à convertir un signal analogique continu dans le temps s(t) en une suite discrète de valeurs \{s_n\} prélevées à des instants périodiques discrets t_n = n\,T_e (avec n \in \mathbb{N} et où T_e = 1/f_e désigne la période d'échantillonnage). En pratique, cela revient à mesurer la tension s(t) pendant une fenêtre temporelle très brève à chaque période T_e :

Le montage constitue un échantillonneur-bloqueur (ou track-and-hold) et le condensateur de capacité C_e joue le rôle d'élément de mémorisation analogique :

• Phase d'échantillonnage (acquisition) : lorsque le signal d'horloge est au niveau haut (durée du pic), l'interrupteur CD4016 est fermé (résistance passante R_{\text{ON}} \approx 400\;\Omega). Le condensateur se charge très rapidement avec une constante de temps \tau_{\text{charge}} = R_{\text{ON}} C_e choisie bien inférieure à la durée de l'impulsion, de sorte que la tension V_{\mathrm{ech}}(t) rejoint la valeur instantanée du signal d'entrée s(t).
• Phase de blocage (maintien) : lorsque l'interrupteur s'ouvre, le condensateur se retrouve isolé (l'interrupteur présente une très grande résistance à l'état bloqué et un courant de fuite négligeable de l'ordre de 0{,}1\text{ nA}). En l'absence de chemin de décharge, le condensateur conserve sa charge q = C_e V_{\mathrm{ech}} : la tension V_{\mathrm{ech}}(t) reste constante, égale à la valeur échantillonnée, pendant toute la durée séparant deux impulsions d'horloge.

Cette stabilisation de la tension pendant l'intervalle d'échantillonnage permet à l'étage suivant (typiquement un convertisseur analogique-numérique) d'effectuer la mesure sans que la grandeur à convertir n'évolue pendant le temps de conversion.

La période du signal d'horloge T_e est reliée à sa fréquence f_e = 1{,}0\text{ kHz} par :

ce qui est bien en accord avec l'oscillogramme de la figure 3 où les pics se succèdent toutes les 1\text{ ms}.

Par définition, le rapport cyclique \alpha est le rapport entre la durée du pic \tau (pendant laquelle le signal est à l'état haut 10\text{ V}) et la période T_e du signal :

Avec \alpha = 2\,\% = 0{,}020, on obtient numériquement :

L'oscillogramme de la figure 4 appelle les commentaires suivants :

1. Forme en « marches d'escalier » (bloqueur d'ordre zéro) : Le signal échantillonné V_{\mathrm{ech}}(t) est une fonction constante par morceaux. Pendant chaque pic d'horloge (durée \tau = 20\ \mu\text{s}), l'interrupteur est passant et le condensateur se charge quasi-instantanément à la valeur instantanée s(t_n) ; lorsque l'interrupteur s'ouvre (durée (1-\alpha)T_e \approx 0{,}98\text{ ms}), le condensateur maintient sa tension constante. Chaque palier a donc une durée égale à la période d'échantillonnage :

   T_e = 1{,}0\text{ ms}.

2. Discrétisation temporelle et fidélité de restitution : Sur une période du signal s(t) (T = 1/f = 10\text{ ms}), on observe exactement :

   N = \frac{T}{T_e} = \frac{10\text{ ms}}{1\text{ ms}} = 10\text{ paliers par période}.

   Sur la fenêtre temporelle de 50\text{ ms}, on retrouve bien 5 oscillations complètes du signal s(t).

3. Respect de la condition de Shannon : La fréquence d'échantillonnage f_e = 1{,}0\text{ kHz} est dix fois supérieure à la fréquence du signal f = 100\text{ Hz}. La condition de Shannon-Nyquist (f_e > 2f) étant largement satisfaite, le signal échantillonné-bloqué suit fidèlement les variations de la sinusoïde d'entrée, sans déformation macroscopique ni repliement de spectre.

1. Existence des pics de fréquence supérieure à 100\text{ Hz}

L'échantillonnage idéal d'un signal continu s(t) à la période T_e = 1/f_e correspond temporellement à la modulation de s(t) par un peigne de Dirac (ou un train d'impulsions périodique de période T_e). En vertu des propriétés de la transformée de Fourier, la multiplication dans le domaine temporel correspond à un produit de convolution dans le domaine fréquentiel :

Le spectre de la porteuse d'échantillonnage h(t) étant constitué de raies discrètes aux fréquences p f_e (p \in \mathbb{Z}), le spectre du signal échantillonné présente une duplication (périodisation) du spectre initial S(f) autour de chaque multiple entier p f_e de la fréquence d'échantillonnage.

L'échantillonneur-bloqueur applique de plus un maintien de tension sur chaque période T_e (bloqueur d'ordre zéro), ce qui correspond à une convolution temporelle par une porte de largeur T_e, modélisable dans l'espace fréquentiel par un filtre d'enveloppe en sinus cardinal :

Ce filtrage atténue les composantes de haute fréquence (comme en témoigne la décroissance des amplitudes des pics avec f sur la figure 5), sans toutefois les supprimer totalement : les raies associées aux répétitions spectrales restent présentes dans le spectre de V_{\text{ech}}(t).

2. Commentaire des valeurs des fréquences obtenues

Le signal d'entrée possède une composante sinusoïdale de fréquence f = 100\text{ Hz} et la fréquence d'échantillonnage vaut f_e = 1{,}0\text{ kHz} = 1000\text{ Hz}. Les répliques spectrales de cette composante apparaissent de part et d'autre des multiples de f_e, aux fréquences :

En détaillant les premières valeurs de p :

• Pour p = 0 : raie fondamentale f = 100\text{ Hz} (pic 1), correspondant au signal utile ;

• Pour p = 1 (f_e = 1000\text{ Hz}) :

  \begin{aligned} f_1^- &= f_e - f = 1000 - 100 = 900\text{ Hz} \quad (\textbf{pic 2}) \\ f_1^+ &= f_e + f = 1000 + 100 = 1100\text{ Hz} \quad (\textbf{pic 3}) \end{aligned}

• Pour p = 2 (2f_e = 2000\text{ Hz}) :

  \begin{aligned} f_2^- &= 2f_e - f = 2000 - 100 = 1900\text{ Hz} \quad (\textbf{pic 4}) \\ f_2^+ &= 2f_e + f = 2000 + 100 = 2100\text{ Hz} \quad (\textbf{pic 5}) \end{aligned}

• Pour p = 3 (3f_e = 3000\text{ Hz}) :

  \begin{aligned} f_3^- &= 3f_e - f = 3000 - 100 = 2900\text{ Hz} \quad (\textbf{pic 6}) \\ f_3^+ &= 3f_e + f = 3000 + 100 = 3100\text{ Hz} \quad (\textbf{pic 7}) \end{aligned}

Les fréquences observées sont donc rigoureusement conformes aux raies d'échantillonnage théoriques symétriques autour des harmoniques de l'horloge p f_e.

Le signal s(t) est donné par son développement en série de Fourier :

On reconnaît la décomposition d'un signal créneau périodique de période T = \frac{1}{f} = \frac{1}{110\text{ Hz}} \approx 9{,}09\text{ ms}, évoluant entre 0 et S, de rapport cyclique 1/2 et de valeur moyenne \langle s \rangle = \frac{S}{2}.

Allure temporelle En se limitant au rang k = 3, le signal tronqué s'écrit :

Cette somme tronquée reproduit l'allure du créneau avec de légères ondulations aux abords des discontinuités (phénomène de Gibbs).

Allure spectrale Le spectre est composé de raies discrètes associées à la composante continue et aux harmoniques d'ordre impair (2k+1)f pour k \in \{0, 1, 2, 3\} :

• Composante continue (f = 0) : amplitude A_0 = \frac{S}{2} = 0{,}50\,S ;
• Fondamental (k = 0, f_1 = f = 110\text{ Hz}) : amplitude A_1 = \frac{2S}{\pi} \approx 0{,}64\,S ;
• Harmonique 3 (k = 1, f_3 = 3f = 330\text{ Hz}) : amplitude A_3 = \frac{2S}{3\pi} \approx 0{,}21\,S ;
• Harmonique 5 (k = 2, f_5 = 5f = 550\text{ Hz}) : amplitude A_5 = \frac{2S}{5\pi} \approx 0{,}13\,S ;
• Harmonique 7 (k = 3, f_7 = 7f = 770\text{ Hz}) : amplitude A_7 = \frac{2S}{7\pi} \approx 0{,}09\,S.

D'après la question Q29, le signal s(t) tronqué au rang k = 3 contient une composante continue (0\text{ Hz}) ainsi que les composantes de fréquences impaires :

d'amplitudes proportionnelles à 1, 1/3, 1/5 et 1/7.

L'échantillonnage à la fréquence f_e = 1{,}0\text{ kHz} = 1000\text{ Hz} engendre des répliques spectrales aux fréquences |p f_e \pm f_h| où p \in \mathbb{N} et f_h \in \{0, f_1, f_3, f_5, f_7\}.

Dans la bande de fréquences [0\,;\,1200\text{ Hz}], on observe ainsi :

• le spectre original (p = 0) :

  \begin{aligned} &0\text{ Hz}\quad (\text{continu}) ; \quad 110\text{ Hz}\ (f_1) ; \quad 330\text{ Hz}\ (f_3) ; \quad 550\text{ Hz}\ (f_5) ; \quad 770\text{ Hz}\ (f_7) ; \end{aligned}

• la réplique autour de p = 1 (f_e = 1000\text{ Hz}) :

  \begin{aligned} &f_e - f_7 = 1000 - 770 = 230\text{ Hz} \quad (\text{amplitude } \propto 1/7) ; \\ &f_e - f_5 = 1000 - 550 = 450\text{ Hz} \quad (\text{amplitude } \propto 1/5) ; \\ &f_e - f_3 = 1000 - 330 = 670\text{ Hz} \quad (\text{amplitude } \propto 1/3) ; \\ &f_e - f_1 = 1000 - 110 = 890\text{ Hz} \quad (\text{amplitude } \propto 1) ; \\ &f_e = 1000\text{ Hz} \quad (\text{réplique du continu}) ; \\ &f_e + f_1 = 1000 + 110 = 1110\text{ Hz} \quad (\text{amplitude } \propto 1). \end{aligned}

On note l'apparition de nouvelles composantes parasites à 230\text{ Hz} et 450\text{ Hz} en dessous de la fréquence de Nyquist f_e / 2 = 500\text{ Hz}.

1. Phénomène observé

À la question précédente, des raies non présentes dans le signal d'origine (notamment à 230\text{ Hz} et 450\text{ Hz}) se superposent dans la bande utile [0\,;\,f_e/2]. Cela provient du fait que des composantes spectrales initiales (550\text{ Hz} et 770\text{ Hz}) dépassent la demi-fréquence d'échantillonnage f_e/2 = 500\text{ Hz}. Leurs répliques spectrales centrées autour de f_e viennent se rabattre dans les basses fréquences. Ce phénomène s'appelle le repliement spectral (ou recouvrement spectral).

2. Critère quantitatif pour y remédier

Pour qu'il n'y ait aucun chevauchement entre le spectre de base et ses répliques centrées en \pm f_e, la fréquence d'échantillonnage f_e doit être au moins égale au double de la fréquence maximale f_{\max} contenue dans le spectre du signal analogique s(t) :

Dans le cas du signal tronqué au rang k = 3, la fréquence maximale vaut f_{\max} = 7f = 770\text{ Hz}. La condition s'écrit alors numériquement :

Pour le signal théorique complet (dont le spectre s'étend jusqu'à l'infini), il est nécessaire d'intercaler préalablement un filtre passe-bas anti-repliement de fréquence de coupure f_c \leqslant f_e/2.

3. Nom du critère

Ce résultat constitue le critère de Shannon (ou théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon).

Pour réaliser un filtre passe-bas du premier ordre à l'aide d'un dipôle RC, on associe en série une résistance R et un condensateur de capacité C :

• la tension d'entrée s_e(t) est appliquée à l'ensemble du dipôle \{R, C\} ;
• la tension de sortie s_s(t) est prélevée aux bornes du condensateur C (en sortie ouverte, c'est-à-dire non chargée).

Pour le filtre passe-bas RC série en sortie ouverte (tension de sortie prélevée aux bornes du condensateur de capacité C), le pont diviseur de tension en régime sinusoïdal forcé donne :

La forme canonique de la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du premier ordre s'écrit alors :

avec un gain statique H_0 = 1 et une pulsation (ou fréquence angulaire) de coupure à -3\text{ dB} donnée par :

D'après l'expression de la fonction de transfert canonique établie à la question Q33 :

En effectuant le produit en croix, il vient en régime harmonique :

En identifiant le temps caractéristique du premier ordre :

et en utilisant la correspondance entre dérivation temporelle et multiplication par \mathrm{i}\omega en régime linéaire (\mathrm{i}\omega \longleftrightarrow \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}), on obtient l'équation différentielle temporelle régissant le filtre :

D'après la chaîne de traitement du signal représentée sur la figure 6 :

• L'opérateur 1 est un Convertisseur Analogique-Numérique (CAN) (ou ADC). Sa fonction est de convertir le signal continu temporel et analogique en une suite de nombres discrets (signal numérique). Il réalise successivement les opérations d'échantillonnage temporel, de quantification en amplitude et de codage binaire.
• Le calculateur (processeur, DSP, microcontrôleur ou ordinateur) réalise le traitement numérique du signal (ici un filtrage numérique). Sa fonction est d'exécuter un algorithme (généralement modélisé par une équation de récurrence) calculant les échantillons de sortie S_s[n] à partir des échantillons d'entrée S_e[n].
• L'opérateur 2 est un Convertisseur Numérique-Analogique (CNA) (ou DAC), généralement associé à un filtre de restitution (ou de lissage). Sa fonction est de transformer la suite de valeurs numériques discrètes fournies par le calculateur en une tension analogique continue exploitable (par exemple pour commander un haut-parleur).

Le filtrage numérique présente plusieurs atouts majeurs par rapport au filtrage analogique :

• Flexibilité et reconfigurabilité : il est possible de modifier les caractéristiques du filtre (fréquence de coupure, ordre, type de filtrage) par simple modification logicielle des coefficients du programme, sans changer le matériel physique ;
• Stabilité et reproductibilité : le filtrage numérique est insensible aux tolérances de fabrication des composants, au vieillissement et aux dérives thermiques (contrairement aux composants passifs réels R, L, C).

En contrepartie, son inconvénient majeur est :

• Le temps de calcul (ou latence) : le délai introduit par les étapes d'échantillonnage, de conversion et d'exécution de l'algorithme retarde le signal de sortie, ce qui peut être contraignant pour les applications en temps réel.

Puisque la période d'échantillonnage T_e est petite devant le temps caractéristique \tau du filtre, la fonction s_s(t) varie peu sur l'intervalle [t_{n-1}, t_n]. On effectue un développement de Taylor à l'ordre 1 au voisinage de t_n :

En introduisant les grandeurs échantillonnées S_s[n] = s_s(t_n) et S_s[n-1] = s_s(t_{n-1}), on en déduit l'approximation par différence finie régressive (ou méthode d'Euler rétrograde) :

D'après la question Q34, l'équation différentielle liant l'entrée s_e(t) et la sortie s_s(t) s'écrit :

À l'ordre 1 en T_e, le taux d'accroissement déterminé à la question Q37 approche également la dérivée temporelle de la sortie à l'instant t_{n-1} :

En évaluant l'équation différentielle à l'instant d'échantillonnage t_{n-1} = (n-1)T_e (schéma d'Euler explicite), il vient :

En multipliant par \frac{T_e}{\tau} et en isolant S_s[n] :

On obtient ainsi la relation de récurrence du filtre passe-bas numérique d'ordre 1 :

D'après la relation de récurrence issue de la discrétisation établie à la question Q38 :

Pour calculer pas à pas les termes de la suite pour n \geqslant 1, le calculateur nécessite impérativement :

1. La condition initiale sur le signal de sortie, c'est-à-dire la valeur :

   \boxed{S_s[0]}

   (souvent fixée à 0\text{ V} si le système est initialement au repos).

2. Les paramètres temporels du filtre, à savoir le temps caractéristique \tau (ou la pulsation de coupure \omega_c = 1/\tau) et la période d'échantillonnage T_e afin de calculer les coefficients scalaires de la récurrence.

1. Identification de la zone de fréquences à filtrer :

• Sur le spectre de gauche (dictée au calme), le signal utile de la voix humaine est principalement concentré dans les basses fréquences, entre 100\text{ Hz} et environ 1\,000\text{ Hz} (pics autour de 150\text{ Hz}, 400\text{ Hz} et 600\text{ Hz}). Au-delà de 1\,000\text{ Hz}, l'amplitude chute rapidement sous -60\text{ dB}.
• Sur le spectre de droite (en présence de cris d'enfants), on observe une composante parasite très énergétique pour les fréquences supérieures à 1\,000\text{ Hz}, caractérisée par un pic très marqué culminant autour de 2\,500\text{ Hz} à 3\,000\text{ Hz} (niveau atteignant près de -15\text{ dB}).

La zone de fréquences à filtrer est donc la bande des fréquences aiguës :

2. Choix de la fréquence de coupure f_c :

Le filtre passe-bas d'ordre 1 doit laisser passer le signal de parole (situé en dessous de 1\,000\text{ Hz}) sans trop l'atténuer, tout en réduisant l'amplitude des composantes parasites situées au-delà de 2\,000\text{ Hz}.

On choisit donc une fréquence de coupure f_c située à la frontière entre le signal utile et la perturbation :

À l'aide de la relation de récurrence obtenue à la question Q38 :

avec T_e = 1/f_e et \tau = 1/\omega_c = 1/(2\pi f_c), on complète le script Python :

import numpy as np
import scipy.io.wavfile

fe, Se = scipy.io.wavfile.read("dictee.wav")

# Parametres du filtre passe-bas
fc = 1000.0                       # Frequence de coupure en Hz (Q40)
tau = 1.0 / (2.0 * np.pi * fc)    # Temps caracteristique tau = 1/omega_c
Te = 1.0 / fe                     # Periode d'echantillonnage
a = Te / tau

# Initialisation du vecteur de sortie
N = len(Se)
Ss = np.zeros(N)
Ss[0] = Se[0]                     # Condition initiale (Q39)

# Calcul du signal filtre par recurrence
for n in range(1, N):
    Ss[n] = (1.0 - a) * Ss[n - 1] + a * Se[n - 1]

# Enregistrement optionnel du fichier audio filtre
scipy.io.wavfile.write("dictee_filtree.wav", fe, Ss.astype(Se.dtype))

Dans le cadre de l'étude du rayonnement électromagnétique dipolaire, les deux inégalités correspondent aux approximations fondamentales suivantes :

1. Inégalité r \gg a : approximation du dipôle ponctuel (ou approximation d'éloignement).
   La distance du point d'observation M à l'origine est très grande devant la dimension spatiale caractéristique de la source oscillante (a). Le doublet constitué par les charges +q et -q peut donc être assimilé à un dipôle ponctuel situé en O.

2. Inégalité \lambda \gg a : approximation dipolaire électrique (ADE) (ou approximation des temps de propagation négligeables à l'échelle de la source).
   La longueur d'onde du rayonnement émis est très grande devant la dimension spatiale de la source. Cela implique que :

   • le temps de propagation d'une onde à travers la source, \Delta t \sim \frac{a}{c}, est négligeable devant la période temporelle d'oscillation T = \frac{\lambda}{c} ;

   • la vitesse maximale des charges au sein de la source est très faible devant la célérité de la lumière dans le vide :

     v_{\max} = a\omega = 2\pi c \frac{a}{\lambda} \ll c \quad \text{(approximation non relativiste)}.