Centrale Physique Chimie 1 MPI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

Téléphonie Mobile

Pas encore noté

Faisable en sup ?

Faisable en partie en MP2I : 8 questions sur 55. Autres questions faisables en MP2I

Autres premières années : PTSI 7 · BCPST1 4 questions.

Détail par partie

Partie I : Protection des données bancaires par un conducteur2/23En partie
- Question 1
- Question 2
Partie II : Dictée d'un message : principe de l'échantillonnage5/18En partie
Partie III : Réception d'une communication téléphonique1/14En partie
- Question 53

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BanqueCentrale Année2023 FilièreMPI MatièrePhysique-Chimie

Annales Centrale MPI Physique-Chimie Centrale MPI 2023 MPI Physique-Chimie Physique-Chimie 2023

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Difficulté moyenne

Téléphonie mobile : protection par un conducteur, reconnaissance vocale et réception du signal

L'épreuve de physique-chimie 1 de Centrale-Supélec MPI 2023 porte sur trois aspects indépendants de la téléphonie mobile : la protection d'un téléphone par un conducteur ohmique, l'échantillonnage d'un signal pour la reconnaissance vocale, et la réception d'un signal par une antenne en environnement urbain. Elle évalue l'électromagnétisme, l'électronique analogique et numérique, avec un script Python utilisant le schéma d'Euler.

1Partie I : Protection des données bancaires par un conducteurModèle de Drude de conduction électrique, loi d'Ohm locale, puis propagation et réflexion d'une onde électromagnétique sur un conducteur ohmique.
2Partie II : Fonctionnalité dictée des smartphonesÉchantillonnage d'un signal analogique, théorème de Nyquist-Shannon, filtre passe-bas du premier ordre et résolution numérique par le schéma d'Euler en Python.
3Partie III : Réception d'une communication téléphoniqueRayonnement par une antenne, puis étude des problèmes de réception en environnement urbain à l'aide des relations de passage électromagnétiques.

Difficulté moyenne. Le jury se félicite du niveau moyen des copies en électromagnétisme et en électronique analogique, mais espère que les compétences en électronique numérique, moins bien maîtrisées, progresseront pour les sessions futures.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,34 / 20 · écart-type 4,13 · 569 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,34/ 20
Écart-type: 4,13
Présents: 569
Coefficient: 10
Durée: 4 h
1er quartile: 6,5
Médiane: 9,1
3e quartile: 12,1

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 10 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Relations de continuité des champs mal exploitées · Principe du repliement de spectre mal compris · Effet du peigne de Dirac sur le spectre mal maîtrisé

Le sujet, de longueur raisonnable, a pu être traité en intégralité par de nombreux candidats grâce à des parties clairement indépendantes et progressives. Les copies étaient dans l'ensemble assez bien présentées, même si des progrès restent possibles sur la mise en évidence des résultats. Les questions d'électromagnétisme et d'électronique analogique ont été mieux traitées que celles d'électronique numérique.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Relations de continuité des champs mal exploitéesQ17
Ces relations, rappelées dans l'énoncé, ne permettent pas de déterminer directement l'expression générale du champ réfléchi et ne sont valables qu'à la surface du dioptre, ce qui est souvent oublié.
« les relations de continuité des champs, rappelées dans l'énoncé, aient été mal utilisées par les candidats »
2
Principe du repliement de spectre mal compris
Même si le critère de Nyquist-Shannon est bien énoncé, le mécanisme du repliement de spectre lors de l'échantillonnage reste flou pour de nombreux candidats.
« Le principe du repliement de spectre est mal compris »
3
Effet du peigne de Dirac sur le spectre mal maîtrisé
Les conséquences de la multiplication du signal analogique par un peigne de Dirac sur le spectre du signal échantillonné ne sont pas correctement analysées.
« Les conséquences sur le spectre du signal échantillonné de la multiplication du signal analogique par un peigne »
4
Approximation non relativiste ignorée pour le rayonnement d'antenne
Peu de candidats identifient l'approximation non relativiste utilisée pour étudier le rayonnement de l'antenne.
« Peu de candidats connaissent l'approximation non relativiste. »
5
Puissance rayonnée intégrée à tort sur une surface
L'énoncé indiquait clairement de ne pas procéder par intégration sur une surface pour obtenir la puissance moyenne rayonnée, consigne que beaucoup de candidats n'ont pas respectée.
« Une grande partie des candidats ont calculé une puissance moyenne rayonnée en intégrant sur une surface »
6
Relations de passage à une abscisse non nulle
Dans la partie sur la réception en environnement urbain, les relations de passage étaient utilisées à une abscisse différente de zéro, ce qui a généré de nombreuses erreurs malgré des raisonnements souvent corrects.
« Ceci a conduit à un très grand nombre d'erreurs. »

Ce qui a été bien réussi

Le régime sinusoïdal forcé est généralement bien maîtrisé.
Le critère de Nyquist-Shannon est correctement énoncé par la plupart des candidats.
La réalisation d'un filtre passe-bas du premier ordre et sa fonction de transfert sous forme canonique sont généralement bien connues.
Le schéma numérique d'Euler est généralement bien compris, et la démarche d'écriture du script est souvent bien saisie même si le script lui-même a été peu traité.

Conseils du jury

Toujours préciser le système et le référentiel d'étude dans les questions de mécanique.
Accompagner le raisonnement d'un schéma explicatif clair, en particulier pour les questions de réception en environnement urbain.
Vérifier la cohérence entre le nombre de pseudo-périodes tracées et la longueur caractéristique d'atténuation calculée.
Soigner l'initialisation des listes et les indices de boucle lors de l'écriture d'un script Python.
Rappeler la relation entre longueur d'onde, célérité de l'onde et pulsation avant de l'utiliser.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Téléphonie Mobile

La téléphonie mobile a envahi notre quotidien. En janvier 2020, on comptait 5,19 milliards d'utilisateurs de mobile dans le monde, ce qui représente

67%

de la population totale. La croissance des utilisateurs de téléphone mobile a été plus rapide que celle de la population mondiale sur la même période.
Si le «mobile» a une utilité en tant que téléphone, ce n'est clairement pas sa seule fonction! Ainsi,

92%

des utilisateurs de téléphones mobiles s'en servent pour accéder à internet. D'après le rapport digital 2020 de We are social, un utilisateur passe en moyenne 3 heures et 22 minutes par jour sur internet à partir de son téléphone portable. Cela représente une augmentation de

10%

par rapport à l'année 2019.
Ce sujet porte sur quelques aspects de la téléphonie mobile. La première partie s'intéresse à la protection du téléphone face au piratage par «contact». La deuxième partie est consacrée à l'étude de la fonctionnalité dictée des smartphones dite «speech-to-text ». Une dernière partie explore le principe de la réception d'un signal par un téléphone mobile et notamment le problème de réception en milieu urbain. Les trois parties peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Certaines données numériques et un formulaire sont disponibles en fin d'énoncé.

I Protection des données bancaires par un conducteur

La protection du téléphone portable contre le piratage est devenue essentielle. Cette partie s'intéresse à la mise en place d'une protection simple en insérant une feuille d'aluminium dans la pochette du téléphone. En effet, les puces à distance (NFC-RFID) possèdent une antenne et un convertisseur de signal. L'antenne perçoit le signal de fréquence d'environ 14 MHz , émis à distance par le terminal et le convertisseur transforme ce signal en signal «horloge» qui sert à synchroniser les échanges de la puce et du terminal. À quelques mètres, on peut donc solliciter une puce NFC-RFID et recueillir ses données relativement aisément. Pour se prémunir d'un piratage, il suffit de protéger son téléphone à l'aide d'un feuillet constitué par exemple d'aluminium.
On considère l'aluminium comme un conducteur ohmique, homogène, isotrope et non magnétique. En son sein, les charges mobiles sont des électrons animés d'une vitesse d'ensemble

v⃗(t)

soumis à l'action d'un champ électrique variable

E⃗ = E_0 cos(ωt)e⃗_x

. Les électrons libres, de masse

m

et de charge

- e

, sont soumis en outre selon le modèle de Drude, à une force

F⃗_f = - m/τv⃗(t)

où

τ

est une constante physique traduisant les interactions avec l'ensemble du réseau cristallin, sa valeur est d'environ

1, 0 \times 10^(- 14) s

. Le poids de ces charges est négligé. Le conducteur est immobile dans le référentiel d'étude, supposé galiléen.

I.A - Loi d'ohm locale

Q 1. Établir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par le vecteur vitesse

v⃗(t)

des électrons.
Q 2. Déterminer, en régime forcé, une expression de la vitesse sous la forme

v⃗_- = v⃗_0 exp(iωt)

où

v⃗_0

est l'amplitude vectorielle complexe de la vitesse que l'on exprimera en fonction des données du problème.
Q 3. On note

n^*

la densité volumique, supposée constante, d'électrons libres. Déterminer l'expression, en notation complexe, du vecteur densité de courant volumique

j⃗_-

.
Q 4. Montrer alors que l'on peut établir une loi d'ohm locale complexe en considérant que la conductivité électrique du milieu

γ_-

peut s'écrire, en notation complexe, sous la forme

γ_- = (γ_0)/(1 + i˙g(ω))

où

γ_0

correspond à la conductivité électrique «statique» et

g(ω)

à une fonction de la pulsation. On exprimera ces deux grandeurs en fonction des données de l'énoncé.
Q 5. Déterminer la valeur de la fréquence limite

f_(lim)

en dessous de laquelle on peut considérer que la loi d'ohm en notation réelle peut s'écrire sous la forme

ȷ⃗ = γ_0 E⃗

.
Q 6. Peut-on écrire la loi d'Ohm sous la forme

ȷ⃗ = γ_0 E⃗

pour les communications NFC-RFID ?
Q 7. Pour les communications NFC-RFID, estimer numériquement le rapport entre la norme du vecteur densité de courant volumique

ȷ⃗

et celle du vecteur densité de courant de déplacement

ȷ⃗_D = ε_0(\partialE⃗)/(\partialt)

présent dans l'équation de Maxwell-Ampère que l'on rappellera.
Q 8. En déduire une simplification de la formulation de l'équation de Maxwell-Ampère. Comment appelle-t-on cette approximation ?

I.B - Propagation d'une onde électromagnétique

On considère désormais une onde électromagnétique plane progressive et harmonique (OPPH)

E⃗_c(z, t)

de pulsation

ω

se propageant dans le conducteur précédemment considéré qui occupe le demi-espace

z ⩾ 0

. En notation complexe, cette onde s'écrit

E⃗_-_c(z, t) = E_(0, c)exp(i(ωt - k_-_t z))e⃗_x

L'amplitude

E_(0, c)

est supposée constante et le vecteur d'onde

k⃗_-_t = k_-_t e⃗_z

est complexe de telle sorte que

k_-_t = α + iβ

avec

α

β

réels.
Q 9. On suppose que la loi d'Ohm s'écrit sous la forme

ȷ⃗ = γ_0 E⃗

, montrer que dans le conducteur la densité volumique de charge

ρ(M, t)

peut être considérée comme nulle au bout d'un temps

τ^'

que l'on exprimera en fonction des données du problème. On pourra notamment utiliser l'équation de conservation de la charge, que l'on ne cherchera pas à démontrer, et établir l'équation vérifiée par

ρ(M, t)

.
Q 10. Justifier que l'on peut supposer que le milieu est électriquement neutre. Écrire dans ces conditions l'équation de Maxwell-Gauss dans un conducteur ohmique.
Q 11. En supposant que les valeurs des fréquences utilisées permettent d'utiliser les versions simplifiées des équations de Maxwell identifiées dans les questions 8 et 10, établir l'équation suivante pour le champ électrique

E⃗_c

au sein du conducteur

ΔE⃗_c(z, t) - 1/D(\partialE⃗_c(z, t))/(\partialt) = 0\to.

Exprimer

D

en fonction des grandeurs du problème et préciser son unité.
Q 12. Montrer alors que la relation de dispersion, pour le milieu considéré, s'écrit

k_-_t^2 = - iωμ_0 γ_0.

Q 13. Déterminer l'expression des grandeurs

α

β

en choisissant

α > 0

, c'est-à-dire en considérant une propagation vers les

z

croissants.
Q 14. Montrer alors que le champ électrique, en notation réelle, dans le conducteur peut se mettre sous la forme

E⃗_c(z, t) = E_(0, c)exp(- z/δ)cos(ωt - z/δ)e⃗_x.

Exprimer

δ

en fonction des données de l'énoncé.
Q 15. Proposer une représentation soignée de la composante suivant

x, E_(c, x)

, de

E⃗_c(z, t)

t

fixé, en fonction de

z

pour le demi-espace

z ⩾ 0

. On fera apparaitre la grandeur

δ

sur le schéma.
Q 16. Comment appelle-t-on

δ

? Quelle est sa signification physique ? Donner la valeur de

δ

pour les ondes électromagnétiques de communication NFC-RFID.

I. $C -$ Réflexion sur un conducteur ohmique

L'onde

E⃗_c(z, t)

présente dans le conducteur précédent est due à la présence d'une OPPH incidente se propageant dans le vide, supposée occuper le demi-espace

z < 0

, vers les

z

croissants de même pulsation

ω

de la forme, en notation complexe,

E⃗_-_i(z, t) = E_-_(0, i)exp(i(ωt - kz))e⃗_x

, avec

k = ω/c > 0

. L'onde incidente atteint le conducteur en

z = 0

.
Q 17. Proposer une expression du champ électrique réfléchi d'amplitude complexe

E_-_(0, r)

.
Q 18. En exploitant les relations de continuité du champ électrique à la surface d'un dioptre, déterminer une relation reliant les coefficients complexes de transmission

t_- = (E_(0, c))/(E_-_(0, i))

et de réflexion

r_- = (E_-_(0, r))/(E_-_(0, i))

en amplitude de l'onde électromagnétique.
Q 19. Déterminer l'expression des champs magnétiques incident

B⃗_-_i(z, t)

, réfléchi

B⃗_-_r(z, t)

et transmis

B⃗_-_c(z, t)

.
Q 20. En exploitant les relations de continuité du champ magnétique à la surface d'un dioptre et en considérant les courants surfaciques nuls, déterminer une nouvelle relation entre

t_-

r_-

.
Q 21. En combinant les deux expressions précédentes de

t_-

r_-

, montrer que

r_- = (kδ - 1 + i)/(kδ + 1 - i) et t_- = (2kδ)/(kδ + 1 - i).

Q 22. Que deviennent les expressions de

t_-

r_-

dans le cas où l'aluminium est considéré comme un conducteur parfait ? Que dire de l'efficacité de la protection de données avec un conducteur parfait ?

Q 23. En réalité, l'aluminium n'est pas un conducteur parfait. Déterminer la valeur du coefficient de transmission en énergie

T = 1 - |r_-|^2

pour des ondes électromagnétiques de communication NFC-RFID. Conclure sachant qu'une feuille d'aluminium standard de cuisine a une épaisseur

a = 0, 020 mm

II Dictée d'un message : principe de l'échantillonnage

La communication via les téléphones portables a également fait évoluer les pratiques. Si autrefois, on « passait un coup de fil » désormais les messages SMS ont révolutionné la communication : 200000 SMS sont envoyés chaque seconde dans le monde, soit le chiffre de 6100 milliards expédiés sur l'année! Mais ce n'est pas pour autant que l'utilisateur pianote sur son clavier, le texte ne se tape plus, on le dicte à son téléphone qui le retranscrit en message textuel. Dans cette partie, on s'intéresse à ce système de reconnaissance vocale (speech-to-text) en mettant en évidence quelques critères pour assurer une traduction correcte de la dictée.

II.A - Échantillonnage par échantillonneur bloqueur

On considère dans un premier temps un signal

s(t)

composé d'une composante sinusoïdale, d'amplitude crête à crête 3 V et de fréquence

f = 1/T = 100 Hz

, et d'une composante continue dont la valeur de tension est

1, 5 V

. On souhaite échantillonner ce signal avec une période

T_e

.
Q 24. Dessiner soigneusement l'allure du signal

s(t)

. Expliquer le principe de l'échantillonnage de ce signal analogique. On pourra faire apparaitre la période

T_e

sur le dessin.
Pour réaliser cette opération, on utilise un interrupteur commandé CD4016 appelé échantillonneur bloqueur à tension positive. La figure 1 reproduit un extrait des caractéristiques de ce composant.

General Description

The CD4016BM/CD4016BC is a quad bilateral switch intended for the transmission or multiplexing of analog or digital signals. It is pin-for-pin compatible with CD4066BM/ CD4066BC.

Extremely high control input impedance $1012Ω$ (typ.)
Low crosstalk between switches -50 dB (typ.)
@ $f_(IS) = 0.9MHz, R_L = 1kΩ$
Frequency response, switch "ON" $40MHz$ (typ.)

Features

Applications

Analog signal switching/multiplexing
Signal gating
Squelch control
Chopper
Modulator/Demodulator
Commutating switch
Digital signal switching/multiplexing
CMOS logic implementation
Analog-to-digital/digital-to-analog conversion
Digital control of frequency, impedance, phase, and an-alog-signal gain

Schematic and Connection Diagrams

Figure 1 Extrait des caractéristiques du CD4016

Le montage proposé pour échantillonner le signal

s(t)

utilise les voies 1 et 2 et la borne de contrôle 13 reçoit le signal d'horloge. À la sortie du CD4016, on récupère le signal

V_(ech)(t)

aux bornes d'un condensateur (figure 2).
Q 25. Expliquer l'intérêt de récupérer le signal échantillonné

V_(ech)(t)

aux bornes du condensateur de capacité

C_e

.
Le signal d'horloge

h(t)

appliqué sur la borne 13 est généré par un signal logique de fréquence

f_e = 1/T_e = 1, 0kHz

d'amplitude crête à crête de 10 V et de composante continue 5 V (ainsi le signal horloge évolue entre 0 V et

10 V)

. Il est utilisé en mode pulse dont on peut régler le rapport cyclique

α

, qui est le rapport entre la durée pendant laquelle le signal délivre une tension de 10 V pendant une période et la période du signal.

Figure 2 Montage échantillonneur bloqueur à tension positive

Q 26. La figure 3 présente l'oscillogramme du signal d'horloge, dont le rapport cyclique vaut

α = 2%

. Déterminer la valeur de la durée du pic.

Figure 3 Signal d'horloge

Q 27. Les allures du signal échantillonné

V_(ech)(t)

et du signal

s(t)

sont représentées sur la figure 4. Commenter l'allure de l'oscillogramme ainsi obtenu.

Figure 4 Superposition du signal

s(t)

et du signal échantillonné

V_(ech)(t)

On réalise l'analyse spectrale du signal échantillonné

V_(ech)

sur l'oscilloscope. On obtient alors les spectres (figure 5) dont on relève l'amplitude des différents pics dans le tableau 1 .

pic	1	2	3	4	5	6	7
fréquence $(Hz)$	100	900	1100	1900	2100	2900	3100

Tableau 1 Relevé des harmoniques du spectre de

V_(ech)(t)

Q 28. Expliquer l'existence des pics de fréquence supérieure à 100 Hz . Commenter les valeurs des fréquences obtenues dans le spectre de

V_(ech)(t)

Figure 5 Analyse spectrale du signal échantillonné

V_(ech)(t)

On reprend le même montage que précédemment et le même signal d'horloge

h(t)

, signal logique de fréquence

f_e = 1/T_e = 1, 0kHz

. Désormais le signal

s(t)

est un signal de fréquence

f = 1/T = 110 Hz

de la forme

s(t) = S/2 + (2S)/π\sum_(k = 0)^(+ \infty)(sin((2k + 1)2πft))/(2k + 1).

Q 29. Représenter l'allure temporelle et spectrale du signal

s(t)

. On se limitera à un nombre fini d'harmoniques (rang

k = 3

).
Q 30. Représenter le spectre du signal échantillonné

V_(ech)(t)

de ce nouveau signal

s(t)

par le même signal d'horloge

h(t)

.
Q 31. Quel phénomène voit-on apparaitre ? Proposer un critère quantitatif pour y remédier afin d'assurer une retranscription correcte du signal

s(t)

. Comment s'appelle ce critère?

II.B - Filtrage numérique du bruit ambiant

Une source récurrente d'erreurs de retranscription de la dictée est le bruit ambiant. Dans cette partie on se propose de mettre en place un algorithme permettant une filtration efficace des bruits parasites et notamment des bruits blancs de «hautes» fréquences.
Q 32. Rappeler comment on peut réaliser un filtre passe-bas du premier ordre avec un circuit RC.
Q 33. Donner la forme canonique de la fonction de transfert de ce circuit en faisant apparaitre la fréquence de coupure

ω_c

.
Q 34. En déduire l'équation différentielle liant l'entrée

s_e(t)

et la sortie

s_s(t)

dans le cas d'un filtre passe-bas du premier ordre de temps caractéristique

τ

qu'on liera à

ω_c

.
Le filtrage numérique correspond à la chaine de traitement du signal présentée en figure 6.

Figure 6 Chaine de traitement du signal

Q 35. Identifier les fonctions des opérateurs numérotés 1 et 2 et du calculateur sur la figure 6.
Q 36. Citer deux avantages d'une telle technique de filtrage vis-à-vis d'un filtre analogique. Citer l'inconvénient majeur du filtrage numérique.
On note

T_e

la période d'échantillonnage des signaux

S_e[n]

S_s[n]

, les valeurs respectives de

s_e(t)

s_s(t)

à l'instant d'échantillonnage

t_n = nT_e

où

n

est un entier positif ou nul. À l'entrée du calculateur, le signal numérisé se présente sous la forme d'un tableau de valeurs. Le calculateur génère un tableau de valeurs

S_s[n]

pour la sortie à partir du tableau de valeurs

S_e[n]

de l'entrée.
Q 37. Si l'on suppose la période d'échantillonnage

T_e

«petite» par rapport à

τ

, donner une approximation d'ordre 1 de la dérivée à l'instant

t_n

en faisant intervenir

S_s[n]

S_s[n - 1]

.
Q 38. En déduire la relation donnant

S_s[n]

en fonction de

S_s[n - 1]

S_e[n - 1]

pour un filtre passe-bas d'ordre 1.
Q 39. Quelle information supplémentaire faut-il fournir au calculateur pour qu'il puisse calculer tous les

S_s[n]

?
Pour illustrer la fonction de filtrage numérique, l'expérimentateur dicte la phrase « je passe le concours CentraleSupélec ». L'analyse spectrale du texte dicté est réalisée à partir de deux enregistrements du texte, l'un dicté au calme, l'autre en présence de cris d'enfants (figure 7).

Figure 7 Spectre de la dictée «je passe le concours Centrale-Supéléc »

Q 40. Identifier la zone de fréquences à filtrer et proposer une valeur de fréquence de coupure pour le filtre passe-base d'ordre 1.
On dispose d'un fichier monophonique dictee.wav au format WAV/LPCM contenant l'enregistrement de la phrase. Ce fichier est chargé dans un vecteur Python à l'aide du programme de la figure 8.

import numpy as np
import scipy.io.wavfile
fe, Se = scipy.io.wavfile.read("dictee.wav")

Figure 8 Chargement du signal d'entrée

La fonction scipy.io.wavfile.read lit un fichier audio au format WAV/LPCM. Elle renvoie la fréquence d'échantillonnage (en Hz) utilisée dans le fichier et un vecteur contenant les échantillons du signal.
Q 41. Compléter le programme de la figure 8 de façon à produire un signal de sortie privé des cris d'enfants.

III Réception d'une communication téléphonique

Dans cette partie, on réalise une étude rapide d'une antenne émettrice en téléphonie mobile et des problèmes liés à la réception du signal. Pour cela, on étudie l'émission d'une onde électromagnétique par un dipôle électrique oscillant.

III.A - Rayonnement par une antenne

On considère un doublet constitué de deux charges ponctuelles de charges opposées

+ q

- q

. La charge

- q

est fixe et placée en

O

; la charge

+ q

est mobile sur l'axe des

z

suivant la loi

z(t) = asin(ωt)

où

a

représente l'amplitude et

ω

la pulsation des oscillations. L'ensemble constitue un dipôle variable qui crée une onde électromagnétique de pulsation

ω

en un point

M

repéré par les coordonnées sphériques (

r, θ, φ

) (figure 9).

Figure 9 Repérage du dipôle et du point

M

d'étude

On se place dans les conditions où

r≫a

λ≫a

où

λ

est la longueur d'onde associée à l'onde électromagnétique émise.
Q 42. Citer les approximations associées aux deux inégalités

r≫a

λ≫a

.
Q 43. Exprimer le moment dipolaire

p⃗ = p(t)e⃗_z

associé au doublet (

- q, + q

).
On admet que le dipôle est équivalent, pour l'étude du champ dans la zone de rayonnement, à un élément de hauteur

2a

parcouru par un courant d'intensité

I(t) = 1/(2a)(dp)/(dt).

Q 44. Déterminer

I_0

, l'amplitude du courant

I(t)

.
La puissance instantanée rayonnée par un dipôle à travers une sphère de centre

O

et de rayon

r≫λ

est proportionnelle au carré de l'accélération de ce dernier telle que

Π(t) = (μ_0)/(6πc)((d^2 p)/(dt^2))^2.

Q 45. Déterminer

P_r

, la puissance moyenne totale rayonnée par ce dipôle à travers une sphère de centre

O

et de rayon

r≫λ

, appelée zone de rayonnement.
On définit

R_r

, la résistance du rayonnement par

P_r = R_r(I_0^2)/2.

Q 46. Déterminer l'expression de

R_r

en fonction de

μ_0, c, λ

a

.
Q 47. Quel est l'intérêt de définir ce type de grandeur?
Un opérateur de téléphonie mobile a converti plus de 5000 antennes en 800 MHz , auparavant utilisées pour la 4G, afin de créer son réseau 5G national. Ce réseau est accompagné d'antennes en 3500 MHz créées pour véhiculer de la 5 G . On se propose de comparer la résistance de rayonnement pour les deux types de réseau 4 G et 5 G . Pour la 4 G le mobile est muni d'une antenne de hauteur

h_(4G) = 2a = 4 cm

et pour la 5 G le mobile à une antenne de longueur

h_(5G) = 2a = 1 cm

.
Q 48. Comparer les hauteurs d'antenne et les longueurs d'onde dans les deux cas. Conclure. Estimer la distance à partir de laquelle on se situe dans la zone de rayonnement.
Q 49. Déterminer la résistance de rayonnement

R_r

pour les deux types de réseau.

III.B - Problème de réception du signal

«Je n'ai plus de réseau!» Voilà une phrase que tous les utilisateurs de mobiles ont prononcée un jour ! On cherche ici à illustrer quelques difficultés liées à la réception d'un signal en téléphonie mobile.
Pour simplifier l'étude, l'onde émise par la station de base sera considérée comme plane et polarisée rectilignement suivant l'axe des

x

. Son champ électrique s'écrit, en notation complexe,

E⃗_-_i(z, t) = E_(0, i)exp(i(ωt - kz))e⃗_x

avec

k = (2π)/λ = ω/c > 0

ω = 2πf

pulsation de l'onde du champ électrique. On suppose que l'amplitude

E_(0, i)

est une grandeur réelle. La fréquence est égale à 3500 MHz .
On suppose qu'un obstacle (par exemple un immeuble) situé en

z = L

réfléchit l'onde sans l'atténuer et sans modifier sa polarisation (Figure 10).

Figure 10 Obstacle sur le trajet d'une onde de téléphonie mobile

Q 50. En utilisant les relations de passage en

z = L

pour le champ électrique et en modélisant l'obstacle par un métal conducteur parfait, déterminer l'expression complexe du champ électrique de l'onde réfléchie

E⃗_-_r

supposée de même fréquence et de même direction que l'onde incidente.
Q 51. En déduire l'expression du champ électrique résultant

E⃗_(tot)

. Comment qualifie-t-on ce type d'onde ? On admet que la puissance

P

reçue par l'utilisateur (via son téléphone mobile en réseau 5G) est proportionnelle à la valeur moyenne dans le temps du carré du champ électrique. L'établissement de la communication est impossible (plus de réseau !) si la puissance reçue est inférieure à une puissance seuil notée

P_(seuil)

qui correspond au dixième de la valeur moyenne spatiale (c'est-à-dire suivant

z

) de la puissance reçue

P

.
Q 52. Déterminer la durée moyenne des coupures lorsque le téléphone mobile est porté par un piéton qui se déplace à la vitesse de

3 km \cdot h^(- 1)

suivant l'axe des

z

croissants, puis lorsque le téléphone est porté par un passager d'une automobile se déplaçant à

50 km \cdot h^(- 1)

dans le sens des

z

croissants. Commenter les résultats obtenus.
En milieu urbain, notamment à cause des divers obstacles, les retards des trajets réfléchis des ondes par rapport aux trajets directs sont de l'ordre de

Δt = 0, 5μ s

.
Q 53. Quelle est la valeur typique de

L - z

associée à ce retard ?
On suppose que pour cette valeur typique de

L - z

et pour la fréquence

f

, le signal reçu par le mobile de la part de la station de base a une puissance nulle. On fait alors varier la fréquence

f

\pm Δf

.
Q 54. Déterminer numériquement la valeur minimale à donner à

Δf

pour obtenir une puissance supérieure à

P_(seuil)

.
Q 55. En vous appuyant sur les questions précédentes, proposer au moins une méthode permettant de lutter contre les coupures réseau.

Données

Données générales

Permittivité diélectrique du vide
Perméabilité magnétique du vide

ε_0 = 8, 85 \times 10^(- 12) F \cdot m^(- 1); μ_0 = 1, 26 \times 10^(- 6)H \cdot m^(- 1); c = 3, 00 \times 10^8 m \cdot s^(- 1)

Célérité de la lumière dans le vide

Données sur l'aluminium métallique

Conductivité en régime permanent
Permittivité diélectrique relative
Perméabilité magnétique relative

γ_0 = 38 \times 10^6 S \cdot m^(- 1); ε_r = 1; μ_r = 1

Formulaire

Les grandeurs complexes sont soulignées d'un trait et on note i le nombre complexe tel que

i^2 = - 1

. Le symbole

\times

désigne l'opération produit vectoriel. L'espace est rapporté, en coordonnées cartésiennes, à un repère orthonormé direct de base

(e⃗_x, e⃗_y, e⃗_z)

Analyse vectorielle

rot^(\to-)(rot^(\to-)A⃗) = grad^(\to-)(divA⃗) - ΔA⃗; ΔA⃗ = ((\partial^2 A_x)/(\partialx^2) + (\partial^2 A_x)/(\partialy^2) + (\partial^2 A_x)/(\partialz^2))e⃗_x + ((\partial^2 A_y)/(\partialx^2) + (\partial^2 A_y)/(\partialy^2) + (\partial^2 A_y)/(\partialz^2))e⃗_y + ((\partial^2 A_z)/(\partialx^2) + (\partial^2 A_z)/(\partialy^2) + (\partial^2 A_z)/(\partialz^2))e⃗_z

Relation de continuité des champs électromagnétiques

En présence de charges surfaciques

σ

, la composante normale du champ électrique est discontinue au niveau d'un dioptre séparant deux milieux 1 et 2 , sa composante tangentielle est toujours continue

E⃗_(2, n) - E⃗_(1, n) = σ/(ε_0)n⃗_(1 \to 2) et E⃗_(2, t) - E⃗_(1, t) = 0\to

En présence de courants surfaciques

ȷ⃗_s

, la composante tangentielle du champ magnétique est discontinue au niveau d'un dioptre séparant deux milieux 1 et 2 , sa composante normale est toujours continue

B⃗_(2, t) - B⃗_(1, t) = μ_0 ȷ⃗_s \times n⃗_(1 \to 2) et B⃗_(2, n) - B⃗_(1, n) = 0\to

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de physique-chimie 1 MPI Centrale 2023 ?

Le sujet porte sur l'électromagnétisme dans un conducteur ohmique, l'échantillonnage et le filtrage d'un signal pour la reconnaissance vocale, et le rayonnement d'une antenne en réception urbaine.

Quelles sont les principales difficultés relevées par le jury sur ce sujet ?

Le jury relève surtout des faiblesses en électronique numérique : repliement de spectre mal compris, effet du peigne de Dirac mal maîtrisé, et des erreurs récurrentes dans l'usage des relations de passage électromagnétiques.

Ce sujet de physique-chimie 1 MPI est-il accessible ?

Le rapport le décrit comme de longueur raisonnable et progressif, avec un niveau moyen jugé satisfaisant en électromagnétisme, mais des lacunes plus marquées en électronique numérique.

Le sujet de Centrale MPI 2023 physique-chimie 1 comporte-t-il de la programmation ?

Oui, la deuxième partie demande d'écrire un script Python mettant en œuvre un schéma numérique d'Euler pour résoudre une équation différentielle liée au filtre étudié.

Pas de description pour le moment

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General Description

Applications

Schematic and Connection Diagrams

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III Réception d'une communication téléphonique

III.A - Rayonnement par une antenne

III.B - Problème de réception du signal

Données

Données générales

Données sur l'aluminium métallique

Formulaire

Analyse vectorielle

Relation de continuité des champs électromagnétiques

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de physique-chimie 1 MPI Centrale 2023 ?

Quelles sont les principales difficultés relevées par le jury sur ce sujet ?

Ce sujet de physique-chimie 1 MPI est-il accessible ?

Le sujet de Centrale MPI 2023 physique-chimie 1 comporte-t-il de la programmation ?

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I. $C -$ Réflexion sur un conducteur ohmique